六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)幾何應(yīng)用ppt課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何運(yùn)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何運(yùn)用一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線一、空間曲線的切線與法平面1.設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為：., )(),(),(上可導(dǎo)都在假設(shè)ttt )()()(tztytx)( t上一點(diǎn)，為設(shè)),(000zyxM，即它對(duì)應(yīng)于參數(shù)0t )()()(000000tztytx. 0 )( ),( ),( 000不全為設(shè)ttt下面來(lái)求：. 點(diǎn)的切線在曲線MozyxMM 按定義，切線是割線的極限位置。因此，上任取點(diǎn)我們?cè)谇€M附近的一點(diǎn)M，設(shè)它對(duì)應(yīng)于參數(shù) tt0，即)(),(),( 000ttt

2、tttMMM)()(),()(),()(000000ttttttttt的方程為割線MM)()()()()()(000000000tttzztttyytttxxQMM 令)()()()()()(000000000tttzztttyytttxx即t t t ),0(t即對(duì)上式取極限，得 000 zzyyxx)( 0t)( 0t)( 0t.:點(diǎn)的切線方程在曲線這就是MozyxMM 方向向量Q) )( ),( ),( (000tttT切線的方向向量也稱為曲線的切向量。T過(guò)點(diǎn) M 且與這點(diǎn)的切線垂直的平面0)( )( )( 000000zztyytxxt 由點(diǎn)法式得：點(diǎn) 處的法平面方程為),(000zy

3、xM法平面：ozyxMM Q法平面T),(, )()(:. 2000zyxMxzxy空間曲線即 )()(xzxyxx ) ( 為參數(shù)x T) ) ( ), ( , 1 (xx00),(, 0),(0),(:. 3000zyxMzyxGzyxF空間曲線設(shè)此方程組確定了 )()(xzzxyy用隱函數(shù)求導(dǎo)法，求出dxdzdxdy , T) , , 1 (dxdzdxdy),(000|zyx),(000|zyx例1 求曲線 x=t, y=t2，z=t3在點(diǎn)(1,1,1) 處的切線及法平面方程.2321tztyx，632zyxT 解t對(duì)應(yīng)于參數(shù)點(diǎn)) 1 , 1 , 1 (1111zyx )3 , 2 ,

4、 1 ( :) 1 , 1 , 1 (處的切線方程點(diǎn)123:法平面方程0) 1(3) 1(2) 1(1zyx即在點(diǎn)(1,2,1)處的切線及法平面方程.1dd dd ddddxzxyxxzzxyy解設(shè)方程組06222zyxzyx例2 求曲線06222zyxzyx確定了 )()(xzzxyy等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得0dd2dd22xzzxyyx即0dddd1xzxy解得dxdy1 1 1 1 zyzx=zyxzdxdz1 1 1 1 zyxy=zyyx) , , 1 (dxdzdxdy) 1 , 2, 1 (|) 1 , 2, 1 (|T=) 1, 0 , 1 (0 zx121zyx:)1 , 2

5、 , 1(處處的的切切線線方方程程點(diǎn)點(diǎn) 10:法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即1二、曲面的切平面與法線.),(000的一點(diǎn)上是曲面zyxM在曲面 上，經(jīng)過(guò)點(diǎn) M恣意引一條曲線 ，0),(:. 1zyxF的方程為曲面.)(),(),( ),(不全為零且點(diǎn)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)在設(shè)MFMFMFMzyxFzyx)()()(tztytx設(shè) 的參數(shù)方程為)(t，對(duì)應(yīng)于參數(shù)點(diǎn)0000),(ttzyxM)( )( )( 000ttt、且不全為0. xyz M)( )( )( 000000tzztyytxx那么處處的的切切線線方方程程為為：在在點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線M 上在曲面曲線0)(),(),(ttt

6、F可導(dǎo)上式左端在點(diǎn)0tt 0|)(),(),(0tttttFdtd(*) ,),(),(000處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)zyxzyxF存在且)( ),( ),( 000ttt(鏈鎖法那么) xyz O由鏈鎖法那么，得0|)(),(),(tttttFdtd=) (xF) (yF) (zF(*)式變?yōu)?( ),(0000tzyxFx)( ),(0000tzyxFy)( ),(0000tzyxFz= 0(#)令),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx又)( ),( ),( (000tttT那么(#)式可寫為0Tn000,zyx0t) ( ) ( ) ( 000,zyx0t000,

7、zyx0tnT 這闡明：的切線的任意一條曲線在點(diǎn)上通過(guò)點(diǎn)曲面MM.都在同一個(gè)平面上.的切平面在點(diǎn)該平面稱為曲面M切平面的法向量為),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx nxyzT O切平面的方程為)(),(0000 xxzyxFx +)(),(0000yyzyxFy +)(),(0000zzzyxFz 0法線：.的直線且垂直于該點(diǎn)的切平面過(guò)點(diǎn)M法線的方程為 000zzyyxx),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz的切平面的法向量稱為在點(diǎn)曲面M.的法向量在點(diǎn)曲面M),(:. 2yxfz 的方程為曲面),( ,000zyxM即0),( zy

8、xf令zyxfzyxF),(),(那么:的方程為曲面0),(zyxFn) ),(),(),( (000000000zyxFzyxFzyxFzyx=) 1, , (yxff即n) 1),(),( (0000yxfyxfyx),(00yx),(00yx),(),(),(:. 3vuzvuyvux的方程為曲面),(,000zyxM).,(),(,00000vuzyxM對(duì)應(yīng)于參數(shù)),(:yxzz 設(shè)這個(gè)方程組確定了用隱函數(shù)求導(dǎo)法xvxu,yvyu,由前兩式求出再由第三式得xvvxuuxzyvvyuuyzn) 1,|,| (),(),(0000vuvuyzxz4、曲面的法向量的方向余弦 假設(shè)用 表示曲面

9、的法向量的方向角，假定法向量的方向向上，即 為銳角. 那么法向量的方向余弦為:),(),(1),(cos00200200yxfyxfyxfyxx、),(),(1),(cos00200200yxfyxfyxfyxy),(),(11cos002002yxfyxfyx例3 求球面 在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線方程.14222zyx解:),(zyxF令),(zyxFFFn 14222zyxxFx2yFy2zFz2，)2 ,2 ,2(zyx)3 , 2 , 1 (n)6 , 4 , 2(球面的切平面方程為處在點(diǎn),)3 , 2 , 1 (0)3(6)2(4) 1(2 zyx01432zyx即321zyx法線方程為332211zyx即246例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面 在點(diǎn)(2,1,4)處的切平面及法線方程.122yxz解: ) 1,(yxffn412zyx法線方程為0)4() 1() 1(2)2(4zyx1),(22yxyxf令xfx2yfy2，=) 1,2 ,2(yx) 1, 2 , 4()4, 1 , 2( n=:)4 , 1 , 2(處的切平面方程為在0624zyx即142全微分的幾何意