(專題)數(shù)列求和的幾種方法-.

1、2021/8/61數(shù)列的幾種求和方法 2021/8/62課程標準：課程標準：探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式；項和公式； 學習目標：學習目標： 1、熟練應用等差、等比數(shù)列的前、熟練應用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行計算；項和公式進行計算； 2、學會常用的求和方法：錯位相、學會常用的求和方法：錯位相減法、裂項求和法、分組求和法、減法、裂項求和法、分組求和法、倒序相加法倒序相加法2021/8/631.公式法：等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項和公式：項和公式：等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項和公式項和公式 n即直接用求和公式，求數(shù)列的前n和S11()(1)22nn

2、n aan nSnad111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq2021/8/64常用到下列數(shù)列的前常用到下列數(shù)列的前n項和：項和：2)1(321nnn2) 12(531nn6) 12)(1(3212222nnnn233332) 1(321nnn2021/8/65練習：已知數(shù)列練習：已知數(shù)列an 若若 ,求求Sn. . , ,求求Sn. . 3 2nna 若若32 nan2021/8/66例例2 2、求數(shù)列求數(shù)列,)23(1,101,71,41,11132naaaan的前的前n項和項和 解：設數(shù)列的通項為解：設數(shù)列的通項為an，前前n項和為項和為Sn，則則 )23(11na

3、ann)23 (741 )1111 (12naaaSnn當當 232)231(2nnnnnSn2) 13(12)231 (11111nnaaannaaSnnnnn1a時，時， 時，時， 1a當當 2. 2.分組求和：分組求和： 2021/8/67若若an=(An+B)+qn,則求則求Sn用用 .分組求和法分組求和法練習練習 .S, n10a1nnn求的通項公式為、已知數(shù)列na2、若數(shù)列通項an=n(n+1),求該數(shù)列前n項的和。2021/8/68例例3、求數(shù)列求數(shù)列 ,) 1(6,436,326,216 nn前前n項和項和分析：設數(shù)列的通項為分析：設數(shù)列的通項為bn，則則 )111(6)1(n

4、nnnbn3.3.裂項相消：裂項相消： 16)111 ( 6)111()3121()211(621nnnnnbbbSnn2021/8/69nb例例4、設、設 是公差是公差d 不為零的等差數(shù)列不為零的等差數(shù)列 ， 滿足滿足 求：求： 的前的前n項和項和na11nnnaab解:11nnnba a1111()nndaa123nnSbbbb)11(1)11(1)11(113221nnaadaadaad122311111111()nndaaaaaa11111()ndaa11.nna a nb2021/8/610常見的拆項公式有：常見的拆項公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnk

5、knn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.4nnnnnnn)(11. 5bababa若若 ,則求則求Sn用用 .)(1CAnBAnan裂項相消法裂項相消法2021/8/611練練習習:.3211. 1項項和和的的數(shù)數(shù)列列的的前前求求通通項項公公式式為為nnan ) 1n(、求2021/8/612例例5、求和、求和Sn =1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)分析分析這是一個等差數(shù)列這是一個等差數(shù)列n與一個等比數(shù)列與一個等比數(shù)列xn-1的對應的對應相乘構成的新數(shù)列，這樣的數(shù)列求和該如何求呢？相乘構成的新數(shù)列

6、，這樣的數(shù)列求和該如何求呢？Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1 xSn = x + 2x2 + (n-1)xn-1 + nxn (1-x)Sn =1 + x + x2+ + xn-1 - nxn n項這時等式的右邊是一個等比數(shù)這時等式的右邊是一個等比數(shù)列的前列的前n項和與一個式子的和，項和與一個式子的和，這樣我們就可以化簡求值。這樣我們就可以化簡求值。相減4.錯位相減法錯位相減法2021/8/613練習練習、求數(shù)列求數(shù)列 21nn 前前n項和項和 解：解： nnnS21813412211 12121) 1(161381241121 nnnnnS 兩式相減： 112211)211

7、(21212181412121 nnnnnnnSnnnnnnnS2212)2211(211 2021/8/614 錯位相減法：錯位相減法：設數(shù)列設數(shù)列 是公差為是公差為d的等差數(shù)列的等差數(shù)列（d不等于零），數(shù)列不等于零），數(shù)列 是公比為是公比為q的等比數(shù)列的等比數(shù)列(q不不等于等于1），數(shù)列），數(shù)列 滿足：滿足： 則則 的前的前n項和為：項和為：na nbnnnca b nc nc123112233nnnnScccca ba ba ba b將上式各項乘以公比q2021/8/6155、倒序相加法、倒序相加法問題：問題：什么時候用倒序相加的方法求數(shù)列和？什么時候用倒序相加的方法求數(shù)列和？倒序倒序對

8、應項相加均相等時，往往用倒序相加的方法。對應項相加均相等時，往往用倒序相加的方法。例如：等差數(shù)列前例如：等差數(shù)列前n項和。項和。89sin3sin2sin1sin:62222 ：求求例例2021/8/616 。的值為求得項和的公式的方法，可推導等差數(shù)列前，利用課本中設練習：65045221)2003(fffffnxfsx232021/8/617數(shù)列求和1 運運 用用 公公 式式 法法3 錯錯 位位 相相 減減 法法4 裂裂 項項 相相 消消 法法2 分組求和法分組求和法5 倒序相加法倒序相加法等差或等比數(shù)列直接應用求和公式化歸思想轉化成等差、等比數(shù)列求2021/8/618作業(yè)：1111(1).

9、147(32)2482nnSn221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa23(3).230nnSxxxnxx2222123123357,.nknSaaak選作：設a，則數(shù)列的前 項和 114313212114nnSn2021/8/6191. 求和：求和： )12()9798()99100(2222222. 求和：求和： 14 + 25 + 36 + + n(n + 1) 課堂訓練課堂訓練: : 2021/8/6201. 求和求和： )12()9798()99100(222222 (答案: 5050)2. 求和：求和： 14 + 25 + 36 + + n(n + 1) 課堂訓練課堂訓練: : 2021/8/6211. 求和： )12()9798()99100(222222 (答案: 5050)2. 求和： 14 + 25 + 36 + + n(n + 3) )3)5)(1(:(nnnSn答案 課堂訓練課堂訓練: : 2021/8/6223. 求數(shù)列求數(shù)列 2323nn前前n項和項和 )2128:(3nnnS答案 課堂訓練課堂訓練: : 2021/8/623 思考：思考：. 求數(shù)列1，(1+a)，(1+a+a2)，(1+a