專題訓(xùn)練二次函數(shù)圖象與abcbac等符號問題

1、專題訓(xùn)練二二次函數(shù)圖象與 a, b, c, b2 4ac等符號問題二次函數(shù)y = ax2 + bx+ ca工0的圖象特征與 a, b, c及判別式b2 4ac的符號之間的關(guān)系:工程字母字母的符號圖象的特征Xaa>0開口向上a<0開口向下bb = 0對稱軸為y軸ab>0b與a同號對稱軸在y軸左側(cè)ab<0b與a異號對稱軸在y軸右側(cè)cc= 0經(jīng)過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交b2 4acb2 4ac = 0與x軸有唯一交點頂點b2 4ac>0與x軸有兩個不同交點b2 4ac<0與x軸沒有交點特殊關(guān)系當(dāng) x=1 時，y = a+ b +

2、 c當(dāng) x= 1 時，y= a b+ c假設(shè) a+ b + c>0,即 x = 1 時，y>0假設(shè) a b+ c>0,即 x= 1 時,y>0一、選擇題1. 2021寧波函數(shù) y= ax2 2ax 1a是常數(shù)，a 0,以下結(jié)論正確的選項是A. 當(dāng)a= 1時，函數(shù)圖象過點一1 , 1B. 當(dāng)a= 2時，函數(shù)圖象與x軸沒有交點C. 假設(shè)a>0,那么當(dāng)x> 1時，y隨x的增大而減小D. 假設(shè)av 0,那么當(dāng)x< 1時，y隨x的增大而增大2. 二次函數(shù)y= ax2 + bx + c的圖象如圖2- ZT 1所示，那么以下關(guān)系式錯誤的選項是圖 2 ZT 1A. a

3、 v 0B. b>0C. b2 4ac> 0D. a + b+ cv 03. 以x為自變量的二次函數(shù)y = x2 2b 2x + b2 1的圖象不經(jīng)過第三象限，那么實數(shù)b的取值范圍是5A. b > 4 B. b> 1 或 b < 1C. b> 2 D. 1 < b< 24. 2021威海二次函數(shù) y= ax2 + bx+ ca 0的圖象如圖2 ZT 2所示，那么正比例函數(shù)a 一 b 一 c一y= b + cx與反比例函數(shù) y =在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是x圖 2 ZT 2圖 2 ZT 35.2021安徽拋物線 y = ax2 + bx+ c與反比

4、例函數(shù)y= -的圖象在第一象限有一個公共點x其橫坐標(biāo)為1,那么一次函數(shù)y= bx+ ac的圖象可能是圖 2 ZT 46. 2021煙臺二次函數(shù) y= ax2 + bx + ca工0的圖象如圖 2 ZT 5所示，對稱軸是直線 x=1以下結(jié)論：abv 0；b2>4ac；a + b+ 2cv 0；3a+ cv 0.其中正確的選項是圖 2 ZT 5A B C. D.7. 2021鄂州如圖2 ZT 6，拋物線y = ax2 + bx + c的圖象交x軸于點A 2，0和點B，1 a -i- b交y軸負(fù)半軸于點 C，且OB = OC.以下結(jié)論：2b c= 2；a = 2 ac= b 1；> 0，

5、2 c其中正確的結(jié)論有圖 2 -ZT 6A. 1個 B . 2個 C . 3個 D . 4個8.2021齊齊哈爾拋物線 y = ax2 + bx+ c(a半0)的對稱軸為直線 x= 2，與x軸的一個交點在(3, 0)和(一4, 0)之間，其局部圖象如圖2 ZT 7所示，那么以下結(jié)論：4a b= 0;cv 0;9513a + c>0:4a 2b>at2 + bt(t為實數(shù))；點 刁yi , , ¥ ,刁y3是該拋物線上的點，那么yiv y2v y3.正確的結(jié)論有()圖 2 ZT 7A. 4個 B . 3個 C . 2個 D . 1個、填空題9. 二次函數(shù)y= ax2 + b

6、x + c的圖象的一局部如圖2 ZT 8所示，那么a的取值范圍是圖 2 ZT 810. 2021 天水如圖2 ZT 9是拋物線y1 = ax2 + bx+ c(a 0)的圖象的一局部，拋物線的頂點坐標(biāo)是A(1 , 3),與x軸的一個交點是 B(4 , 0),直線y = mx+ n(m 0)與拋物線交于 A, B兩 點，以下結(jié)論： abc> 0;方程ax2 + bx+ c= 3有兩個相等的實數(shù)根；拋物線與x軸的另一個交點是(1, 0);當(dāng)1 v xv 4時，有y2 >y1 :x(ax + b) < a+ b.其中正確的結(jié)論是 .(只填寫序號)圖 2 ZT 911 . 2021株

7、洲如圖2 ZT 10,二次函數(shù)y= ax2+ bx + c的圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，其圖象與x軸交于點A( 1 , 0), C(X2, 0),且與y軸交于點B(0, 2),小強得到以下結(jié)論：0v a v 2；一1v b v 0 :c= 1 ；當(dāng)|a|= |b|時，X2> .5 1.以上結(jié)論中，正確的結(jié)論 序號是.圖 2 ZT 1012. 如圖2 ZT 11,二次函數(shù)y = ax2 + bx+ c(a>0)的圖象的頂點為 D,其圖象與x軸的交點A, B的橫坐標(biāo)分別為1 , 3,與y軸負(fù)半軸交于點 C.在下面五個結(jié)論中： 2a b= 0;a+ b + c>0:c= 3a；當(dāng)a

8、= *時， ABD是等腰直角三角形；使ACB為等腰三角形的 a的值可以有四個其中正確的結(jié)論是 (只填序號).圖 2 ZT 11三、解答題13. 如圖2 ZT 12,二次函數(shù)y = ax2 + bx+ c的圖象與x軸交于B, C兩點，交y軸于點A.根據(jù)圖象確定a, b，c的符號；如果0C = OA = goB, BC = 4,求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.圖 2 ZT 1214. 函數(shù)y = ax2 + bx+ c,假設(shè)a>0, bv 0, cv 0,那么這個函數(shù)的圖象與 x軸交點的情況 是怎樣的？假設(shè)無交點，請說明理由；假設(shè)有交點，請說明有幾個交點及交點分別在 x軸的哪個半軸 上.詳解詳析專題

9、訓(xùn)練(二)二次函數(shù)圖象與 a, b, c,b2 4ac等符號問題1. 答案D2. 解析D 拋物線開口向下，那么av 0,所以A選項的關(guān)系式正確；拋物線的對稱軸在 y軸的右側(cè)，a, b異號，那么b> 0,所以B選項的關(guān)系式正確；拋物線與x軸有2個交點，那么b2 4ac> 0,所以C選項的關(guān)系式正確；當(dāng)x = 1時，y>0,即a+b+ c>0,所以D選項的關(guān)系式錯誤.3. 答案A4. 答案C5. 解析B 由公共點的橫坐標(biāo)為 1 ,且在反比例函數(shù) y= b的圖象上，當(dāng)x= 1時，y = b, 即公共點的坐標(biāo)為(1 , b).又點(1 , b)在拋物線上，得a+ b + c=

10、b,即a+ c= 0.由a 0知acv 0, 一次函數(shù)y = bx + ac的圖象與y軸的交點在負(fù)半軸上，而反比例函數(shù)y = b的圖象的一支在第一x象限，故b> 0, 一次函數(shù)的圖象滿足y隨x的增大而增大，選項B符合條件應(yīng)選 B.6. 解析C 拋物線的開口向上，所以a>0.拋物線的對稱軸為直線x= 2；= 1,所以b<0 , 所以abv 0.所以正確； 拋物線與x軸有兩個交點，所以b2 4ac>0,所以b2>4ac.所以正確; 由圖象知，當(dāng)x = 1時，y = a+ b + c<0.又拋物線與y軸交于負(fù)半軸，所以c<0 ,所以a+ b + 2c v 0

11、.所以正確；由拋物線的對稱性知當(dāng)x = 3 時，y= 9a+3b+ c>0.又=1，所以 b= 2a，所以 3a+ c>0. 2a所以錯誤.綜上可知，正確的選項是.應(yīng)選C.7. 解析C 在 y= ax2 + bx + c 中，當(dāng) x = 0 時 y= c，二 C0， c，二 OC = c.t OB = OC， B c，0 .J A 2，0 , c， 2是一元二次方程ax2 + bx + c= 0的兩個不相等的實數(shù)根' c 2 = £ / c工 0， a= 1，正確；T c， 2 是一兀二次方程 gx2 + bx + c= 0 的兩個不 a22相等的實數(shù)根， c +

12、 2 = 1 即 2b c = 2，正確；把 B c，0代入 y= ax2 + bx + c，2得 0 = a c2+ b c + c，即 ac2 bc+ c = 0. * c 0， - ac b + 1 = 0，ac= b 1，正確；t拋物線開口向上，二a>0.t拋物線的對稱軸在x軸左側(cè)，一 v 0， b> 0， a + b>0. t拋2aa + b物線與y軸負(fù)半軸交于點 C， cv 0.厶v 0，錯誤.c8.解析Bt拋物線y= ax2 + bx + ca 0的對稱軸為直線x = 2，=22a ， 4ab = 0，故正確;t拋物線y = ax2 + bx + ca工0的對稱

13、軸為直線 x = 2,與x軸的一個交點在3,0和4,0之間，另一個交點位于一1，0和0，0之間，拋物線與y軸的交點在原點的下方，二c v0.故正確；t 4a b= 0， b = 4a. t 當(dāng) x = 3 時，y = 9a 3b + c= 9a 12a + c = 3a+ c>0，故正確;t 4a b= 0， b= 4a， at2 + bt (4a 2b) = at2 + 4at (4a 2 x 4a) = at2 + 4at + 4a= a(t2 + 4t + 4) = a(t + 2)2. t t 為實數(shù)，av0， a(t + 2)2< 0， - at2 + bt (4a 2b

14、) < 0， at2 + bt< 4a 2b， 即 4a 2b > at2 + bt， 錯誤；t點I，y1，5，y2， 2 y3是該拋物線上的點將它們描在圖象上可得由圖象可知：y1<y3<y2，故錯誤.綜上所述，正確的有3個應(yīng)選B.9. 答案1v av 0解析t拋物線開口向下 ，. av 0.t函數(shù)圖象過點0，1， c = 1.t函數(shù)圖象過點1，0，+»+ c= 0， b= a+ c= a+ 1.由題意知，當(dāng)x = - 1時，應(yīng)有y> 0 ,a b + c> 0,a+ a + 1 + 1 > 0,a> 1 , a的取值范圍是一1

15、v av 0.10. 答案解析根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、與y軸交點可知，av 0, b > 0, c> 0,故abcv 0 ；根據(jù)函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)可知，方程ax2 + bx + c = 3有兩個相等的實數(shù)根,即X1= x2= 1；根據(jù)拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸的另一個交點是(2, 0):根據(jù)函數(shù)圖象，當(dāng)1 v xv4 時，有 y2vy1 ；當(dāng) x = 1 時，y= a+b+ c= 3> x(ax + b) + c, x(ax + b) < a+ b.故正確的結(jié) 論有.11. 答案解析由拋物線的開口向上可知，a> 0,且拋物線經(jīng)過點A( 1, 0),

16、B(0 , 2),對稱軸a b+ c = 0,在y軸的右側(cè)可得 c = 2, 即a b= 2, bv 0,故a= 2+ bv 2綜合可知0 v av 2；由a b b2a>0，=2 可得 a= b + 2,將其代入 0 v av 2 中，得 0v b+ 2 v 2,即一2 v bv 0；當(dāng) |a|= |b|時，因為 a> 0, bv 0,故有 a= b.又 a b= 2,可得 a= 1, b= 1.故原函數(shù)為y = x2 x 2,當(dāng)y = 0時，即有x2 x 2 = 0,解得X1 = 1 , X2= 2,此時X2 = 2> 5 1.故答案為：.12. 答案解析拋物線與x軸的交

17、點A , B的橫坐標(biāo)分別為1, 3 , AB = 4,對稱軸為直線x = 乎=1, b = 2a,即2a+ b= 0.故錯誤；根據(jù)圖象知 ，當(dāng)x = 1時，y v 0,即a+b+ cv 0.2a故錯誤；.點A 的坐標(biāo)為(一1 ,0), a- b +c= 0,而 b = 2a, a+2a+ c = 0,即c= 3a.故正確；當(dāng)a =寸時，b = 1, c= 3,拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y =我一x 號.設(shè)對稱軸直線x1313=1與x軸的交點為 E ,把x = 1代入y = x2 x ?,得y = 1 3 = 2, 點D的坐標(biāo)為(1, 2), AE = 2 , BE = 2 , DE = 2 , AD

18、E和厶BDE都為等腰直角三角形 ， ABD為等腰 直角三角形故正確；要使ACB為等腰三角形，那么必須保證 AB = BC = 4或AB = AC = 4或AC = BC ,當(dāng) AB = BC = 4 時，/ BO = 3, BOC 為直角三角形，0C 的長為 |c| , c2 = 16 9 =7. v拋物線與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸上，二c= .7 ,與2a+ b= 0 , a- b + c= 0聯(lián)立組成方 程組，解得a=¥；當(dāng) AB = AC = 4 時，/ AO = 1, AOC 為直角三角形，OC 的長為 |c|,二 c2 = 16- 1 = 15.拋物線與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸上， c=- 15,與2a+ b = 0, a- b+ c= 0聯(lián)立組 成方程組,解得a=-；5;當(dāng) A