2021年江蘇高考數(shù)學(xué)二輪講義：專題二第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、2019 考向?qū)Ш娇键c(diǎn)掃描三年考情考向預(yù)測2019201820171 .三角函數(shù)的圖象與解析式江蘇近幾年高考三角函數(shù)試題一般是一個(gè)小題一個(gè)大題，大題一般都為基礎(chǔ)題，處在 送分題的位置從高考命題內(nèi)容來看，三角函 數(shù)的圖象和性質(zhì)，尤其是三角函數(shù)的周期、最 值、單調(diào)性、圖象變換、特征分析(對(duì)稱軸、對(duì) 稱中心)等是命題熱點(diǎn).2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第 7 題第 16 題(1)同角關(guān)系：曲好cos2a=1，駕于喻a(2) 誘導(dǎo)公式：在 牙+ak Z 的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.(3) 三角函數(shù)的圖象及常用性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy=tan x圖象乩 1JjyA單調(diào)性在一才+

2、 2kn,才+ 2kn(kZ)上單調(diào)遞增；在n3n+2kn +2kn(kZ)上單調(diào)遞減在n+2kn2knkZ)上單調(diào)遞增；在2 kn n+2knk Z)上單調(diào)遞減在-2+kn,n_ + kn(k Z)上單調(diào)遞增對(duì)稱性對(duì)稱中心：(kn,0)(k Z)； 對(duì)稱軸：x=扌+ knk Z)n對(duì)稱中心：空+ kn,0(k Z)；對(duì)稱軸：x= knk Z)對(duì)稱中心:kn，0(k Z)2 記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論對(duì)于函數(shù) y=Asin(3x+(A0, w0)要記住下面幾個(gè)常用結(jié)論:(1)定義域：R 值域：A, A 2kn+才-0當(dāng) x=-(k Z)時(shí)，y 取最大值 A;n .2kn2當(dāng) x=-（k Z）時(shí)，

3、y 取最小值一 A周期性：周期函數(shù)，最小正周期為(4)單調(diào)性:(5)對(duì)稱性：函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)是對(duì)稱中心，即對(duì)稱中心是，0Z)，對(duì)稱軸n .kn+ 0與函數(shù)圖象的交點(diǎn)縱坐標(biāo)是函數(shù)的最值，即對(duì)稱軸是直線x=-，其中 k Z .函數(shù) y= Asin(OX+0(A0,O0)中，A 影響函數(shù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即函數(shù)的最值；O影響函數(shù)圖象每隔多少長度重復(fù)出現(xiàn)，即函數(shù)的周期；0影響函數(shù)的初相.對(duì)于函數(shù) y=Asi n(ox+0)(A0,O0)的圖象，相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心或兩條對(duì)稱軸相距 半個(gè)周期；相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸相距周期的四分之一.3.需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn)三角函數(shù)圖象平移問題(1)看

4、平移要求：看到這類問題，首先要看題目要求由哪個(gè)函數(shù)平移到哪個(gè)函數(shù)，這是判斷移動(dòng)方向的關(guān)鍵點(diǎn).CO單調(diào)遞增區(qū)間是n .2kn+n 0憾Z）；單調(diào)遞減區(qū)間是n2kn+23n27 0（kZ）.(2)看移動(dòng)方向： 在學(xué)習(xí)中，移動(dòng)的方向一般我們會(huì)記為“正向左，負(fù)向右”，其實(shí)，這樣不理解的記憶是很危險(xiǎn)的.上述規(guī)則不是簡單地看 y= Asin(+0)中$的正負(fù)，而是和它的平移要求有關(guān)正確地理解應(yīng)該是：平移變換中，將x 變換為 x + $,這時(shí)才是“正向左，負(fù)向右”.(3)看移動(dòng)單位：在函數(shù) y= Asin(3x+$)中，周期變換和相位變換都是沿x 軸方向的，所以3和$之間有一定的關(guān)系， $是初相位，再經(jīng)過3

5、的壓縮，最后移動(dòng)的單位是典型例題(1)(2018 高考江蘇卷)已知函數(shù) y= sin(2x+ $)寺$0,o0, |$|?的部【解析】由函數(shù) y= sin(2x+ $)才 $才的圖象關(guān)于直線 x=扌寸稱，得 sin + $ =n nn2n7n2n nn1,因?yàn)橐?2，所以 6丁+$6，則 T+$=2，$= 6由函數(shù) f(x)的部分圖象可知，A=2,牙=尹一n=n得T=n所以3=2 當(dāng) x=n寸，nnnn5nf(x)= 2,即 sin(2x6 + $ = 1,又|$0,30)的步驟和方法（1）求 A, b:確定函數(shù)的最大值 M 和最小值 m,則 A=, b =求確定函數(shù)的周期T,貝冋得曠罕；=b

6、 的交點(diǎn)求解（此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間還是在下降區(qū)間）五點(diǎn)法：確定0值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口具體如下:“第一點(diǎn)”（即圖象上升時(shí)與 X 軸的交點(diǎn)）是3X+ 0=0； “第二點(diǎn)”（即圖象的“峰點(diǎn)”）n是3汁0=??；“第三點(diǎn)”（即圖象下降時(shí)與 X 軸的交點(diǎn)）是3X+ 0= n“第四點(diǎn)”（即圖象的“谷對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1._ 定義在區(qū)間0,3n上的函數(shù) y= sin 2x 的圖象與 y = cos x 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 _1n3n5nn解析由 sin 2x = cos x 可得 cos x= 0 或 sin x= 2，又 x 0, 3 兀,貝Vx=,三或 x = 6,故所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)是答案

7、72.（2019 江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷（四） ） 已知函數(shù) f （x）=Asin （x+0） （A0, 30,00n的部分圖象如圖所示，其中M , N 是圖象與 x 軸的交點(diǎn)，K 是圖象的最高點(diǎn)，若點(diǎn) M解析由正三角形 KMN 的面積為 3 知，CMN 的邊長為 2,高為.3,即 A = .3,最小 正周期 T= 2X2 = 4,3= = 24 = 2，又 M(3, 0), MN = 2,所以X4 +0=2kn+?, k Z ,0=2kn2 Z ,又 000 ,少 0, - 20 知，A= 2 .又 4=寧-n= n， 30，所以T=2n=今得3=1.46323所以 f(x)= 2si

8、n(x+0).將點(diǎn)n2代入，得0=才+ 2knK Z),n即0=6+2kn(Z),nn匕廠、in又一 2o2，所以0=6.n所以 f(x)= 2sin x+ 6 .rn n zn_ n2n當(dāng) x 2, 2 時(shí)，x+ 6 3，y ,所以 sin x + -二3, 1 ,即 f(x) 3, 2.6 2在江蘇高考中，三角函數(shù)試題主要以兩種形式出現(xiàn)：一是注重考查三角函數(shù)定義、性質(zhì)、 同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)；二是以基本三角函數(shù)圖象和正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)圖象為載體，全面考查三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、圖象變換等基礎(chǔ)知識(shí)，即考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想等.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3

9、.(2019 肥模擬)設(shè)函數(shù) f(x) = sin y - 6 2cos2.(1)求 y= f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù) y= g(x)與 y= f(x)的圖象關(guān)于直線 x= 2 對(duì)稱，當(dāng) x 0,1時(shí)，求函數(shù) y= g(x)的最大值.廠ncn=.3sin 31,T=2jt=6.n3n jn nn .由 2kn W2kn+3,kZ,15得 6k 2x6k+ 5, k Z,15所以 y= f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 6k 2，6k+, k乙因?yàn)楹瘮?shù) y= g(x)與 y= f(x)的圖象關(guān)于直線 x= 2 對(duì)稱，所以當(dāng) x 0 , 1時(shí)，y= g(x)的最大值即為 x 3 ,

10、4時(shí),y= f(x)的最大值，n, sin 承扌 0,乎，f(x) 1,弓,即當(dāng) x 0 , 1時(shí),1函數(shù) y= g(x)的最大值為2專題強(qiáng)化Q精練提能n1 .函數(shù) y= tan x 4 的定義域是 _ .解析因?yàn)?x kn+n,所以 xzkn+弓kZ.424答案x|xzkn+3n，kZn2. (2019 徐州模擬)函數(shù) y= cos 4 2x的單調(diào)減區(qū)間為 _nn解析由 y= cos 4 2x = cos 2x 4 得解 由題意知sinn3nA 2cos3 1所以 y= f(x)的最小正周期., n n2n當(dāng) x 3 , 4時(shí)，3( 則 y= f x+ 6?取得最小值時(shí) x 的集合為.n2k

11、n0, f(x)單調(diào)遞增n所以 f 是 f(X)的極大值，也是最大值，故 f(X)max= f 3 = 3 切 3.答案3 .3, . 一 一 1 一 4.(2019 蘇北三市咼三模擬)已知函數(shù) f(x) = sin x(x 0 ,n和函數(shù) g(x) = ?tan x 的圖象交于 A, B, C 三點(diǎn)，則 ABC 的面積為n1sin xn n解析由題意知，x#2，令 sin x= 2tan x,可得 sin x= 2cos x，x0，2u2，n，可得 sin x= 0 或 cos x=2，則 x= 0 或n或 3,不妨設(shè) A(0, 0), B(n0), Cn,誓,則厶 ABC 的面2332積為

12、 2nX爭容答案4n5. (2019 江蘇名校高三入學(xué)摸底)已知在矩形 ABCD 中，AB 丄 x 軸，且矩形 ABCD 恰好能完全覆蓋函數(shù) y= acos(an)+ b(a，b R， a* 0)的一個(gè)完整周期的圖象，則當(dāng)a 變化時(shí)，矩形ABCD 的面積為解析由題意得，矩形 ABCD 的邊長分別為函數(shù) y= acos(anc) + b(a, b R , a#0)的最小22正周期和|2a|,故此矩形的面積為X|2a|= 4.aa答案4223cos x + sin x 8cos x 1解析fx)= 8cos x2= cosx ，2cos2x令 f(x)= 0,得 cos x = 2 又 x 0，-

13、 , 所rn，當(dāng) x 3,%2 時(shí)，f(x)v0, f(x)單調(diào)遞減，7t則 y= f x+ 6?取得最小值時(shí) x 的集合為.n6.(2019 山西四校聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)=sin(3x+$)0,胡 v-的部分圖象如圖所示，解析根據(jù)所給圖象，周期 T= 4X12 3+妨，另外圖象經(jīng)過7n12，%=n故n ,所以3=2 ,因此 f(x)= sin(2x30，代入有 2X気+(=knK Z)，再由|則才，得$= ,所以 f x + 6nn nn, =sin 2x+ 6 ,當(dāng)2x+ 6=2knk Z),即 x= 3+ knk Z)時(shí)，y= f x+ 6 取得最小值.7tn答案x|x=kn3,kZ

14、7. (2019 南京模擬)已知函數(shù) f(x) =4COS(3X+(30, 0n為奇函數(shù)，A(a, 0), B(b,10)是其圖象上兩點(diǎn)，若|a b|的最小值是 1,則 f 6 =解析因?yàn)楹瘮?shù) f(x)= 4cos(3x+妨(少 0 , 0林n為奇函數(shù)，所以COS片 0(0林n)所以(j)=n所以 f(x)= 4sin3X,又 A(a, 0), B(b, 0)是其圖象上兩點(diǎn),且|ab|的最以函數(shù) f(x)的最小正周期為 2,所以3= n所以 f(x) = 4sinnc.所以 f 6 = 4sin 6= 2.答案2n.8. (2019 蘇北三市高三第一次質(zhì)量檢測)將函數(shù) f(x)= sin 2x

15、 的圖象向右平移 6 個(gè)單位長度得到函數(shù) g(x)的圖象，則以函數(shù)f(x)與 g(x)的圖象的相鄰三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為nn解析函數(shù) f(x)= sin 2x 的圖象向右平移 6 個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x) = sin 2x 3 的圖象，如圖所示，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為-2, B, C 之間的距離為一個(gè)周期n所以三角形 ABC 的面積為 Inx2X=3為 222.答案9.(2019 開封模擬)如果存在正整數(shù)3和實(shí)數(shù)$使得函數(shù) f(x)=si n2(3x+的圖象如圖所示(圖象經(jīng)過點(diǎn)(1, 0)，那么3的值為1cos(23x+2 妨112nn解析由 f(x) = sin2(3X+冊(cè)=及其圖象知，

16、22%231 ,即 23 ,即 0=0 電,得cos 2w0)與函數(shù) y= |cos x|的圖1象恰有四個(gè)公共點(diǎn)A(X1, y1) , B(X2, y2) , C(X3, y3) ,D(X4, y4),其中X1X2X30)與 y=|cos x|的圖象在 x= X4處相切，且 X4 ?,n,cos X4=sin X4,所以 a = sin X4.因止匕 a= sin X4,X4+ 2-2.7二O、忻2Kxcos X4n則 a(x4+ 2) = cos X4,所以 a=,又在 -,X4+ 22n上，y= cos x, y =sin x, 所以(一 cos 滄)COS X4cCOS X41即 sin

17、 X4=x42,x4+sin X4=x4+tan X4答案211.已知函數(shù) f(x) = . 2sin 2x ； + 1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相;(2)畫出函數(shù) y=f(x)在一n，n上的圖象.解(1)振幅為.2,最小正周期 T=n,初相為一n圖象如圖所示.12. (2019 揚(yáng)州市第一學(xué)期期末檢測)已知函數(shù) f(x) = cos2x+ 2 3sin xcos x sin2x, x R.(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；求方程 f(x)=o 在(0,n內(nèi)的所有解.解f(x) = cos2x+ 2 3sin xcos x sin2x= . 3sin 2x+ cos 2x= 2si

18、n(2x+nn nnn(1)由一 2+ 2k2x+ 6 三2 + 2kn,k Z ,得一 3 + kxW6 + kn,k Z,所以函數(shù)f(x)的單nn調(diào)遞增區(qū)間為3 + kn,+ kn,k Z.jn(2)由 f(x)=0,得 2sin(2x+0,得 2x+kn,kZ,即 x=石+2，kZ,-5n,11n因?yàn)?x (0,n,所以 x=12 或 x= 12.n13. (2019 南通市高三調(diào)研)已知函數(shù) f(x)= Asin + 3 (A0,w0)圖象的相鄰兩條對(duì)稱 軸之間的距離為n,且經(jīng)過點(diǎn)-,.32(1) 求函數(shù) f(x)的解析式；jn(2) 若角a滿足 f()+ . 3fa= 1 ,a(0 ,n)求角a的值.解(1)由條件得，最小正周期 T = 2n即 =2n所以3=1,即 f(x)=As in x+ co3因?yàn)?f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)n2,所以 Asi 門竿寧,所以 A = 1,一n所以 f(x)= sin x+ 3 .(2) 由 f(a +. 3fan =1,得 sinndn na+3+, 3sina+3=1，即 sinntna+33cosa+3=1，所以 2sinnn口口.1a+33=1，即 Sina= .n5n因?yàn)閍(0, n,所以a=6 或6.V314.已知函數(shù) f(x) =