3數(shù)值積分與數(shù)值微分

1、1第三章第三章 數(shù)值積分和數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分和數(shù)值微分2數(shù)值積分)()()(aFbFdxxfba x12345f(x)44.5688.5關(guān)于積分，有關(guān)于積分，有Newton-Leibniz公式公式但是，在很多情況下，還是要數(shù)值積分：但是，在很多情況下，還是要數(shù)值積分：1、函數(shù)有離散數(shù)據(jù)組成、函數(shù)有離散數(shù)據(jù)組成2、F(x)求不出求不出3、F(x)非常復(fù)雜非常復(fù)雜定義數(shù)值積分如下：是離散點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合定義數(shù)值積分如下：是離散點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合稱為積分系數(shù)，與稱為積分系數(shù)，與f(x)無關(guān)，與積分區(qū)間和積分點(diǎn)有關(guān)無關(guān)，與積分區(qū)間和積分點(diǎn)有關(guān))()(0iniinxfafI 3問題：問題：1、系

2、數(shù)、系數(shù)a ai如何選取，即選取原則如何選取，即選取原則2、若節(jié)點(diǎn)可以自由選取，取什么點(diǎn)好？、若節(jié)點(diǎn)可以自由選取，取什么點(diǎn)好？3、求積公式的誤差估計(jì)和收斂性、求積公式的誤差估計(jì)和收斂性4代數(shù)精度代數(shù)精度)()(0iniinxfafI 為數(shù)值積分，為數(shù)值積分，badxxffI)()(為積分，則稱數(shù)值為積分，則稱數(shù)值積分有積分有k階代數(shù)精度階代數(shù)精度是指：是指：)()(;, 0),()(11kkniinxIxIkixIxI定義定義 對任意次數(shù)不高于對任意次數(shù)不高于k次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式f(x)，數(shù)值積分沒有誤差數(shù)值積分沒有誤差 用什么標(biāo)準(zhǔn)來判定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)相同的求積公用什么標(biāo)準(zhǔn)來判定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)相同的

3、求積公式的式的“好好”與與“差差”呢？通常用呢？通常用“代數(shù)精確度代數(shù)精確度”的高低作為求積公式的高低作為求積公式“好好”與與“差差”的一個(gè)標(biāo)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)在后面的討論中我們將看到，節(jié)點(diǎn)相同的求準(zhǔn)在后面的討論中我們將看到，節(jié)點(diǎn)相同的求積公式，代數(shù)精確度越高，求出的積分近似值精積公式，代數(shù)精確度越高，求出的積分近似值精確度一般越好確度一般越好56例驗(yàn)證求積公式例驗(yàn)證求積公式具有具有3次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度解：當(dāng)解：當(dāng)而而有有( )1( )1baf xI fdxba時(shí)，3( )(14 1)()6baIfba3( )( )( ,) ( )4 ()( )( ,)62baabI fIfRff aff bR

4、f( ,1)0R7（1）當(dāng)）當(dāng)（2）當(dāng)）當(dāng)（3）當(dāng)）當(dāng)3( )( )( ,) ( )4 ()( )( ,)62baabI fIfRff aff bRf22( )( )2baf xxI f時(shí)，223( )(22)62babaIfaabb( , )0Rx332( )( )3baf xxI f時(shí)，2( ,)0Rx443( )( )4baf xxI f時(shí)，344333()( )()624baabbaIfab3( ,)0Rx332223( )()63babaIfaabb8（1）當(dāng)）當(dāng)故求積公式具有三次代數(shù)精確度故求積公式具有三次代數(shù)精確度3( )( )( ,) ( )4 ()( )( ,)62baabI

5、 fIfRff aff bRf554( )( )5baf xxI f時(shí)，4443()( )()( )64baabIfabI f4( ,)0Rx9插值型求積公式插值型求積公式這一節(jié)所討論的求積公式，都是用在區(qū)間這一節(jié)所討論的求積公式，都是用在區(qū)間a, b上對上對被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)作插值所得插值多項(xiàng)式作插值所得插值多項(xiàng)式Pn(x)代替被代替被積函數(shù)積函數(shù)f(x)導(dǎo)出的公式這一類求積公式的求積節(jié)導(dǎo)出的公式這一類求積公式的求積節(jié)點(diǎn)點(diǎn)xk，就是對，就是對f(x)作插值時(shí)的插值節(jié)點(diǎn)，所以這類作插值時(shí)的插值節(jié)點(diǎn)，所以這類求積公式稱為插值型求積公式求積公式稱為插值型求積公式10 Newton-Cotes

6、公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用Lagrange插值插值多項(xiàng)式建立的數(shù)值求積公式多項(xiàng)式建立的數(shù)值求積公式,)(baCxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)為為插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式及及余余項(xiàng)項(xiàng)分分別別的的Lagrangexf)(等等份份分分割割為為將將積積分分區(qū)區(qū)間間nba,nkkhaxk， .0, 為為步步長長其其中中nabh 各節(jié)點(diǎn)為各節(jié)點(diǎn)為3.2 Newton-Cotes數(shù)值求積公式數(shù)值求積公式 nkkknxlxfxL0)()()()()!1()()(1)1(xnfxRnnn ,ba niinxxx01)()( 其中其中 kjnjjkjkxxxxxl0)(Newton-Cotes數(shù)值求積公式數(shù)值求

7、積公式11而而)()()(xRxLxfnn 因此對于定積分因此對于定積分 badxxffI)()( banndxxRxL)()(有有 badxxffI)()( bankkkdxxlxf0)()( bandxxR)( nkkkxfA0)( bandxxR)( badxxfI)(令令 nkkknxfAf0)()(Q bandxxRfR)()()()(Q)(fRffIn 即有即有n階階Newton-Cotes求積公式求積公式Newton-Cotes公式的余項(xiàng)公式的余項(xiàng)(誤差誤差)()(fIfIn 12 bakkdxxlA)(dxxxxxbakjnjjkj 0:的計(jì)算的計(jì)算kA注意是等距節(jié)點(diǎn)注意是等距

8、節(jié)點(diǎn)thax 假假設(shè)設(shè),bax 由由, 0nt 可知可知dxxxxxAbakjnjjkjk 0dthhjkhjtnkjnj 00)()(dtjtknkhnkjnjkn 00)()!(!)1(dtjtknknabAnkjnjknk 00)()!(!)1()()()(nkkCabA 系系數(shù)數(shù)稱稱為為CotesCnk)(13(1) )()(Q 0 nkkknxfAf nkknkxfCab0)()()(所以所以Newton-Cotes公式化為公式化為(2) )()!(!)1(00)(dtjtknknCnkjnjknnk 求積公式求積公式(1)即即Newton-Cotes公式簡稱公式簡稱N-C公式公式,

9、 n給定由給定由(2)算出算出 。給出。給出n:18的的N-C系數(shù)表。系數(shù)表。)(nkC14科特斯系數(shù)表15 常用常用n=1,2,4的的Newton-Cotes公式也稱為低階公式公式也稱為低階公式abhbxaxn,:1 1021)1(10 dtt)1(0CCotes系數(shù)系數(shù):2110 dtt)1(1C求積公式求積公式:(3) )()(2)(bfafab )(Q1fT 梯形求積公式或稱兩點(diǎn)公式梯形求積公式或稱兩點(diǎn)公式-0.500.511.500.511.522.533.544.5162,2,:2210abhbxabxaxn Cotes系數(shù)系數(shù):61)2)(1(4120)2(0 dtttC64)2

10、(2120)2(1 dtttC61)1(4120)2(2 dtttC求積公式求積公式: 20)2(2)()()(QkkkxfCabf)()2(4)(6bfbafafab 稱為稱為Simpson求積公式求積公式，也稱，也稱三點(diǎn)公式或拋物線公式三點(diǎn)公式或拋物線公式(4) )()2(4)(6)(Q2Sbfbafafabf -0.500.511.500.511.522.533.544.5174,4 , 1 , 0,:4abhkkhaxnk Cotes系數(shù)系數(shù):907)4)(3( )2)(1(! 44140)4(0 dtttttC9032)4)(3( )2(! 34140)4(1 dtttttC9012

11、)4)(3( )1(! 2! 24140)4(2 dtttttC9032)4)(2( )1(! 34140)4(3 dtttttC907)3)(2( )1(! 44140)4(4 dtttttC18 40)4(4)()()(QkkkxfCabf)(907)(9032)(9012)(9032)(907)(43210 xfxfxfxfxfab (5) )(Q)(7)(32)(12)(32)(790)(Q4432104Cfxfxfxfxfxfabf 上式稱為上式稱為Cotes求積公式求積公式，也稱，也稱五點(diǎn)公式五點(diǎn)公式4, 4abhn Newton-Cotes系數(shù)系數(shù)具有對稱性具有對稱性.19幾個(gè)常

12、見公式21,21)1(1)1(0 CCn = 1:)()(2)(bfafabdxxfba 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1梯形求積公式梯形求積公式n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC)()(4)(6)(2bffafabdxxfbaba 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 3拋物線求積公式拋物線求積公式Simpson求積公式求積公式n = 4:)(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba科特斯科特斯(Cotes)求積公式求積公式4/ )( ,abhhiaxiTSC20Newton-Cotes求積公式的余項(xiàng)求積公式的余項(xiàng)定理定理(6) )()1()

13、!1()( )()()!1()( )(Q)(Rf20101ndthntttnfdxxxxxnffdxxfnnn)(nnba)(nba 設(shè)設(shè) )8( , , ,)()1()!1()()7( , , ,)()1()!2()(10220223babaCfndtntttnfhbabaCfndtntttnfhfRnn1)(nnnn)(nn 為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，為偶數(shù)，O（hn+3）O（hn+2）21特別：特別：（1）梯形求積公式梯形求積公式 h=b-adxbxaxffRba )(2)( ,ba 第二積分中值定理(9) )(12)()1(! 2)( 310 3 fabdtttfh （2） Simpso

14、n求積公式求積公式 h=(b-a)/2(10) )(90)()2(180)4(5)4(4 fhfabab dttttfhfR 202)4(5)2)(1(! 4)( (11) )(9458)6(7 fhfR,ba （3） Cotes求積公式求積公式 h=(b-a)/4dttttttfhfR 402)6(7)4)(3)(2)(1(! 6)( ,ba 22Newton-Cotes求積公式的代數(shù)精度求積公式的代數(shù)精度定理定理 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)， Newton-Cotes求積公式求積公式至少有至少有n+1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。2324dtjtknknCnkjnjknnk 00)()()!(!)

15、1(考察考察Cotes系數(shù)系數(shù)無無關(guān)關(guān)與與函函數(shù)數(shù)的的劃劃分分有有關(guān)關(guān)的的節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)只只與與積積分分區(qū)區(qū)間間)(,xfxbaj其值可以精確給定其值可以精確給定.因此用因此用Newton-Cotes公式公式計(jì)算積分的舍入誤計(jì)算積分的舍入誤差主要由函數(shù)值差主要由函數(shù)值f(xk)的計(jì)算引起的計(jì)算引起.Newton-Cotes求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性(舍入誤差舍入誤差) 定義定義：設(shè)給定的算法在執(zhí)行某一步時(shí)產(chǎn)生的誤差為：設(shè)給定的算法在執(zhí)行某一步時(shí)產(chǎn)生的誤差為 ，n步后步后引起的誤差為引起的誤差為 n，若，若| n | c | | ， c 與與n無關(guān)。則稱無關(guān)。則稱誤差的增長是誤差的增長是

16、線性的，也稱算法是線性的，也稱算法是穩(wěn)定的穩(wěn)定的。.)(響響的的舍舍入入誤誤差差對對公公式式的的影影故故只只需需討討論論kxf 25)()()(,)(計(jì)計(jì)算算值值的的近近似似值值作作為為而而以以為為精精確確值值假假設(shè)設(shè)kkkxfxfxf為為誤誤差差)()(kkkxfxf nI nkknkxfCab0)()()(記記)(計(jì)算值計(jì)算值的近似值的近似值為為nI而理論值為而理論值為nI nkknkxfCab0)()()(的誤差為的誤差為與與nnIInnII nkkknkxfxfCab0)()()()(26nnII nkknkCab0)()( nkknkCab0)()( nnII nknkCab0)()

17、( |max|k 有有若若, 0,)( nkCnknnII nknkCab0)()( nknkCab0)(1)( )(ab 10)( nknkC性性質(zhì)質(zhì)：即即nnII )(ab 27即即nnII )(ab Newton-Cotes公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的倍)(ab 時(shí)時(shí)，公公式式都都是是穩(wěn)穩(wěn)定定的的當(dāng)當(dāng)事事實(shí)實(shí)上上8, n公公式式是是穩(wěn)穩(wěn)定定的的時(shí)時(shí)即即CotesNewtonCnknk ,0,)( nknkCab0)()( 有有有有正正有有負(fù)負(fù)若若,)(nkC nknkCab0)()( )(ab 此時(shí)此時(shí),公式的穩(wěn)定性將無法保證公式的穩(wěn)定性將無法保證.因此因

18、此,在實(shí)際應(yīng)用在實(shí)際應(yīng)用中一般不使用高階中一般不使用高階Newton-Cotes公式公式.而是采用低階復(fù)而是采用低階復(fù)合求積法。合求積法。28舉例（一）q 例：例：分別用梯形公式和分別用梯形公式和simpson公式計(jì)算積分公式計(jì)算積分 10dxe-x解：解：a0, b1, f (x) = e -x ，由由 simpson 公式可公式可得得 6323. 0461)()(4)(615 . 002 eeebffafabSba 6839. 021)()(210 eebfafabT由由梯形公式可梯形公式可得得 與精確值與精確值 0.6321 相比相比得誤差分別為得誤差分別為 0.0518 和和 0.00

19、02。293.2復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式q 提高積分計(jì)算精度的常用兩種方法提高積分計(jì)算精度的常用兩種方法 用用 復(fù)合公式復(fù)合公式 用用 非等距節(jié)點(diǎn)非等距節(jié)點(diǎn)q 復(fù)合求積公式：復(fù)合求積公式：將積分區(qū)間分割成多個(gè)小區(qū)間，然將積分區(qū)間分割成多個(gè)小區(qū)間，然后在每個(gè)后在每個(gè)小區(qū)間小區(qū)間上使用低次牛頓科特斯求積公式。上使用低次牛頓科特斯求積公式。q 將將a, b 分成分成 n 等分等分 xi , xi+1 ，其中節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)(i = 0, 1, , n)nabhhiaxi ,數(shù)值積分公式與多項(xiàng)式插值有很大的關(guān)系。因此數(shù)值積分公式與多項(xiàng)式插值有很大的關(guān)系。因此Runge現(xiàn)現(xiàn)象的存在，使得我們不能用太多的積

20、分點(diǎn)計(jì)算。采用與插象的存在，使得我們不能用太多的積分點(diǎn)計(jì)算。采用與插值時(shí)候類似，我們采用分段、低階的方法值時(shí)候類似，我們采用分段、低階的方法301、復(fù)合梯形公式及余項(xiàng)、復(fù)合梯形公式及余項(xiàng)q 復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式:)()(2d )(d )(110101 iibaninixxxfxfhxxfxxfii )()(2)(2d )(11bfxfafhxxfniibaTnq 余項(xiàng)：余項(xiàng)：）（ 103)(12niinfhTfI 103)(12niifh 10)(1)(niifnf )(122 fhab ， (a, b)一、復(fù)合求積公式及余項(xiàng)312.復(fù)合simpson公式及余項(xiàng)q 復(fù)合復(fù)合simpson公

21、式公式: )()(2)(4)(6d )(111021bfxfxfafhxxfniiniibaSn)()(4)(6d )(11021 iiibanixfxfxfhxxfq 余項(xiàng)：余項(xiàng)： 10)4(5)(2880niinfhSfI）（ 10)4(5)(2880niifh 10)4()4()(1)(niifnf )(2880)4(4 fhab ， (a, b)323.復(fù)合科特斯公式及余項(xiàng)q 復(fù)合復(fù)合cotes公式公式:Cnq 余項(xiàng)：余項(xiàng)： )(12)(32)(790d )(10102141niiniibaxfxfafhxxf )(7)(14)(32111043bfxfxfniinii)(4945)(

22、 2)6(6 fhabCfIn ， (a, b)33舉例（二）解：解：q 例：例：設(shè)設(shè) ，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合形公式和復(fù)合simpson公式計(jì)算積分公式計(jì)算積分 xxxfsin)( 10dsinxxxxi01/82/83/84/85/86/87/81.0f (xi )10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.8419456909. 0)()(2)(16187108 xfxfxfTii )()()()(4)(241753104xfxfxfxfxfS 9460832. 0)()()()(28642 xfxfxfxf

23、34二、誤差的事后估計(jì)二、誤差的事后估計(jì)3536一一 龍貝格公式龍貝格公式 用梯形公式得到的積分用梯形公式得到的積分 近似值近似值 的誤差大致是的誤差大致是 ,因此人們期望因此人們期望, nT2)(312nnTT nT2如果用這個(gè)誤差作為對如果用這個(gè)誤差作為對 的一種補(bǔ)償?shù)囊环N補(bǔ)償,則得到的求積公式則得到的求積公式的代數(shù)精度會(huì)有所提高。的代數(shù)精度會(huì)有所提高。3.3 龍貝格求積法龍貝格求積法nnnnnbaTTTTTdxxf3134)(31)(222 (1)37通過直接驗(yàn)證可知通過直接驗(yàn)證可知nnnTTS31342 (2)也就是說也就是說 , 用梯形公式二分前后的兩個(gè)積分值用梯形公式二分前后的兩個(gè)

24、積分值 與與 按照公式按照公式 (1) 做線形組合做線形組合,其結(jié)果正好是用其結(jié)果正好是用拋物線公式得到的積分值拋物線公式得到的積分值 。nTnT2nS38 用拋物線公式得到的積分近似值用拋物線公式得到的積分近似值 的誤差大致是的誤差大致是 ,因此對拋物線公式進(jìn)因此對拋物線公式進(jìn)行修正行修正, 得到得到nS215)(2nnSS nnnnnbaSSSSSdxxf1511516)(151)(222 (3)39也就是說也就是說 , 用拋物線公式二分前后的積分值用拋物線公式二分前后的積分值 與與 按照公式按照公式(3) 作線形組合作線形組合, 其結(jié)果正好是用柯特斯公式其結(jié)果正好是用柯特斯公式得到的積分

25、值得到的積分值 。nSnS2nC通過直接驗(yàn)證可知通過直接驗(yàn)證可知nnnSSC15115162 (4)40 用柯特斯公式得到的積分近似值用柯特斯公式得到的積分近似值 的誤差大致是的誤差大致是 ,因此因此, 對柯特斯公式進(jìn)行對柯特斯公式進(jìn)行修改修改,得到求積公式得到求積公式nC263)(2nnCC nnnnnbaSCCCCdxxf6316364)(631)(222 (5)為此為此,構(gòu)造求積公式構(gòu)造求積公式nnnCCR63163642 (6)稱稱(6)式為式為龍貝格龍貝格(Romberg)公式。公式。41龍貝格公式是一種計(jì)算積分的方法。在變步長的求龍貝格公式是一種計(jì)算積分的方法。在變步長的求積過程中

26、積過程中, 運(yùn)用運(yùn)用(2) , (4) , (6) 式可以將精度低的梯形式可以將精度低的梯形值值 逐步加工成精度較高的拋物線逐步加工成精度較高的拋物線 ,柯特斯值柯特斯值 與龍貝格值與龍貝格值 。nTnSnCnR42(1)計(jì)算計(jì)算f(a) , f(b) , 算出算出 。 1T(2) 把把 a , b 2等分等分, 計(jì)算計(jì)算 , 算出算出 與與 。 2baf2T1S(3) 把把 a , b 4等分等分,計(jì)算計(jì)算 算出算出 與與 。,43,4 abafabaf24,ST1C龍貝格求積的計(jì)算步驟如下：龍貝格求積的計(jì)算步驟如下：43(5) 把把 a , b 16等分等分, 計(jì)算計(jì)算(4) 把把 a ,

27、 b 8 等分等分, 計(jì)算計(jì)算 算出算出 與與 與與 。7, 5, 3, 1,8 iabiaf48,ST1R2C15, 5, 3, 1,16 iabiaf4C算出算出 與與 與與 , 繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行, 直到直到 時(shí)停止計(jì)算時(shí)停止計(jì)算, 就是所求的積分值就是所求的積分值.816,ST nnRR2(允許誤差允許誤差)2RnR244用龍貝格求積法計(jì)算積分用龍貝格求積法計(jì)算積分dxxI 10214的近似值的近似值,要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第5位位解解 214xxf 例例 145(1) 21,40 ff3)1()0(211 ffT(2)2 . 3)21( f1 . 3)21(21

28、2112 fTT13333. 33134121 TTS46(3)56. 2)43(,76471. 3)41( ff13118. 3)43(41(412124 ffTT14157. 33134242 TTS14212. 31511516121 SSC47(4)50685. 3)83(,93864. 3)81( ff26549. 2)87(,87640. 2)85( ff13899. 3)87()85()83()81(812148 ffffTT14159. 33134484 TTS14159. 31511516242 SSC14158. 36316364121 CCR48(5)14159. 3,1

29、4159. 314159. 3,14094. 324816 RCST(6)14159. 3,15159. 314159. 3,14143. 3481632 RCST14159. 314102 dxx所以所以事實(shí)上事實(shí)上, I 的準(zhǔn)確值為的準(zhǔn)確值為10102arctan414xdxxI 15159265. 3 49第第4節(jié)高斯公式節(jié)高斯公式代數(shù)精度的幾種等價(jià)定義代數(shù)精度的幾種等價(jià)定義12503定理定理51證明證明52一、高斯公式的概念一、高斯公式的概念可以證明可以證明, 對于對于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式適當(dāng)選取求積節(jié)點(diǎn)適當(dāng)選取求積節(jié)點(diǎn)xk, 可使其具有可使其具有2n+1

30、次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 這種求積公式稱為高斯這種求積公式稱為高斯(Gauss)求積公式求積公式, 簡稱高斯簡稱高斯公式公式, 其求積節(jié)點(diǎn)其求積節(jié)點(diǎn)xk稱為高斯點(diǎn)。稱為高斯點(diǎn)。0( )d()( )d0,1, )nbkkakbkkaIf xxA f xAlxxkn 535455設(shè)設(shè)f(x)和和g(x)是區(qū)間是區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 若滿足若滿足0d)()( xxgxfba則稱兩函數(shù)在區(qū)間則稱兩函數(shù)在區(qū)間a, b上是正交的上是正交的10( )()nnkkxxx 與一切次數(shù)不超過與一切次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式P(x)正交正交, 即即對插值型求積公式對插值型求積公式 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)xk (

31、k=0,1,2,n) 是高斯點(diǎn)的充要條件是是高斯點(diǎn)的充要條件是 bankkkxfAxxfI0)(d)( banxxxP0d)()(1 定理定理定義定義5657以上定理表明正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式的高以上定理表明正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式的高斯點(diǎn)。斯點(diǎn)。58定理定理591. 區(qū)間區(qū)間-1, 1上的高斯公式上的高斯公式100111( )d()()f xxA f xA f x 取取)13(21)(32 xxP的兩個(gè)零點(diǎn)的兩個(gè)零點(diǎn)0111,33xx 構(gòu)造求積公式構(gòu)造求積公式101111( )d()()33f xxA fA f 二、高斯勒讓德求積公式二、高斯勒讓德求積公式60令其對令其對f(x)=

32、1, x 精確成立精確成立, 有有0101211033AAAA 解出解出 A121, 從而得到代數(shù)精度為從而得到代數(shù)精度為3的兩點(diǎn)高斯的兩點(diǎn)高斯勒讓德公式勒讓德公式)31()31()(11ffdxxf 101111( )d()()33f xxA fA f 615432節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)240.3478548451 0.6521451549 0.8611363116 0.3399810436311求積系數(shù)求積系數(shù)k求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)xkn13 305 ，5 8,9 9高斯勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)高斯勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)62高斯勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)高斯勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)n節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)

33、求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)xk求積系數(shù)求積系數(shù)k120.5773503123 0.7745966692 0.00000000000,5555555556 0.888888888934 0.8611363116 0.33998104360.3478548451 0.652145154945 0.9061798459 0.5384693101 0.00000000000.2369268851 0.478628670 0.568888889632. 區(qū)間區(qū)間a ,b上的高斯求積公式上的高斯求積公式作變量替換作變量替換22abtabx 11( )d()d222bababa baf xxftt 然后再用然后再用-

34、1,1上的高斯勒讓德求積公式。上的高斯勒讓德求積公式。得得11( )d()d222bababa baf xxftt 64( )d() ()2babaf xxba f 這就是中矩形公式這就是中矩形公式( )d()()2222 32 3bab ab ab ab ab af x xff 用一點(diǎn)高斯勒讓德公式有用一點(diǎn)高斯勒讓德公式有用兩點(diǎn)高斯勒讓德公式有用兩點(diǎn)高斯勒讓德公式有例如例如65三、高斯公式的余項(xiàng)、收斂性和穩(wěn)定性三、高斯公式的余項(xiàng)、收斂性和穩(wěn)定性66可以證明可以證明, 若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在a, b上有連續(xù)的上有連續(xù)的2n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù),則高斯公式的求積余項(xiàng)為則高斯公式的求積余項(xiàng)為(22)21

35、0101( )( )d()( )d(22)! , ,( )()()()knnbbknaaknnfRf xxA f xxxna bxxxxxxx 特別地特別地110( )d()knkkRf xxA f x 234(22)32(1)!( ) 1,1(23)(22)!nnnfnn 67(1)(1)11d( )( )( )( )( )( )d(1)!nnnnnfffxP xxxxn (1)1( )()()()(1)!nknknkffxP xxn 1()00,1,nkxkn 稱為稱為插值型的數(shù)值微分公式。插值型的數(shù)值微分公式。因?yàn)橐驗(yàn)樗运?)()0,1,knkfxP xkn第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值

36、微分 一、插商型導(dǎo)數(shù)的近似公式一、插商型導(dǎo)數(shù)的近似公式二、插值型求導(dǎo)公式二、插值型求導(dǎo)公式68 當(dāng)為等距節(jié)點(diǎn)當(dāng)為等距節(jié)點(diǎn)(步長為步長為h)時(shí)時(shí),節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)公式如下節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)公式如下: 01010111101()()()()1()()()()fxP xf xf xhfxP xf xf xh兩點(diǎn)公式兩點(diǎn)公式(n =1)69三點(diǎn)公式三點(diǎn)公式(n =2) 001210220121()3 ()4 ()()21()()()21()()4 ()3 ()2fxf xf xf xhfxf xf xhfxf xf xf xh 70 設(shè)設(shè) 在在 上具有任意階導(dǎo)數(shù)上具有任意階導(dǎo)數(shù) ， 為將為將 6342210)(

37、hahahaIhT(7)式中系數(shù)式中系數(shù) 與與 無關(guān)無關(guān)), 2 , 1( iai ba, xf hT0 nba,Ih 等分用梯形公式得到的積分值等分用梯形公式得到的積分值 ， 為積分準(zhǔn)確值，為積分準(zhǔn)確值，則則定理定理三三 理查森外推加速法理查森外推加速法71證明證明設(shè)設(shè) 在子區(qū)間在子區(qū)間 的中點(diǎn)的中點(diǎn) 泰泰勒展開后相加得勒展開后相加得 1, iixfxf 1, iixx21 ix 2122112! 2)()(2iiiifhhhfxfxfh )6(216)4(2142! 62! 4iifhhfhh72從從 從從0 到到 求和求和, 得得i1 n 1010)()(2)(niiixfxfhhT 10)4(214510 212310212! 42! 2niiniiniifhfhfh 10)6(21662! 6niifh(8)73另一方面另一方面, 將將 在子區(qū)間在子區(qū)間 的中點(diǎn)的中點(diǎn) 泰