2009數(shù)學(xué)建模A真題答案

1、題目：制動器試驗臺的控制方法分析分析:制動器的設(shè)計是車輛設(shè)計中最重要的環(huán)節(jié)之一， 直接影響著人身和車輛的 安全。為了檢驗設(shè)計的優(yōu)劣，必須進(jìn)行相應(yīng)的測試。設(shè)計優(yōu)質(zhì)高效的制動器也是 建設(shè)和諧社會，服務(wù)人民大眾的必然要求。為了檢測制動器的綜合性能，需要在各種不同情況下進(jìn)行大量路試。但是， 車輛設(shè)計階段無法路試，只能在專門的制動器試驗臺上對所設(shè)計的路試進(jìn)行模擬 試驗。對此，試驗臺上制動器的制動過程應(yīng)與路試車輛上制動器的制動過程盡可 能一致。我們用“兩步法”，首先，進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化，利用能量守恒定律，將載荷在 車輛平動時具有的能量等效地轉(zhuǎn)化為試驗臺上飛輪和主軸等機構(gòu)轉(zhuǎn)動時具有的 能量。為了精確的模擬實驗，讓

2、電動機在一定規(guī)律的電流控制下參與工作，補償 由于機械慣量不足而缺少的能量。等效轉(zhuǎn)動慣量（J ）=機械慣量（J機）+電動機補償慣量（J電）然后，將時間離散化，觀測瞬時轉(zhuǎn)速與瞬時扭矩，根據(jù)已經(jīng)觀測到的數(shù)據(jù)設(shè)計下一時段驅(qū)動電流的值（假設(shè)tk,tk時段電動機補償能量的損耗在 tk,tk+1上由電機補足）。把理論計算和實際數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，通過假設(shè)檢驗的方法進(jìn)行模型的檢驗。 針對電流值的計算機控制模型，得到造成模型誤差的原因：由于連續(xù)問題離散 化產(chǎn)生誤差（瞬時轉(zhuǎn)速、瞬時角速度、瞬時扭矩、瞬時減速度分別替代了小區(qū)間的轉(zhuǎn)速、 角速度、扭矩、減速度，并且電流 存在滯后性）以及能量在實驗中的損失（熱能等）。理論分析

3、與實驗結(jié)果都表明，該方法計算簡單，雖然穩(wěn)定性不好，但實現(xiàn) 起來簡單，精度高，是一種實用的標(biāo)定方法。利用電動機模擬機械轉(zhuǎn)動慣量，可 以降低制動試驗臺的制作成本，最后通過改進(jìn)電流值的計算機控制模型，準(zhǔn)確地實現(xiàn)了對制動器試驗臺的控制。問題描述汽車制動器是關(guān)系到行車安全的關(guān)鍵設(shè)備，其質(zhì)量至關(guān)重要。為了檢測制動 器的綜合性能，需要在各種不同情況下進(jìn)行大量路試。 但是，車輛設(shè)計階段無法 路試，只能在專門的制動器試驗臺上對所設(shè)計的路試進(jìn)行模擬試驗。通常試驗臺僅安裝、試驗單輪制動器，而不是同時試驗全車所有車輪的制動 器。制動器試驗臺一般由安裝了飛輪組的主軸、驅(qū)動主軸旋轉(zhuǎn)的電動機、底座、施加制動的輔助裝置以及測

4、量和控制系統(tǒng)等組成。如圖示:飛輪組（制動器試驗臺絡(luò)構(gòu)簡圖）圖（1）被試驗的制動器安裝在主軸的一端，當(dāng)制動器工作時會使主軸減速。試驗臺 工作時，電動機拖動主軸和飛輪旋轉(zhuǎn)，達(dá)到與設(shè)定的車速相當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)速（模擬實驗中，可認(rèn)為主軸的角速度與車輪的角速度始終一致）后電動機斷電同時施加制動， 當(dāng)滿足設(shè)定的結(jié)束條件時就稱為完成一次制動。路試車輛的指定車輪在制動時承受載荷。 將這個載荷在車輛平動時具有的能 量（忽略車輪自身轉(zhuǎn)動具有的能量） 等效地轉(zhuǎn)化為試驗臺上飛輪和主軸等機構(gòu)轉(zhuǎn) 動時具有的能量，與此能量相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量（以下轉(zhuǎn)動慣量簡稱為慣量）在本題中 稱為等效的轉(zhuǎn)動慣量。飛輪組由若干個飛輪組成，使用時根據(jù)需要選擇

5、幾個飛輪 固定到主軸上。試驗臺上的主軸等不可拆卸機構(gòu)的慣量稱為基礎(chǔ)慣量。飛輪組由 若干個飛輪組成，使用時根據(jù)需要選擇幾個飛輪固定到主軸上，這些飛輪的慣量之和再加上基礎(chǔ)慣量稱為機械慣量。例如，假設(shè)有4個飛輪，其單個慣量分別是： 10、20、40、80 kgm2,基礎(chǔ)慣量為 10 kg m2，則可以組成 10，20，30，160 kg m2的16種數(shù)值的機械慣量。但對于等效的轉(zhuǎn)動慣量為 45.7 kg m2的情況，就 不能精確地用機械慣量模擬試驗。這個問題的一種解決方法是：把機械慣量設(shè)定 為40 kgm2,然后在制動過程中，讓電動機在一定規(guī)律的電流控制下參與工作， 補償由于機械慣量不足而缺少的能量

6、，從而滿足模擬試驗的原則。一般假設(shè)試驗臺采用的電動機的驅(qū)動電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比（本題中比例系數(shù)取為1.5 A/N m）;且試驗臺工作時主軸的瞬時轉(zhuǎn)速與瞬時扭矩是可觀測的 離散量。由于制動器性能的復(fù)雜性，電動機驅(qū)動電流與時間之間的精確關(guān)系是很難得 到的。工程實際中常用的計算機控制方法是： 把整個制動時間離散化為許多小的 時間段，比如10 ms為一段，然后根據(jù)前面時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速與 /或瞬時 扭矩，設(shè)計出本時段驅(qū)動電流的值，這個過程逐次進(jìn)行，直至完成制動。評價控制方法優(yōu)劣的一個重要數(shù)量指標(biāo)是能量誤差的大小，本題中的能量誤差是指所設(shè)計的路試時的制動器與相對應(yīng)的實驗臺上制動器在制動過程中消耗

7、 的能量之差。通常不考慮觀測誤差、隨機誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差。我們來考慮以下問題：設(shè)車輛單個前輪的滾動半徑為 0.286 m,制動時承受的載荷為6230 N,求等 效的轉(zhuǎn)動慣量。1. 飛輪組由3個外直徑1 m、內(nèi)直徑0.2 m的環(huán)形鋼制飛輪組成，厚度分別為 0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m,鋼材密度為 7810 kg/m3,基礎(chǔ)慣量為 10 kgm、飛輪的轉(zhuǎn)動慣量等價于求薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。 、主軸的角速度與飛輪的角速度始終一致。 、忽略車輪自身轉(zhuǎn)動具有的能量。 、試驗臺采用的電動機的驅(qū)動電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比。 、時間離散為小時間段，每個時間段載荷恒定。 、不考

8、慮觀測誤差、隨機誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差 、理想狀態(tài)下認(rèn)為能量守恒，忽略摩擦力等引起的能量損失。2、符號說明論文中作如下符號規(guī)定：(1) 、用R表示飛輪的半徑，用 表示飛輪的厚度， 用v表示路試時平動速度， 用r表示車輪的滾動半徑，用n表示主軸轉(zhuǎn)速；(2) 、用灼表示主軸角速度，用I表示電動機驅(qū)動電流，用M表示扭矩，用M機表示機械扭矩，用M電表示電動機扭矩；(3) 、用E表示制動器試驗臺的總能量，用E機表示制動器的機械能量，用E電表示電動機補償能量，用J表示制動器的等效轉(zhuǎn)動慣量，用J機表示機械慣量，用J電, 問可以組成哪些機械慣量？設(shè)電動機能補償?shù)哪芰肯鄳?yīng)的慣量的范圍為-30, 30

9、kg m2,對于問題1中得到的等效的轉(zhuǎn)動慣量，需要用電動機補償多 大的慣量？2. 建立電動機驅(qū)動電流依賴于可觀測量的數(shù)學(xué)模型。在問題1和問題2的條件下，假設(shè)制動減速度為常數(shù)，初始速度為 50 km/h, 制動5.0秒后車速為零，計算驅(qū)動電流。3. 對于與所設(shè)計的路試等效的轉(zhuǎn)動慣量為 48 kg m2，機械慣量為35 kg m2，主 軸初轉(zhuǎn)速為514轉(zhuǎn)/分鐘，末轉(zhuǎn)速為257轉(zhuǎn)/分鐘，時間步長為10 ms的情況， 用某種控制方法試驗得到的數(shù)據(jù)見附表。請對該方法執(zhí)行的結(jié)果進(jìn)行評價。4. 按照第3問導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型，給出根據(jù)前一個時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速與/或瞬時扭矩，設(shè)計本時間段電流值的計算機控制方法，

10、并對該方法進(jìn)行評價。5. 第5問給出的控制方法是否有不足之處？如果有，請重新設(shè)計一個盡量完善的計算機控制方法，并作評價。二、問題假設(shè)及符號說明1、問題假設(shè)表示電動機補償慣量三、模型建立與求解（一）、問題1 求解當(dāng)車輛前輪的滾動半徑為 0.286 m,制動時承受的載荷為6230 N,等效的轉(zhuǎn) 動慣量。當(dāng)車輪滾動半徑和制動時承受的載荷已知時，等效的轉(zhuǎn)動慣量公式為:1）J=m可=(G/g)R2,(題目中： R=0.286m, G =6230 N, g : 9.8N / kg ,求解得結(jié)果：J 二(6230 “ 9.8) 0.2862 二 51.9989： 52(kg m2)（二）問題2求解:飛輪組由

11、3個外直徑1 m、內(nèi)直徑0.2 m的環(huán)形鋼制飛輪組成，厚度分別為0.0392 m、0.0784 m 0.1568 m,鋼材密度為7810 kg/m3，基礎(chǔ)慣量為10 kg m2,問可以 組成哪些機械慣量？設(shè)電動機能補償?shù)哪芰肯鄳?yīng)的慣量的范圍為-30, 30kg m2，對于問題1中得到的等效的轉(zhuǎn)動慣量，需要用電動機補償多大的慣量三個環(huán)形鋼制飛輪組成的飛輪組在內(nèi)、外半徑，厚度，鋼材密度已知條件下可得轉(zhuǎn)動慣量公式：m P 兀（尺2-R22）di,（i =1,2,3），則：1 2 2 1 4 4廣2厲（尺2 R22）石 di（時-可）,（"1,2,3） ,（2）題目中已知數(shù)據(jù)：-0.5m，R

12、2=0.1md 0.0392m， d2 = 0.0784m， d 0.1568m g : 9.8N / kg， ? = 7810kg/m3Ji機二 30.0083 30（kg m2）代入公式（2）解得：J2機二 60.0166 ： 60（kg m2）J3機=120.0332： 120（kg m2）上述飛輪組可以組成的機械慣量有 8種，分別為10、40、70、100、130、160、 200、220 kg m2,對問題1中需要的機械慣量是40、70 kg m2,制動器的等效轉(zhuǎn) 動慣量、機械慣量、電動機補償慣量滿足下列關(guān)系式：J 機J電（3）代入題中數(shù)據(jù)：J機-52 <30解得： 22乞J機

13、空82，（單位kg m2），因此，滿足條件的機械慣量為：J機=40和J機=70，（單位：kg m2）當(dāng)J機=40時，需要電動機補償?shù)膽T量J電=52-40=12（ kg m2）當(dāng)J機=70時，需要電動機補償?shù)膽T量J電=52-70=-18 （ kg m2）（三）電流依賴于可觀測量的數(shù)學(xué)模型問題3:在問題1和問題2的條件下，假設(shè)制動減速度為常數(shù)，初始速度為50 km/h， 制動5.0秒后車速為零，計算驅(qū)動電流。本問題模型中的一些模型與參數(shù)假設(shè)1. 模型假設(shè)a、由于驅(qū)動電流與時間之間的精確關(guān)系很難得到，設(shè)制動器制動時間區(qū)間為，右飛內(nèi)減速度恒定記為a，驅(qū)動電流的積分均值記為I。b、 用t,t2區(qū)間內(nèi)驅(qū)動

14、電流的積分均值I代替t時刻的驅(qū)動電流I（t）。c、用口，Mi/ 表示主軸在ti時刻的轉(zhuǎn)速。d 、制動器試驗臺上飛輪（轉(zhuǎn)軸）的瞬時轉(zhuǎn)速n及瞬時扭矩M是可觀測數(shù)據(jù)， 不考慮觀測誤差、隨機誤差。2、模型建立制動器試驗臺上飛輪（轉(zhuǎn)軸）的瞬時初始速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系：n = 2.65vr2tt n.ti時刻主軸角速度為：衛(wèi)= 二，（ii，2）60t1,t2主軸制動減速度為：g2a =t? 一 t|ti時刻制動器試驗臺的總能量為：巳=1 j 2，機械能量為：e機二2j機， 因為E二E機 E電，叩2內(nèi)制動器試驗臺總能量的損耗為：巳-E2 =(E機！ -E機2)(E電！-E電2)即-JCi2J機(r2 -靂)(E

15、電！ -E電2),(2 2又有(E 鳥-E 電 2)= ：M 電(t) (t)dt 二M 電()二 ,2-切， 因為M電)= 1所以1 “上色-二1 J電(當(dāng)-鳥)1.51.52222即：電電.1.5J(創(chuàng)一國2) H J (mn2)( _J J J J J J J J J J J J J J(t2 t-)20(t2 t-)4）5）3、模型的一個應(yīng)用t- =01 =5,v- =50" =0,R =0.286，根據(jù)問題2的求解可知，電動機補償慣量有兩種情況：（a）若電動機補償慣量J電=12kg m2,則：v50厲=2.652.65463.2867rad / s,R0.286由（5）得:

16、二j電(n 壓)20(t2 - tj二 12 (463.2876-0)20%50)174.65531n2 -0(b)取 J電=-18kg m2，則:v50 =2.652.65463.2867rad / s,R0.286n2 = 0電20(5 - 0)20(t2 -tj由(5)得：,=(18)(463.2867-0),. _261.98245（四）問題4模型建立與求解此處假設(shè)：（1）連續(xù)問題離散化產(chǎn)生誤差。為等效的把載荷看作恒力，我們將時間離散記 錄的數(shù)據(jù)是離散的，而現(xiàn)實中問題不能離散化，因而產(chǎn)生誤差。（2）能量損失（熱能等）使產(chǎn)生誤差。（3）為使誤差縮小，我們可將時間間隔進(jìn)一步加細(xì)，取極限。同

17、時，提高儀器 測量的精度也是可行的。汽車制動路試時的平動速度：v = 2二rn汽 車 制 動 路 試 的 瞬 時 動 能：1 2 1 2 2 2 E mv m（2二 rn） =2二 n J ,（6）2 2把整個制動時間離散化為步長為10 ms的時間段，貝n制動器試驗臺上制動器消耗總能量：E = Mi -t ,i =0（7）由公式（6）、（7）我們有：路試時制動器消耗總能量： -E1=E0-E1= 2- 2（n02 - n；）J 二 52155.24，467實驗臺上制動器消耗能量：二巳 八 MJt，運用matlab軟件求得：i =1已=4.9292e 004 （見附 1）。相對誤差限：e=唱-也

18、巳爲(wèi)49%“1假設(shè)：制動器的相對誤差限在10%內(nèi)可以接受，貝當(dāng)e 10%時，我們認(rèn)為試驗制動器無法模擬汽車制動器，該模型失效當(dāng)e乞10%時，我們認(rèn)為試驗臺制動器可有效模擬汽車制動器。題目所給的控制方法的評價:通過與實際的路試相比較，可以認(rèn)為這種控制方法試驗得到的數(shù)據(jù)是可以 接受的。在一定程度上，能夠反應(yīng)實際中的問題。（五）基于電流值的計算機遞推控制模型1、參數(shù)假設(shè)a將整個制動時間離散化為若干個時間段，時間步長為說；b、考慮兩個相鄰的時間段ttk、tk,tk+i；c、其余參數(shù)假設(shè)類比第三問模型假設(shè)。2、模型假設(shè)a、假設(shè)tk時刻的制動器試驗臺主軸的瞬時轉(zhuǎn)速和瞬時扭矩為已觀測數(shù)據(jù)；b、 設(shè)tk,tk

19、時段的制動器試驗臺主軸的減速度恒定，故可用tkJ時刻的瞬時減速度代替，記為akd ;C、tk,tk時段電動機補償能量的損耗在t/ +1上由電動機補足，這種假設(shè)是 本文所建立模型的基礎(chǔ)。3、模型建立模型的目標(biāo)：利用tk4時刻已知的制動器試驗臺瞬時轉(zhuǎn)速nkJ和瞬時扭矩Mk，根據(jù)試驗臺模擬試驗的原則，設(shè)計出tk,tk+1的驅(qū)動電流的值。由“扭矩M =慣量J角加速度a ”可知:ak二牛，且-kjJ nk30,(8)(E電-k 1所以tk時刻的主軸的角速度:'k= k 4 _ ak 4Lt由tk 1 由由-E電k) = ( M 電(t)技(t)dt=M 電k叭加=(9) 由(5)、1.5(8)=

20、1J 電 C21-'k)化簡得:式知電八，22' k !_,_3J電(為- f)k 4 ttk即：Ik3J 電(二 JrvMk-1tM 2j)22(二 J nk二-30J . ：tMk)由M電I k1.521 JMk -3J電J J J J J J J J J J !1 J J J由（9）式及-'k30可得nk(12)(10)及M電_ J電MkJ(11)30 kJ J J J J J J J J J J J J J J J這樣由nk,Mk通過（10）、（11）、（12）式計算nyIkMk，這個過程逐次進(jìn)行, 直至完成制動4、方法評價利用該方法對問題四所給路試數(shù)據(jù)進(jìn)行計算

21、機控制，初始的轉(zhuǎn)速n 51 4 r p m和扭矩M1 = 4 0 N m ,）時間步長'-t = 0.01（s），轉(zhuǎn) 動慣量J =48 kg 2m，）電動機模擬慣量 J電=13（kg.m2）結(jié)果見下圖：角速度一時間：如圖（2）示： 扭矩一時間：如圖（3）示：550500450400350300250 0III101520t/sI2530圖（2）6055圖（3）451015t/s202530減速度一時間：如圖（4）示:550路試時制動器能量消耗為：G1 =52155.24試驗臺制動器能量消耗為：G =52175能量誤差為：25,相對能量誤差為：0.038%制動時間為：27.85s5、結(jié)果

22、分析1、該控制方法能量誤差較小，比較接近路試真實情況。2、制動時間較長。故該控制方法不完善。（六）、電流值的計算機控制優(yōu)化模型（一）、不足之處：制動時間長。主要原因：在根據(jù)前一個時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速與/或瞬時扭矩，設(shè) 計本時間段電流值的計算機控制方法時，只有最開始的轉(zhuǎn)速與扭矩是準(zhǔn)確觀 測的，其余的轉(zhuǎn)速與扭矩是近似得到的，與實際情況不吻合。（二）、完善方法：根據(jù)試驗臺工作時主軸的瞬時轉(zhuǎn)速與瞬時扭矩是可觀測的離散量，所以我們可以用以觀測的轉(zhuǎn)速與扭矩代替近似得到的轉(zhuǎn)速與扭矩進(jìn)行后面的預(yù) 測。在第五問模型中，由入丄皿心（準(zhǔn)確值）通過（11）、（ 12）、（ 13）式計算nk，L，Mk （近似值），然

23、后在預(yù)測時，用已觀測到的轉(zhuǎn)速及扭矩nk，Mk （準(zhǔn)確值）通過（11）、（ 12）、（ 13）式中的nk,Mk進(jìn)行控制，這個過程逐次進(jìn)行，直至完成制動。利用該方法對問題四所給路試數(shù)據(jù)進(jìn)行計算機控制，初始的轉(zhuǎn)速n514（rpm）和扭矩Mj =40（N.m），時間步長 t =0.01（s），轉(zhuǎn)動慣量J =48（kg.m2），電動機 模擬慣量J電=13（kg.m2）結(jié)果見圖：角速度一時間：如圖（5）：500450400350300250t/s圖（5）扭矩一時間：如圖（6）:圖（6）減速度一時間：如圖（7）:圖（7）路試時制動器能量消耗為G仁52155.24試驗臺制動器能量消耗為G =49201能量誤差

24、為2949,相對能量誤差為5.66%制動時間為4.67s（三）、結(jié)果分析從實驗數(shù)據(jù)分析看出該電流值的計算機控制優(yōu)化模型是可行的。本模型解決過程清晰，簡單易行，雖然該控制方法能量誤差變大，但制動時間大幅縮短，在一 定范圍內(nèi)具有普遍性和使用性，故該控制方法得到改善，與實際問題較為吻合。參考文獻(xiàn)： 陳小元，方凱，楊銀賢，汽車制動慣性實驗臺的系統(tǒng)設(shè)計與實現(xiàn)，電子技術(shù)第8期：第55至第57頁，2004. 張彪，劉昭度，李志遠(yuǎn)，王仁廣，機械轉(zhuǎn)動慣量電模擬系統(tǒng)設(shè)計與試驗,農(nóng)業(yè)機械學(xué)報第 38 卷第 5 期， 2007.5.附：1：M=40，40，40，41.25 ，43.75 ，45，47.5 ，, ， 2

25、88.75 ，288.75 ，291.25 ， 288.75 ；t=0:4.67:0.01;T=514.33 ，513.79 ，513.24 ，513.79 ，, ， 258.8 ，258.26 ，257.71 ，257.17; w=T*2*pi/60;t=0:0.01:4.67;plot(t,M)sum=0;a=0;for i=1:468 a=M(i)*w(i)*0.01;sum=sum+a;endsumsum =4.9292e+0042: n(1)=514;%初始轉(zhuǎn)速 n1=257;%末轉(zhuǎn)速t=0.01;% 時間步長w(1)=pi*n(1)/30;% 初始角速度ww=pi* n1/30;%

26、 末角速度m(1)=40;%初始扭矩j=48;%等效慣量j1=13;%補償慣量a(1)=m(1)/j;% 初始加速度i=1;while w(i)>=wwfor i=i+1 w(i)=w(i-1)-a(i-1)*t;%預(yù)測角速度l(i)=3*j1*(w(i-1F2-w(iF2)/(4*w(i)*t);%預(yù)測驅(qū)動電流m(i)=2*I(i)*j/(3*j1);%預(yù)測扭矩a(i)=m(i)/j;%下一段減速度n(i)=30*w(i)/pi;%預(yù)測轉(zhuǎn)速endendl=length(w)% 計算w的長度，即制動時間G=0;for i=1:lG=G+w(i)*m(i)*t;% 計算試驗臺能量endGG1=(j*w(1)A2-j*wwA2)/2% 計算路試能量 e=abs(G-G1)%色對誤差e仁abs(G-G1)/G1*100%相對誤差，百分制k=1:l;subplot(1,2,1)plot(k,n)title(' 時間轉(zhuǎn)速 ')subplot(1,2,2)plot(k,m)title(' 時間扭矩 ')第六題： n(1)=514;% 制動開始前的主軸初始轉(zhuǎn)速 n1=257;%制動要求達(dá)到的主軸末轉(zhuǎn)速zs=xlsread('gczs');%讀入工作區(qū)間中文件 gczs,表示