高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.2.1直線的方向向量與平面的法向量3.2.2空間線面關(guān)系的判定(一)學(xué)案蘇

1、直線的方向向量與平面的法向量空間線面關(guān)系的判定( 一 )學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握空間點(diǎn)、線、面的向量表示.2. 理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量.3. 能用向量法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行問題.知識(shí)點(diǎn)一直線的方向向量與平面的法向量思考怎樣用向量來表示點(diǎn)、直線、平面在空間中的位置？梳理(1) 用向量表示直線的位置條件直線 l上一點(diǎn) A表示直線 l 方向的向量 a( 即直線的 _)在直線ll上任意一點(diǎn) ，一定存在實(shí)數(shù)t，上取 AB ，那么對(duì)于直線形式aP使得 AP _定位置點(diǎn) A 和向量 a 可以確定直線的 _作用l 上的任意 _定點(diǎn)可以具體表示出(

2、2) 用向量表示平面的位置通過平面 上的一個(gè)定點(diǎn)O和兩個(gè)向量a 和 b 來確定：條件平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，和交點(diǎn)Oa b形式對(duì)于平面 上任意一點(diǎn) P，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)( x， y) 使得 OP xa yb1/10通過平面 上的一個(gè)定點(diǎn)A 和法向量來確定：平面的直線 l ，直線 l 的_ 叫做平面 的法向法向量量確定平過點(diǎn) A，以向量 a 為法向量的平面是完全確定的面位置(3) 直線的方向向量和平面的法向量能平移到直線上的_向量a，叫做直線直線的方向向量l 的一個(gè)方向向量直線 l ，取直線l 的_，n 叫做平面平面的法向量 的法向量(4) 空間中平行關(guān)系的向量表示設(shè)直線 l ， m的方向向

3、量分別為a， b，平面 ， 的法向量分別為，v，則線線平行l(wèi) m? _? a kb( k R)線面平行l(wèi) ? a ? _面面平行 ? v? _知識(shí)點(diǎn)二利用空間向量處理平行問題思考(1) 設(shè) v1 ( a1， b1， c1) ， v2 ( a2 ， b2 ， c2) 分別是直線l 1， l 2 的方向向量. 若直線l 1 l 2，則向量 v1，v2 應(yīng)滿足什么關(guān)系.(2) 若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？(3) 用向量法處理空間中兩平面平行的關(guān)鍵是什么？梳理利用空間向量解決平行問題時(shí)，第一，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中

4、涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二，通過向量的運(yùn)算，研究平行問題；第三，把向量問題再轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的立體幾何問題，從而得出結(jié)論.2/10類型一求直線的方向向量、平面的法向量例 1如圖，四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形， PA平面 ABCD， E 為 PD的中點(diǎn) . ABAP 1， AD3，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個(gè)法向量 .引申探究若本例條件不變，試求直線PC的一個(gè)方向向量和平面PCD的一個(gè)法向量 .反思與感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為n ( x， y， z).(2) 選向量：在平面內(nèi)選取兩個(gè)不共線向量 AB，A

5、C.(3)n·AB 0，列出方程組 .列方程組：由n·AC 0n· AB0，(4) 解方程組：n· AC0.(5)賦非零值：取其中一個(gè)為非零值( 常取± 1).(6) 得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量 .跟蹤訓(xùn)練1 如圖，在四棱錐P ABCD中，底面 ABCD是矩形 . 平面 PAB平面 ABCD， PAB是邊長(zhǎng)為1 的正三角形， ABCD是菱形 . ABC60°， E 是 PC的中點(diǎn)， F 是 AB的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量 .DEF3/10類型二利用空間向量證明平行問題例 2 已知正方體 ABCD-A1B1

6、C1D1 的棱長(zhǎng)為 2， E、 F 分別是 BB1、 DD1 的中點(diǎn)，求證：(1) FC1 平面 ADE；(2) 平面 ADE 平面 B1C1 F.反思與感悟利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關(guān)系證明平行問題.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在四棱錐P ABCD中， PA平面 ABCD， PB 與底面所成的角為45°，底1面 ABCD為直角梯形，ABC BAD90°， PA BC 2AD1，問在棱PD 上是否存在一點(diǎn)E，使 CE平面 PAB？若存在，求出E 點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.1.若點(diǎn) A( 1,0,1) ， B

7、(1,4,7) 在直線l 上，則直線 l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是_.2.已知向量 n(2 ， 3,1)是平面 的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平面 的法向量的是 _.( 填序號(hào) ) 1 (0， 3,1) ；2 ( 2,0,4) ；nn n3 ( 2， 3,1) ； n4 ( 2,3 ， 1).3.已知向量 n ( 1,3,1)為平面 的法向量，點(diǎn) M(0,1,1)為平面內(nèi)一定點(diǎn) . P( x， y， z) 為4/10平面內(nèi)任一點(diǎn)，則x， y，z 滿足的關(guān)系式是_.14. 若直線 l ，且 l 的方向向量為 (2 ， m,1) ，平面 的法向量為 1， 2， 2 ，則 m 為_.5. 在正方體

8、 ABCDA11C1D1 中，平面 ACD1的一個(gè)法向量為 _.1. 應(yīng)用向量法證明線面平行問題的方法(1) 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2) 證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線.(3) 證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線的向量表示. 即用平面向量基本定理證明線面平行 .2. 證明面面平行的方法設(shè)平面 的法向量為 n1( a1， b1， c1) ，平面 的法向量為 n2 ( a2， b2， c2) ，則 ? n1 n2? ( a1， b1，c1) k( a2，b2，c2)( kR).5/10答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考 (1)點(diǎn)：在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O

9、作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P 的位置就可以用向量 OP來表示 . 我們把向量 OP稱為點(diǎn) P 的位置向量 .(2)直線：直線的方向向量：和這條直線平行或共線的非零向量.對(duì)于直線 l 上的任一點(diǎn) P，在直線上取AB a，則存在實(shí)數(shù)t ，使得 APt AB.(3)平面：空間中平面 的位置可以由 內(nèi)兩條相交直線來確定. 對(duì)于平面 上的任一點(diǎn)，b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，xayb.) ，使得 OPP ay空間中平面 的位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示.梳理 (1)方向向量位置 一點(diǎn)t AB(2) 方向向量(3) 非零方向向量 n(4) ab a· 0 kv(

10、k R)知識(shí)點(diǎn)二思考(1) 由直線方向向量的定義知若直線l 1 l 2，則直線 l 1， l 2 的方向向量共線，即l 1 l 2? v1v 2? v1 v2( R).(2)可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進(jìn)而確定線面是否平行.(3)關(guān)鍵是找到兩個(gè)平面的法向量，利用法向量平行來說明兩平面平行.題型探究例 1 解 因?yàn)?PA平面 ABCD，底面 ABCD為矩形，所以 AB， AD， AP兩兩垂直 .如圖，以x 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0 ， 3，A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB的方向?yàn)?10)，E(0， 2， 2) ， B(1,0,0)，C(1 ，3，0)，31于是 AE(0 ，

11、 2， 2) ，AC (1，3， 0).設(shè) n ( x， y， z) 為平面 ACE的法向量，6/10x3y0，n· AC 0，則即312 y 2z 0，n· AE 0，所以x3y，z3y，令 y 1，則 xz 3.所以平面 ACE的一個(gè)法向量為 n(3， 1， 3 ).引申探究解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,1)，C(1 ，3，0)，3， 1) ，所以 PC (1 ，即為直線 PC的一個(gè)方向向量 .設(shè)平面 PCD的法向量為 n ( x， y， z).因?yàn)?D(0 ，3， 1).3， 0) ，所以 PD (0 ，x 3y z0，n· PC 0，由即3

12、y z 0，n·PD 0，所以x 0，令 y 1，則 z 3.z 3y，所以平面 PCD的一個(gè)法向量為n ( 0,1 ， 3).跟蹤訓(xùn)練1 解連結(jié) PF， CF， AC.因?yàn)?PA PB， F 為 AB的中點(diǎn)，所以PF AB，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?平面.PABABCDPABABCD ABPFPAB所以 PF平面 ABCD，因?yàn)?AB BC， ABC60°，所以 ABC是等邊三角形，所以CF AB.以 F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.7/1033333由題意得 F(0,0,0)，P(0,0 ， 2 ) ，D( 1， 2，0)，C(0 ， 2 ，0) ，E(0

13、 ， 4，4).33所以 FE(0，4，4) ，3( 1， 2， 0). FD設(shè)平面m· FE 0，則m·FD 0，DEF的法向量為m ( x， y， z).334 y 4 z0，即3 x y 0. 2z y，所以x3令 y2，y，2則 x3， z 2.所以平面的一個(gè)法向量為 (3， 2，2).DEFm例 2證明(1) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz ，則有D(0,0,0)， A(2 ， 0,0)，C(0,2,0) ，C1(0,2,2)， E(2 ， 2,1)， F(0,0,1)， B1(2,2,2)，所以 FC1(0,2,1)， DA (2,0,0)， AE (0

14、,2,1).設(shè) n1 ( x1， y1， z1) 是平面 ADE的法向量，則 n1DA， n1 AE，n1· DA 2x1 0，即n1· AE 2y1 z1 0，x1 0，得z1 2y1，令 z1 2，則 y1 1，所以 n1 (0 ， 1,2).因?yàn)?FC1· n1 2 2 0，8/10所以 FC1n1.又因?yàn)??平面，F(xiàn)CADE所以 FC平面 ADE.1，設(shè) n2 ( x2 ， y2， z2) 是平面B1C1F 的一個(gè)法向量. 由(2 ) 因?yàn)?C1B1 (2,0,0)n2 FC1，n2 C1B1， 0，n2·FC1 2y2 z2得n2·C1B1 2x2 0，得x2 0，z2 2y2.令 z2 2，得 y2 1，所以 n (0 ， 1,2)，2因?yàn)?n n ，所以平面 ADE 平面 B CF.1211跟蹤訓(xùn)練 2解分別以 AB， AD，AP為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示 . (0,0,1)， (1,1,0)， (0,2,0) ，PCD設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)E(0 ， y， z) ，則 PE (0 ， y， z 1) ， (0,2