選修2_2導數(shù)和應用典型例題

1、第一章導數(shù)及其應用1.1變化率與導數(shù)【知識點歸納】1. 平均變化率:2. 瞬時速度:3. 導數(shù)及導函數(shù)的概念:4. 導數(shù)的幾何意義：拓展知識：5. 平均變化率的幾何意義:6. 導數(shù)與切線的關(guān)系:【典型例題】題型一求平均變化率:例1.已知函數(shù)yf(x) 2x2 1的圖像上一點(1,1 )及其鄰近一點(1x,1 y），則變式訓練：1 2求物體在to到1.以Vo(Vo 0)速度豎直向上拋出一物體，t秒時的高度為S(t) Vot -gt， to t這段時間的平均速度 V.題型二實際冋題中的瞬時速度例2已知質(zhì)點M按規(guī)律s 2t2 3做直線運動（位移單位：cm,時間單位：s）（1 ）當 t 2, t 0.

2、01 時，求；（2）當 t 2, t 0.001 時，求亠；tt（3）求質(zhì)點M在t=2時的瞬時速度.題型三求函數(shù)的導數(shù)及導函數(shù)的值1例3求函數(shù)y x 在X 1處的導數(shù).X題型四曲線的切線問題例4 （ 1）已知曲線y 2X2上一點A（ 1 , 2）,求點A處的切線方程（2）求過點（-1 , -2 ）且與曲線y 2x X3想切的直線方程.1（3） 求曲線f （x）x3 x2 5在x=1處的切線的傾斜角.3（4） 曲線y x3在點P處的切線斜率為 3,求點P的坐標.1.2 導數(shù)的計算【知識點歸納】1. 常見函數(shù)的導數(shù):2. 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式:3. 導數(shù)的運算法則:4. 復合函數(shù)的導數(shù):【典型例

3、題】 題型一基本初等函數(shù)導數(shù)公式運用例1給出下列結(jié)論:(cos)sin6 6.若y 3 x，則y其中正確的是1 1；若y 2，則y2 x213X332x ；若 f(x) 3x，則f (1)3 ；題型二導數(shù)運算法則的應用 例2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1) y-x3 ；(2)y3lg x ex ；( 3) = gcosx ；( 4) y.xxx sin gcos.22變式訓練：判斷下面的求導是否正確，如果不正確，加以改正21 cosx 2x(1 cosx) x sin x() -xx題型三復合函數(shù)求導的應用例7求下列函數(shù)的導數(shù).3 2 1(1) y (1 cos2x) ; (2) y sinx變式訓練

4、：求函數(shù)y (2x2 3) . 1 x2的導數(shù)題型四切線方程及應用例4曲線y sinx ex在點(0，1)處的切線方程是?3變式訓練：曲線y x x 2在P處的切線平行于直線y 4x 1，則點 P的坐標為題型 五 利用導數(shù)求參數(shù)問題例5若曲線y x3 ax在坐標原點處的切線方程是2x y 0 ,則實數(shù)a=xa的值、.一e變式訓練：若函數(shù)f (x)在x=a處的導數(shù)值為函數(shù)值互為相反數(shù)，求x題型 六 對數(shù)求導數(shù)的應用（選講） 例6求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y (x 1)(x 2)(x 3)(x3)；(2)y(X 1)(X 2)(x2x 13)(x題型七求導數(shù)的實際應用例7有一把梯子貼靠在筆直的墻上，

5、已知梯子上端下滑的距離 s （單位：m）關(guān)于時間t （單 位s）的函數(shù)為s s（t） 5 J25 9t2 .求函數(shù)在t 時的導數(shù)，并解釋它的實際意義 .151.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)【知識點歸納】1. 函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系：2. 利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：3. 導數(shù)的絕對值的大小與圖像的關(guān)系(選講)：【典型例題】題型一里用導數(shù)的信息確定函數(shù)大致圖像例1已知導函數(shù)f (x)的下列信息：當 2x3時，f(x) 0 ；當 x 3或 x 2 時，f (x)0 ；當 x 3或 x 2時，f (x)0 ；試畫出函數(shù)f (x)圖像的大致形狀.題型二判斷或者證明函數(shù)的單調(diào)性例2試判斷

6、函數(shù)f(x) ln x x在其定義域上的單調(diào)性、.ln x變式訓練：證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，2)上是單調(diào)遞增函數(shù)x題型三求函數(shù)的單調(diào)性例3確定函數(shù)f(x) 2x3 6x2 7的單調(diào)區(qū)間變式訓練：求函數(shù)y x X3的單調(diào)性.題型 四 含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例4已知函數(shù)f (x) In x ax2 (2 a)x，討論f (x)的單調(diào)性ax 1變式訓練：已知函數(shù)f(x)門在(2,)內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍導數(shù)的極值與導數(shù)【知識點歸納】1. 導數(shù)的極值的概念:2. 導數(shù)的極值的判斷和求法:【典型例題】題型一求函數(shù)的極值 例1求下列函數(shù)的極值:(2) y x21n x.(1) y x2 7x

7、 6 ；b，其中常數(shù)一32變式訓練：設(shè) f(x) x ax bx 1的導數(shù)f (x)滿足f (1)2a, fa,b R.(1) 求曲線y f (x)在點(1,f(1)處的切線方程.(2) 設(shè)g(x) f (x)e x，求函數(shù)g(x)的極值.題型二判斷函數(shù)極值點的情況例2判斷下列函數(shù)有無極值，若有極值，請求出極值；如果沒有極值，請說明理由.112（1） f（x） x 4；（2） f（x） x x 4x ；（3） f（x） 1 （x 2）3 .33、 . ” 2變式訓練：設(shè)函數(shù)f （x） axbln x，其中ab 0.證明：當ab 0時，函數(shù)f （x）沒有極值點，當ab 0時，函數(shù)f（ x）有且只

8、有一個極值點，并求出極值題型三導函數(shù)的圖像與函數(shù)極值的關(guān)系例3函數(shù)f（ x）的定義域為開區(qū)間（a，b），導函數(shù)f'（ x ）在（a, b ）內(nèi)的圖象如圖所 示，則函數(shù)f （x）在開區(qū)間（a, b）內(nèi)有極小值點的個數(shù)為（）A 1個 B.2 個 C.3 個 D.4 個忖題型四極值的逆向問題 例4已知函數(shù)f(x) ax4|nx bx4 c(x 0)在x=1處取得極值-3-c，其中a, b為常數(shù).(1) 試確定a，b的值.(2) 討論函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間.綜上：若說明函數(shù)沒有極值，一般不討論有無導數(shù)，而是在區(qū)間上只有一個單調(diào)性，沒有“拐點”函數(shù)的最大小值與導數(shù)【知識點歸納】1.最大小值與極

9、值的關(guān)系:2.求最大小值的步驟:3. 開區(qū)間的最值問題：【典型例題】題型 一利用導數(shù)求函數(shù)最值問題例 1 求函數(shù) f(x) x5 5x4 5x31在區(qū)間1,4上的最大值和最小值變式訓練:設(shè)函數(shù)f(x)3ax bx c(a 0)為奇函數(shù)，其圖像在(1,f (1)處的切線與直線x 6y 70垂直，導數(shù)的最小值為-12.(1 )求a， b，c的值.(2)求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù) f (x)在-1,3上的最大小值題型二含參數(shù)最值問題例2設(shè)a為常數(shù)，求函數(shù) f（x）3x 3ax(0 x 1)的最大值.11變式訓練：1.設(shè) f （x）-x3 - x22ax322（1） 若f （x）在（，）

10、上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍316（2） 當0 a 2時,f （x）在1,4上的最小值為，求f（x）3值.在該區(qū)間上的最大題型 三 由函數(shù)的最值求參數(shù)的值2 3例 3 設(shè)一 a 1,函數(shù) f (x) x3 - ax2 b( 13 2求a， b的值.x 1）的最大值為1，最小值為21.4 生活中的優(yōu)化問題【知識點歸納】利用求函數(shù)的最大小值的方法求實際應用中的最優(yōu)化問題函數(shù)的極值與端點值的比較【典型例題】題型一利潤最大問題例1某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可 以增加，且每星期多賣出商品件數(shù)與商品單價的降低值x (單位：元，0 X 21)的平方成正比

11、，已知商品單價降低 2元時，一星期多賣出 24件.(1) 將一星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)(2) 如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大變式訓練：某分公司經(jīng)銷某種品牌的產(chǎn)品， 每件產(chǎn)品的成本為 3元，并且每件產(chǎn)品需向總公 司交m(3< m<5)元的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為 x (9<x< 11)元時，一年的銷售 量為(12-x) 當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q(m).萬件.(1) 求分公司一年的利潤L (萬元)與每件產(chǎn)品的售價 x的函數(shù)關(guān)系式；題型二用料最省、費用最低問題例2如圖，某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的

12、下部是邊長分別為x, y (單位：米)的矩形，上部是斜邊長為 x的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方米.(I)求x, y的關(guān)系式，并求x的取值范圍;(H)問x, y分別為多少時用料最省？變式訓練：某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為803立方米，且l 2r假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千兀，半球形部分每平方米建造費用為c (c> 3)千元.設(shè)該容器的建造費用為y千元.(I)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域;(H)求該容器的建造費用最小時的r

13、.4 » .題型三面積、體積最值問題例3如圖在二次函數(shù) f(x) 4x x2的圖像與x軸所圍成的圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD求這個內(nèi)接矩形的最大面積 變式訓練：請您設(shè)計一個帳篷它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如圖所示).試問當帳篷的頂點 0到底面中心 0的距離為多少時，帳篷 的體積最大？1.5定積分的概念【知識點歸納】定積分的概念:定積分的性質(zhì):【典型例題】 題型一利用定義計算積分2例1利用定積分定義，計算1 (3x 2)dx題型二求曲邊梯形的面積x3圍成的圖形的面積例2利用定積分的定義求出直線x=1，x=2和y=0及曲線y1.6微積分基本定理【

14、知識點歸納】1. 牛頓一萊布尼茨公式:2. 定積分的取值：3. 定積分的一些性質(zhì)：【典型例題】題型一求簡單函數(shù)的定積分例1求下列函數(shù)的定積分：(1)2 1 2 -(x )dx ；( 2)2 sin xdx ；1x2(3) J, x(1 x )dx ；題型二求分段函數(shù)的定積分3x ,x0,1例2求函數(shù)f (x)x2,x1,2在區(qū)間0，3上的定積分2x,x2,32 2變式訓練：求定積分：(1) x 1 dx ;0sin 2xdx題型三定積分的實際應用例3汽車以每小時36 km的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車的a 1.8 m/s2剎車，求從開始停車到停車，汽車的走過的距離減速度為3變式訓練：等比數(shù)列an中，a3 6，前三項和S30 4xdx，則公比q的值是多少?1.7 定積分的簡單應用【知識點歸納】1.常見的平面圖形的面積求法：2.定積分在物理公式中的應用:【典型例題】題型 一用定積分求平面圖形的面積例1求曲線y x2與y x所圍成的圖形的面積變式訓練：求由拋物線2X2y 5，yX 1所圍成的圖形的面積33例2求正弦曲線y sinx，x 0巧和直線x兀及x軸