《勾股定理》典型題目

1、勾股定理看數(shù)學(xué)思想【附練習(xí)】1. 數(shù)形轉(zhuǎn)化 “勾股定理”定理是“形一數(shù)”的轉(zhuǎn)化。條件是形 -“直角三角形”，得出 的結(jié)論是數(shù)-“邊之間的數(shù)量關(guān)系”。標(biāo)準(zhǔn)格式是： ABC是直角三角形，/ C是直角， cA+cB=aB “勾股定理”的逆定理是“數(shù)一形”的轉(zhuǎn)化。條件是數(shù) -“邊之間的數(shù)量關(guān) 系”，得出的結(jié)論是形-“直角三角形”。標(biāo)準(zhǔn)格式： cA+cB=aB,：a ABC是直角三角形，/ C是直角應(yīng)用舉例:如圖所示，有一塊地，已知AD=4米，CD=3米，/ ADC=90,的面積為多少?解： ADC是直角三角形 AC2=AC2+D（2=42+32=52 （注：這是在用勾股定理） AC2+BC2=52+1

2、22=169AB2=132=169 AC2+BC2=ABZAC BC CD AD-S 地一Sabc-S adc2 ABC是直角三角形（注：這是在用勾股定理的逆定理）(米2)化口 242 22. 方程思想我們知道，知道直角三角形的兩條邊，可以借助勾股定理求出第三邊。 但是有的 問題只知道直角三角形的一條邊，這時候，要考慮借助勾股定理列方程解決問題。 例1 ：如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊 ac= 6cmBO8cm先將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上,且與AE重合，則CD等于（）A. 2B. 4 C. 3D. 5解：在Rt ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100=1C2

3、 AB=10 (cm)/ AE=AC=6cm EB=4cm / AED2 C=90° / DEB=90 DEB是直角三角形 DE+EBZ=D團(tuán)設(shè) CD=xcm 貝U DE=CD=xcmDB= (8-x ) cm x2+42=(8-x) 2 解得 x=3，所以，CD=3cm例2:在筆直的公路上A、B兩點相距20km在A的正南方8km處有村莊D,在B 的正南方11km處有村莊C.現(xiàn)在要在AB上建一個中轉(zhuǎn)站E,是的C、D兩村莊到E站的距離相等。(1)利用尺規(guī)作圖，做出點E的位置。計算點E距離點A多遠(yuǎn)？解：(1)如圖，點E就是要建中轉(zhuǎn)站的位置(2)設(shè) AE=xkm 則 EB=(20-x)km

4、在 Rt ADE中DE2=AC2+AEZ=82+x2在 Rt EBC中EC2=EBZ+BC2=(20-x) 2+112v DE=EC 82+x2=(20-x) 2+112解得 x= 457 km40457所以，點E與點A的距離是km40典型題目練習(xí)一折疊問題1. 一張直角三角形的紙片，如圖所示折疊，使兩個銳角的頂點A、B重合，若AC=6BC=8求DC的長。2.如圖所示，將長方形紙片ABCD勺一邊AD向下折疊，點D落在BC邊的F處 已知 AB=CD=8cmBC=AD=10cm求 EC的長。F其他折疊問題常見圖形:CCB二最短問題1.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長，寬和高分別為50寸，30寸和

5、10寸, A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物， 則它所走的最短路線長是多少？2.如圖，長方體的長，寬，高分別為 8, 4，10.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4 個側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為多少？3. 如圖，一圓柱體的底面周長為16,高AB為15，BC是上底面的直徑一只昆蟲從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,則昆蟲爬行的最短路程為多少?4.如圖,長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5, 一只螞蟻如 果要沿著長方體的表面從點 A爬到點B,需要爬行的最短距離是多少？八、一工T5.如圖所示，有一根高為2m的木柱，它的底面周長為0

6、.3m,為了營造喜慶的氣氛，老師要求小明將一根彩帶從柱底向柱頂均勻地纏繞1圈，一直纏到起點的正上方為止，問：小明至少需要準(zhǔn)備多長的一根彩帶?三梯子問題1.如圖，一架云梯AC長為25m斜靠在一豎直的墻CO上，這時梯子底端A離 墻的距離ao是 7m如果梯子的頂端c沿墻下滑了 4m那么梯子的底部在水平方2.如圖，兩墻之間的距離BC=22米,當(dāng)云梯靠在西墻的時候，此時可以達(dá)到的高 度AB=24米；若云梯底部O不動，使云梯靠在東墻上，此時云梯可以達(dá)到的高度DC=20米，試求BO的距離。四蘆葦問題1. 有一個邊長為10尺的正方形水池，一棵蘆葦 AB生長在它的中央，高出水面 BC為I尺.如果把該蘆葦沿與水池

7、邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽碰到岸邊的B'（如圖）時，水恰好沒過蘆葦.問水深和長各多少？2. 如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將 繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面 2m則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計）為多少米？五.構(gòu)造直角三角形1. 如圖，每個小正方形的邊長為1, A、B、C是小正方形的頂點，則/ ABC勺度數(shù)為（）A. 90° B . 60° C . 45° D . 30°2. 如圖，A，B是公路I （I為東西走向）兩旁的兩個村莊，A村到公路I的距離AO 1kmB村到公路I的距離BD= 2km CD=4km（1）求出A, B兩村之間的距離；（2）為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站BP，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡要寫 明作法）.沖六.綜合題目1.如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直.如 果小明站在南京路與八一街的交叉口