7第七章傅里葉變換

1、第七章傅立葉變換§ 7. 0引言“變換”的概念在數(shù)學(xué)上，為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡單的運(yùn)算，常采用“變換”手段。例如初等數(shù)學(xué)中的利用對數(shù)將較復(fù)雜的乘、除運(yùn)算化為較簡易的加、減運(yùn)算的做法，事實上就是一種 變換，可稱他為對數(shù)變換。詳細(xì)說即，為求兩數(shù)A與B之積AB (商A/B)，可使用對數(shù)變換、變換后的加(減)法運(yùn)算、反對數(shù)變換三個步驟來完成：(1) 、對數(shù)變換：對已知的 A、B分別求出對數(shù)IgA、IgB ；(2) 、變換后的加(減)法運(yùn)算：求出兩個對數(shù)的和IgA lg B (差I(lǐng)gA lg B )；(3) 、反對數(shù)變換：求出上述和(差)的反對數(shù)，即是AB( A/B):AB lg 1(l

2、g A IgB) (A/B lg 1(lg A lg B)。這種方法總起來說是根據(jù)定理：“積(商)的對數(shù)等于對數(shù)的和(差)：lg( AB) IgA lg B (lg( A/ B) IgA IgB) ”得出的。下圖直觀說明了對數(shù)變換的內(nèi)在關(guān)系：常規(guī)域中的運(yùn)算：審劇 AQ乘(除)運(yùn)算對數(shù)變換lg(變換后之域中的運(yùn)算：對數(shù)c IgA、IgB -加(減)運(yùn)算(積 AB (商 A/B)I反對數(shù)變換lg -1 (對數(shù)和 IgA+IgB=Ig(AB) 對數(shù)差 IgA-IgB=Ig(A/B)從數(shù)確定其對數(shù)值的變換稱為正變換，從對數(shù)值確定其反對數(shù)值的變換稱之為反變換或逆變換。數(shù)與其對數(shù)值在一定條件(即 A、B為

3、正實數(shù))下是 對應(yīng)的。變換前的數(shù)常稱為變換后的數(shù)的象原，變換 后的數(shù)常稱為變換前的數(shù)的象。再例如解析幾何中的坐標(biāo)變換、復(fù)變函數(shù)中的保角變換等都屬于這種變換，后面要談的積分變換也是這樣一類變換。當(dāng)然，說變換方法能化復(fù)雜運(yùn)算為簡單運(yùn)算，不僅僅是因為變換后的運(yùn)算較簡單，實際上還依賴于變換及反變換容易進(jìn)行，或者雖不易進(jìn)行，但卻可行，并且已由人們造表(如對數(shù)表、積分變換表等)，通過查表而顯得容易罷了。另外，人們使用變換方法，有時并不是為了計算和求解容易，而是為了研究的容 易。這時使用變換常常是為了容易提取研究對象的信息、規(guī)律。也即并不是為了直接去求解，而是通過變 換建立一種數(shù)學(xué)模型，以供研究。這時并不追

4、求變換與反變換的快、易，而是追求在正變換后而反變換前 的象集中容易顯示信息、容易分析研究問題而已，此時甚至用不著去考慮反變換。例如自動控制理論中采用拉普拉斯變換建立數(shù)學(xué)模型一傳遞函數(shù)一后，立足于復(fù)頻域中作研究的方法就是如此?！胺e分變換”的概念式子bF( ) f(t)K(t, )dt(1)a被用來定義函數(shù)f(t)的積分變換。其中 K(t,)是已知的關(guān)于t和 的一個二元函數(shù)，稱為積分變換的核。若a和b的值是有限的，則稱 F()是f(t)的有限積分變換，否則稱為無限積分變換?？梢?，所謂積分變 換，就是通過含有參變量的積分，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的變換?；蛘哒f，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)f(t)通過上

5、述積分的運(yùn)算變成另一函數(shù)類B中的函數(shù)F()。積分變換又稱為運(yùn)算微積。f(t)稱為象原函數(shù)，F(xiàn)()稱為f(t)的象函數(shù)，在一定條件下，它們是一一對應(yīng)的，而變換是可逆的。當(dāng)選取不同的積分域和變換核時，就得到不同名稱的積分變換。如傅立葉變換F( )f(t)e i tdt ；拉普拉斯變換F( )f(t)e tdt ；0漢克爾變換F( )f (t)tJn( t)dt ，n這里Jn( t)是第一類n階貝塞爾函數(shù)；梅林變換F( )1f(t)t 1dt ，0從泛函的角度看，積分變換是一類泛函。 傅立葉變換和拉普拉斯變換都是一種泛函。這只要將(1)式改寫成F( )bf(t)K(t,)dtF1 f(t), (當(dāng)

6、f 看作變量，看作參變量時) ，或改寫成F( )ab f(t)K(t,a)dtF2 f(t)(當(dāng) f 看作變量，干脆被看作常量時) ，即可明白。要注意 F、Fi、F2等是不同的映射，它們包含著不同的被看作是不動的部分。所謂看作參變量，即暫時看作常量(更妥當(dāng)點(diǎn)，應(yīng)說成“現(xiàn)時看作常量” ，至于以后，不排斥人們?nèi)タ紤]它作為變量) b也就是說，暫時固定 ，可將()K(t, )dt看作泛函算符，這一算符再作用到函數(shù)f(t)上，結(jié)果得出的a是對應(yīng)于函數(shù)f(t)的一個數(shù)Ff(t),。還可以把積分變換看成是一類映射 ( 因線性空間的映射稱為算子，故線性空間的積分變換也說成是積分算子 ) 。如前面就曾說( 1)

7、式將函數(shù) f (t) 變換成另一個函數(shù) F( ) 。這其實就是把 看作變量后而言的。§7.1傅立葉積分與傅立葉定理從傅立葉級數(shù)到傅立葉積分傅立葉級數(shù)能將周期函數(shù)進(jìn)行諧波分解，而傅立葉積分能將非周期函數(shù)進(jìn)行諧波分解。說得更詳細(xì)些,即傅立葉級數(shù)能將一個周期函數(shù)表示成無窮多個離散的頻率為基頻整數(shù)倍的諧函數(shù)之和，而傅立葉積分則 能將一個非周期函數(shù)表示成整個連續(xù)的頻率區(qū)間上的諧函數(shù)的積分。傅立葉級數(shù)還可表示成復(fù)數(shù)形式，由此又可導(dǎo)出傅立葉積分的復(fù)數(shù)形式，隨之便產(chǎn)生了一種積分變換一一傅立葉變換及其逆變換。以上所說的傅立葉級數(shù)及傅立葉積分，只限于對函數(shù)進(jìn)行諧函數(shù)或由它導(dǎo)出的復(fù)數(shù)形式（既虛指數(shù)函 數(shù)e

8、i t）的分解。這種情況下，所說傅立葉級數(shù)及傅立葉積分可看作是狹義的。其實，以諧函數(shù)或虛指數(shù) 函數(shù)作為函數(shù)分解的基底，只是一種特例。更一般地，可以任一種正交函數(shù)作為基底進(jìn)行傅立葉分解。這 里正文主要討論狹義的傅立葉級數(shù)及傅立葉積分，關(guān)于廣義的針對一般正交函數(shù)的傅立葉分解，我們將在 附錄中給出初步的討論。在數(shù)學(xué)分析課程中學(xué)習(xí)傅立葉級數(shù)時，我們已知有如下定理:傅立葉級數(shù)定理：任一個以T為周期的周期函數(shù) fT（t），如果在T,T上滿足狄利克雷（Dirichlet ）2 2條件（簡稱狄氏條件，即函數(shù)在T ,T上滿足：.連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)；.只有有限個極2 2值點(diǎn)），那么在T ,T上就可以展成

9、傅立葉級數(shù)。在fT（t）的連續(xù)點(diǎn)處，其傅立葉級數(shù)的三角形式為2 2其中fT(t)2(an cosn tn 1bn sin n t)(n 1,2,3,)(2)212，（)TT2Ta。2 fT(t)dt(3)T22Tan2 fT (t) cos(nt)dt(4)T2Tbn22 fT (t) sin(nt)dt(5)T2稱為頻率；式（3 ）、(4)、（5 ）稱為函數(shù)fT （t）的傅立葉系數(shù)。稱為角頻率或圓頻率,由（3）、（4）、（5）這三個式子可見，傅立葉系數(shù) an （可將a。合并到an中去，合并后n Q.1,2,3,）和bn都是n （或n ）的函數(shù)，其中an是n的偶函數(shù)，即有而bn是n的奇函數(shù)，即

10、有如果把式（2 ）中的同頻率項合并，則式bn。（2 ）可改寫成（根據(jù)三角函數(shù)二角和公式：cos( ) cos cos sin sin )：也即fT (t)且A1 cos( t21) A2 cos(2 tAo2An cos(n tn 1n)(6)A0a°An.anbn,n 1,2,3,nArctg $an由式（7）可見，An是n的偶函數(shù)，即有AnAn ；而n是n的奇函數(shù)，即有如果將式（6）化為式（2）,系數(shù)關(guān)系為：nn 0a°A°anAn cos n,n 1,2,3,bnAnsinn其中由式（6）可見，任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)可分解為一系列諧函數(shù)分量之和。其中第一

11、項是常2數(shù)項，它是周期函數(shù)的直流分量。 結(jié)合（3）式看，A2a°21 T_f_（t）dt，可知它實際上就是函數(shù)f_（t）T 2在區(qū)間_,_2 2稱之為基波角頻率或簡稱為基角頻）與原周期函數(shù)的相同,項 A2 cos（2 t內(nèi)的平均值。式中第二項Aicos（ t1）稱為基波分量或一次諧波分量，它的角頻率 （可位。 。一般而言，為A1是基波振幅，1是基波初相位。2）稱為二次諧波分量，它的頻率是基波頻率的二倍，A2是二次諧波振幅，An cos（n t n）稱為n次諧波分量，其角頻率為 n ，其振幅為Ann o（ 6）式表明，周期函數(shù)可被分解為各次諧波之和，并且這些諧波的角頻率是基波角頻 以上

12、的式（2）或式（6）稱為傅立葉級數(shù)的三角形式或傅立葉級數(shù)的實數(shù)形式。這種形式雖意義比較 明確，卻運(yùn)算不便，因而常把實數(shù)形式轉(zhuǎn)換為（虛）指數(shù)形式或稱復(fù)數(shù)形式。這只要利用歐拉公式ie cos i sin式中第三2是其初相 ，其初相位 的整數(shù)倍。即可:如果令1cos -2fT (t)a°2i eei ),sina°(ancos n2n 1a°an1in(e2n 121(anibn)tt1nin eTCoa°fT (t)dt2i 1 (eie i )2bn sin n t)in t1 . i ntin t)計 e)(8)(9)1Cn (an ibn)1 T2 f

13、T (t)cos n2T片 fT (t)cos n2T2T fT (t)e2in tdt1 .C n（an ibn）而c0、cn、c n可合寫成一個式子：若又令則（2）式從而（8）式可寫成Ttdt i 2r fT (t)sinn tdt2T2T2(10)i sinn tdt(n 1,2,3,)fT (t)ein tdt(n1,2,3,(11)Cn 1 2t fT (t)e in tdt (n 0, 1, 2,)T 2fT (t)C0n(12)(n 0, 1, 2,)Cnei ntCnei nt1(n1,2,3,fT(t)Cnei ntn(n 0, 1, 2,)(13)1 -f n T 2這就是

14、傅立葉級數(shù)的（虛）指數(shù)形式或說傅立葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式 為了與后續(xù)要講的傅立葉變換的符號統(tǒng)一，可將復(fù)傅立葉系數(shù)“ 在后面要講的傅立葉變換中，是變量，而這里傅立葉級數(shù)中的而把常量的帶到F（n ）中去以n 做為自變量）。由式（10）、式（11 ），我們還容易得出如下的一些系數(shù)關(guān)系:fT (t)ed e nt(14)。Cn稱為函數(shù)5” 寫成“ F（n）” 或“ F（n ）”（注意， 卻是常量，變量是n，所以不妨隨著nfT （t）的復(fù)傅立葉系數(shù)。|Cn | |C n |Cnc n (即Arg CnArctg1 22 anCn和Cbnan2 1bn 一人“；2n是共軛復(fù)數(shù)）ArctgiArg CnCn|Cn

15、 |e g n| Cn | ei nbn_an1 Ane2在（13）式中，單獨(dú)一項Cnei nt 和 n的兩項之和才組成一個諧波分量, Cnein t c ne in t ）。這是因為有（或?qū)懽鰿nein t）并非諧波分量，而是一虛指數(shù)函數(shù)，只有下標(biāo)為n即在復(fù)數(shù)形式中，第n次諧波為Cnei nt c ne i nt （或?qū)懽魈撝笖?shù)ei的樣子看起來，整個式子帶一個 i，好象是個純虛數(shù)，但由歐拉公式又恰可說明它一般是個復(fù)數(shù)而不是虛數(shù)， 注意這個i是作為e的指數(shù)而不是作為一個系數(shù)。從函數(shù)角度看，虛指數(shù)函數(shù)ein t是實變量t的復(fù)函數(shù)。當(dāng)然，將虛指數(shù)說成是復(fù)指數(shù)也是對的。精彩文檔in tin tCne

16、 C ne1 . i n in tAne e2軌評2An cos(n1A nei2f Ane2n)nein ti(n t n)這也顯示了同一個 n的兩個復(fù)數(shù)加起來能得到一個實數(shù)，從而說明了為什么可以將一個實函數(shù)f(t)展開為復(fù)數(shù)。這還說明了另一層意義：雖然在復(fù)數(shù)形式中引用n從而出現(xiàn)了n ，但這并不表示存在著什么負(fù)頻率(考慮頻率物理意義，頻率應(yīng)該總是非負(fù)的)，而只是將實的第 n次諧波分量分寫成兩個復(fù)數(shù)項后出現(xiàn)的一種數(shù)學(xué)形式?？傊?，由上可知， 任意周期函數(shù)fT (t)可被分解為許多不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)ein t的線性組合，其各量的復(fù)數(shù)幅值(又稱為復(fù)數(shù)幅度或復(fù)數(shù)振幅)為 cn。以上討論了周期函數(shù)的傅

17、立葉分解(或說展開)。下面討論非周期函數(shù)的傅立葉分解。任何一個非周期函數(shù) f(t)都可被看作是由某個周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時轉(zhuǎn)化而來的。為了說明這一點(diǎn)，我們作周期函數(shù)為 T的函數(shù)fT(t)，使其在T,T)之內(nèi)等于f(t)，而在T,T)之外按周期延2 2 2 2拓到整個數(shù)軸上，如圖1所示。顯然，T越大，fT(t)與f (t)相等的范圍也越大，這表明當(dāng)T時,周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為非周期 函數(shù)f (t)，即有l(wèi)imT這樣，在(14)式中令Tf (t)的展開式，即fT (t)f(t)時，結(jié)果就可以看成是f(t) Tlimn 當(dāng)n取一切整數(shù)時， 數(shù)軸上。T2T2fT ( )e i n d ei n

18、t。( 18)n所對應(yīng)的點(diǎn)便均勻地分布在整個若兩個相鄰點(diǎn)的距離以n表示，即2T則當(dāng)T時，有f(t)limnnTfT ( )e2n0。故(18)式又可寫為i n d eint(19)t( n)，即1當(dāng)t固定時，-2d ei nt是參數(shù)的函數(shù),記為Tt(ei nt。2T2利用t( n)可將(19)式寫成顯然，當(dāng)n 0，即 T時,f(t)limnT ( n)從而f(t)可以看作是(n)在(T( n)n) 2)上的積分:0 n(n)，這里fr( )ei n d ei nt，(20)f(t)( n)d n(21)也即1 +f(t) f( )ei n d ei ntd n由于當(dāng)T時，上述推導(dǎo)中的再不象在前

19、面討論傅立葉級數(shù)時那樣被看作參(變)量是固定的(即在討論過程中暫時固定)，而是認(rèn)作頻率間隔n ( n n n1 n (n 1)而成變量(即作為積分過程變量)趨于 0,即意味著不連續(xù)變量n n趨于一連續(xù)變量，于是上式也可寫成(22)(還可直接認(rèn)識剛才所說的：當(dāng) Tf(t) 2 f( )ei d ei td時， y 成為變量而趨于0,于是n仍就是變量，且當(dāng)不趨于0時，n是離散變量；而當(dāng)趨于0時，n就成為一連續(xù)變量，記這連續(xù)變量為另外，不妨還可將(22)式中的 又寫成，而使(22 )式改寫成f(t)這樣做的理由是：.首先，根據(jù)數(shù)學(xué)分析原理，在(廠f()ei d 卄21)式中，因為是定積分，改變積分變

20、量(23)，是不受影響的，即f(t)( )d成立，這就直接導(dǎo)致(23)式。就物理意義而言，一量被稱為頻率，不在于它在一式中是否用某一符號出現(xiàn)，而在于它在存在有 頻率概念的式子(如諧函數(shù)、虛指數(shù)函數(shù))中的相對位置。如在Ancos(n tn)中，頻率是n而不是又如在ein t中，頻率是n而不是 。于是在(22)式中，既然正好占領(lǐng)了那個位置，所以指的就是頻率。雖然在(22)式的推導(dǎo)過程中，不是 ，但在過程之外，與 畢竟可以在同一根頻率軸上取值，所以不妨將寫成，以使過程之外的使用中符號根據(jù)意義統(tǒng)一。式(23)稱為函數(shù)f(t)的傅立葉積分公式。傅立葉積分定理應(yīng)該指出，上式只是我們不講究條件由(18 )式

21、就其右端從形式上推出來的，是不嚴(yán)格的。那么一個非周期函數(shù)f(t)在什么樣的條件下，可以用傅立葉積分公式來表示呢？下面就給出一個相關(guān)的定理：傅立葉積分定理：若f (t)在(，)上滿足下列條件：.f (t)在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷(Dirichlet )條件；.f(t)在無限區(qū)間(,)上絕對可積(即積分 |f(t)dt收斂)，則在f(t)的連續(xù) 點(diǎn)t處，有f(t)-f ( )e i d d td成立，而在f(t)的間斷點(diǎn)t處，應(yīng)以-f(t 0) f(t 0)來2 2代替左端的f (t)。該定理的證明可見菲赫金哥爾茨數(shù)學(xué)分析原理或微積分學(xué)教程。這里從略。傅立葉積分的三角形式上述傅立葉積分公式還可

22、以化成三角形式。(23)式是f(t)的傅立葉積分公式的虛指數(shù)形式，利用歐拉公式，可將它轉(zhuǎn)化為實三角形式。因為1 f(t)'2f( )e i d ei td12i (t )f( )ed d1f ( )cos (t )d if ( )sin (t )d d ,2考慮到積分 f ( ) sin (t )d是 的奇函數(shù)，故有f ( )sin (t )d d0，從而f(t)1f( )cos (t )d d2(24)又考慮到積分f ( )cos (t )d 是的偶函數(shù)，故(24)式可寫為f(t)10 f( )cos (t )d d(25)這就是f(t)的傅立葉積分公式的實三角形式。【注】：對于傅立

23、葉級數(shù)及傅立葉積分，f(t)不限于是實函數(shù)，也可以是以實變量t為自變量的復(fù)變函數(shù)。這種情形下，傅立葉級數(shù)及傅立葉積分(包括后面要談的傅立葉變換)的定義和性質(zhì)都成立。§ 7. 2傅立葉變換與傅立葉逆變換我們已知，若函數(shù) f(t)滿足傅立葉積分定理中的條件，則在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處下式成立:從該式出發(fā)，若設(shè)f(t)f ( )e i d ei tdF( ) f (t)e i tdt則有1 i tf(t)F( )ei d 。2從這兩個式子可見，f (t)和F()通過指定的積分運(yùn)算可以互相表達(dá)，也就是說，二者可以互逆變換。于是我們引出如下定義。定義：設(shè)函數(shù)f (t)滿足傅立葉積分定理中的條件，則

24、在f (t)的連續(xù)點(diǎn)處，表達(dá)式F( ) f (t)e i tdt(26)及1 i t f(t) F( )ei td(27)2都有存在意義。那么這時就稱(26)式為函數(shù)f(t)的傅立葉變換式，記為F( ) F f(t) FT f(t)或 f(t) F()，并稱函數(shù)F()為f(t)的傅立葉變換，還稱函數(shù) F()為f(t)的象函數(shù)；稱(27)式為函數(shù)F()的傅立 葉逆變換式，記為-1f(t) F F( ) FT F()或 f(t) F()，并稱函數(shù)f(t)為F()的傅立葉逆變換，還稱函數(shù)f(t)為F()的象原函數(shù)?！咀ⅰ浚?. 傅立葉變換及其逆變換中的函數(shù)f(t)不限于實函數(shù)，也可是t的復(fù)函數(shù)，這時

25、本章給出的傅立葉變換及其逆變換的定義和性質(zhì)仍成立。這在上節(jié)末尾已提及，特在此強(qiáng)調(diào)指出一下；2. 求一個函數(shù)的傅立葉變換(或傅立葉逆變換)實際屬于求一個含參數(shù)的廣義積分；3. 使用傅立葉變換式(26)和傅立葉逆變換式(27)時，總默認(rèn)是在 f(t)的連續(xù)點(diǎn)處成立；4. 在不考慮函數(shù)在間斷點(diǎn)處取值的意義下，f(t)與F()是對應(yīng)的，因此稱象函數(shù) F()和象原函數(shù)f(t)構(gòu)成了一個傅氏變換對，可表為：f(t) F()。但注意使用這種表達(dá)式時，兩邊的函數(shù)不能隨意互換位置，因為我們總是固定認(rèn)為右方函數(shù)是左方函數(shù)經(jīng)傅立葉變換的結(jié)果，而左方函數(shù)是右方函數(shù)經(jīng)傅立葉反變換的結(jié)果。記號F、F -1、FT和FT可看

26、作是算符。5. 傅立葉逆變換也即函數(shù)f(t)的傅立葉積分；從對函數(shù)的分解表示角度看，傅立葉積分或說傅立葉逆變換式就是函數(shù)f (t)的傅立葉分解或說傅立葉分析。6. 雖然表面看去，在上述(26)和(27)式這樣以角頻率出現(xiàn)的傅立葉變換及其逆變換定義形式1下，其正變換式和逆變換式中的系數(shù)因子不同(即在正變換中為1，而在逆變換中為 )，從而顯得對稱2性不好，但其實如果將這種定義形式中的角頻率按 2化為頻率 ，就成為系數(shù)對稱的形式：F( ) f(t)ei2 tdt，f(t)F(v)ei2 td有的文獻(xiàn)在角頻率形式下將傅立葉變換和逆變換定義成系數(shù)對稱式F()f(t)ei tdt，f(t)F( )ei t

27、d但這種定義在頻率形式下就反而會系數(shù)不對稱。我們考慮到頻率比角頻率具有更直接的物理意義，故選擇 了前一定義形式。7. 注意F()中的自變量是，但是由于(26)式中參變量前跟有一個復(fù)常數(shù)i，這導(dǎo)致算出的F()的式子中，i總是伴隨同時出現(xiàn)而呈i 、(i )22 (這里右邊雖未見i，但由其左邊可知總可因此化出i來)等形式，故有的文獻(xiàn)常把F()記為F(i )。當(dāng)然，如果在某一使用中先已記為F()而后又想使用后一記法時，就不應(yīng)寫成F(i )，而應(yīng)寫成如Fi )或G(i )等。因為改變了自變量后，算子也就變了，“ F ” 變成"F| ”或“ G ”了。這就猶如可以把“ f (x) (ax)3 a

28、x b ”改記成“ h(ax) (ax)3 ax b 精彩文檔時，是同一個道理。§ 7.3廣義函數(shù)在§ 2中我們定義了古典意義下的傅立葉變換。但有許多在物理學(xué)和工程技術(shù)中重要的函數(shù)不滿足前 述的傅立葉積分定理的條件，如常數(shù)、單位階躍函數(shù)、符號函數(shù)、周期函數(shù)等，就不滿足定理中的絕對可積條件(即不滿足條件：|f(t)dt )；又如我們下面馬上要講到的函數(shù)，它不是普通意義上的函數(shù),而是廣義函數(shù)中奇異函數(shù)中的一種，嚴(yán)格說來，它談不上在一點(diǎn)的值，所以也就談不上滿足傅立葉積分定 理的條件。為了使這些函數(shù)也能進(jìn)行傅立葉變換，須引入廣義函數(shù)的概念，這樣站在一個更一般的角度去 考慮問題，人們

29、便發(fā)現(xiàn)了適于廣義函數(shù)的傅立葉變換。本課程不便就一般的、系統(tǒng)的廣義函數(shù)理論去深入 討論，只是主要針對其中的函數(shù)進(jìn)行討論，并且結(jié)合函數(shù)對廣義函數(shù)的概念給一初步的介紹，以本課程夠用為限度。之所以討論函數(shù)，是因為我們將會看到，利用函數(shù)及其傅立葉變換可以求出諸如上述的常數(shù)、單位階躍函數(shù)、周期函數(shù)等重要函數(shù)的傅立葉變換，并且使得許多變換的推導(dǎo)大大地簡化。函數(shù)的定義函數(shù)首先是由英國物理學(xué)家狄拉克(Dirac )在研究量子力學(xué)時提出的?，F(xiàn)在函數(shù)的定義有多種,我們介紹最主要的三種。1).函數(shù)的狄拉克定義：函數(shù)是指滿足如下性質(zhì)的函數(shù)：(1).0,當(dāng)tto時(28.1)(t to)，當(dāng) t to時(28.2)(28

30、)(2).(t to)dt 1(29)2).函數(shù)的弱極限形式定義：這種定義把函數(shù)視為弱收斂函數(shù)序列或弱收斂含參數(shù)函數(shù)的弱極限。所謂函數(shù)序列 n(t)或含參數(shù)的函數(shù)(t,)弱收斂于函數(shù)(t)(或者說成，函數(shù)(t)為該序列或其中n(t)、(t,)及(t)均被設(shè)為在(a,b)內(nèi)有定義，(a,b)也可為(該含參數(shù)函數(shù)的弱極限)，是說對于任意的在(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f (t)分別都有也可分別記為弱弱n(t)(t)，(t,)(t)。弱弱lim n(t)n(t)，lim0(t, )(t)(30)或(31)中左、右兩邊的積分未必存在。為保證積分存在，對于如n(t)、(t,)是可積的；當(dāng)積分區(qū)間為(，)時，n

31、(t)、n(t)或(t, )、(t)要附加條件,(t,)要局部可積(即在任一有限區(qū)間上可積)，(t)在某一有限區(qū)間外等于0。有了弱極限概念,函數(shù)便可被定義為一類普通函數(shù)序列n(tto)或普通含參數(shù)函數(shù)或(t to,)的弱極限：弱(t to) lim n(t to)n弱(t to) lim (t to,)0定義中的o還可以推廣為等。iolimbf(t)bn(t)dtf(t)(t)dt(30)naabblim0f(t)a(t, )dtf(t) (t)dta(31)。分別記為其中n(t to)或(tt。，)須分別滿足limnf (t) n(tt°)dtf(t°),(32)或lim

32、0f(t)(t t°,)dt f(t°)。(33)例如(t t0,)0, t t0-,t0 tt0(33.1)0, t t0就是這樣一個滿足式(33)的具體的普通含參數(shù)函數(shù)。3).函數(shù)的積分形式定義：所謂函數(shù)(t t0)是指滿足如下條件的函數(shù)，即對任意一個在區(qū)間(,)上連續(xù)的函數(shù)f(t)，都有f(t) (t to)dt f (to)。(34)【注】：函數(shù)的積分形式定義還可等價地表述為設(shè) f(t) C(,)，對于(a,b)(,)，b(1) 若to (a,b),則 af(t) (t to)dt 0;ab(2) 右to (a,b),則 af(t) (t to)dtf(to).上述

33、三種函數(shù)定義，站在經(jīng)典數(shù)學(xué)分析的立場上均不可思義，是經(jīng)典數(shù)學(xué)分析所不允許的。因為對于第一個定義，怎么能定義一個函數(shù)在一點(diǎn)的值為呢？這不合經(jīng)典函數(shù)定義。經(jīng)典函數(shù)只說函數(shù)的極限可以為，不能針對函數(shù)值而言。不僅如此，即使不考慮(28.2 )式，僅由(28.1 )式與(29)式二者聯(lián)立來看，就存在著經(jīng)典意義下的微分和積分間的矛盾，即由(28.1 )式看去，(t t0)應(yīng)是一個“幾乎處處”為零的函數(shù)，而幾乎處處為零的函數(shù)的勒貝格積分必為零，這與(29)式矛盾。因此不能認(rèn)為(t t0)為一幾乎處處為零的函數(shù)，從而(29)式中所寫的積分也不能被認(rèn)為是通常的勒貝格積分。對于第二個定義，函數(shù)被看成普通函數(shù)序列或

34、普通含參數(shù)函數(shù)的極限，而且這極限也與普通極限不同。普通極限是要收斂到一個定值(這里包括指值域由定值所組成的那樣的函數(shù))才認(rèn)為存在極限。而函數(shù)的弱極限形式弱的定義 (t t0) lim (t t0,)如果被看作普通極限運(yùn)算(t t0)lim (t t0,)的話，那么再由例0 01如(33.1 )式且取° 0，則(t t。)lim (t t0, ) lim，可見其極限普通意義下為，不0 0是定值。這在普通意義下被認(rèn)為極限不存在，也就無所謂存在一個等同于這個極限的普通函數(shù)。對于第三 個定義，人們當(dāng)初的考慮是，既然 函數(shù)(t t。)在t。點(diǎn)處的值為 ，它在t不等于t。的范圍又是趨于0的, 因

35、而它不能簡單地象普通函數(shù)那樣作加、減、乘、除運(yùn)算。只有積分時才能得到定值。因此，它的運(yùn)算總 要經(jīng)過(34)式那樣的積分式才能作用于另一函數(shù)f(t)。這第三個定義關(guān)鍵是人們認(rèn)識到要確定函數(shù)，不一定非要去能確定它在每點(diǎn)t的函數(shù)值不可，而是可以讓函數(shù)和某個函數(shù)集 中的函數(shù)f (t)發(fā)生“關(guān)聯(lián)”，當(dāng)對中的每個f (t)按某種方式(如按(34)式)定出了一個值(如按(34)式這個值是f (t0). 滿足(32)和(33)式這樣的普通函數(shù)序列n(tt0)和普通含參數(shù)函數(shù)(tt0,)分別稱為型序列和 型含參數(shù)函數(shù)。這類型序列和型含參數(shù)函數(shù)具體地有很多。 有的文獻(xiàn)，如6，對這里的假設(shè)更弱：f(t)是任意一個在

36、t t0處連續(xù)且變化不太快(緩變)的函數(shù)。 函數(shù)的積分形式定義還可改寫成另一形式并借卷積來表示：f(t)f( ) (t )d f (t)(t)。這在后面學(xué)習(xí)了卷積概念后，根據(jù)卷積定義就知顯然成立。更多的有關(guān)敘述參見§5中卷積性質(zhì)2.9 (即“與函數(shù)的卷積性質(zhì)”)A.V.奧本海姆信號與系統(tǒng)(第二版)就把f (t) f (t)(t)這個式子看作是通過卷積定義函數(shù),見該書的劉樹棠中譯本P94精彩文檔那就確定了 函數(shù)。也就是說，這是用一個量去關(guān)聯(lián)其它某類中的任意量的效果來定義這個量(那種某類 中的任意量常被稱為測試函數(shù))。但是(34)式中的積分也和普通的積分不同，普通積分遇到函數(shù)值為 時就不

37、可積，且積分限若為0到 0,積出為0,但在(34)式中的積分卻可得到 f (t0)?？傊?，三個定義都不能用常義來理解。不過相比之下，第三個定義更接近嚴(yán)密的定義，使用也更廣泛 些。到了廣義函數(shù)理論中，我們便知，第三個定義就是說用泛函f (f,)來確定 函數(shù)。最簡單的泛函是連續(xù)線性泛函，它類似于(34)式那樣與其它一族函數(shù)關(guān)聯(lián)并有連續(xù)、線性性質(zhì)。廣義函數(shù)就是確定在 某些具體的函數(shù)空間上的連續(xù)線性泛函，函數(shù)則是廣義函數(shù)中的一種。正由于(34)式左邊那樣的積分作用太象廣義函數(shù)了， 甚至若 為普通函數(shù) 時，與 相當(dāng)?shù)姆汉疶 (f) f dt就是廣義函數(shù)的特別的一 類，因此在廣義函數(shù)論中，人們干脆對于一般

38、的廣義函數(shù)T : f (f ,),也形式地寫成 (f, ) f(t) (t)dt。但這里(t)實際上可能并非局部可積的普通函數(shù)，從而這里的“ (t) ”及積分“ ”完全是形式的，只是一種簡便的記號而已。如此，也就有了在形式上完全被廣義函數(shù)論承認(rèn)的關(guān)于函數(shù)的積分形式的定義(34)式。自然，有了第三個定義的廣義函數(shù)論解釋后，再定義弱極限，第二個定義也 就嚴(yán)密了?！咀ⅰ浚?函數(shù)在物理學(xué)界常又被稱為脈沖函數(shù)或沖激函數(shù)，它借助第一個定義來表達(dá)。當(dāng)然，由上可知，更嚴(yán)格的定義應(yīng)是第三個定義。那么第三個定義應(yīng)用到物理上，可有一種什么樣的物理意義呢？解 釋當(dāng)然不止一種。其中一種是：第三定義被稱為函數(shù)的抽樣(或篩

39、選)性質(zhì)，它表示了函數(shù)于普通函數(shù)乘積的積分可將普通函數(shù)在脈沖出現(xiàn)時刻的函數(shù)值抽取出來。因此常又將函數(shù)稱為式抽樣函數(shù)或沖激抽樣函數(shù)。以上我們只是粗略地談了談廣義函數(shù)的概念，而沒有展開嚴(yán)格的廣義函數(shù)理論，因此本節(jié)后面有關(guān) 函數(shù)性質(zhì)的證明，只是借助普通函數(shù)形式的形式上的“證明”。最后，說說第三個定義的使用問題。第三個定義，今后討論函數(shù)的性質(zhì)時，總是用積分效果是否相同去比較，從而證明或推導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的主要性質(zhì)(1) .相乘性質(zhì) 若f(t)在t to處連續(xù)，則有f (t) (t to)f(to) (t to)證明：設(shè) (t)為在tt0處連續(xù)的任意函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的積分形式定義，有(t)f(t) (t

40、 t°)dt(t°)f (t°)f(t。)(t) (t t°)dt(2) .對稱性質(zhì)(又稱偶函數(shù)性質(zhì))(t t°)(t0 t)(3) .縮放性質(zhì)(又稱相似性質(zhì)或尺度變換性質(zhì))1t(at t。)(t )，a 0同 a(4) . (t)的表達(dá)式設(shè)(t)及(t)為連續(xù)函數(shù)，且(t)0只有單根tm (m 1,2,3, , N)，則嚴(yán)格地說，稱為單位(強(qiáng)度的)脈沖函數(shù)或單位(強(qiáng)度的)沖激函數(shù)。此因(t t°)dt的值(即 函數(shù)的積分值)被定義為 函數(shù)的強(qiáng)度，而由(29)式知 函數(shù)的強(qiáng)度為1。另外，如果 A為常數(shù)，則A (t t0)表示發(fā)生在t0

41、處、強(qiáng)度 為A的脈沖函數(shù)。12(5)(6)(7) .函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (t對于 f(t) C1(t2 £12(t若a I(t a)(t b)(ta)a)(ttm)(tm)(t0，則t1J (t a b|(t a), (a 0)a)。(t2)(t)。a)(t b), (a b)。t (t)0； (t to) (t to)0。t0)可按下面的運(yùn)算性質(zhì)來定義 ：)，從形式上考慮如下的分部積分法f(t) (t t°)dt f(t)d (t t。)f(t) (tt°)|(t) (t t°)dtf (t。)，我們就稱滿足式子f(t) (t t°)dt

42、類似地，定義 (t t0)的n階導(dǎo)數(shù)對于在t t0處具有連續(xù)的f (t°)的函數(shù) (t t°)為(t t°)的導(dǎo)數(shù)。(n) (tt°)如下：n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f (t)，它滿足f (t) (n)(tt°)dt(1)nf(n)(t0)。(8) .函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)t(n)(t)(t)t)(t)(t)1)n (n)(t)(9) .積分性質(zhì)0 (t)dt(t a) (t0 1(t)dt 12(a b)b)dtt(tt°)dtu(tt0),式中u(tt°)1,0,：t0 (稱為單位階躍函數(shù))t t0o 保持分部積分法在廣義函數(shù)上可用，這幾乎

43、就是廣義函數(shù)的本質(zhì)所在。參見齊民友廣義函數(shù)與數(shù)學(xué)物理方程P39,江澤堅、孫善利泛函分析 P257,夏道行等實變函數(shù)論與泛函分析P478. (a b)為(t)在點(diǎn)a b處的取值，不要誤認(rèn)為(t (a b)。 反之，單位階躍函數(shù)U(t t°)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)，即d理如 (t t0) odt 單位階躍函數(shù)的一個用途：參見祝同江工程數(shù)學(xué)一積分變換P30單位階躍函數(shù)是一個很有用的函數(shù)，利用它可以把許多分段定義的函數(shù)寫成單一等式的形式。 例如，函數(shù)精彩文檔最后，關(guān)于 函數(shù)的認(rèn)識多說一句。這就是，站在函數(shù)分解的角度上看，我們曾經(jīng)說過可以把傅立葉變換理論(嚴(yán)格說，應(yīng)就其中的傅立葉積分或傅立葉逆變換而言

44、)看作是一種關(guān)于函數(shù)的“傅立葉分析”，現(xiàn)在站在同樣的角度看，我們也可以把函數(shù)理論看作是一種與傅立葉分析并列的關(guān)于函數(shù)的“分析”，參見附錄3。§ 7.4廣義函數(shù)的傅立葉變換函數(shù)的傅立葉變換F (t)(t)e ' Pte，七 |t o 1F (tto) (tto)e，tdt e，t |t toeF (n)(t)(i )nF11(t)F1e，t0(t to)周期函數(shù)的傅立葉變換前面說過，周期函數(shù)不滿足傅立葉積分定理中的絕對可積條件(即不滿足條件：| f (t) dt )，所以無法直接對周期函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換，引入廣義函數(shù)的函數(shù)后，利用 函數(shù)及其傅立葉變換就可以求出周期函數(shù)的傅立葉變

45、換了。前面在討論周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開時得到的(12)和(13)那一對式子，即T復(fù)傅立葉系數(shù)：cn 丄 +fT(t)eintdt(n 0, 1, 2,)T 2傅立葉級數(shù)：fT(t)cnei nt(n 0, 1, 2,)n其實也形成了一個變換對，它們互相表達(dá)。這時復(fù)傅立葉系數(shù)式子可稱為正變換，傅立葉級數(shù)式子可稱為逆變換。我們不妨給它們一個全稱，分別稱為傅立葉級數(shù)變換和傅立葉級數(shù)逆變換。而且正如前面已經(jīng)講 過的，為了與傅立葉變換的符號統(tǒng)一，可將復(fù)傅立葉系數(shù)“ cn”寫成“ F(n)”或“ F(n ) ”(注意，在傅 立葉變換中，是變量，而這里傅立葉級數(shù)中的卻是常量，變量是n，所以不妨隨著n而把常

46、量的帶到F(n )中去以n做為自變量)。也稱F(n)為fT(t)的象函數(shù)，稱fT(t)為F(n)的象原函數(shù)。同時還可以t, tt, t就可表為 把上面二式分別記為又如符號函數(shù)就可表為由于將該式展開來寫就是F，ei，0 2義積分:ei (t t0)d示形式,其實它不過就是t t2u(t)sgntsgnt2 (tt0)，還常寫成i t0的傅立葉逆變換(或1。1,1,2u(t)i t0eitd(t t°)1。(t(t t°)(t t0)，所以該式等價于一個廣2(t t0)的傅立葉積分)t0)d表示而已。后者又常被看作函數(shù)的積分表F(n) FnfT(t),和 fT(t) Fn 1F

47、(n)。注意，不要以為對于周期函數(shù)而言，傅立葉變換就是傅立葉級數(shù)變換。換句話說，不要以為當(dāng)把傅立 葉變換用到周期函數(shù)時，傅立葉變換F()就等于復(fù)傅立葉系數(shù) F(n)。這二者是不相同的。在此，我們先嚴(yán)格根據(jù)傅立葉變換的定義對周期函數(shù)fT(t)進(jìn)行傅立葉變換，看看是一個什么樣的結(jié)果。首先考慮把周期函數(shù)fT (t)展成傅立葉級數(shù)：fT(t)F(n)ein 0t(式中 o 2-廠nT對上式兩邊取傅立葉變換，并考慮到F(n)不是時間t的函數(shù)，有F( ) F(n)ein 0te i tdtnF(n)ei(n 0 tdtn再利用前面我們已得到的廣義積分ei (t to)d2 (t to)，上式就可寫成F(

48、)2 F(n) ( n o)n這就是周期函數(shù)的傅立葉變換?？梢?，對于周期函數(shù) fT(t)，F(xiàn)()與F(n)是不同的，換言之，F(xiàn) fT(t) F n fT(t)。之所以不同，詳細(xì)原因如下：雖然當(dāng)初引入傅立葉變換時是把非周期函數(shù)看作由某個周期函數(shù)當(dāng)T求極限轉(zhuǎn)化而來，如此的確使得周期函數(shù)當(dāng)作非周期函數(shù)特例時，從而傅立葉級數(shù)也成為傅立葉積分的一種在“能夠由之轉(zhuǎn)換而得”意義下的特例。但是，傅立葉系數(shù)和傅立葉變換式卻是分別從傅立葉級數(shù)和傅立葉積分中取出一部分子式 來定義的，而且各自選取的子式并不恰好是直接通過極限運(yùn)算就能相互對應(yīng)的那一對式子，而是一方不按 另一方的子式劃分、組合方式而重新進(jìn)行了不同的劃分、

49、組合后再求極限轉(zhuǎn)化而成的。這具體地說，可考察§ 1中(18)式向(19)式的變更。在(18)式中，子式丄Tind原是作為復(fù)傅立葉系數(shù)，以它的模和幅角去分別刻畫各頻率諧波分量的幅值和初相位(雖然不是直接刻畫，而是但只相差1T 2而成為一個新的子式1個常數(shù) 1而已)。但是到了( 19)式時，該子式中積分號前的21 n的關(guān)系變成丄和2F(n)cn1An21 一離開了原來的位置，通過Tn兩因子而分放到了 ( 19)式兩端。這就相當(dāng)于原來的子式除以一個TT"r fT ( )e in d 。2| fT( )e in d2n2這個新的子式因而就不是原來子式所代表的復(fù)傅立葉系數(shù)，而是一個所

50、謂的相對復(fù)傅立葉系數(shù)，其?？坍嬜⒁庥玫礁盗⑷~級數(shù)和傅立葉變換上時，含義不同。用在前者時是作為固定量，用在后者時是作為變量。而這里由于我們用到了傅立葉級數(shù)且隨后又要用到傅立葉變換，為避免混淆，所以這里在使用傅立葉級數(shù)時干脆將這一固定量改寫成“ ”。如果將角頻率按 2 用頻率 表出，可知這里除以一個 一n就相當(dāng)于除以頻率的是各頻率諧波分量的相對幅值，而非原先的真正幅值。傅立葉變換式即是T時的相對復(fù)傅立葉系數(shù)，其模就是T時的極限情況下的各頻率諧波分量的相對幅值的刻畫?？梢?，F(xiàn)()并不是F(n)的極限結(jié)果，而是 血 (或 F(n)的極限結(jié)果，即還有如下的關(guān)系： 1/Tn/2F(n)F( ) limlim F(n)TT 1/t T ' '小結(jié)一下上述結(jié)果，即：一個周期函數(shù)的傅立葉變換不是一個連續(xù)函數(shù)，而是一系列等距的函數(shù)，即式F( )2 F(n) ( n。)n所表達(dá)；周期函數(shù)的 F()與F(n)是不同的，前者是 T時的相對復(fù)傅立葉系數(shù)，后者即(絕對的)復(fù)傅立葉系數(shù)；這里的討論說明，利用函數(shù)就能使傅立葉變換既可用于非周期函數(shù)也可用于周期函數(shù)。§ 7. 5傅立葉變換的性質(zhì)線性性質(zhì)定理1:設(shè) F f/t) Fi( )，F(xiàn) f2(t)F2()， 為常 冋數(shù)，則F fi(t)f2