隨機(jī)變量的聯(lián)合分布學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1隨機(jī)變量的聯(lián)合隨機(jī)變量的聯(lián)合(linh)分布分布第一頁(yè)，共26頁(yè)。一、二維隨機(jī)變量(su j bin lin)及其分布函數(shù) 二、二維離散(lsn)型隨機(jī)變量 三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin) 四、兩個(gè)常用的分布 五、小結(jié)第1頁(yè)/共26頁(yè)第二頁(yè)，共26頁(yè)。一 二維隨機(jī)變量(su j bin lin)有些隨機(jī)現(xiàn)象需要用兩個(gè)(lin )隨機(jī)變量才能描述，如：向一球門(mén)射球，觀(guān)察射入(sh r)點(diǎn)的位置。令 X 表示射中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則樣本空間可用隨機(jī)變量 X 與 Y 聯(lián)合表示為： ,X YX YD 稱(chēng)（X，Y）為二維隨機(jī)變量。設(shè)球門(mén)占平面區(qū)域 D ，Y 表示射中點(diǎn)的縱坐標(biāo)。第2

2、頁(yè)/共26頁(yè)第三頁(yè)，共26頁(yè)。圖示( )Y()X, ,( )( ),(, ),.EXXYYX Y 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) 它的樣本空間是設(shè)和是定義在上的隨機(jī)變量由它們構(gòu)成的一個(gè)向量叫作二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量1.定義(dngy)第3頁(yè)/共26頁(yè)第四頁(yè)，共26頁(yè)。實(shí)例1 炮彈的彈著點(diǎn)的位置 ( X, Y ) 就是(jish)一個(gè)二維隨機(jī)變量. 二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 的性質(zhì)不僅(bjn)與 X 、Y 有關(guān),而且還依賴(lài)于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.實(shí)例2 考查某一地 區(qū)學(xué)前兒童(r tng)的發(fā)育情況 , 則兒童(r tng)的身高 H 和體重 W 就構(gòu)成二維隨機(jī)變量 ( H, W ).說(shuō)明 第

3、4頁(yè)/共26頁(yè)第五頁(yè)，共26頁(yè)。2.二維隨機(jī)變量(su j bin lin)的分布函數(shù) (1)分布(fnb)函數(shù)的定義 (P48-定義1).,),(,)()(),( :,),( 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)和和機(jī)機(jī)變變量量或或稱(chēng)稱(chēng)為為隨隨的的分分布布函函數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX Joint Probability Distribution Function第5頁(yè)/共26頁(yè)第六頁(yè)，共26頁(yè)。xoy),(yx yYxX ,. ),(域內(nèi)的概率域內(nèi)的概率在如圖所示區(qū)在如圖所示

4、區(qū)的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落yxF第6頁(yè)/共26頁(yè)第七頁(yè)，共26頁(yè)。(2) 分布(fnb)函數(shù)的性質(zhì)o21212( , ),(, )(, ),F x yxyyxxF xyF x y是變量和的不減函數(shù) 即對(duì)于任意固定的當(dāng)時(shí)).,(),(,1212yxFyxFyyx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于任任意意固固定定的的o1 0( , )1,F x y , y3 對(duì)于任意固定的, 0),(lim),( yxFyFx,x對(duì)對(duì)于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy第7頁(yè)/共26頁(yè)第八頁(yè)，共26頁(yè)。. 1),(lim),( yxFFyxo4( , )(0, ),( , )( ,0),

5、( , ),.F x yF xy F x yF x yF x yxy即關(guān)于右連續(xù) 關(guān)于也右連續(xù), 0),(lim),( yxFFyxxoy),(yx yYxX ,第8頁(yè)/共26頁(yè)第九頁(yè)，共26頁(yè)。o12125,xxyy對(duì)于任意有1212,P xXxyYy22122111 = (,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y12,x y11,x y21,xy22,xyxy第9頁(yè)/共26頁(yè)第十頁(yè)，共26頁(yè)。 若二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限(yuxin)對(duì)或無(wú)限可列多對(duì),則稱(chēng) ( X, Y ) 為二維離散型隨機(jī)變量.定義(dngy) (P62) 例如 二維隨機(jī)

6、變量( X, Y ) 表示擲兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù), 則( X, Y )的所有可能取值為36對(duì). 第10頁(yè)/共26頁(yè)第十一頁(yè)，共26頁(yè)。2. 二維離散(lsn)型隨機(jī)變量的分布律 (P62-定義2) 1110,21.ijijijpp其中, . , ),( , 2, 1, 2, 1,),(),(的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律和和或隨機(jī)變量或隨機(jī)變量的分布律的分布律變量變量稱(chēng)此為二維離散型隨機(jī)稱(chēng)此為二維離散型隨機(jī)記記值為值為所有可能取的所有可能取的設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 11122122121nnpppppp即第11頁(yè)/共26頁(yè)第十二頁(yè)，共2

7、6頁(yè)。二維隨機(jī)變量 ( X,Y ) 的分布(fnb)律也可表示為YX12 jyyy12ixxx1 11 21 jppp2 12 22 jppp12 iiijppp第12頁(yè)/共26頁(yè)第十三頁(yè)，共26頁(yè)。.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的的分分布布律律試試求求整整數(shù)數(shù)值值中中等等可可能能地地取取一一在在另另一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量取取值值四四個(gè)個(gè)整整數(shù)數(shù)中中等等可可能能地地在在設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量YXXYX解:,的的取取值值情情況況是是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i.的正整數(shù)的正整數(shù)取不大于取不大于ij且由乘法(chngf)公式得,jYiXP iXPiXjYP ,41

8、1 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的的分分布布律律為為于于是是),(YX例1第13頁(yè)/共26頁(yè)第十四頁(yè)，共26頁(yè)。YX12341234410001881001121121210116116116161,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 第14頁(yè)/共26頁(yè)第十五頁(yè)，共26頁(yè)。三 二維連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)1.定義(dngy)若存在一非負(fù)函數(shù) ，使隨機(jī)變量,f x y,X Y,yxf x y dxdy 則稱(chēng) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，,X Y,X Y,f x y稱(chēng)為 的（聯(lián)合）概率密度或（聯(lián)合）分布密度。,F x

9、yP Xx Yy的聯(lián)合分布函數(shù)設(shè) 為二維隨機(jī)變量，,X Y第15頁(yè)/共26頁(yè)第十六頁(yè)，共26頁(yè)。 二維連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)的概率密度的性質(zhì) 3,DPX YDfx y dxdy 2,1f x y dxdyF 4,f x yx y若 在點(diǎn) 連續(xù)，則有2,F x yf x yx y 1,0fx y第16頁(yè)/共26頁(yè)第十七頁(yè)，共26頁(yè)。 二維連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)的分布（1）均勻分布若某一質(zhì)點(diǎn)等可能(knng)地落在平面區(qū)域 D 上，（X，Y）表示質(zhì)點(diǎn)落入點(diǎn)的坐標(biāo)

10、，則（X，Y）的分布密度為：1,0,x yDA Df x yx yDA DD其中 表示 的面積。這時(shí)稱(chēng)（X，Y）在 D 上服從二維均勻分布。均勻分布對(duì)應(yīng)的是幾何概型。第17頁(yè)/共26頁(yè)第十八頁(yè)，共26頁(yè)。 二維連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量(su j bin lin)的分布（2）正態(tài)分布若（X，Y）的分布(fnb)密度為：2211222221212122 12121,21xxyyf x ye 則稱(chēng)（X，Y）服從參數(shù)為 的二維正態(tài)分布。1212, 其中 均為參數(shù)，且1212, 120,0, 11 ,xy 第18頁(yè)/共26頁(yè)第十九頁(yè)，共26頁(yè)。例2 設(shè)隨機(jī)變量(

11、su j bin lin)（X，Y）的概率密度為：6,02, 24,0,Axyxyf x y其它地方其中 3,3PX YDDx y xy求： 21,3 ;P XY 1;A224422061022xAxyxdyAy dy解： 42201,6f x y dxdyAxy dx dy 4221081AyyA18A 第19頁(yè)/共26頁(yè)第二十頁(yè)，共26頁(yè)。例2 設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)（X，Y）的概率密度為：6,02, 24,0,Axyxyf x y其它地方其中 3,3PX YDDx y xy求： 21,3 ;P XY 1;A解： 1321,3,XYP XYfx y dxdy12313202

12、01166882xxy dx dyxyxdy 323221111 113828228yyy dy1,3第20頁(yè)/共26頁(yè)第二十一頁(yè)，共26頁(yè)。例2 設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)（X，Y）的概率密度為：6,02, 24,0,Axyxyf x y其它地方其中 3,3PX YDDx y xy求： 21,3 ;P XY 1;A解： 3,DPX YDf x y dxdy3320168yxy dx dy 232316 3382yyyydy323201682yxxyxdy524第21頁(yè)/共26頁(yè)第二十二頁(yè)，共26頁(yè)。.)2();,()1(., 0, 0, 0,e2),(),()2(XYPyxFyxyxfYXyx 求概率求概率求分布函數(shù)求分布函數(shù)其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量例3第22頁(yè)/共26頁(yè)第二十三頁(yè)，共26頁(yè)。解 yxyxyxfyxFdd),(),()1( .,0, 0, 0,dde200)2(其他其他yxyxyxyx., 0. 0, 0),e1)(e1 (),(2其他得yxyxFyx第23頁(yè)/共26頁(yè)第二十四頁(yè)，共26頁(yè)。,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2) 將 ( X,Y )看作是平面(pngmin)上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),即有XY GxyOyxyxfGdd),( 2002e