多元線性回歸模型公式

1、、多元線性回歸模型 在多要素的地理環(huán)境系統(tǒng)中，多個（多于兩個）要素之間也存在著相互影響、相互關聯(lián)的情況。因此，多元地理回歸模型更帶有普遍性的意義。（一）多元線性回歸模型的建立 假設某一因變量 y 受 k 個自變量 x1, x2 ,., xk 的影響，其 n 組觀測值為（ ya, x1a, x2a,., xka ），a 1,2,., n 。那么，多元線性回歸模型的結構形式為：ya01x1a2 x2ak xka式中：0 , 1k 為待定參數(shù)；a 為隨機變量。如果 b0,b1,.,bk 分別為 0, 1, 2., k的擬合值，則回歸方程為?=b0 b1x1 b2x2 . bkxk （）式中：b0 為

2、常數(shù)；b1, b2 ,., bk 稱為偏回歸系數(shù)。偏回歸系數(shù) bi（i 1,2,., k ）的意義是，當其他自變量 xj（ j i ）都固定時，自變量 xi每變化一個單位而使因變量 y 平均改變的數(shù)值。根據(jù)最小二乘法原理，i(i 0,1,2,., k )的估計值 bi (i0,1,2,., k )應該使yaa12 yayaa1b0 b1x1ab2 x2 a2bk xkamin ()有求極值的必要條件得Qbjn2ya yab0a 1n2ya ya xja 0( ja10()1,2,.,k)將方程組（）式展開整理后得：nnnnnb0(x1a )b1 (x2a )b2 .(xka ) bkyaa1a

3、1a1 a 1nnnnn( x1a )b0(x12a )b1 (x1ax2a )b2 .(x1axka )bkx1a yaa1a1a1a1a1nnnnn( x2a )b0(x1ax2a)b1( x22a )b2 .(x2axka )bkx2ayaa1a1a1a1a1nnnnn( xka )b0(x1axka)b1( x2a xka)b2(xka )bkxkayaa1a1a1a1a1）方程組（）式，被稱為正規(guī)方程組。如果引入一下向量和矩陣：則正規(guī)方程組（）式可以進一步寫成矩陣形式Ab B (3.2.15 ')求解（ 3.2.15 '）式可得：1 T 1 Tb A 1B (XTX)

4、 1X TY ()如果引入記號：. Lkk bk則正規(guī)方程組也可以寫成：L11b1L12 b2 . L1k bkL1yL21b1L22 b2 . L2 k bkL2y(3.2.15 '')Lk1b1Lk2b2b0 y b1 x1 b2 x2bk xk（二）多元線性回歸模型的顯著性檢驗與一元線性回歸模型一樣，當多元線性回歸模型建立以后，也需要進行顯著性檢驗。與前 面的一元線性回歸分析一樣，因變量 y的觀測值 y1, y2 ,., yn 之間的波動或差異，是由兩個 因素引起的，一是由于自變量 x1, x2 ,., xk 的取之不同，另一是受其他隨機因素的影響而引起 的。為了從 y 的離差平方和中把它們區(qū)分開來，就需要對回歸模型進行方差分析，也就是 將 y 的離差平方和 ST 或（ Lyy）分解成兩個部分，即回歸平方和 U與剩余平方和 Q：在多元線性回歸分析中，回歸平方和表示的是所有 k 個自變量對 y 的變差的總影響，它可 以按公式計算，而剩余平方和為以上幾個公式與一元線性回歸分析中的有關公式完全相似。它們所代表的意義也相似，即 回歸平方和越大，則剩余平方和 Q就越小，回歸模型的效果就越好。不過，在多元線性回 歸分析中，各平方和的自由度略有不同，回歸平方和 U的自由