數(shù)值分析題庫及答案

1、模擬試卷(一)、填空題(每小題3分，共30分)1有3個不同節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度是次的15-213、-210,x =-4-42 一<2 >(差商)2.設(shè) A =，則|A3.已知y=f(x)的均差fXo，X1，X2罟，flxmx,罟，fX2,X3，小9，8fXo,X2,X3 =33,那么均差 f X4,X2, X3=4.已知n=4時Newton Cotes求積公式的系數(shù)分別是:(4)7Co, C19045，C24)15,則c34)階方法;5.解初始值問題y f(X,y)的改進(jìn)的Euler方法是ly(x。)= y。5X1 3x? O.1X3 =36.求解線性代數(shù)方程組-2x, 6

2、x2 O.7x3 =2的高斯一塞德爾迭代公式為為 +2x2 +3.5x3 =1若取 x(0)=(1,-1,1)，則 x(1)7.求方程X二f(X)根的牛頓迭代格式是!'o(x), G(X)/,h, <n(X)是以整數(shù)點Xo, Xi,|l(,Xn,為節(jié)點的Lagra nge插值基函數(shù)，則n' Xkf j (Xk)=k =09.解方程組 Ax=b的簡單迭代格式x(k 1) = Bx(k) - g收斂的充要條件是10 .設(shè)f (-行 f, (=0 ) f 0 ,= ( 1f)1,則f (x)的三次牛頓插值多項式，其誤差估計式為二、綜合題(每題10分，共60分)1. 求一次數(shù)不超

3、過 4次的多項式p(x)滿足：p(1)=15 , p(1) = 20, p(1)=30 p(2) =57 , p -72.1 12. 構(gòu)造代數(shù)精度最高的形式為.°xf(x)dx ' A0f (J Af(1)的求積公式，并求出其代數(shù)精度.X k Xk 183.用Newt on法求方程xl nx=2在區(qū)間(2嚴(yán))內(nèi)的根,要求-_< 10 .24用最小二乘法求形如y二a bx的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：Xi19253038yi19.032.349.073.35.用矩陣的直接三角分解法解方程組6試用數(shù)值積分法建立求解初值問題v = f(x,y)的如下數(shù)值求解公式y(tǒng)(°)

4、= y。0 10 1X2312 4 3X3170 10 3X4 一1一7 一hy十 y？(fn1 4fnfn)，其中 £ = f (x，y)三、證明題(10分)設(shè)對任意的x ,函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)都存在且0 ： m冬( x)乞M,對于滿足0-的任意，迭代格式Xk 1二Xk - f (Xk)均收斂于f (x) = 0的根x*.M參考答案、填空題1.5;2.6.(k+)x2x3“91 ；15=(3 3x2k) - 0.1x3k)/5 =(2 2x(k o O.7x3k)/6 , =(1-才 o -2x2k 1)*2 /78, 9 ;3.4墮-455.二;(0.02 , 0.22

5、, 0.1543)7.Xk f(Xk) oXk1"f?； 8.10. X3 x2-x, f ()(x 1)x(x-1)(x-2)/24(-1,2)6 6二、綜合題1.差商表：11520115152071152214282573072257p(x) -15 20(x -1) 15(x-1)2 7(x -1)3 (x -1)3(x -2) =5 4x 3x2 2x3 x4其他方法:設(shè) p(x) =15 20(x -1) - 15(x -1)2 - 7(x -1)3 - (x -1)3(ax b)令 p(2) =57 , p (2) =72，求出 a 和 b.2取f（x） =1,x，令公式

6、準(zhǔn)確成立，得:11111A0A ,Ao A ，人 ,A .22336213f (x) = X時，公式左右；f (x) = X時，公式左4公式的代數(shù)精度=2.公式右=5243.此方程在區(qū)間（2,：）內(nèi)只有一個根s，而且在區(qū)間（2, 4)內(nèi)。設(shè) f (x) = x - In x - 2則 f '(x) =1 _丄，x” 1f (x)， Newtonx2法迭代公式為Xk 1 Xkk 1 k 1 -1/xkXk -In Xk -2Xk(1 In Xk)xk 一1k =0,1,2,取 x0 =3，得 s ： x4 =3.146193221。4-pan1,x2，A：1；2 2；130238219.

7、032.349.0 73.3 .解方程組 At AC =At y，其中At A4_333033303416082解得：C =1.41665H0.0504305b =0.0501025.所以 a =0.9255577, 5解設(shè)100111”21l31J 41l32l42l43110u22u23u33u24u34U44 一由矩陣乘法可求出Uj和l ij解下三角方程組j0I1衛(wèi)有 yi = 5 , y2 = 3 ,1211 01X2321X36-2一34 _1 i化ys02再解上三角方程組=1 , Xsx2得原方程組的解為x1 =1，=2， X4 = 2.X1l211011311321121I 41

8、l42l431i010 1一u22u23u241 01u33u3421-u44 一1 12j01j0102026 解 初值問題等價于如下形式y(tǒng)(x) = y(xnG + J f (x, y(x)dx ,xn 1取 X = Xn 1，有 y(Xn 1) = y(Xn_j)f (x, y(x)dx，xn丄利用辛卜森求積公式可得yn .1、yn4 -(fn 1 4fnfnj) 3三、證明題 證明 將 f (x) = 0 寫成 x = x -并 f (x) L (x),由于 (x)二X J f (x) =1 f (x)，所以 I(x) I 叩一咒 f (x) I： 1所以迭代格式xk彳=xk -，f

9、(xk)均收斂于f (x) = 0的根x .模擬試卷(二)一、填空題(每小題 3分，共30分)1分別用2.718281和2.718282作數(shù)e的近似值，則其有效位數(shù)分別有 位和位;-1Q-21-H2 設(shè) A =11Q,x = 3，則 IIA1=，II X23-82 一J 一2 Xi 5x2 = 13 對于方程組丿12, Jacobi迭代法的迭代矩陣是 Gj =JQxi 4x2 = 34設(shè) f(x) =x3 +x1,則差商 f 0,1,2, 3】=, f IQ, 1, 2, 3,4 =_1 215已知A = I ,則條件數(shù)Co nd, A).LQ k一16為使兩點的數(shù)值求積公式f (x)dx =

10、 f(xo) f(xj具有最高的代數(shù)精確度，則其求積基點應(yīng)為 xQ=,x-1 =7 解初始值問題y =f(x,y)近似解的梯形公式是 yk 1 :ly(x。)= y&求方程f(x)=Q根的弦截法迭代公式是 9計算積分xdx ,取4位有效數(shù)字，用梯形公式計算求得的近似值是，用辛卜乜.5生公式計算的結(jié)果是1Q任一非奇異矩陣 A的條件數(shù)Cond( A) =，其Cond( A) 一定大于等于 二、綜合題(每題10分，共60分)1證明方程1-x=sinx在區(qū)間0,1有且只有一個根，若利用二分法求其誤差不超過110,近似解，問要迭代多少次？22已知常微分方程的初值問題：史半1*1.2Jdx y,(

11、1)=2試用改進(jìn)的Euler方法計算y(1.2)的近似值，取步長 h=Q.2.4用最小二乘法求一個形如 y的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合a +bxX1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1683 用矩陣的LDLT分解法解方程組lx 0.4y 0.4z =15設(shè)方程組 0.4x y 0.8z =2，試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯賽德爾迭代|o.4x 0.8y z =3法的收斂性。4-1按幕法求矩陣A = -13-1-21 1-2的按模最大特征值的近似值，取初始向量x(0) =(1,0,0)丁，迭代兩步求得近似值即可.三、證明題(10分)已知求.a(a

12、0)的迭代公式為：1 aXk 1 (Xk )x° 0 k = Q1,22 Xk_證明：對一切k =1,2, I, x a ,且序列Xk是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂參考答案、填空題1.6,7;2.9,11 ;3 .0112.52.504.1,0;5.9;6.h7.yk hf(Xk,yk) f(Xk1,yk1);8.f(xQxkxk-f(Xk) -f (Xk4)(Xk-X；9. 0.4268, 0.4309; 10.、綜合題1 解 令 f (x) =1 x sin x，則 f 0 1=0 > , f (1) = sin1 v 0 ,且 f *X) T cs0c故1 _x = si

13、nx在區(qū)間0,1內(nèi)僅有一個根x .1利用二分法求它的誤差不超過 -10*的近似解，則|xk1_x*|空4ln10In 2解此不等式可得 k _ =13.2877所以迭代14次即可.2、解:k1f( x y)= 0.5, k2 -f (x ,yhi®0. 57 1 429,h /y0 2(k1 k)=20.(0. 50. 571429)2. 1 071429l21d11 l2117J 311l32d2d3131132利用矩陣乘法可求得解方程組d1 = 3， d2 = 2，d3=|，l21T， l3110111621 13_xj11 2X2=1X3 一51再解方程組得 *1 -10,y2

14、 = 6,1。1d2d364.34y3得 X| = 1,X2則Y = a bx容易得出正規(guī)方程組，解得 a =-2.0535, b= 3.0265.9 a _ 16.971 <9 17.8 一 §5.3902一故所求經(jīng)驗公式為y =-2.0535 +3.0265 x人 0.4 0.4(1) 由于 fj(財=0.4 九 0.8 =忙0.96丸 + 0.2560.4 0.8 人仃(一1)一1 0.98 0.2560 ,仃(一2) 一8 1.96 0.256 ： 0所以fj(=0在(_2, -1)內(nèi)有根'i且|1，故利用雅可比迭代法不收斂.人 0.40.4(2) 由于 fG&

15、#174;) = 0.4k丸 0.8=扎仏0.832k+0.128)0.4X 0.8 九九所以：?(G) <0.832，故利用高斯賽德爾迭代法收斂.6 解 因為 x(0)二1,0,0T，故 L x(0) L：=1,且 y Ax 4, -1,1 ,= max( y )=4.從而得x二 y/L y ”1,-1,期,y(2 Ax"9,*,密,(2一 max(y(2)弓4 424 42三、證明題證明：由于 Xk1(Xk 旦) '、a, k =0,1,2,1112Xk故對一切k , Xk1 弓)-11) = 1Xk2Xk2所以Xk 1Xk，即序列 Xk是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過

16、程收斂.1.2.3.有n個節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度為4.設(shè)（xx a（x2 -5），要使迭代格式Xk 1 =護(hù)（xQ局部收斂到x* =5 , 則a的取值范圍是設(shè)線性方程組 Ax = b有唯一解，在不考慮系數(shù)矩陣擾動的情況下，若方程組右端項的岀8x1<，就一定能保證解的相對誤差;bx擾動相對誤差6 .給定線性方程組9兒一 =8,則解此線性方程組的Jacobi迭代公式% 5x2 = -4,Gauss-Seidel迭代公式是7.nb插值型求積公式Ak f （xk! f （x）dx的求積系數(shù)之和是心、a數(shù)值求解初值問題的龍格-庫塔公式的局部截斷誤差是9.已知函數(shù)f (0.4) =0.411,

17、 f (0.5)= 0.578 , f (0.6)= 0.697,用此函數(shù)表作牛頓插值多項式，那么插值多項式 x2的系數(shù)是2 1 010.設(shè) A = 10a ，為使A可分解為A= LLt，其中L是對角線元素為正的下三角2矩陣，則a的取值范圍是二、綜合題（每題10分，共60 分）1.用Newton法求方程x-I nx=2在區(qū)間（2,：）內(nèi)的根，要求xk xk 斗：10弋2.設(shè)有方程組 Ac = b，其中A =_10-111一1/2 112 12 2 1,b =1/3,已知它有解x =-13衛(wèi) 22 一1 1廠23 一L.0 Jxk, 如模擬試卷（三）、填空題（每小題3分，共30分）設(shè)a =2.4

18、0315是真值x =2.40194的近似值，則a有位有效位數(shù)，相對誤差限若用二分法求方程 f （x） =0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對次。1 6果右端有小擾動岀10-，試估計由此引起的解的相對誤差。3試用Simps on公式計算積分 彳e1/xdx的近似值，并估計截斷誤差4設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù),試用埃爾米特插值法求一個次數(shù)不高于3的多項式P3(x)，使其滿足卩3(0)=0尺(1) = 1,匕'(1) = 3巴(2) = 1,并寫出誤差估計式。25. A 二Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代運算。,證明其近似解為 yn二n,并證明當(dāng)h

19、> 0-1 0-12-1 ，給出用古典0-12V y = 06.用梯形方法解初值問題ly(0) =1時，它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解-X y 二 e 。三、證明題(10分)n若f (x)二、aixi有n個不同的實根，證明id：kXjnzV f (Xj)0,k = n1參考答案、填空題1.3,0.5 10-32.10;3.2n-1；4. -1 ；5 : a ： 0 ;內(nèi)。設(shè) f(X)二 X -In X-2乂丘十 Xk_XkInXkJA ,1-1/Xkxk T 0,1,2,；cond (A);x：k1_(8x2k)/9屮(k <i)(k), k =°,1,HI,X)=(4*)/

20、5x：k (8 x2k)/9(k d)(k 彳),k",1川x(k (4 x 1)/55b -a；8. O(h ) ；9. 2.4； 10 .- -3 - a ： 一 3、綜合題5.6.7.1.此方程在區(qū)間(2,：)內(nèi)只有一個根S，而且在區(qū)間(2, 4)則f '(x) =1 -丄，f "(X)1 , Newton法迭代公式為XX2取 X。- 3，得 s ® X4 = 3.146193221。3.x：:1 - 1-11. 5 Cond(A) =22.5，由公式1 - 1-X10-622.5 2'3= 1.6875 10“:e1/xdx ： ¥

21、;(e 4eT5 e1/2) =2.0263, f max f(4)(x)| = f(4)(1)1空玄二 198.43，截斷誤差為|R2乞舗醍f(4)(x)eCond(催，有 (A 12 36 算e1/x ,x x x x,0.068905 3274由所給條件可用插值法確定多項式Ps(x)， F3(x)二-x3 7x2 -?x2(由題意可設(shè)R(x) = f (x) - P3(x)二k(x)x(x-1) (x-2)為確定待定函數(shù)k(x)，作輔助函數(shù)：g(t)二f(t)- P(t)- k(x)t(卜2)(卜2測g(t)在0,3上存在四階導(dǎo)數(shù)且在0,3上至少有5個零點t二x, t =0,1,2 (t

22、 =0為二重零點)，反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，知至1少有一個零點 (0,3)，使g(4)( J-0，從而得k(x) f)。故誤差估計式為 4!1R(x) f ()x(x-1)2(x-2) ,(0,3)。4!15.首先取 i=1,j = 2,因 cot2= 0 故有 *=一，于是 co$ = si9 = 了=, 442.12 19-ITv(121-2 0IJ-2rl丄血丄血1 -2 1-.2f( x, y)-,y 得h6.梯形公式為 ynyn - f(Xn,ynb f (Xn 1,yn 1),由h% 1 二 yn 2（yn -yn .1），用上述梯形公式以步2 -h2-h、22-h、ni2-h、ni所以

23、An"（茹）八（茁）yn4H丙）（丙）長h經(jīng)n步計算得到y(tǒng)n ,所以有hn =x ,所以2 - h)n2 h)2 -h2 h)h *1三、證明題n的實根，故證明由于 f（x）八上農(nóng)有 n 個不同i 二f(X)二an(X -Xi)(X -X2)(X -Xn)anWn(X),于是nkg(x) =x，則 7i呂再由差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系知kXji =1kXjkXjy anWn(Xj)n g(Xj)1an y Wn(Xj)Xj°,f (Xj)anan i 呂 Wn(Xj)gXi,X2,|l|,Xn， an模擬試卷(四)、填空題(每小題 3分，共30分)為了減少運算次數(shù)，應(yīng)將算式2x 34

24、8(2x-3)2(2x-3)3為，為減少舍入誤差的影響，應(yīng)將算式,80改寫為1 11-2-13設(shè)在x = g(x)的根x*附近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且g' (x*) <1，則當(dāng)時迭代過程Xk 1二g( Xk)是線性收斂的，則當(dāng) 時迭代過程Xk1 =g(xQ是平方收斂的。4設(shè)A10 I則當(dāng)a滿足0 1 一時，有 kim Ak = °5用列主元消去法解線性方程組 Ax = b時，在第k1步消元時，在增廣矩陣的第 k列取主元a,”，使得a/=。6. 已知函數(shù) f(0)=1,f(1)=3 ,f(2)=7，則 f0,1=, f 0,1,2= , f (x)的二次牛頓插值多項式 7.

25、求解方程f(X)= 0，若f(x> 0 可以表成X二(x),則用簡單迭代法求根，那么:(x)滿足，近似根序列X,X2,|l(,Xn定收斂。& n V點插值型數(shù)值積分公式bf (x)dx的代數(shù)精度至少是a次，最高不超過次。9寫出初值問題<y 在0,1上歐拉計算格式 )(0) =1y= f (x, y)10.解初始值問題的梯形方法是 階方法ly(xo) = yo二、綜合題(每題10分，共60分)1.證明方程X -X -1 =0在區(qū)間1，2內(nèi)有唯一根x*，用牛頓迭代法求x*(精確至3位小 數(shù))。I 論x2 x3=32 用列主元消去法解線性方程組 x13X2-2x3= 2;2x -

26、2x2x3 = 13.給定數(shù)據(jù)x=0,1,2,3,對應(yīng)函數(shù)值分別為 y=1,3,2,4,求三次拉格朗日或牛頓插值多項式。2 -1 0 '4 設(shè)有矩陣 A= -12-1 用“規(guī)范化”的方法求其按模最大的特征值及對應(yīng)的特<0 -1 2 >征向量(注：求迭代 4次即可)'H _25 .用改進(jìn)的Euler方法求初值問題 J ', (0Ex1,取步長h = 0.1)."(0)=16 給定數(shù)據(jù) f (0.1) =5.1234, f (0.2) =5.3053, f(0.3) =5.5684，求一次最小二乘擬合 多項式。三、證明題(10分)設(shè)線性方程組為an x

27、ia12x = bi1 ,&21乂1&22乂2 = b?a11a22=0(1)(2) 證明用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法解此方程組要么同時收斂，要么同時發(fā)散；(3) 當(dāng)同時收斂時，比較它們的收斂速度。參考答案、填空題1.u 1 ,y=(8u-4)u2)u 1,;2. 6, 6;2x -39 +V803.g' (x)=0, g' (x)=0, g'' (x)=0； 4.a <1 ；5.max a k空(k丄) ik6. 2, 1,2x x 1； 7.'(x) < L ： 1; 8. n , 2n 1 ;9.2Xn、% 1 二

28、 Yn h(yn-)yn10.y0 - 1二、綜合題1.令 f(x) =x3 x1,f'(x)=3x-21 >0, f (x)在(1 2 嚴(yán)格單增又f(1) 一1,f(2) 5, f(x)在(1 )上有唯一根;由牛頓迭代公式XkXk取 X0=1.2，得或取x -1.0-2.51.55/45/4丿3. N3(x) =12x-3/2 x (x -1) x (x-1) (x-2) =x3 -4.5 x-5.5x 11. 2, 1. 342 1 7, 1. 32 5, 1. 3 2 417 2 2 417 ：321., 1.5, 1.34783, 1.3252, 1.32472, 1.32472,所以 X* =1.32472.廣1113，z 2-211、'2-211 '13-22T13-22T04-2.51.5<2-21b< 1113丿< 020.52.5(A,b)二或 L3(x) = x3-4.5 x2-5.5x 14取Uo = (1,1,1$ ，由乘幕法得,Vi = Auo = (1,0,1)T , Ui = (1,0,1)T, V2 = AUl =(2,-2,2)t , u =(1,一1,1)丁V3 = AU2 =(3,-4【34 ， = ( 0. 75【1,人 0.375)1 4 X(0.7071,1,0.7071)