必修53.3.2簡單的線性規(guī)劃問題教案

1、簡單的線性規(guī)劃問題（第一課時）說課一、內(nèi)容與內(nèi)容解析本節(jié)課是普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學人教A版必修5第三章不等式中3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題的第一課時. 主要內(nèi)容是線性規(guī)劃的相關概念和簡單的線性規(guī)劃問題的解法線性規(guī)劃是運籌學中研究較早、發(fā)展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進行科學管理的一種數(shù)學方法，廣泛地應用于軍事作戰(zhàn)、經(jīng)濟分析、經(jīng)營管理和工程技術等方面簡單的線性規(guī)劃指的是目標函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結合方法求出。簡單的線性規(guī)劃關心的是兩類問題：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理規(guī)

2、劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成. 教科書利用生產(chǎn)安排的具體實例，介紹了線性規(guī)劃問題的圖解法，引出線性規(guī)劃等概念，最后舉例說明了簡單的二元線性規(guī)劃在飲食營養(yǎng)搭配中的應用. 本節(jié)內(nèi)容蘊含了豐富的數(shù)學思想方法，突出體現(xiàn)了優(yōu)化思想、數(shù)形結合思想和化歸思想.本節(jié)教學重點：線性規(guī)劃問題的圖解法；尋求有實際背景的線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.二、目標和目標解析（一）教學目標1.了解約束條件、目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.2. 會用圖解法求線性目標函數(shù)的最大值、最小值.3.培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、作圖和理解實際問題的能力，滲透化歸、數(shù)形結合的數(shù)學思想.4.結合教學內(nèi)容培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和“用

3、數(shù)學”的意識.（二）教學目標解析1. 了解線性規(guī)劃模型的特征：一組決策變量表示一個方案；約束條件是一次不等式組；目標函數(shù)是線性的，求目標函數(shù)的最大值或最小值熟悉線性約束條件（不等式組）的幾何表征是平面區(qū)域（可行域）體會可行域與可行解、可行域與最優(yōu)解、可行解與最優(yōu)解的關系2.使學生學會從實際優(yōu)化問題中抽象、識別出線性規(guī)劃模型能理解目標函數(shù)的幾何表征（一組平行直線）能依據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，運用數(shù)形結合方法求出最優(yōu)解和線性目標函數(shù)的最大（?。┲?，其基本步驟為畫、移、求、答.3.教學中不但要教教材,還要教教材中的蘊含的方法.在探究如何求目標函數(shù)的最值時，通過以下幾方面讓學生領悟數(shù)形結合思想、化歸思想

4、在數(shù)學中的應用.(1)不定方程的解與平面內(nèi)點的坐標的結合，進而產(chǎn)生了直線的方程.(2)線性目標函數(shù)解析式與直線的斜截式方程的結合.(3)線性目標函數(shù)的函數(shù)值與直線的縱截距的結合.(4)二元一次不等式(組)的解集與可行域的結合.(5)線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最值與直線過可行域內(nèi)的點時縱截距的最值的結合.這樣就能使學生對數(shù)形結合思想的理解更透徹,為以后解析幾何的學習和研究奠定基礎, 使學生從更深層次理解“以形助數(shù)”的作用以及具體方法.4. 在線性規(guī)劃問題的探究過程中，使學生經(jīng)歷觀察、分析、操作、歸納、概括的認知過程，培養(yǎng)解決運用已有知識解決新問題的能力.三、教學問題診斷分析本節(jié)課學生在學習過

5、程中可能遇到以下疑慮和困難：（1）將實際問題抽象成線性規(guī)劃問題；（2）用圖解法解線性規(guī)劃問題中，為什么要將求目標函數(shù)最值問題轉化為經(jīng)過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題？如何想到要這樣轉化？（3）數(shù)形結合思想的深入理解.為此教學中教師要千方百計地為學生創(chuàng)設探究情境，并作合理適度的引導，通過學生的積極主動思考，運用由特殊到一般的研究方法，借助于討論、動手畫圖等形式進行深入探究.教師的引導是至關重要的，要做到既能給學生啟示又能發(fā)展學生思維，讓學生通過自己的探究獲取直接經(jīng)驗. 教學難點：用圖解法求最優(yōu)解的探索過程；數(shù)形結合思想的理解.教學關鍵：指導學生緊緊抓住化歸、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法找到目標函

6、數(shù)與直線方程的關系四、教法分析新課程倡導學生積極主動、勇于探索的學習方式，課堂中應注重創(chuàng)設師生互動、生生互動的和諧氛圍，通過學生動手實踐、動腦思考等方法探究數(shù)學知識獲取直接經(jīng)驗，進而培養(yǎng)學生的思維能力和應用意識等.本節(jié)課以學生為中心，以問題為載體，采用啟發(fā)、引導、探究相結合的教學方法.（1）設置“問題”情境，激發(fā)學生解決問題的欲望； （2）提供“觀察、探索、交流”的機會，引導學生獨立思考，有效地調(diào)動學生思維，使學生在開放的活動中獲取直接經(jīng)驗.（3）在教學中體現(xiàn)“重過程、重情感、重生活”的理念；（4）讓學生經(jīng)歷“學數(shù)學、做數(shù)學、用數(shù)學”的過程.五、教學支持條件分析根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的特點，為了更

7、直觀、形象地突出重點，突破難點，調(diào)動學生的學習興趣，借助信息技術工具，以“幾何畫板”軟件為平臺，將目標函數(shù)與直線方程進行轉化，通過直線的平行移動的演示，觀察縱坐標的變化，求出目標函數(shù)的最值.讓學生學會用“數(shù)形結合”思想方法建立起代數(shù)問題和幾何問題間的密切聯(lián)系 六、教學過程（一） 創(chuàng)設情境，激發(fā)探究欲望組織學生做選盒子的游戲活動.在下圖的方格中,每列(x)與每行(y)的交匯處都放有一個盒子,每次你只能選其中的一個盒子，每個盒子對應一個分值，即為你的得分，而且該分值與盒子所在的行數(shù)和列數(shù)有關,且每次的關系式在變化,你會選哪個盒子?例如: 第一次:分值= (即: 列數(shù)+行數(shù)) 第二次:分值= (即:

8、 行數(shù)-列數(shù)×2)xy0123451243y012345 x1243圖1圖2師生活動：教師組織學生做選盒子得分的游戲，學生用“運算比較”的方法容易解決老師提出的問題.之后，給出圖3，讓學生在圖中找目標函數(shù)的最大值，學生沿用上面計算的方法顯然很復雜，于是學生的思維產(chǎn)生“結點”.引出課題,提出何為線性（即為一次的）？怎么規(guī)劃（即求函數(shù)的最值）？是本節(jié)課的研究重點.【設計意圖】數(shù)學是現(xiàn)實世界的反映.創(chuàng)設學生感興趣的問題情境，從興趣解決稍有困難有較大困難，使學生產(chǎn)生急于解決問題的內(nèi)驅(qū)力，同時培養(yǎng)學生從實際問題抽象出數(shù)學模型的能力.x1452379101181234Oy圖3（二）獨思共議，引導

9、探究方法引導學生由特殊到一般分析目標函數(shù)的函數(shù)值.問題1：當時，求x，y的值.師生活動：學生通過計算找到三個點的坐標，并觀察出三點共線，求出直線方程，教師引導學生觀察所對應的直線的縱截距.【設計意圖】通過特殊問題，幫助學生理解問題的實質(zhì)：求x，y的值即求不定方程的解.數(shù)形結合，將求變量x，y轉化成求點的坐標.觀察時三個盒子所在點的位置關系及直線的方程，使學生體會b值就是直線的縱截距.問題2在圖3中，求的最大值.師生活動：學生在教師的引導下分組討論，求b的最大值.通過之前教師的引導及學生對上一節(jié)“二元一次不等式表示的平面區(qū)域”的學習,對學生的討論結果有兩種預案：預案1:學生通過由特殊到一般的分析

10、，將目標函數(shù)轉化成，x，y在取得每個可行解時，b的取值就是直線過這個點時的縱截距，而所有這些直線都是平行的，因此只需平移直線看縱截距的最大值即可.預案2：根據(jù)上一節(jié)“二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域”的知識，學生認為b取最大值時x、y的取值一定在直線的右上方的位置，為此就依次在這些位置上畫平行于的直線，只要上面有點就不停的畫，直至最后一點.師生活動：學生展示討論結果，教師借助幾何畫板作演示、分析，滲透轉化和數(shù)形結合的數(shù)學思想.并對學生的結論作出總結，先作直線，再作平移，觀察直線的縱截距.【設計意圖】由特殊到一般，利用數(shù)形結合，尋求解題思路.（三）變式思考，深化探究思路1將目標函數(shù)變成， 求

11、b的最大值.師生活動：通過學生將化成的形式，做直線并進行平移，觀察縱截距的最大值的回答過程，教師強調(diào)解題步驟:畫、作、移、求.【設計意圖】規(guī)范方法并檢驗學生對方法的理解程度，使學生感受由直線斜率的變化引起使取最大值的過程中點的變化.2將目標函數(shù)變成，求b的最大值.師生活動：教師引導學生比較此題和上題的區(qū)別，學生發(fā)現(xiàn)平移直線時若按上題的方法找縱截距的最大值便會出現(xiàn)問題，通過思考、討論，找到本題需取截距最小的原因.【設計意圖】通過目標函數(shù)的不同變式，讓學生熟悉求最值的方法，尤其是直線中縱截距的符號為負的情況借助“幾何畫板”集中呈現(xiàn)目標函數(shù)的圖形變化，提高課堂效率，建立精準的數(shù)形聯(lián)系（四）規(guī)范格式，

12、應用探究成果1例1：(習題3.3A組第3題)電視臺應某企業(yè)之約播放兩套連續(xù)劇，其中，連續(xù)劇甲每次播放時間為80min，其中廣告時間為1min，收視觀眾為60萬；連續(xù)劇乙每次播放時間為40min，廣告時間為1min，收視觀眾為20萬.已知此企業(yè)與電視臺達成協(xié)議，要求電視臺每周至少播放6min廣告，而電視臺每周只能為該企業(yè)提供不多于320min的節(jié)目時間.如果你是電視臺的制片人，電視臺每周應播映兩套連續(xù)劇各多少次，才能獲得最高的收視率？播放時間(min)廣告時間(min)觀眾人數(shù)（萬）甲80160乙40120xyO解:設甲播放x次，乙播放y次，收視觀眾z萬人次則. 用如下步驟求z的最大值：圖（1）

13、畫出可行域；（2）作出直線：（3）平移至點A處縱截距最大，即z最大；（4）解方程組： 得，因此.答：甲播放2次，乙播放4次，收視觀眾最多為200萬人次.師生活動：教師引領學生理解題意，讓學生繼續(xù)領會用表格形式描述數(shù)據(jù)的直觀性.讓學生獨立建立線性規(guī)劃的數(shù)學模型，并正確設出變量，找好目標函數(shù)及約束條件后自行完成此題.通過學生板演，教師規(guī)范寫法，然后借助解題的過程介紹線性目標函數(shù)、線性約束條件、可行解、可行域、最優(yōu)解及線性規(guī)劃的數(shù)學概念.【設計意圖】利用學生感興趣的例子激發(fā)學習動機，通過一道完整的簡單線性規(guī)劃問題，讓學生掌握解決簡單線性規(guī)劃問題的基本步驟，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識.同時進一步加深對圖解

14、法的認識.2反思例1解題過程，深入體會數(shù)形結合思想轉化師生活動：教師引導學生縱觀解題過程，體會在解題中“數(shù)”與“形”是怎樣結合的，并加以總結.代數(shù) 幾何線性目標函數(shù) 直線線性目標函數(shù)的函數(shù)值 直線的縱截距線性約束條件(二元一次不等式（組）的解集)可行域線性目標函數(shù)的最值 直線的縱截距的最值【設計意圖】通過反思總結，加強對“數(shù)形結合”數(shù)學思想的認識，形成學生良好的認知結構.3例2：(課本例2)營養(yǎng)學家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白質(zhì)，0.14kg的脂肪,花費2

15、8元； 1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白質(zhì)，0.07kg的脂肪,花費21元.為了滿足飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B各多少kg?師生活動：學生獨自完成此題，由一位同學生展示自己的解題過程和結果.規(guī)范解題步驟和格式.解：設每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，那么MN圖5Oxy目標函數(shù)為. 二元一次不等式組等價于 二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（圖5），即可行域考慮，將它變形為.這里是斜率為，隨z變化的一組平行直線，是直線在y軸上的截距，當取最小值時，z的值最小當然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標函數(shù)取得最小值由圖5可見，當

16、直線經(jīng)過可行域上的點M時，截距最小，即z最小解方程組 得M的坐標為,. 所以答：每天食用食物A為kg，食物B為kg，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為16元.【設計意圖】通過此題檢測學生對已學知識的掌握情況，進一步培養(yǎng)學生的運算能力和準確作圖的能力.4反思例2的求解過程.教師通過巡視發(fā)現(xiàn)錯解的學生，幫助學生找到錯誤的原因.并提出問題：有時若由于不可避免的誤差帶來錯解，你如何解決?師生活動:由教師幫助學生分析錯解的原因,并提出問題.學生意識到可以把所有可能的解都求出來,進行比較即可.【設計意圖】通過反思及尋求問題答案，讓學生深入思考,培養(yǎng)學生科學嚴謹?shù)膶W習態(tài)度和解決問題的能力.（五） 歸納梳理，體會探究價值由學生和教師共同總結本節(jié)課所學到的知識.師生活動：先由學生總結學習的內(nèi)容，教師作補充說明，尤其是本節(jié)課是如何經(jīng)歷的知識探究過程，如何運用化歸與數(shù)形結合思想得到方法，以及如何通過數(shù)學建模解決實際問題.再有教師介紹數(shù)學是有用的，通過本節(jié)課看到了時間如何合理分配收獲最大的問題,如何使消費最少保證飲食健康的問題,還有很多實際應用由學生自己查資料作為拓展作業(yè).【設計意圖】通過總結，培養(yǎng)學生數(shù)學交流和表達的能力，養(yǎng)成及時總結的良好習慣，并將所學知識納入已有的認知結構.（六） 目標檢測題1在線性約