高中數(shù)學(xué)講義微專題10函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題

1、微專題10函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題、知識(shí)點(diǎn)講解與分析:1、零點(diǎn)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù) y = f X x D ,我們把方程f X =0的實(shí)數(shù)根X稱 為函數(shù)y = f X X D的零點(diǎn)2、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理： 設(shè)函數(shù)f X在閉區(qū)間la,b上連續(xù)，且f a f b ： 0，那么在開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)至少有函數(shù)f X的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)x0"a,b ,使得f x0 =0。（1）f X在a,b 上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)的前提（2） 零點(diǎn)存在性定理中的幾個(gè)“不一定”（假設(shè)f X連續(xù)） 若fa f b ：0,則f X的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以有多個(gè) 若f a f b廣0 ,那么f X在la,

2、b 不一定有零點(diǎn) 若f X在a,b 有零點(diǎn)，則f a f b不一定必須異號(hào)3、若f X在a, b I上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則 f a f b ： 0= f X在a,b的零點(diǎn)唯一4、函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系設(shè)函數(shù)為y = fx ，貝U f X的零點(diǎn)即為滿足方程fx=0的根，若 f x =g x -h x , 則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)間 X = h X ,即方程的根在坐標(biāo)系中為 g X ,h X 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其范圍和個(gè)數(shù)可從圖像中得到。由此看來(lái)，函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像的交點(diǎn)這三者各有特點(diǎn)，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關(guān)根的問(wèn)題以及已知根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍這些問(wèn)題時(shí)要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化。（詳

3、見(jiàn)方法技巧）二、方法與技巧：1、零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用：若一個(gè)方程有解但無(wú)法直接求出時(shí)，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一 個(gè)函數(shù)，從而利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)確定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。例如：對(duì)于方程t （1 ）In x+x = 0 ,無(wú)法直接求出根，構(gòu)造函數(shù)f（x） = nx + x ,由f（1）>Q f. <0即可判定遼丿其零點(diǎn)必在i1,中J2、函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩函數(shù)的交點(diǎn)在零點(diǎn)問(wèn)題中的作用（1）函數(shù)的零點(diǎn)：工具：零點(diǎn)存在性定理作用：通過(guò)代入特殊值精確計(jì)算，將零點(diǎn)圈定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。缺點(diǎn)：方法單一，只能判定零點(diǎn)存在而無(wú)法判斷個(gè)數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān)（2）方程的根：工具

4、：方程的等價(jià)變形作用：當(dāng)所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時(shí)，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對(duì)方程進(jìn)行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)缺點(diǎn)：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無(wú)法用傳統(tǒng)方法求出根，也無(wú)法判斷根的個(gè)數(shù)（3）兩函數(shù)的交點(diǎn)：工具：數(shù)形結(jié)合作用：前兩個(gè)主要是代數(shù)運(yùn)算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)，是將抽象的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過(guò)圖像可清楚的數(shù)出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)（即零點(diǎn)，根的個(gè)數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍。缺點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)（故當(dāng)方程含參時(shí)，通常進(jìn)行參變分離，其目的在于若含X的函數(shù)可作出圖像，那么因?yàn)榱硗庖粋€(gè)只含參數(shù)的圖像為直

5、線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會(huì)涉及到一個(gè)構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時(shí)速度與精度的平衡（作圖問(wèn)題詳見(jiàn)：1.7函數(shù)的圖像）3、 在高中階段主要考察三個(gè)方面： （1）零點(diǎn)所在區(qū)間零點(diǎn)存在性定理，（2）二次方程根 分布問(wèn)題，（3）數(shù)形結(jié)合解決根的個(gè)數(shù)問(wèn)題或求參數(shù)的值。其中第（ 3）個(gè)類型常要用到函數(shù) 零點(diǎn)，方程，與圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，請(qǐng)通過(guò)例題體會(huì)如何利用方程構(gòu)造出函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)圖像解決問(wèn)題的。三、例題精析：例1：直線y =a與函數(shù)y =x3-3X的圖象有三個(gè)相異的交點(diǎn)，貝U a的取值范圍為（）.A. -2,2B. 1 -2,2】C. 2,二D.2】思路：考慮數(shù)形結(jié)合，先做出y =

6、x' -3x的圖像，y =32 一3 =3 X -1 X 1 ,令 y' . 0可解得：x ： -1 或X 1 ,故 y x 3 -x3 在-:：,-1 , 1, ：?jiǎn)握{(diào)遞增，在 -1,1單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為 f -1 =2， 極小值為 f 12，做出草圖。而y = a為一條水平線，通過(guò)圖像可得，y = a介于極大值與極小值之間，則有在三個(gè)相異交點(diǎn)?？傻茫篴-2,2答案：A小煉有話說(shuō)：作圖時(shí)可先作常系數(shù)函數(shù)圖象，對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)，先分析參數(shù)所扮演的角色，然后數(shù)形結(jié)合，即可求出參數(shù)范圍。例2:設(shè)函數(shù)f X = X2 2x -21 n X 1 ,若關(guān)于X的方程f X = x2

7、 X a在1.0,2 上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是思路：方程等價(jià)于：X2 2x - 21 n X 1 = x2 x a= a = x -2ln X 1 ,即函數(shù) y = ag X的單調(diào)性并作出草圖:2g ()=1X -1X 1與g X =x-2In X 1的圖像恰有兩個(gè)交點(diǎn)，分析令g x>0解得：X 1 g X在0,1單調(diào)遞減， 在（1 ）,單 調(diào) 遞 增g 1 =1 -21 n2, g 0 =0,g2 =2 -21 n3 ,由圖像可得，水平線 y = a 位于 g 1 ,g 2 之間時(shí)，恰好與g X有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。.1-21 n2 ：a2-2ln3答案：1 -2ln2

8、: a 乞2 - 21 n3小煉有話說(shuō)：（1）本題中的方程為 X2 2x -2In X 1 = x2 X a ,在構(gòu)造函數(shù)時(shí)，進(jìn)行了X與a的分離，此法的好處在于一側(cè)函數(shù)圖像為一條曲線，而含參數(shù)的函數(shù)圖像由于不含X所以為一條水平線，便于上下平移，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。由此可得：若關(guān)于X的函數(shù)易于作出圖像，則優(yōu)先進(jìn)行參變分離。所以在本題中將方程轉(zhuǎn)變?yōu)閍 = x-2In X 1，構(gòu)造函數(shù)g XiU X-2 In XT并進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。(2)在作出函數(shù)草圖時(shí)要注意邊界值是否能夠取到，數(shù)形結(jié)合時(shí)也要注意 a能否取到邊界值。"kx + 2 X £ O例3：已知函數(shù)f(x)=<, (kR),

9、若函數(shù)y=f(x卄k有三個(gè)零點(diǎn)，貝U實(shí)數(shù)kJn x, X >0的取值范圍是()A. k 蘭 2B. -1vkc0C. _2 蘭 kc1D. k 蘭 _2思路：函數(shù)y= f(xj+k有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程f(xj = _k有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，進(jìn)而等價(jià)于f (X )與 y=-k圖像有三個(gè)不同交點(diǎn)，作出 f(x)的圖像，貝U k的正負(fù)會(huì)導(dǎo)致f(x)圖 像不同，且會(huì)影響y = -k的位置，所以按k - 0,k ： 0進(jìn)行分類討論，然后通過(guò)圖像求出 k的 范圍為k _ -2。-26 -答案：D小煉有話說(shuō)：(1)本題體現(xiàn)了三類問(wèn)題之間的聯(lián)系：即函數(shù)的零點(diǎn) 二 方程的根二 函數(shù)圖象 的交點(diǎn)，運(yùn)用方程可進(jìn)

10、行等式的變形進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，解決這類問(wèn)題要選擇合適的函數(shù)，以便于作圖，便于求出參數(shù)的取值范圍為原則。(2)本題所求k在圖像中扮演兩個(gè)角色，一方面決定f X左側(cè)圖像直線的傾斜角，另一方面決定水平線的位置與 X軸的關(guān)系，所以在作圖時(shí)要兼顧這兩方面，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。例4 :已知函數(shù)f X滿足f X = f 3x ,當(dāng)X 1,3 , f X = In X,若在區(qū)間1,9內(nèi),函數(shù)g X = f X -ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()CJ也丄】D（皿也C. 9 ,2e. 9 , 3思路:f3x十,當(dāng)X 3,9時(shí),所以In x,1： 3f XX,而gxfxx-有三個(gè)不同零點(diǎn)：= y=f

11、 X 與y=ax有三I n_ ,3xc9.3個(gè)不同交點(diǎn)，如圖所示，可得直線y=ax應(yīng)在圖中兩條虛線之間， 所以可解得：,9 3eVA八 O1X0y答案：B小煉有話說(shuō)：本題有以下兩個(gè)亮點(diǎn)。(1) 如何利用 f X IT X ，已知XE 1,3), f(x )的解析式求XE 3,9),f(X)的解析式。I3丿(2) 參數(shù)a的作用為直線y =ax的斜率，故數(shù)形結(jié)合求出三個(gè)交點(diǎn)時(shí)a的范圍f(x)2心-1,f2)例5 :已知函數(shù)f(X)是定義在-：,0上的偶函數(shù)，當(dāng)X 0時(shí)，0 ： X 空 2,則函數(shù)g(x)=4f(x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(X 2D. 10思路：由f X為偶函數(shù)可得：只需作出正半軸的圖像，

12、再利用對(duì)稱性作另一半圖像即可，當(dāng)1!竺00,2 1時(shí)，可以利用y=2x利用圖像變換作出圖像，1X 2時(shí)，f X f x-2 ,即自變量差2個(gè)單位，函 數(shù)值折半，進(jìn)而可作出 2,4 1, 4,6 L的圖像，g X* 1 1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為f X根的個(gè)數(shù)，即f X與y 的44交點(diǎn)個(gè)數(shù)，觀察圖像在 X 0時(shí)，有5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得 X ： 0時(shí)，也有5個(gè)交點(diǎn)。共計(jì)10個(gè)交點(diǎn) 答案：D 小煉有話說(shuō):1(1) f x =2 f x -2類似函數(shù)的周期性，但有一個(gè)倍數(shù)關(guān)系。依然可以考慮利用周期性的思想，在作圖時(shí)，以一個(gè)“周期”圖像為基礎(chǔ)，其余各部分按照倍數(shù)調(diào)整圖像即可(2) 周期性函數(shù)作圖時(shí)，若函數(shù)圖像

13、不連續(xù)，則要注意每個(gè)周期的邊界值是屬于哪一段周期， 在圖像中要準(zhǔn)確標(biāo)出，便于數(shù)形結(jié)合。(3) 巧妙利用f X的奇偶性，可以簡(jiǎn)化解題步驟。例如本題中求交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，只需分析正半軸的情況，而負(fù)半軸可用對(duì)稱性解決例6：對(duì)于函數(shù)f(X ),若在定義域內(nèi)存在.實(shí)數(shù)X,滿足f(-x)=-f(x),稱f(x)為 局部奇函數(shù)”，若 f (x )=4x-m2x">m2-3為定義域R上的 局部奇函數(shù)”，貝U實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. 1 - . 3 - m -V .3B. 1 -、3 _ m _ 2、2C. -22 乞 m 乞 2、2D. 2 ,2 空 m 空 IiJ3思路：由“局部奇函數(shù)”可得：4

14、x - 2m 2x m2 - 3 4-2m 2 m2 -3 = 0 ,整理可2得：4x 4 -2m2x2 2m2-6=0 ,考慮到 4x ,4=2-2 -2,從而可將2x 2"視為整體，方程轉(zhuǎn)化為：22x 2- 2m 2x 2x 2n2 - & Q 利用換元設(shè)t=2x+2 (t2),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需讓方程 t2 2mt+2m2 8 = 0存在大于等于2的解 即可，故分一個(gè)解和兩個(gè)解來(lái)進(jìn)行分類討論。設(shè)g t = t2-2mt 2m2-8 = 0。(1) 若方程有一個(gè)解，則有相切(切點(diǎn) x=m大于等于2)或相交(其中交點(diǎn)在 X =2兩側(cè)),即"=0 或 g 2 <

15、0 ,解得：m=22 或 1 - ,3 < V ,3m 一2j 、.：. 0I 2. 2 ： m ： 2 2(2) 若方程有兩解，則 <g(2)30 ,解得：m1+J3,m1-J3= 1+J3mc2J2 ,ImA 2m>2綜上所述：1 -、3乞m乞222x 2=視答案：A 小煉有話說(shuō)：本題借用“局部奇函數(shù)”概念，實(shí)質(zhì)為方程的根的問(wèn)題，在化簡(jiǎn)時(shí)將為整體，進(jìn)而將原方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為關(guān)于2 2x的二次方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程根分布問(wèn)題，進(jìn)行求解。例7 :已知函數(shù)y = f X的圖像為R上的一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)X = O時(shí)，f X1f X0 ,則關(guān)于X的函數(shù)g X = f X

16、的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()XXA. 0 B . 1C. 2D. 0 或 2I思路：f' X0= -X» 0= Xf X 0,結(jié)合g X的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即XXX1為方程f X0 ,結(jié)合條件中的不等式，可將方程化為Xf X 1=0 ,可設(shè)Xh XiUXf X T ,即只需求出 h X的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng) X 0時(shí)，h x O ,即h X在0, ：上單調(diào)遞增；同理可得：h X在-:：,0上單調(diào)遞減，.h Xmih 0=1 ,故h X -h Oi=I 0,所以不存在零點(diǎn)。答案：A小煉有話說(shuō)：(1) 本題由于f X解析式未知，故無(wú)法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行解決

17、。f f X )(2) 所給不等式f' X0呈現(xiàn)出f X輪流求導(dǎo)的特點(diǎn)，猜想可能是符合導(dǎo)數(shù)的乘X(Xf (X )法法則，變形后可得0 ,而g X的零點(diǎn)問(wèn)題可利用方程進(jìn)行變形，從而與條件中X的Xf X相聯(lián)系，從而構(gòu)造出 h X例&定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f X滿足對(duì)- R,有f X 2 = f X - f 1 ,且當(dāng)-2,3 1時(shí)，f X - -2x2 12x -18,若函數(shù)y = f X TOga X 1在0,亠上至少有三個(gè)零點(diǎn), 思路：f x 2 = f x - f 1體現(xiàn)的是間隔2個(gè)單位的自變量，其函數(shù)值差f 1 ,聯(lián)想到則a的取值范圍是(A.0,糾I 2丿0D.OQI 5丿J

18、6丿周期性，考慮先求出 f 1的值，由f X為偶函數(shù)，可令 x = -1 ,得f 1 = f -1 - f 1f1=0f x 2 = f x， f X為周期是 2的周期函數(shù)。已知條件中函數(shù)y = f(X )1Oga(IXI +1)有三個(gè)零點(diǎn)，可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程f (x)Ioga ( x +1 )= 0即f (x ) = loga(x+1 )至少有三個(gè)根，所以f(x盧y = oga(x+1)有三個(gè)交點(diǎn)。先利用f(x)圖像可得：a >1 時(shí),不會(huì)有3個(gè)交點(diǎn)，考慮0 c a c1的圖像 。設(shè)g()=oga，則y =Iaogx Y(I Tg ),利用圖像變換作圖，通過(guò)觀察可得:只需當(dāng)X =2

19、 時(shí),y oga(+ 1)的圖像在f (X)上方即可，即在 2,3 的函數(shù)解析式及周期性對(duì)稱性作圖，通過(guò)1所以2 3= 0 ： a ：af X =(t(1 一實(shí)數(shù)t的取值范圍是(Ioga 2 1 f 2 =-2= Ioga 3 -2 =Iogaa'答案：B小煉有話說(shuō)：本題有以下幾個(gè)亮點(diǎn):(1) f X的周期性的判定：f X 2 = f X - f 1可猜想與f X周期性有關(guān)，可帶入特殊值，解出f 1 ,進(jìn)而判定周期，配合對(duì)稱性作圖(2)在選擇出交點(diǎn)的函數(shù)時(shí)，若要數(shù)形結(jié)合，則要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，例如在本題中,f (X )的圖像可做，且 y = Ioga (x +1 )可通過(guò)圖像變換

20、做出已知定義在R上的函數(shù)f X滿足f 2- -f X ,當(dāng)x" 1,3】時(shí)，x X 1,1 ,其中t 0,若方程3f X =X恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則x-2 )E(1,31A. 0,3 B.223,2C.D.3,思 路 ： 由 f2=-fx 可 得f X f x 2 = f X ,即f X的周期為4 ,所X解方程可視為y = f X與g X 的交點(diǎn)，而t的作用為3影響y =t（1 - X -2 ）圖像直線的斜率，也絕對(duì)此段的最值X（ymaX =t ）,先做出y二一的圖像，再根據(jù)三個(gè)交點(diǎn)的條3件作出f X的圖像（如圖），可發(fā)現(xiàn)只要在X =2處，f X的圖像高于g X圖像且在X = 6處

21、f X的圖像低于g X圖像即可。所以有f (6) = f (2) = t ： 2f(2)t 舟,即：t ： 2答案：B例10：（2014甘肅天水一中五月考）已知函數(shù) f )sin X l-1,x 瓷0f (x)=<(2丿的圖像上log a x(a > 0,a 1 ),x > 0A.0®B.C.徑1】D.0回< 5丿I5丿I3丿< 3丿關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有 3對(duì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）思路：考慮設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為0,-x0 ,其中x0 0,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程f x0 = f -X0至少有三個(gè)解。即（ 一Sin X廠1 =logax有三個(gè)根，所以冋題轉(zhuǎn)化為.2 y

22、a 1 1y = sin X廠1的圖像，通I 2丿g X =sinX -1與h X =IOgaX有三個(gè)交點(diǎn)，先做出I 2丿過(guò)觀察可知若 y =Ioga X與其有三個(gè)交 點(diǎn)，則O ： a ： 1 ,進(jìn)一步觀察圖像可得g 5 <h 5 ,則滿足題意，所以F 5兀Sin 二 T ：loga55"oga:log a 5 =答案：A三、近年模擬題題目精選：1、已知f （x）是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng) x 0,1時(shí)，f（x） = -.M ,那么在區(qū)間（一1,3）內(nèi),關(guān)于X的方程f（x）=kxk（k R）有4個(gè)根，則k的取值范圍是（）A- 0 ： k _ 或 k =B461C.0 ：k或 kD

23、4_ 62、（ 2014吉林九校聯(lián)考二模,0 ： k J40 ： k ： 1416）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿足條件：點(diǎn) A）B都在函數(shù)f X的圖像上；點(diǎn)A）B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱 A）B是函數(shù)f X的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”（A）B- 2與B） A可看作同一點(diǎn)對(duì)）,則f X的“姊妹點(diǎn)對(duì)”X 2X) X ： 0，已知 f (x ) = « 2r*0e個(gè)-X) X 蘭2)3、( 2015 ,天津)已知函數(shù) f Xi=二2函數(shù)gx=b- f2-X ,其中(x-2), x>2,b R,若函數(shù)y = f X -g X 恰有4個(gè)零點(diǎn)，貝U b的取值范圍是（）A.B.C.0,7D.；)24、（20

24、15 ,湖南）已知若存在實(shí)數(shù)b ,使函數(shù)g X = f XI-b有兩個(gè)零點(diǎn)，貝U a的取值范圍是 5、（2014,新課標(biāo)全國(guó)卷I）已知函數(shù)f Xi=ax3-3x2 1 ,若f X存在唯一的零點(diǎn)X。,且X00 ,則a的取值范圍是（）A. （2,母）B. （1,咼）C.（-o,-2）D.（-o0,T）6、（ 2014 ,山東）已知函數(shù) f （x ）= x2+1,g（x）=kx ,若方程f（x）=g（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）B.SI12丿C. 1,2D. 2,：7、(2014,天津)已知函數(shù) f (X )= X2 +3x ,X壬R ,若方程f (Xa X -1 = O恰有4個(gè)

25、互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是0,0 CX 蘭 18、( 2015,江蘇)已知函數(shù)f (x)=lnx,g(x)= 2,則方程 f()+g(j=1X - 4 - 2, x 1實(shí)根的個(gè)數(shù)為 9、已知函數(shù)f X =ax3 -3x2 1 ,若f X存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0 0 ,則a的取值范圍是()A. i2,亠B.i 1,亠 j C.- , -2 'D.- ： -, -110、對(duì)于函數(shù) f x ,g x ,設(shè) m Cx f X = 0;,n 1xg x = 0 ,若存在 m,n 使得1 X mn 1，則稱f (x )與g(x )互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，若函數(shù)f (x )= log2(x

26、+1)-e 與2g Xi=X -ax-a 3互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. 2,7B. 7,3C.2,3】D. 2,4 11 3311、已知偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x R ，均有f (1 x f(3 -x)且f(x)=m(1x ),x = 0,1,若方程3f (X) = X恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍 lx-1,(1,2是.12、 (2016,河南中原第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f XiUCOS2x asinx在區(qū)間 0,n' jn N內(nèi)恰有9個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為13、( 2014，四川)已知函數(shù) f X = ex - a2 - bx - 1,a,b R,e = 2

27、.71828Il 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)設(shè)g X是函數(shù)f X的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù) g X在區(qū)間0,1上的最小值(2)若f 1=0 ,函數(shù)f X在區(qū)間0,1內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍習(xí)題答案：f X的圖像，直線f(x)=kk(k R)過(guò)定點(diǎn)-1,01、答案：B解析：根據(jù)周期性和對(duì)稱性可作出結(jié)合圖像可得：若(-1,3)內(nèi)有四個(gè)根，可知k0,-。若直線與f X在2,3相切，聯(lián)立14方程:Y X 一2 : ky2 - y 3k = 0，令厶=0 可得：k 3 ,當(dāng) k 3 時(shí)，解得 y = kx k66Xb 2,3 ,綜上所述：k。£2、答案：2解析：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)為2 2從而X2 - 2X

28、 X ,所以“姊妹點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)為方程e(,y)和(x,y不妨設(shè) xa0，有-,2 一y=(-) -2XX2 -2X = - WX的個(gè)數(shù)，即曲線e3、答案:-x,X蘭2,f2 -2 x,x H0f (x)»2得 f (2 -x) = < 2( -2 ),X A 2,IX ,X £ 0D解析：由X ： 02 2y =x-2X與y X的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖像即可得有兩個(gè)交點(diǎn) e2 - X +2,f(x) + f(2-x) = *4-x 2 x,0乞X乞2，2_2_x +(x_2)2,x215.10.551015F 2X x + 2, xc0即 y = f (X) f (2 x)

29、=三2,0 Ex 乞22IX 5x +8, X > 2y = f (x) - g(x) = f (x) f (2 - x) - b ,所以y = f X - g X恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程f(X) f (2 - x) -b =O有4個(gè)不同的解，即函數(shù) y =b與函數(shù)y = f(X) f (2 - x)的圖象的4個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可知 7 ： b ： 2.44、答案：a-,MJ 1,-解析：g X = f X f-b由兩個(gè)零點(diǎn)，即方程f X = b有兩個(gè)根，從而y=fx與y = b有兩個(gè)交點(diǎn)。可在同一直角坐標(biāo)系下作出y =3,y =2 ,觀察圖像可得：a ： 0時(shí)，水平線與y =x2有兩個(gè)交點(diǎn)

30、，故符合題意；當(dāng) 0乞a1時(shí)，f X為增函數(shù)，所以最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)a 1時(shí)，存在水平線與 y =X3, y =X2分別有一個(gè)交點(diǎn)，共兩個(gè)符合題意。綜上所述：a三二，0 U 1,:5、答案：C323113解析：ax33x2 1 = O= a3 ,令t ,依題意可知y = a與y = 3tt3應(yīng)在有唯X XX一交點(diǎn)且位于t 0的區(qū)域。設(shè)g t =3t -t3 ,所以g' t =3-3t2 =3 1 -t 1 t ,則g t在-1,0 , 0,1單增，在 -：，-1 , 1,= 單減，g 1 =2,g-1 =-2 ,作出圖像可知只有 當(dāng)a ：-2時(shí)，y=a與y =3t-t3有唯

31、一交點(diǎn)，且在t 0的區(qū)域。6、答案：B解析：方法一：方程 f X =g X有兩個(gè)不等實(shí)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=fx與y = gx的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，其中k為直線的斜率。通過(guò)數(shù)形結(jié)合即 可得到1-,12x-2 +1 = kX中x = 0顯然不是方程的解，當(dāng)x=0時(shí)，k =匸21 ,設(shè) h X =XX -2111，x 一2X,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化-1,： 2X方法二：本題還可以先對(duì)方程進(jìn)行變形，再進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,為y = k與y=h X交點(diǎn)為2個(gè)。作出圖像后即可觀察到k的范圍7、答案：0,1 U 9,-所以x = 1時(shí),afX；，即a =4X T +5,令 t = x T ,貝U y Z=a與討=4t +蘭+5X

32、 1t解析：方程為：2+3x=ax-1，x = 1顯然不是方程的解,有4個(gè)交點(diǎn)即可,數(shù)形結(jié)合即可得到a 0,1 U作出圖像8、答案：4解析：方程等價(jià)于 f X gx -_1 ,即f X - -gx 1或f x - -gx -1共多少個(gè)<×<1根，y =1 一 g i=2 -1,1 :： X :： 2 ,數(shù)形結(jié)合可得：f X與y=1_g X有兩個(gè)交點(diǎn)；2J-X , X K 2-1,0 CXGy = -1 g (X)= <2 -3,1 ex c2 ,同理可得f (x盧y = _1 一 g(X)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以共25 -X ,x 啟2計(jì)4個(gè)9、答案：C32(1 V 313

33、解析：ax-3x2 1=0= a,令t,依題意可知a = -t3 3t只有一個(gè)零IX 丿XX點(diǎn)to且to 0 ,即y=a與g-t3 3t只有一個(gè)在橫軸正半軸的交點(diǎn)。t= -3t2 3可知g t在-：，-1,1：減，在 -1,1增，g -1 = -2作出圖像可得只有 a ： -2時(shí)，3y =a與g t i； = -t 3t只有一個(gè)在橫軸正半軸的交點(diǎn)。10、答案：C解析：先從f X = Iog2 X Iiel"入手，可知f X為單增函數(shù)，且f 1 =0，所以f X有唯一零點(diǎn) = 1 ,即m=1 ；所以1-n蘭1= 0蘭n蘭2,即g(x)=2-ax-a + 3在 【0,2】有零點(diǎn)?？紤]方程

34、 X2 ax-a 3=0=3x +14=XT2 ,即 y = a 與y =x 1-2在0,2 有公共點(diǎn)即可，數(shù)形結(jié)合可得:X 112,3 11、答案:Z 83 7415415 8 3 7、）u（，）解析：當(dāng)m 0時(shí)，方程恰有5個(gè)解U 方程3m1-X-4)X有兩個(gè)解且方程23m1 -(x-8) = X無(wú)解，考慮這兩個(gè)方程的判別式可得E 4;由對(duì)稱性,6 615 48 + 3 J7J5 十 4當(dāng)m ： 0時(shí)，方程恰有5個(gè)解的范圍是m；所以m的取值范圍是6 6(-4 + 15,4+15 8+37 -6 )U(, 6 )12、答案：a = 1由 f (x) = O ,得 c o x 2 a2SKin 即 2 S IXn asxi n設(shè)=02g( x> 2 S ixn a SXi, n 令 1t =s Xn, 則 g( x) 2 2匸 .考察tlx (0,2二)的函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè) 數(shù)，即如下圖所示為t =SinX , X ：=(0,2二)的圖象，易知：(1)方程2t2-at-1=0的一個(gè)根為1 ,另一個(gè)根為(-1,0)時(shí)，g(x)在(0,2二)內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)2 1V1=0,