(專題)數(shù)列求和的幾種方法-.

1、2021/8/61數(shù)列的幾種求和方法 2021/8/62課程標(biāo)準(zhǔn)：課程標(biāo)準(zhǔn)：探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；項(xiàng)和公式； 學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、熟練應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前、熟練應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算；項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算； 2、學(xué)會(huì)常用的求和方法：錯(cuò)位相、學(xué)會(huì)常用的求和方法：錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)求和法、分組求和法、減法、裂項(xiàng)求和法、分組求和法、倒序相加法倒序相加法2021/8/631.公式法：等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：項(xiàng)和公式：等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 n即直接用求和公式，求數(shù)列的前n和S11()(1)22nn

2、n aan nSnad111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq2021/8/64常用到下列數(shù)列的前常用到下列數(shù)列的前n項(xiàng)和：項(xiàng)和：2)1(321nnn2) 12(531nn6) 12)(1(3212222nnnn233332) 1(321nnn2021/8/65練習(xí)：已知數(shù)列練習(xí)：已知數(shù)列an 若若 ,求求Sn. . , ,求求Sn. . 3 2nna 若若32 nan2021/8/66例例2 2、求數(shù)列求數(shù)列,)23(1,101,71,41,11132naaaan的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和 解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，前前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，則則 )23(11na

3、ann)23 (741 )1111 (12naaaSnn當(dāng)當(dāng) 232)231(2nnnnnSn2) 13(12)231 (11111nnaaannaaSnnnnn1a時(shí)，時(shí)， 時(shí)，時(shí)， 1a當(dāng)當(dāng) 2. 2.分組求和：分組求和： 2021/8/67若若an=(An+B)+qn,則求則求Sn用用 .分組求和法分組求和法練習(xí)練習(xí) .S, n10a1nnn求的通項(xiàng)公式為、已知數(shù)列na2、若數(shù)列通項(xiàng)an=n(n+1),求該數(shù)列前n項(xiàng)的和。2021/8/68例例3、求數(shù)列求數(shù)列 ,) 1(6,436,326,216 nn前前n項(xiàng)和項(xiàng)和分析：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為分析：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為bn，則則 )111(6)1(n

4、nnnbn3.3.裂項(xiàng)相消：裂項(xiàng)相消： 16)111 ( 6)111()3121()211(621nnnnnbbbSnn2021/8/69nb例例4、設(shè)、設(shè) 是公差是公差d 不為零的等差數(shù)列不為零的等差數(shù)列 ， 滿足滿足 求：求： 的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和na11nnnaab解:11nnnba a1111()nndaa123nnSbbbb)11(1)11(1)11(113221nnaadaadaad122311111111()nndaaaaaa11111()ndaa11.nna a nb2021/8/610常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnk

5、knn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.4nnnnnnn)(11. 5bababa若若 ,則求則求Sn用用 .)(1CAnBAnan裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法2021/8/611練練習(xí)習(xí):.3211. 1項(xiàng)項(xiàng)和和的的數(shù)數(shù)列列的的前前求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式為為nnan ) 1n(、求2021/8/612例例5、求和、求和Sn =1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)分析分析這是一個(gè)等差數(shù)列這是一個(gè)等差數(shù)列n與一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列xn-1的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)相乘構(gòu)成的新數(shù)列，這樣的數(shù)列求和該如何求呢？相乘構(gòu)成的新數(shù)列

6、，這樣的數(shù)列求和該如何求呢？Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1 xSn = x + 2x2 + (n-1)xn-1 + nxn (1-x)Sn =1 + x + x2+ + xn-1 - nxn n項(xiàng)這時(shí)等式的右邊是一個(gè)等比數(shù)這時(shí)等式的右邊是一個(gè)等比數(shù)列的前列的前n項(xiàng)和與一個(gè)式子的和，項(xiàng)和與一個(gè)式子的和，這樣我們就可以化簡(jiǎn)求值。這樣我們就可以化簡(jiǎn)求值。相減4.錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法2021/8/613練習(xí)練習(xí)、求數(shù)列求數(shù)列 21nn 前前n項(xiàng)和項(xiàng)和 解：解： nnnS21813412211 12121) 1(161381241121 nnnnnS 兩式相減： 112211)211

7、(21212181412121 nnnnnnnSnnnnnnnS2212)2211(211 2021/8/614 錯(cuò)位相減法：錯(cuò)位相減法：設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 是公差為是公差為d的等差數(shù)列的等差數(shù)列（d不等于零），數(shù)列不等于零），數(shù)列 是公比為是公比為q的等比數(shù)列的等比數(shù)列(q不不等于等于1），數(shù)列），數(shù)列 滿足：滿足： 則則 的前的前n項(xiàng)和為：項(xiàng)和為：na nbnnnca b nc nc123112233nnnnScccca ba ba ba b將上式各項(xiàng)乘以公比q2021/8/6155、倒序相加法、倒序相加法問(wèn)題：?jiǎn)栴}：什么時(shí)候用倒序相加的方法求數(shù)列和？什么時(shí)候用倒序相加的方法求數(shù)列和？倒序倒序?qū)?/p>

8、應(yīng)項(xiàng)相加均相等時(shí)，往往用倒序相加的方法。對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加均相等時(shí)，往往用倒序相加的方法。例如：等差數(shù)列前例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和。項(xiàng)和。89sin3sin2sin1sin:62222 ：求求例例2021/8/616 。的值為求得項(xiàng)和的公式的方法，可推導(dǎo)等差數(shù)列前，利用課本中設(shè)練習(xí)：65045221)2003(fffffnxfsx232021/8/617數(shù)列求和1 運(yùn)運(yùn) 用用 公公 式式 法法3 錯(cuò)錯(cuò) 位位 相相 減減 法法4 裂裂 項(xiàng)項(xiàng) 相相 消消 法法2 分組求和法分組求和法5 倒序相加法倒序相加法等差或等比數(shù)列直接應(yīng)用求和公式化歸思想轉(zhuǎn)化成等差、等比數(shù)列求2021/8/618作業(yè)：1111(1).

9、147(32)2482nnSn221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa23(3).230nnSxxxnxx2222123123357,.nknSaaak選作：設(shè)a，則數(shù)列的前 項(xiàng)和 114313212114nnSn2021/8/6191. 求和：求和： )12()9798()99100(2222222. 求和：求和： 14 + 25 + 36 + + n(n + 1) 課堂訓(xùn)練課堂訓(xùn)練: : 2021/8/6201. 求和求和： )12()9798()99100(222222 (答案: 5050)2. 求和：求和： 14 + 25 + 36 + + n(n + 1) 課堂訓(xùn)練課堂訓(xùn)練: : 2021/8/6211. 求和： )12()9798()99100(222222 (答案: 5050)2. 求和： 14 + 25 + 36 + + n(n + 3) )3)5)(1(:(nnnSn答案 課堂訓(xùn)練課堂訓(xùn)練: : 2021/8/6223. 求數(shù)列求數(shù)列 2323nn前前n項(xiàng)和項(xiàng)和 )2128:(3nnnS答案 課堂訓(xùn)練課堂訓(xùn)練: : 2021/8/623 思考：思考：. 求數(shù)列1，(1+a)，(1+a+a2)，(1+a