土力學(xué) 第三章 土體中的應(yīng)力計算

1、第五章 土體中的應(yīng)力計算本章學(xué)習(xí)要點：本章內(nèi)容是地基基礎(chǔ)設(shè)計和施工的基礎(chǔ)知識，也是下章討論地基變形的前提，因此應(yīng)很好地掌握。地基中的應(yīng)力包括自重應(yīng)力和附加應(yīng)力，前者是土受的重力作用而產(chǎn)生的，后者是由于基礎(chǔ)等外部荷載所引起的由于產(chǎn)生條件不同，因此兩者的分布規(guī)律和計算方法也不同。要學(xué)會自重應(yīng)力的計算方法和分布規(guī)律，及常用的典型規(guī)則的均布荷載下地基附加應(yīng)力的計算方法，并掌握基礎(chǔ)底面應(yīng)力計算和分布特點。要求明確有效應(yīng)力的概念，這對全書的理解大有好處。第一節(jié) 概述大多數(shù)建筑物是造建在土層上的，我們把支承建筑物的這種土層稱為地基。由天然土層直接支承建筑物的稱天然地基，軟弱土層經(jīng)加固后支承建筑物的稱人工地基

2、，而與地基相接觸的建筑物底部稱為基礎(chǔ)。地基受荷以后將產(chǎn)生應(yīng)力和變形，給建筑物帶來兩個工程問題，即土體穩(wěn)定問題和變形問題。如果地基內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力在土的強度所允許的范圍內(nèi)，那么土體是穩(wěn)定的，反之，土體就要發(fā)生破壞，并能引起整個地基產(chǎn)生滑動而失去穩(wěn)定，從而導(dǎo)致建筑物傾倒。地基中的應(yīng)力，按照其因可以分為自重應(yīng)力和附加應(yīng)力兩種：自重應(yīng)力：由土體本身有效重量產(chǎn)生的應(yīng)力稱為自重應(yīng)力。一般而言，土體在自重作用下，在漫長的地質(zhì)歷史上已壓縮穩(wěn)定，不再引起土的變形（新沉積土或近期人工充填土除外）。附加應(yīng)力：由于外荷（靜的或動的）在地基內(nèi)部引起的應(yīng)力稱為附加應(yīng)力，它是使地基失去穩(wěn)定和產(chǎn)生變形的主要原因。附加應(yīng)力的大

3、小，除了與計算點的位置有關(guān)外，還決定于基底壓力的大小和分布狀況。一、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的假定真實土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非常復(fù)雜的，目前在計算地基中的附加應(yīng)力時，常把土當(dāng)成線彈性體，即假定其應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，服從廣義虎克定律，從而可直接應(yīng)用彈性理論得出應(yīng)力的解析解。1、關(guān)于連續(xù)介質(zhì)問題彈性理論要求：受力體是連續(xù)介質(zhì)。而土是由三相物質(zhì)組成的碎散顆粒集合體，不是連續(xù)介質(zhì)。為此假設(shè)土體是連續(xù)體，從平均應(yīng)力的概念出發(fā)，用一般材料力學(xué)的方法來定義土中的應(yīng)力。2、關(guān)于線彈性體問題理想彈性體的應(yīng)力與應(yīng)變成正比直線關(guān)系，且應(yīng)力卸除后變形可以完全恢復(fù)。土體則是彈塑性物質(zhì)，它的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是呈非線性的和彈塑性的，且應(yīng)力卸

4、除后，應(yīng)變也不能完全恢復(fù)。為此進行假設(shè)土的應(yīng)變關(guān)系為直線，以便直接用彈性理論求土中的應(yīng)力分布，但對沉降有特殊要求的建筑物，這種假設(shè)誤差過大。3、關(guān)于均質(zhì)、等向問題理想彈性體應(yīng)是均質(zhì)的各向同性體。而天然地基往往是由成層土組成，為非均質(zhì)各向異性體。為此進行假設(shè)，天然地基作為均質(zhì)的各向同性體。二、地基中的幾種應(yīng)力狀態(tài)計算地基應(yīng)力時，一般將地基當(dāng)作半無限空間彈性體來考慮；即把地基看作是一個具有水平界面、深度和廣度都無限大的空間彈性體。（見教材P66圖32）常見的地基中的應(yīng)力狀態(tài)有如下三種：1、三維應(yīng)力狀態(tài)荷載作用下，地基中的應(yīng)力狀態(tài)均屬三維應(yīng)力狀態(tài)。每一點的應(yīng)力都是x、y、z的函數(shù)，每一點的應(yīng)力狀態(tài)都

5、有9個應(yīng)力分量。，寫成矩陣形式則為：根據(jù)剪應(yīng)力互等原理，有xy=yx,yz=zy,xz=zx，因此，該單元體只有6個應(yīng)力分量，即xx,yy,zz, xy, xz, yz。2、二維應(yīng)變狀態(tài)（平面應(yīng)變狀態(tài)）二維應(yīng)變狀態(tài)是指地基中的每一點應(yīng)力分量只是兩個坐標(biāo)（x,z）的函數(shù)，因為天然地面可看作一個平面，并且沿y方向的應(yīng)變，由于對稱性，這時，每一點的應(yīng)力狀態(tài)有5個應(yīng)力分量： 。應(yīng)力矩陣可表示為：3、側(cè)限應(yīng)力狀態(tài)側(cè)限應(yīng)力狀態(tài)是指側(cè)向應(yīng)變?yōu)榱愕囊环N應(yīng)力狀態(tài)；土體只發(fā)生豎直向的變形。由于任何豎直面都是對稱面，故在任何豎直面和水平面上都不會有剪應(yīng)力存在，（P67圖35），即，應(yīng)力矩陣為：由，并與成正比。三、土

6、力學(xué)中應(yīng)力符號的規(guī)定在進行土中應(yīng)力計算時：應(yīng)力符號的規(guī)定法則與彈性力學(xué)相同，但正負(fù)與彈性力學(xué)相反；即當(dāng)某一截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個截面稱正面；正面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸正方向為負(fù)，沿負(fù)方向為正。用摩爾圓進行應(yīng)力狀態(tài)分析時，法向應(yīng)力仍以壓應(yīng)力為正，剪應(yīng)力方向以逆時針方向為正。（P67圖36）第二節(jié) 地基中的自重應(yīng)力計算在計算地基中的自重應(yīng)力時，一般將地基作為半無限彈性體來考慮。由半無限彈性體的邊界條件可知，其內(nèi)部任一與地面平行的平面或垂直的平面上，僅作用著豎向應(yīng)力和水平向應(yīng)力，而剪應(yīng)力。1、豎直自重應(yīng)力設(shè)地基中某單元體離地面的距離z，土的容重為，則單元體上豎直向自重應(yīng)力等于單位面

7、積上的土柱有效重量，即 (3-1) kpa或 kN/m2可見，土的豎向自重應(yīng)力隨著深度直線增大，呈三角形分布。注：（1）若計算點在地下水位以下，由于水對土體有浮力作用，則水下部分土柱的有效重量應(yīng)采用土的浮容重或飽和容重計算；a：當(dāng)位于地下水位以下的土為砂土?xí)r，土中水為自由水，計算時用。b：當(dāng)位于地下水位以下的土為堅硬粘土?xí)r，在飽和堅硬粘土中只含有結(jié)合水，計算自重應(yīng)力時應(yīng)采用飽和容重。c：水下粘土，當(dāng)IL1時，用。d：如果是介乎砂土和堅硬粘土之間的土，則要按具體情況分析選用適當(dāng)?shù)娜葜?。例如下圖中的B點，其豎向自重應(yīng)力為（2）若地基是由多層土組成，如圖37（a）（見教材P68），設(shè)各土層的厚度為H

8、1、H2、Hn，相應(yīng)的容重分別為，則地基中的第n層底面處的豎向自重應(yīng)力為： （32）2、水平向自重應(yīng)力在半無限體內(nèi)，由側(cè)限條件可知，土不可能發(fā)生側(cè)向變形（），因此，該單元體上兩個水平向應(yīng)力相等并按下式計算： （33）式中K0土的側(cè)壓力系，它是側(cè)限條件下土中水平向有效應(yīng)力與豎直有效應(yīng)力之比，可由試驗測定，是土的泊松比。第三節(jié) 地基中的附加應(yīng)力在求解地基中的附加應(yīng)力時，一般假定地基土是連續(xù)、均勻、各向同性的彈性體，然后根據(jù)彈性理論的基本公式進行計算。另外，按照問題的性質(zhì)，將應(yīng)力劃分為空間（三維）問題和平面問題兩大類型。矩形、圓形等基礎(chǔ)（L/B<10）下的附加應(yīng)力計算即屬空間問題（其應(yīng)力是x,

9、y,z的函數(shù)）；條形基礎(chǔ)（L/B10）下的附加應(yīng)力計算即屬于平面問題（其應(yīng)力是x,z的函數(shù)），壩、擋土墻等大多屬于條形基礎(chǔ)。一、空間問題條件下的附加應(yīng)力（一）豎直集中力作用下的附加應(yīng)力如圖P71圖310所示，當(dāng)半極限彈性體表面上作用著豎直集中力p時，彈性體內(nèi)部任意點M的六個應(yīng)力分量，由彈性理論求出的表達(dá)式為：（36） 式中：x,y,z方向的法向應(yīng)力剪應(yīng)力土的泊松比RM點至坐標(biāo)原點o的距離直角三角形OMM中與的夾角上式為著名的布幸內(nèi)斯克（Boussinesq）解答，它是求解地基中附加應(yīng)力的基本公式。對于土力學(xué)來說，具有特別重要的意義，它是使地基土產(chǎn)生壓縮變形的原因。由公式可知，垂直應(yīng)力只與荷載P

10、和點的位置有關(guān)，而與地基土變形性質(zhì)無關(guān)（，E）。由幾何關(guān)系：；（36a）可以寫為： （37）式中： 豎直集中力作用下的豎向應(yīng)力分布函數(shù)，它是的函數(shù)；可由P72圖311和表31中查得。從式37可知（1）在集中力作用線上（即），附加應(yīng)力隨著深度z的增加而遞減（見教材P73圖3-12）；（2）當(dāng)離集中力作用線某一距離r時，（由36a可知）在地表處的附加應(yīng)力0，隨著深度的增加，逐漸遞增，但到一定深度后，又隨著深度z的增加而減?。ㄒ娊滩腜73圖3-12）。（3）當(dāng)z一定時，即在同一水平面上，附加應(yīng)力隨著r的增大而減小（見教材P73圖3-12）。注：如果的地面上有幾個集中力作用時（見教材P73圖3-14）

11、，則地基中任意點M處的附加應(yīng)力可以利用式（37）分別求出各集中力對該點所引起的附加應(yīng)力，然后進行疊加，即：式中：分別為集中力作用下的豎向應(yīng)力分布函數(shù)。（二）矩形基底受豎直均布荷載作用時角點下的豎向附加應(yīng)力矩形基礎(chǔ)當(dāng)?shù)酌媸艿截Q直均布荷載（此處指均布壓力）作用時，基礎(chǔ)角點下任意點深度處的豎向附加應(yīng)力，可以利用基本公式（37）沿著整個矩形面積進行積分求得。P74如圖316，若設(shè)基礎(chǔ)面上作用著強度為p的豎直均布荷載，則微小面積dxdy上的作用力dppdxdy可作為集中力來看待，于是，由該集中力在基礎(chǔ)角點o以下深度為z處的M點所引起的豎向附加應(yīng)力為： （38）將代入上式并沿整個基底面積積分，即可得到矩形

12、基底豎直均布荷載對角點o以下深度為z處所引起的附加應(yīng)力為：=KsP （39）式中：矩形基礎(chǔ)，底面受豎直均布荷載作用時，角點以下的豎直附加應(yīng)力分布系數(shù)，可以從P75表32中查得L：為基礎(chǔ)底面的長邊，B：為基礎(chǔ)底面的短邊，且LB。注：對于在基底范圍以內(nèi)或以外任意點下的豎向附加應(yīng)力，可利用式（39）并按疊加原理進行計算，這種方法稱之為“角點法”。對矩形基底豎直均布荷載，在應(yīng)用“角點法”時。L始終是基底長邊的長度，B為短邊的長度。例題：（三）矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時角點以下的豎向附加應(yīng)力矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時，把荷載強度為零的角點o作為坐標(biāo)原點，同樣可利用公式沿著整個面積積分來求

13、得。如圖320所示（教材P79）。若矩形基底上三角形荷載的最大強度為，則微分面積dxdy上的作用力可作為集中力看待，于是角點o以下任意深度z處，由于該集中力所引起的豎向附加應(yīng)力為：將代入上式并沿整個底面積積分，即可得到矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時角點下的附加應(yīng)力為： （310）式中為矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時的豎向附加應(yīng)力分布系數(shù)，可查表33（教材P78），。B：沿荷載變化方向矩形基底的長度，L：矩形基底另一邊的長度；L，B無長短之分。對于基底范圍內(nèi)（或外）任意點下的豎向附加應(yīng)力，仍然可以利用“角點法”和疊加原理進行計算。但任意兩點：（1）計算點應(yīng)落在三角形分布荷載強度為零的一點

14、垂線上。 （2）B點始終指沿荷載變化方向矩形基底的長度。（四）矩形基底受水平均布荷載作用時角點下的豎向附加應(yīng)力如圖321所示（教材P79），當(dāng)矩形基底受到水平均布荷載作用時，角點下任意深度z處的豎直附加應(yīng)力可以利用公式求得： （311）式中：矩形基底受水平均布荷載作用時的豎向附加應(yīng)力分布系數(shù)，可查表34（教材P80），。B：平行于水平荷載作用方向的矩形基底的長度，L：矩形基底另一邊的長度?！啊保寒?dāng)計算點在水平均布荷載作用方向的終止端以下時；（b,d點下）“”：當(dāng)計算點在水平均布荷載作用方向的起始端以下時；（c,d點下）當(dāng)計算點在基底范圍內(nèi)（或外）任一位置，同一可以利用“角點法”和疊加原理來進行

15、計算。二、平面問題條件下的附加應(yīng)力理論上，當(dāng)基礎(chǔ)長度L與寬度B之比，L/B時，地基內(nèi)部的應(yīng)力狀態(tài)屬于平面問題。實際工程實踐中，當(dāng)L/B10時，平面問題。例如：水利工程中的土壩、土堤、水閘、擋土墻、碼頭、船閘等等。（一）豎直線荷載作用下的附加應(yīng)力沿?zé)o限長直線上作用的豎直均布荷載稱為豎直線荷載，如圖322所示(見教材P80)，當(dāng)?shù)孛嫔献饔秘Q直線荷載P時，地基內(nèi)部任一深度z處的附加應(yīng)力為： （312）（313）（314）式中：單位長度上的線荷載（kN/m2）x,z計算點的坐標(biāo)討論：（1）在荷載作用點處，即x=z=o點，應(yīng)力值為無窮大，（x,z,zx）應(yīng)力集中Ez>Ex；（2）當(dāng)x=0時，x=z

16、x=0，而z=zmax應(yīng)力集中Ez>Ex；（3）z值離Z軸愈遠(yuǎn)，其值越??；水平位置越深，應(yīng)力也愈小地基土中應(yīng)力的擴散現(xiàn)象。（二）條形基底受豎直均布荷載作用時的附加應(yīng)力如圖323所示（教材P81），當(dāng)基底上作用著強度為p的豎直均布荷載時，首先利用公式（312）求出微分寬度上作用著的線荷載在任意點M所引起的豎向附加應(yīng)力（315）再將上式沿寬度B積分，即可得到條形基底受均布荷載作用時的豎向附加應(yīng)力為： （316）式中：條形基底受豎直均布荷載作用時的豎向附加應(yīng)力分別系數(shù)，由P83表35查，B為基底的寬度。條形均布荷載在地基內(nèi)部引起的水平向應(yīng)力和剪應(yīng)力也可以根據(jù)式（313）和式（314）積分求得，

17、并簡化為 （317） （318）式中：條形面積受豎直均布荷載作用時的水平向應(yīng)力分布系數(shù)條形面積受豎直均布荷載作用時的剪應(yīng)力分布系數(shù)，也可由P83表35查得。（三）條形基底受豎直三角形分布荷載作用時的附加應(yīng)力如圖36（教材P85）所示，當(dāng)條形基底上受最大強度為的三角形分布荷載作用時，同樣可利用基本公式，先求出微分寬上作用的線荷載，再計算點M所引起的豎向附加應(yīng)力，然后沿寬度B積分，即可得到整個三角形分布荷載對M點引起的豎向附加應(yīng)力為： （3-19）式中：條形基底受三角形分布荷載作用時的豎向附加應(yīng)力分布系數(shù)，按，查P86表37。（四）條形基底受水平均布荷載作用時的附加應(yīng)力圖36（教材P85）所示，當(dāng)

18、基底作用著強度為的水平均布荷載時，同樣可以利用彈性理論求水平線荷載對任意點M所引起的豎向附加應(yīng)力為： （3-20）式中：條形基底受水平均布荷載作用時的豎向應(yīng)力分布系數(shù)，可由，查P87表38。注意：1、在條形基礎(chǔ)下求地基內(nèi)的附加應(yīng)力時，坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇應(yīng)分別符合圖323，表36所示要求。2、傾斜偏心荷載時的基底壓力合力既傾斜又偏心其基底豎直壓力呈梯形分布，而水平荷載一般假定均勻分布。求解方法：應(yīng)將梯形分布的豎直荷載分解成均布荷載和三角形分布荷載，然后分別求出由于豎直荷載、豎直三角形分布荷載以及水平均布荷載所引起底附加應(yīng)力，再進行疊加。3、基礎(chǔ)有埋深時的基底壓力分布基底盡壓力（或沉降計算壓力）式中：

19、土的容重D基礎(chǔ)埋置深度P建筑物荷載（包括基礎(chǔ)自重在內(nèi)）在基底產(chǎn)生的壓力D基坑開挖，在基礎(chǔ)底面處減少的壓力。因為未修建基礎(chǔ)以前，土體中已有自重壓力，修建基礎(chǔ)時將這部分土挖除后再建造基礎(chǔ)，在基底增加的壓力實際為。三、土壩（堤）壩身的自重應(yīng)力和壩基中的附加應(yīng)力1、土壩的自重壓力不論是均質(zhì)的或是非均質(zhì)的土壩，其壩身任意點的自重應(yīng)力，均假定等于單位面積上該點以上土柱的有效重量，仍可按公式（32）此時，均質(zhì)壩壩身的自重應(yīng)力為三角形分布。 2、壩基中的附加應(yīng)力：因為，土壩壩身能夠適應(yīng)壩基的變形，屬柔性基礎(chǔ)，故其基底壓力為梯形分布。土壩對地基中任意一點引起的附加應(yīng)力，可將梯形分布壓力分解為兩個三角形分布壓力和

20、一個均布壓力，利用公式：（均布壓力），（三角形）來計算。然后再進行疊加：對于圖326（P84）中所示的梯形分布壓力下任意點的豎向附加應(yīng)力，可按計算。式中：豎向附加應(yīng)力分布系數(shù)，是a/z和b/z的函數(shù)，可從（P84圖326）中查取。a，b分別為三角形分布壓力和均布壓力的特征尺寸z為計算點至壓力作用面的垂直距離p為梯形分布壓力的最大強度四、感應(yīng)圖法求附加應(yīng)力當(dāng)遇到不規(guī)則的基礎(chǔ)形狀，而又無法劃分成矩形面積時，“角點法”的應(yīng)用就受到限制。這時若利用感應(yīng)圖法來求解是比較方便的。感應(yīng)圖法是以圓形基礎(chǔ)豎直均布壓力作用時，其中心點下豎向附加應(yīng)力計算為基礎(chǔ)的。1、圓形基底受均布壓力作用時其中心點下的豎向附加應(yīng)力

21、如圖328所示（教材P87），當(dāng)圓形基底受到均布壓力作用時，其中心點下任意深度處M點的豎向附加應(yīng)力，可由公式（空間）求出微分面積上的集中力在該點（M）所引起的附加應(yīng)力為：將代入，并沿整個圓形面積積分，可得M點的豎向附加應(yīng)力為： （321）式中：圓形基底受均布壓力作用時的應(yīng)力分布系數(shù)，可查P88表39得；r圓形基礎(chǔ)得半徑p均質(zhì)荷載強度2、感應(yīng)圖的原理及應(yīng)用感應(yīng)圖是N.M.Newmark首先提出得，如圖329所示（教材P89），它由9個同心圓和十二根等分得徑向射線組成。設(shè)9個同心圓的半徑分別為它們與某一長度成下列關(guān)系若選取恰好等于計算點的深度z，則從式（321）或表39 可知：，（第一個圓上的均布

22、壓力p在圓心以下z處的附加應(yīng)力）任意相鄰兩圓之間的均布壓力p對圓心以下z深處所引起的附加應(yīng)力是相同的，均為。每一個圓環(huán)又被20根徑向射線劃分為二十個面積相等的小塊；顯然每一小塊的壓力對圓心以下z深處所引起的附加壓力也是相等的，均為0.1p/20=0.005p。稱這一小塊為“感應(yīng)面積”，“0.005”稱之為“感應(yīng)應(yīng)量”。因此，如果有N塊“感應(yīng)面積”，其上作用著相同的均布壓力p，則在圓心下z深處將引起0.005Np的附加應(yīng)力。3、應(yīng)用要點：以z（試題所要求的深度）作為比例尺，在透明紙上繪制基礎(chǔ)平面圖；將所求點D移在感應(yīng)圖上與圓心重合數(shù)“感應(yīng)面積”的塊數(shù)N得到z處深D點的附加應(yīng)力為（均布壓力）第四節(jié)

23、 基底壓力計算建筑物的荷載是通過它的基礎(chǔ)傳給地基的。因此，基底壓力的大小和分布狀況，將對地基內(nèi)部的附加應(yīng)力有著十分重要的影響；而基底壓力的大小和分布狀況，又與荷載的大小和分布，基礎(chǔ)的剛度，基礎(chǔ)的埋置深度以及土的性質(zhì)等多種因素有關(guān)。 對于剛性很小的基礎(chǔ)和柔性基礎(chǔ)，其基底壓力大小和分布狀況與作用在基礎(chǔ)上的荷載大小和分布狀況相同。（因為剛度很小，在垂直荷載作用下幾乎無抗彎能力，而隨地基一起變形）。 對于剛性基礎(chǔ)：其基底壓力分布將隨上部荷載的大小，基礎(chǔ)的埋置深度和土的性質(zhì)而異。如：砂土地基表面上的條形剛性基礎(chǔ)，由于受到中心荷載作用時，基底壓力分布呈拋物線（如圖見教材P93），隨著荷載增加，基底壓力分布

24、的拋物線的曲率增大。這主要是散狀砂土顆粒的側(cè)向移動導(dǎo)致邊緣的壓力向中部轉(zhuǎn)移而形成的。又如粘性土表面上的條形基礎(chǔ)，其基底壓力分布呈中間小邊緣大的馬鞍形（如圖），隨荷載增加，基底壓力分布變化呈中間大邊緣小的形狀。根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)基礎(chǔ)的寬度不太大，而荷載較小的情況下，基底壓力分布近似地按直線變化的假定（彈性理論中的圣維達(dá)原理），所引起的誤差是允許的，也是工程中經(jīng)常采用的簡化計算方法。一.豎直中心荷載作用下的基底壓力如圖所示（教材P94圖3-38），若矩形基礎(chǔ)地長度為L，寬度為B，其上作用著豎直中心荷載P，當(dāng)假定基底壓力為均勻分布時，其值為： 單位：kpa或kN/m2 (3-22)若基礎(chǔ)為長條形（L/B1

25、0），則在長度方向截取1m進行計算，此時基底壓力為： 單位： kN/m (3-23)二. 豎直偏心荷載作用下的基底壓力如圖所示（教材P95圖3-40）:當(dāng)矩形基礎(chǔ)上作用著豎直偏心荷載P時，則任意點的基底壓力，可按材料力學(xué)偏心受壓的公式進行計算： （3-24）式中：p(x.y)任意點（坐標(biāo)為x.y）的基底壓力Mx=p.ey偏心荷載對xx軸的力矩（ey為偏心荷載對xx軸的力臂）My=p.ex偏心荷載對yy軸的力矩（ex為偏心荷載對yy軸的力臂）基礎(chǔ)底面積對xx軸底慣距基礎(chǔ)底面積對yy軸底慣距若荷載作用在主軸上，例如xx軸上，如圖（b），此時ey=0，則Mx=0，令ex=e,并將，代入（3-24），

26、得：，即可得到矩形基礎(chǔ)，在豎直偏心荷載作用下，基底兩側(cè)的最大和最小壓力的計算公式為： （3-25）對于條形基礎(chǔ)，如圖（c），基底兩側(cè)最大和最小壓力為： （3-26）討論：當(dāng)e=0時，基底壓力為矩形；當(dāng)合力偏力矩0<e<時，基底壓力呈梯形分布；當(dāng)合力偏力矩，Pmin=0 基底壓力呈三角形分布；當(dāng)時，則Pmin<0，意味著基底一側(cè)出現(xiàn)拉應(yīng)力。但基礎(chǔ)與地基之間不能受拉，故該側(cè)將出現(xiàn)基礎(chǔ)與地基的脫離，接觸面積有所減少，而出現(xiàn)應(yīng)力重分布現(xiàn)象。此時不能再按疊加原理，求最大應(yīng)力值。其最大應(yīng)力值為： （例如：高聳結(jié)構(gòu)物下得基底壓力）一般而言，工程上不允許基底出現(xiàn)拉力，因此，在設(shè)計基礎(chǔ)尺寸時，

27、應(yīng)使合力偏心矩滿足的條件，以策安全；或：為了減少因地基應(yīng)力不均勻而引起過大的不均勻沉降，通常要求：；對壓縮性大的粘性土應(yīng)采取小值；對壓縮性小的無粘性土，可用大值。三.傾斜偏心荷載作用下的基底壓力如圖所示（教材P95圖3-41）當(dāng)基礎(chǔ)受到傾斜荷載作用時，可先將偏心荷載R分解為豎向分量Pv和水平分量Ph，其中PvRcos,Ph=Rsin，由公式（325）和公式（326）計算。由豎直偏心荷載Pv所引起的基底壓力。水平基底壓力（假定為均勻分布）：例題：有一擋土墻，其基礎(chǔ)寬度為6m，埋置在地面下1.5m處，在離基礎(chǔ)前緣A點3.2m處作用著豎直線載荷P2400KN/m。墻背受到水平推力H400 KN/m，

28、其作用點距基底面為2.4m，如圖所示（見教材）。設(shè)地基土的容量r19 KN/m3,試求：基礎(chǔ)中心點下深度Z7.2m M處點的附加應(yīng)力（不考慮墻后填土引起的附加應(yīng)力）解：（1）求偏心距e設(shè)合力作用點離基底前緣A點的水平距離為x，將合力及分力分別對A點求矩并令其相等，即：得合力偏心距 （2）求基底壓力由公式： 得基底豎直壓力為 基底水平荷載假定為均勻分布，由公式，得水平基底壓力 （3）求M點的附加應(yīng)力首先將梯度分布的豎直荷載分解成強度為P0320KN/m2的豎直均布壓力，和最大強度為PT160 KN/m2的豎直三角形分布壓力。由于基底埋置深度D1.5m，所以基底盡壓力為：各種壓力對M點所引起的附加

29、應(yīng)力系數(shù)由表（35），（37）和（38）查得，列于下表壓力形式x(m)z(m)B(m)x/Bz/B應(yīng)力分布系數(shù)Kz豎直均勻分布3.07.26.00.51.20.478 （Kzs）豎直三角形分布3.07.26.00.51.20.239 （KzT）水平均勻分布3.07.26.00.51.20 （Kzh）于是M點得豎向附加應(yīng)力為第五節(jié) 有效應(yīng)力原理一、有效應(yīng)力原理的基本概念（一）有效應(yīng)力和孔隙壓力在土中某點任取一截面，截面體為A，截面上作用的法向應(yīng)力稱為總應(yīng)力，如圖342（教材P96圖3-43）。總應(yīng)力是土的重力、外荷載p所產(chǎn)生的壓力以及靜水壓力組成，是土體單位面積上的平均應(yīng)力。截面總應(yīng)力的一部分由

30、土顆粒間的接觸面承擔(dān)和傳遞，稱為有效應(yīng)力；另一部分由孔隙中的水和氣體承擔(dān)，稱為孔隙壓力u（包括孔隙水壓力與孔隙氣壓力）。如圖aa截面是沿土顆粒間接觸面截取的微波狀平面；截面上土顆粒間接觸面積為，接觸面平均法向應(yīng)力為，孔隙水面積為，孔隙水壓力為uw，氣體面積為，孔隙氣壓力為。將分解為豎直向和水平向兩個分力，設(shè)豎直向分力為，則aa截面的豎向力平衡為：，兩邊除以A得： （329）為有效應(yīng)力定義（）式（329）變?yōu)椋?29）1、對于非飽和土取，Eishop與Eldin（1950）根據(jù)粒狀土的試驗認(rèn)為很?。?lt;0.03）將代入（329）得：可得非飽和土有效應(yīng)力原理表達(dá)式： （330）2、對于飽和土0

31、，即x=1，孔隙水壓力為u表示，則公式（329）可改寫為：（331）式（331）即為飽和土有效應(yīng)力原理的表達(dá)式。3、對于干土0，x0，式（329）可改寫為： （332）式（332）為干土有效應(yīng)力原理的表達(dá)式（二）有效應(yīng)力原理要點（1）土中總應(yīng)力等于有效應(yīng)力與孔隙壓力u之和。即：（2）土中有效應(yīng)力控制土的體積和強度的變化。注：孔隙水壓力u起浮力作用，忽略其對土粒產(chǎn)生的變形效果，故又稱中性壓力。二、飽和土中孔隙水壓力和有效應(yīng)力的計算有效應(yīng)力是作用在土骨架的顆粒之間，很難直接求得；通常都是在求得總應(yīng)力和孔隙水壓力u之后，利用計算得出?？倯?yīng)力可用前面介紹的土中應(yīng)力計算方法算出；孔隙水壓力u可以實測，也

32、可以通過計算得出。（一）自重應(yīng)力情況1、靜水位條件下如圖345（教材P98），作用在A點水平面上的總應(yīng)力，應(yīng)等于該點以上的單位土柱和水柱的總重量：孔隙水壓力應(yīng)等于該點的靜水壓強，即：根據(jù)有效應(yīng)力原理，A點處豎直有效應(yīng)力應(yīng)為：可見就是A點的自重應(yīng)力（有效自重應(yīng)力）。當(dāng)?shù)叵滤灰陨夏硞€高度范圍內(nèi)出現(xiàn)毛細(xì)飽和區(qū)時，(如圖 3-46a教材P99)，毛細(xì)區(qū)內(nèi)的水呈張拉狀態(tài)，故孔隙水壓力是負(fù)值。毛細(xì)水壓力分布與靜水壓力分布一致，任一點；z為該點至地下水位的垂直距離。孔隙水壓力分布如圖（346b）。由于u是負(fù)值，根據(jù)有效應(yīng)力原理，毛細(xì)飽和區(qū)的有效應(yīng)力將會比總應(yīng)力增大，即。有效應(yīng)力與總應(yīng)力分布如圖（346c）

33、，實線為分布，虛線為分布。例題3-4,P99.2、穩(wěn)定性滲流條件下（1）向上滲流時，如圖（348a教材P100）取土水整體為隔離體。A點的總應(yīng)力就是A點處單位面積上土柱的土水總重量，故 (3-33a)A點的孔隙水壓力u為： （333b）故A點的有效應(yīng)力為： （333c）可見與靜水條件下的、相比，在發(fā)生向上滲流時，孔隙水壓力u增加了，有效應(yīng)力則相應(yīng)減少了。滲透壓力（2）當(dāng)向下滲流時（仍取土水整體為隔離體）如圖（348b）A點的總應(yīng)力不變，仍為：（334a）A點的孔隙壓力： （334b）則A點的有效應(yīng)力（334c）與靜水條件下的相比，向下滲流將使有效應(yīng)力增加，產(chǎn)生滲流壓密。這是抽取地下水引起的地面

34、沉降的一個主要原因。當(dāng)向上滲流時，若有效應(yīng)力，則土處于懸浮狀（流土條件）。由（333c）得：或（臨界水力坡降公式）（關(guān)于取土骨架為隔離體，自修）（二）附加應(yīng)力情況孔壓系數(shù)概念實際工程中的變形和穩(wěn)定情況，往往是土體在外荷載作用后產(chǎn)生的，從而產(chǎn)生孔隙水壓力值。孔壓系數(shù)：是指土體在不排水和不排氣的條件下由外荷載引起的孔隙壓力增量與應(yīng)力增量（以總應(yīng)力表示）的比值?？讐合禂?shù)B：孔壓系數(shù)A：孔壓系數(shù)用以表征孔壓對總應(yīng)力變化的反映，是孔壓計算的簡便的方法。1側(cè)限應(yīng)力狀態(tài)除自重應(yīng)力外，若地面上作用有大面積連續(xù)均布荷載，而土層厚度又相對較薄時，在土中引起的附加應(yīng)力也屬于側(cè)限應(yīng)力狀態(tài)（如圖3-50教材P102）。

35、由外荷載P在土層中引起的附加應(yīng)力將沿深度均勻分布。而且在同一深度Z處的水平面上各點的豎向附加應(yīng)力都等于，水平向附加應(yīng)力也均相等。在此種應(yīng)力條件下土體側(cè)向不能發(fā)生變形，屬于側(cè)限狀態(tài)。滲流固結(jié)模型：滲流固結(jié)模型用以模擬飽和土體受到連續(xù)均布荷載后，在土中所產(chǎn)生的初始孔隙水壓力（t=0時）以及與隨時間t的變化規(guī)律。滲壓模型如圖3-51所示（教材P103）。（1）當(dāng)活塞板上未加荷載時，測壓管中水位與筒中靜水位相同，土中各點的孔隙水壓力值完全由靜水壓力確定。而且由于任何深度處總水頭相等，土中沒有滲流發(fā)生。（2）當(dāng)活塞板上加上外荷載的瞬時即t=0（如圖3-51a）時，容器內(nèi)的水處于不排水狀態(tài)，體積變化V=0

36、；外荷載完全由水所承擔(dān)，測壓管中水位將升高h(yuǎn)，產(chǎn)生初始超靜水壓力，且，此時=0。（3）當(dāng)t> 0后，由于活塞上下產(chǎn)生了水頭差h，導(dǎo)致滲流發(fā)生。在滲流過程中，代表土骨架的彈簧逐漸受力，且隨時間延續(xù)，有效壓力逐漸增加；相反，孔隙水壓力則逐漸減小，即測壓管水位逐漸降低，直至超靜水壓力全部消散至u=0，而有效應(yīng)力；滲流固結(jié)過程結(jié)束，即土體已經(jīng)固結(jié)。（如3-51c）。幾點認(rèn)識：（1）滲流固結(jié)過程中，=c,其物理實質(zhì)就是兩種應(yīng)力的互相轉(zhuǎn)化；即飽和土固結(jié)過程是一個孔隙水壓力從產(chǎn)生到完全消失，有效應(yīng)力逐漸增大到達(dá)最大的過程。（2）所謂超靜水壓力(u)是由外荷載引起的，超出靜水位以上的那部分孔隙水壓力。而

37、飽水土層中任意時刻的總孔隙水壓力應(yīng)是靜孔隙水壓力與超靜孔隙水壓力之和。（3）側(cè)限條件下t=0時，（施加的外荷載強度總應(yīng)力），側(cè)限條件下飽和土體的孔壓系數(shù)為。（4）土體固結(jié)穩(wěn)定的時間長短，取決于孔隙水向外滲流的速度和土層的排水條件。2、軸對稱三維應(yīng)力狀態(tài)設(shè)三維應(yīng)力是軸對稱應(yīng)力狀態(tài)，在直角坐標(biāo)系，作用于立方體土體上的應(yīng)力如圖3-52（教材P104），其中。當(dāng)求外加荷載在土體中所引起的超靜水壓力時，土體中的應(yīng)力是在自重應(yīng)力的基礎(chǔ)上增加了一個附加應(yīng)力，常用增量表示。軸對稱三維應(yīng)力增量，可分解成等向壓應(yīng)力增量和偏差應(yīng)力增量，如圖3-53（教材P104）（1）等向壓縮應(yīng)力狀態(tài)孔壓系數(shù)B設(shè)一立方體土體積為，

38、孔隙率為n，土體為非飽和土。該土體在不排氣和不排水條件下，受到三向相等的正主應(yīng)力增量的作用，土體內(nèi)產(chǎn)生了孔隙水和孔隙氣的壓力增量及，記作，現(xiàn)推導(dǎo)與的關(guān)系式。第一步：土骨架體積變化根據(jù)有效應(yīng)力原理，在周壓力作用下，土體中引起的有效應(yīng)力為。設(shè)土骨架的體積應(yīng)變?yōu)関 ，則Vs=v·V0假設(shè)土體骨架為彈性體，由彈性理論可知： （3-35）式中：分別為三個方向的骨架線應(yīng)變，且（因為壓力相同為），若以為代表，則由廣義虎克定律得：（注：作用于土骨架上）將此式代入（3-35）可得令：則： （3-36）式中：Cs土骨架的體積壓縮系數(shù)E土的變形模量土的泊松比。第二步：分析孔隙流體的體積變化孔隙流體體積就是

39、土的孔隙體積，由孔壓增量引起的土體中孔隙流體體積變化應(yīng)為： （水力學(xué)公式） （3-37）式中：Cf孔隙流體的體積壓縮系數(shù)。（3-37）公式推導(dǎo)：根據(jù)水力學(xué)可知：又根據(jù)物體彈性變形的虎克定律：式中：dp作用于液體的壓強變化量 dV相應(yīng)于壓強變化量dp的液體體積變化量 V液體的體積孔隙流體的孔壓增量為，孔隙流體體積變化量為；液體體積V=孔隙流體體積即：推導(dǎo)完畢當(dāng)假設(shè)土中礦物顆粒是不可壓縮時，在不排水，不排氣的條件下，將式（3-36）、（3-37）代入得： （3-38）令： （3-39）則： （3-40） （3-41）稱B為孔壓系數(shù)B；它表示單位周壓力增量所引起的孔壓增量。B值可通過室內(nèi)三軸試驗測定

40、。對于飽和土： （為水的體積壓縮系數(shù)）即：因而 則對于干土，孔隙中氣體的壓縮性Cf很大，則對于部分非飽和土，0<B<1（2）偏差應(yīng)力狀態(tài)孔壓系數(shù)A當(dāng)立方土體（體積為V0）在不排水，不排氣的條件下受到偏差應(yīng)力作用后，土中相應(yīng)產(chǎn)生孔隙壓力。根據(jù)有效應(yīng)力原理，得：軸向有效應(yīng)力增量：徑向有效應(yīng)力增量：在有效應(yīng)力作用下，根據(jù)廣義虎克定律以及：得：，（3-43）將：（3-42）（3-43）代入式（3-35）即：并經(jīng)整理可得土骨架的體積應(yīng)變?yōu)椋?（3-44）由：得： （3-45）同理：孔隙壓力增量將引起孔隙流體體積減少，其體積變化量為： （3-46）同理：Vs=Vv，式（3-45）=(3-46)，即： （3-47） 前系數(shù)1/3只適用于彈性體。對于實際土體，司開普頓引入一個經(jīng)驗系數(shù)A來替代1/3，則式（3-47）變?yōu)椋簎A=BA