幾何證明專題

1、特殊的平行四邊形【知識(shí)要點(diǎn)】1、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)名稱性質(zhì)邊角對(duì)角線對(duì)稱性面積矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等軸對(duì)稱，中心對(duì) 稱S =ab菱形對(duì)邊平行，四邊都相等對(duì)角相等對(duì)角線互相垂 直平分，每條對(duì)角線平分一組 對(duì)角軸對(duì)稱，中心對(duì) 稱si1122(I” l2分別表 示菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng))正方形對(duì)邊平行，四邊都相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相垂 直平分且相等，每條對(duì)角線平 分一組對(duì)角軸對(duì)稱，中心對(duì) 稱S=a22、矩形、菱形、正方形的判定名稱判定矩形(1) 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；(2) 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；(3) 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 .菱形(1

2、) 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形；(2) 四邊都相等的四邊形是菱形；(3) 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.正方形(1 )有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形；(2) 有一組鄰邊相等的矩形是正方形；(3) 有一個(gè)角是直角的菱形是矩形；(4) 對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形【典例分析】一、矩形例1：已知：如圖，D是厶ABC的邊AB上一點(diǎn)，CN/ AB, DN交AC于點(diǎn) M MA=MC(1) 求證：CD=AN(2) 若/ AMD=ZMCD求證：四邊形 ADCN是矩形.練習(xí):1、如圖，在平行四邊形 ABCD中，E, F為BC上兩點(diǎn)，且BE=CF AF=DE.(1)

3、 求證： ABFA DCE(2) 求證：四邊形 ABCD是矩形C2、如圖，在平行四邊形 ABCD中, E是CD的中點(diǎn)， ABE是等邊三角形，求證：四邊形 ABCD是矩形3、如圖，在矩形 ABCD中, AB=2BC E在AB延長(zhǎng)線上，/ BCE=60，求/ ADE.4、在平行四邊形 ABCD中，對(duì)角線AC BD相交于O, EF過點(diǎn)0,且AF丄BC求證：四邊形 AFCE是矩形5、平行四邊形 ABCD中，對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)P是四邊形外一點(diǎn)，且PAL PC, PB丄PD,垂足為P。求證：四邊形 ABCD為矩形6、已知：如圖，平行四邊形 ABCD勺四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G H,求

4、證：四邊形 EFGH為矩形.、菱形 例1:如圖，在矩形 ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線 MN與AD相交于點(diǎn)M與BD相交于點(diǎn)N,連接BMDN (1)求證：四邊形 BMDN1菱形；(2)若AB=4, AD=8求MD的長(zhǎng).練習(xí)1、如圖，菱形ABC的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M N分別是邊AB BC的中 點(diǎn)，則PMPN的最小值是2、如圖，點(diǎn) A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且 AB=DE,/ A=/ D，AF=DC. ( 1)求證：四邊形BCEF是平行四邊形；(2)若/ ABC=90 °， AB=4，BC=3，當(dāng)AF為何值時(shí)，四邊

5、形BCEF是菱形.3、如圖，在菱形 ABCD中, E是AB的中點(diǎn)，且 DEL AB, AB=j. (1)求/ ABC的度數(shù)；(2)求對(duì)角線 AC的長(zhǎng)；(3)求菱形ABCD的面積4、已知：如圖,人。是厶ABC的角平分線，DE/ AC交AB于E，DF/ AB交AC于F,求證：四邊形 AEDF是菱5、如圖，在已知平行四邊形 ABCD中, AE平分/ BAD,與BC相交于點(diǎn)E, EF/AB，與AD相交于點(diǎn)F.求證:四邊形ABEF是菱形.三、正方形 例 1:如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , CD平分/ ACB DE/ BC, DF/ AC,分別交 AC BC于 E、F.求證：四邊形DECF是正方

6、形.練習(xí)1、正方形 ABCD E、F分別是AB AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且 AE=AF=AC EF交BC于G 交AC于K,交CD 于 H,求證：EG=GC=CH=HF2、如圖，在正方形 ABCD中, F是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)C=BCEF丄AC交AB于E,求證AF=EB.AB3、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3 ,E、F分別是AB BC邊上的點(diǎn)，且/ EDF=45 .將 DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到 DCM.(1)求證：EF=FM(2 )當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長(zhǎng).4、如圖，已知點(diǎn) E、F在正方形ABCD勺對(duì)角線AC上，AE=CF求證：四邊形BFDE是菱形.能力提升1、正方形ABCD勺對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)0,

7、0又是正方形 ABiCi0的一個(gè)頂點(diǎn)，0 Ai交AB于點(diǎn)E, 0C交BC于點(diǎn)F.(1)求證： AOEA BOF；(2)如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為a,那么正方形AiBiCi0繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于多少?為什么?2、如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=i, / AEP=90，且EP交正方形外角的平分線CP于點(diǎn)P,交邊CD于點(diǎn)F，( i) 的值為.(2)求證：AE=EPEF ，(3) 在AB邊上是否存在點(diǎn) M使得四邊形DME是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.3、如圖，在正方形 ABCD中，對(duì)角線 AC BD相交于點(diǎn)O, E F分別在0D

8、 0C上，且DE=CF連接DF AEAE的延長(zhǎng)線交 DF于點(diǎn) M 求證：AML DF.【中考鏈接】1.如圖1,在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,0E _ AB，垂足為 E，若.ADC =130，則.A0E的大小為（A . 75°B . 65°C . 55°.50°圖22.如圖2,在矩形ABCD中,AD=2AB點(diǎn)M N分別在邊ADBC是,連接BMDN若四邊形MBND是菱形,則AMMD等于3.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O,且BD平分AC,若 BD=8AC=6 / BOC=120，則四邊形ABCD的面積為（結(jié)果保留根號(hào)）4、如圖，下列條件之一能使平行四邊形ABCD是菱形的為（ AC丄 BD / BAD=90 : AB=AC AC=BD.A. B. C. D. 5、 如圖，在菱形ABCD中，邊AB的垂直平分線與對(duì)角線 AC相交于點(diǎn)E, / ABC=140 ,那么/ EDC= .6、 如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上 AB=2BC分別以AB,BC為邊做正方形 ABEF和正方形BCMN連接FN,EC.求證：FN=EC.討7、如圖，在/ ABC中, D是BC邊上的中點(diǎn)，E、F分別在AD及其延長(zhǎng)線上，CE/ BF