第4單元 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（強(qiáng)化篇）（解析版）

1、第4單元 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（強(qiáng)化篇）基礎(chǔ)知識講解1分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法【基礎(chǔ)知識】分段函數(shù)是定義在不同區(qū)間上解析式也不相同的函數(shù)若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應(yīng)法則不同，可用幾個式子來表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù)已知一個分段函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求此函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式，這是分段函數(shù)中最常見的問題【技巧方法】求解函數(shù)解析式的幾種常用方法1、待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，用待定系數(shù)法；2、換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)fg（x）的表達(dá)式可用換元法，當(dāng)表達(dá)式較簡單時也可用配湊法；3、消參法，若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則用解方程組消參的方法求解f（x）；另外，在解

2、題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問題2函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷【基礎(chǔ)知識】 一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2， 當(dāng)x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù) 若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf（x）的單調(diào)區(qū)間【技巧方法】 證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：取值；作差；變形；

3、確定符號；下結(jié)論 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域若題設(shè)中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x），并令f（x）0，求其根第三步：利用f（x）0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表第四步：由f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f（x）maxa或f（x）mina，解不等式求參數(shù)的取值范圍第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【基礎(chǔ)知識】 復(fù)合函數(shù)就是由兩個或兩個以上的基本函數(shù)構(gòu)成，這種函數(shù)先要考慮基

4、本函數(shù)的單調(diào)性，然后再考慮整體的單調(diào)性平常常見的一般以兩個函數(shù)的為主【技巧方法】 求復(fù)合函數(shù)yf（g（x）的單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定定義域；（2）將復(fù)合函數(shù)分解成兩個基本初等函數(shù)；（3）分別確定兩基本初等函數(shù)的單調(diào)性；（4）按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間4奇函數(shù)、偶函數(shù)【奇函數(shù)】 如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對稱【技巧方法】如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）0解相關(guān)的未知量；若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）f（x）解相關(guān)參數(shù)；已知奇函數(shù)大于0的部分的函數(shù)表達(dá)式，

5、求它的小于0的函數(shù)表達(dá)式，如奇函數(shù)f（x），當(dāng)x0時，f（x）x2+x那么當(dāng)x0時，x0，有f（x）（x）2+（x）f（x）x2xf（x）x2+x 【偶函數(shù)】 如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對稱【技巧方法】運(yùn)用f（x）f（x）求相關(guān)參數(shù)，如yax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？結(jié)合函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個數(shù)或者是某個特定的值，如偶函數(shù)f（2）0，周期為2，那么在區(qū)間（2，8）函數(shù)與x軸至少有幾個交點(diǎn)5函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷【基礎(chǔ)知識】如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱

6、，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對稱如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對稱【技巧方法】奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）0解相關(guān)的未知量；奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）f（x）解相關(guān)參數(shù)；偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）f（x）這個去求解；對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反6.函數(shù)解析式的求解及常用方法【基礎(chǔ)知識】通過求解函數(shù)的解析式中字母的值，得到函數(shù)的解析式的

7、過程就是函數(shù)的解析式的求解【技巧方法】求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有 1、換元法；2、待定系數(shù)法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等7.冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】1.冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)yxa（aR）叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)（1）指數(shù)是常數(shù)；（2）底數(shù)是自變量；（3）函數(shù)式前的系數(shù)都是1；（4）形式都是yxa，其中a是常數(shù)8.冪函數(shù)的性質(zhì)【基礎(chǔ)知識】所有的冪函數(shù)在（0，+）上都有各自的定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）（1）當(dāng)a0時，冪函數(shù)yxa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過點(diǎn)（1，1）（0，0）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；c、在第一象限內(nèi)，a1時

8、，圖象開口向上；0a1時，圖象開口向右；d、函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間0，+）上是增函數(shù)（2）當(dāng)a0時，冪函數(shù)yxa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過點(diǎn)（1，1）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象開口向上；c、在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右趨于原點(diǎn)時，圖象在y軸上方趨向于原點(diǎn)時，圖象在y軸右方無限逼近y軸，當(dāng)x趨于+時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸（3）當(dāng)a0時，冪函數(shù)yxa有下列性質(zhì)：a、yx0是直線y1去掉一點(diǎn)（0，1），它的圖象不是直線9.五個常用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）yx； （2）yx2； （3）yx3； （4）y； （5）yx1yxyx2yx3yyx1定義域RRR0，+）x|x0

9、值域R0，+）R0，+）y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x0，+）時，增x（，0時，減增增x（0，+）時，減x（，0）時，減公共點(diǎn)（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.冪函數(shù)的奇偶性（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過點(diǎn)（1，1）（2）如果a0，則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，0），（1，1），并在0，+）上為增函數(shù)（3）如果a0，則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，1），并在（0，+）上為減函數(shù)（4）當(dāng)a為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)11函數(shù)最值的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】 函數(shù)的最值顧名思義就是指函數(shù)在某段區(qū)間

10、內(nèi)的最大值和最小值在日常生活中我們常常會遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的問題，這里面就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題另外，最值可分為最大值和最小值【技巧方法】 這種題的關(guān)鍵是把現(xiàn)實(shí)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的問題，具體的說是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，這里面需要同學(xué)們要具有轉(zhuǎn)化思維，具有一定的建模能力，在很多高考題中也常常以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視這里我們以具體的例題來講解12根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【基礎(chǔ)知識】1實(shí)際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫用函數(shù)的觀點(diǎn)看實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容【技巧方法】常用到的五種函數(shù)模型：直線模型：一次函

11、數(shù)模型ykx+b（k0），圖象增長特點(diǎn)是直線式上升（x的系數(shù)k0），通過圖象可以直觀地認(rèn)識它，特例是正比例函數(shù)模型ykx（k0）反比例函數(shù)模型：y（k0）型，增長特點(diǎn)是y隨x的增大而減小指數(shù)函數(shù)模型：yabx+c（b0，且b1，a0），其增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b1，a0），常形象地稱為指數(shù)爆炸對數(shù)函數(shù)模型，即ymlogax+n（a0，a1，m0）型，增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a1，m0）冪函數(shù)模型，即yaxn+b（a0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：yax2+bx+c（a0），其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a0）在

12、以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運(yùn)用，分析圖象特點(diǎn)，分析變量x的范圍，同時還要與實(shí)際問題結(jié)合，如取整等習(xí)題演練1 選擇題（共12小題）1若，則“且”是“且”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)榍?，所以根?jù)同向正數(shù)不等式相乘得，根據(jù)同向不等式相加得，即成立，因此充分性成立；當(dāng)時滿足且，但不滿足且，即必要性不成立；從而“且”是“且”的充分不必要條件，故選：A2已知二次函數(shù)，滿足：對任意實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時，有成立，又，則為（ ）A1BC2D0【答案】B【解析】由條件對任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）x，知f（2）2成立當(dāng)x（1，3

13、）時，有成立，取x=2時，成立，f（2）=24a+2b+c=2f（2）=04a2b+c=0由可得，4a+c=2b=1，b=，故選B3已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】當(dāng)時,因?yàn)?，所以，?當(dāng)時0，即;當(dāng)時，由圖可知;綜上的取值范圍是，故選：D.4函數(shù)的圖象A關(guān)于原點(diǎn)對稱B關(guān)于直線y=x對稱C關(guān)于x軸對稱D關(guān)于y軸對稱【答案】D【解析】，因?yàn)?，所以為偶函?shù)所以的圖象關(guān)于y軸對稱故選D.5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是ABCD【答案】D【解析】由>0得：x(,2)(4,+)，令t=，則y=lnt，x(,2)時,t=為減函數(shù)；x(4,+)時,t=為增函數(shù)；y=lnt為增函數(shù)，故

14、函數(shù)f(x)=ln()的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+)，故選D.6已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，則的大小關(guān)系為( )ABCD【答案】C【解析】由題意：，且：，據(jù)此：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：，即.本題選擇C選項(xiàng).7若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】C【解析】解不等式，即，解得，內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，而外層函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.8已知函數(shù)則（ ）A對任意實(shí)數(shù)，方程無解B存在實(shí)數(shù)，方程有2個根C存在實(shí)數(shù)，方程有3個根D對任意實(shí)數(shù)，方程有1個根【答

15、案】B【解析】由題意，函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示: 設(shè)，則方程，即為，結(jié)合圖象，可得當(dāng)時，此時方程有兩個根，其中，此時方程有1個根或2個根；當(dāng)時，此時方程有兩個根，此時方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，此時方程只有一個根，其中，此時方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，此時方程沒有實(shí)數(shù)根，此時方程沒有實(shí)數(shù)根.綜合可得，存在實(shí)數(shù)，方程有2個根.故選：B.9已知函數(shù)為一次函數(shù)，若，有，當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值之和是（ ）A10B8C7D6【答案】D【解析】由題意，設(shè)一次函數(shù)，因?yàn)?，可得，解得，所以，故的圖象關(guān)于對稱，又設(shè)，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且，即，所以是奇函數(shù)，則，則，所以即為的最大值與最小值之和6.故選：D.1

16、0在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】令，為奇函數(shù)可排除B，當(dāng)時，且，故選：A.11若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】由于函數(shù)在上是增函數(shù)，則由基本不等式可得因此，12方程的解所在的區(qū)間是（ ）ABCD【答案】C【解析】設(shè)，則由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)與的上都是遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故函數(shù)最多有一個零點(diǎn)，而，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，有一個零點(diǎn)，且該零點(diǎn)處在區(qū)間內(nèi)，故選答案C.2 填空題（共6小題）13已知函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為_.【答案】【解析】令，由，即或，解得或，當(dāng)時，解得或；當(dāng)由，解得，即函數(shù)的所有零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為.故答案為：

17、.14已知，則_【答案】【解析】解：因?yàn)椋?，故答案為?15已知函數(shù)，則_【答案】【解析】因?yàn)?，且，則.故答案為-216已知函數(shù)若，是互不相同的正數(shù)，且，則的取值范圍是_【答案】【解析】先畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：因?yàn)榛ゲ幌嗤?，不妨設(shè)，且，而，即有，可得，則，由，且，可得，且，當(dāng)時，此時，但此時b，c相等，故的范圍為故答案為17已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個不同的實(shí)數(shù)解，且最小實(shí)數(shù)解為，則的值為_【答案】【解析】由題意，作出函數(shù)圖象，如圖所示：令，根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的方程有6個不同的實(shí)數(shù)解，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有2個不同的實(shí)數(shù)解，且必有一個解為0，另一個解大于0，所以則，解為，所以，即所

18、以故答案為：18已知函數(shù)為奇函數(shù)，且的圖象和函數(shù)的圖象交于不同兩點(diǎn)、，若線段的中點(diǎn)落在直線上，則實(shí)數(shù)的值為_.【答案】【解析】為奇函數(shù)，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)為奇函數(shù)，設(shè)，聯(lián)立兩個函數(shù)的方程，消去得到關(guān)于的二次方程，因?yàn)橹悬c(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以，解得.故答案為：.三解析題（共6小題）19已知函數(shù)，且，（1）求，的值（2）判斷的奇偶性（3）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明（4）求函數(shù)的最小值【答案】（1）；（2）為偶函數(shù)；（3）在上為減函數(shù)，證明見解析；（4）2.【解析】解：（1）由已知，得，解得（2）由（1）可知任取，則，又的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)（3）在上為減函數(shù)，證明如下：任取，且，則因?yàn)?，且，所以，?/p>

19、而，故，即.所以函數(shù)在上為減函數(shù)（4）因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，又因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以當(dāng)時，從而對于任意的，都有，所以的最小值為220已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)（1）求，的值；（2）用定義證明在上為減函數(shù)；（3）若對于任意，不等式恒成立，求的范圍【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）.【解析】解：（1）為上的奇函數(shù)，可得又（1），解之得經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)且時，滿足是奇函數(shù) （2）由（1）得，任取實(shí)數(shù)、，且則，可得，且，即，函數(shù)在上為減函數(shù)； （3）根據(jù)（1）（2）知，函數(shù)是奇函數(shù)且在上為減函數(shù)不等式恒成立，即也就是：對任意的都成立變量分離，得對任意的都成立，當(dāng)時有最

20、小值為，即的范圍是21（1）已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A又在函數(shù)的圖像上，求不等式的解集；（2）已知，求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由題意知定點(diǎn)A的坐標(biāo)為，解得.由得，.不等式的解集為.（2）由得令，則，.當(dāng)，即，時，當(dāng)，即，時，.22若函數(shù)f(x)滿足f(logax)·(x)(其中a0且a1).(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并判斷其奇偶性和單調(diào)性；(2)當(dāng)x(，2)時，f(x)4的值恒為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍【答案】（1）見解析（2）2，1)(1,2【解析】 (1)令logaxt(tR)，則xat，f(t) (atat)f(x) (axax)(xR)f(x) (axax) (axax)f(x)，f(x)為奇函數(shù)當(dāng)a1時，yax為增函數(shù)，yax為增函數(shù)，且0，f(x)為增函數(shù)當(dāng)0a1時，yax為減函數(shù)，yax為減函數(shù)，且0，f(x)為增函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)(2)f(x)是R上的增函數(shù)，yf(x)4也是R上的增函數(shù)由