定積分與微積分基本定理練習(xí)題及答案

1、1.4定積分與微積分基本定理練習(xí)題及答案1.（2011寧夏銀川一中月考）求曲線y = x2與y=x所圍成圖形的面積，其中正確的是A.S = 1(x2 x)dx J。B . S = 1(x- x2)dx0 0C.S = 1(y2 y)dy 0 0D.s= 1(y- - Jy)dy 0 0精品資料分析根據(jù)定積分的幾何意義，確定積分上、下限和被積函數(shù).兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,0） , （1,1）,故積分上限是1 ,下限是0,由于在0,1上,xx2,故函數(shù)y=x2與y=x所圍成圖形的面積S=1(x x2)dx. 02.(2010 山東日照?？?a= 2xdx , b = 2exdxc=2sinxd

2、x ,則a、b、c的大小關(guān) 0 o不THA.a<c<bB . a<b<cC.c<b<aD . c<a<b答案D解讀a =1r2xdx =產(chǎn)02 =2, b= 2exdx = ex|02=e2 1>2 , c =2sinxdx =一 0 0cosx|02 = 1 cos2 (1,2),. c<a<b.3. （2010 山東理，7）由曲線y = x2, y = x3圍成的封閉圖形面積為（）A.-B.1C.1D.-12 4 3 12答案Ay = x2解讀由 得交點(diǎn)為(0,0) , (1,1).y = x3. S= 1(x2 x3)dx

3、 = 0 01x3,34101 =一12點(diǎn)評(píng)圖形是由兩條曲線圍成的時(shí)，其面積是上方曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式減去下方曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式的積分，請(qǐng)?jiān)僮鱿骂}:（2010湖南師大附中）設(shè)點(diǎn)P在曲線y = x2上從原點(diǎn)到A（2,4）移動(dòng)，如果把由直線 OP ,直線y=x2及直線x= 2所圍成的面積分別記作 S1 , S2.如圖所示，當(dāng)S1 = S2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A.16、416 '9C.15-4 13"7 廠，7,答案A設(shè) P(t,t2)(0 W),則直線 OP :y = tx,. S1 = t (tx x2)dx =;0 0S2= 2 (x2J t-tx)dx =-2t+,若 S1

4、=S2 ,則 t=-, . P 4, 363©94.由三條直線x=0、x= 2、y=0和曲線y= x3所圍成的圖形的面積為（）A. 4 B.4C.-8D. 635答案Axx4解讀s = 2x3dx = _ 02 = 4.40 05 . (2010湖南省考試院調(diào)研)J1 1(sinx+1)dx的值為()A. 0 B. 2C. 2+2cos1 D. 2 2cos1答案B解讀1(sinx + 1)dx = ( cosx + x)| 11=(cosl + 1)(cos( 1) 1) = 2.6 .曲線y=cosx(0故V t)與直線y=1所圍成的圖形面積是()A. 2兀B. 3兀ChD.兀2

5、答案A解讀如右圖，S = J02 41 cosx)dx= (x sinx)|02 k 2 式點(diǎn)評(píng)此題可利用余弦函數(shù)的對(duì)稱性面積相等解決，但若把積分區(qū)間改為兀i則對(duì)稱性就無能為力了.7 .函數(shù) F(x)= xt(t 4)dt 在1,5上()A.有最大值0,無最小值328 .有最大值0和最小值-332C.有最小值 -，無最大值3D.既無最大值也無最小值答案B解讀F'(x) = x(x 4),令 F'(x) = 0,得 x1 = 0, x2 = 4,-F(-1) = -7, F(0) = 0, F(4)=32, F(5)=-F 333，最大值為0,最小值為一 .3點(diǎn)評(píng)一般地，F(xiàn)（x）

6、 =x(Xt)dt 的導(dǎo)數(shù) F (x) = Mx). 0 08. 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn =2n2 +n,函數(shù)f（x） = "dt,若f（x）a3，則x的 J 1取值范圍是（）+ oo B，(0, e21)C. (e 11 , e) D. (0, e11)答案D解讀f(x)= x-dt = lnt|lxJi t=lnx,a3=S3 S2 = 21 10 = 11 ,由 lnx<11得，0<x<e11.9. （2010福建廈門一中）如圖所示，在一個(gè)長為國寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y = sinx（0aw尚x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形 OABC內(nèi)隨機(jī)投一

7、點(diǎn)（該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的），則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是（）A.-B.2C.3D.兀 兀 兀 4答案A解讀由圖可知陰影部分是曲邊圖形，考慮用定積分求出其面積.由題意得S =兀 0sinxdx = cosx|0兀=一（cos兀一cos0） = 2,再根據(jù)幾何概型的算法易知所求概率P =S矩形OABC 2兀r+2 2*0的圖象與x軸所圍成的圖形面10. (2010吉林質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=兀 2cosx 0 a公2積S為()31A.-B. 1 C . 4 D- 22答案C兀兀解讀面積 S= 2f(x)dx =/0 2(x + 2)dx + f02cosxdx =2+2 = 4.

8、11.(2010沈陽二十中)設(shè)函數(shù)f(x) = xx,其中岡表示不超過x的最大整數(shù)，如1.2=2, 1.2 =1 , 1=1.又函數(shù)g(x)=-, f(x)在區(qū)間(0,2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為 m, f(x)與g(x) 3的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為n ,則n g(x)dx的值是() mA.-5B.-423C. -5D.4答案A解讀由題意可得,當(dāng) 0Vx<1 時(shí)，x=0, f(x)=x,當(dāng) 1*2 時(shí)，x=1, f(x) =x- 1 ,所以當(dāng)xg0,2)時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn),由函數(shù)f(x)與g(x)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)有所以 m = 1 , n = 4,則 n g(x)dx =1 mdx =x2

9、一6514一一211 . (2010江蘇鹽城調(diào)研)甲、上隨機(jī)等可能地抽取一個(gè)實(shí)數(shù)記為乙兩人進(jìn)行一項(xiàng)游戲比賽，比賽規(guī)則如下：甲從區(qū)間0,1b,乙從區(qū)間0,1上隨機(jī)等可能地抽取一個(gè)實(shí)數(shù)記為c(b、c可以相等），若關(guān)于X的方程x2 + 2bx+c=0有實(shí)根，則甲獲勝，否則乙獲勝，則在一場(chǎng)比賽中甲獲勝的概率為（）12 13A.B.CrD 3 3 2 4答案A解讀方程x2 + 2bx + c= 0有實(shí)根的充要條件為A= 4b2 4c可，即b2衿“l(fā)b2db001由題意知，每場(chǎng)比賽中甲獲勝的概率為p=-1X1312. （2010吉林省調(diào)研）已知正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為O（0,0） , A（1,0） , B（1

10、,1） , C（0,1）,曲線y=x2（x可）與x軸，直線x=1構(gòu)成區(qū)域M,現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)地投入正方形中，則質(zhì)點(diǎn)落在區(qū)域M內(nèi)的概率是（）AB1 2CD 3 5答案C解讀如圖，正方形面積1 ,區(qū)域M的面積為S= Hx2dx 0= 'x3|01 =,故所求概率 p=1. 3332 .如圖，陰影部分面積等于 （）答案C解讀圖中陰影部分面積為S= "1 (3 x2 2x)dx = (3xL x2)|1 3 = -33 . 24x2dx =()A. 4兀B. 2兀兀C.兀 D 2答案C解讀令y =44 x2,則x2 + y2 = 4（y可），由定積分的幾何意義知所求積分為圖中陰影部分

11、的面積,1S = -X 兀 22 =兀44.已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為 v甲和v乙（如圖所示）.那么對(duì)于圖中給定的 t0和t1 ,下列判斷中一定正 確的是（）A.在t1時(shí)刻，甲車在乙車前面B.在t1時(shí)刻，甲車在乙車后面C.在t0時(shí)刻，兩車的位置相同D. t0時(shí)刻后，乙車在甲車前面答案A解讀判斷甲、乙兩車誰在前，誰在后的問題，實(shí)際上是判斷在t0, t1時(shí)刻，甲、乙間段內(nèi)速度函數(shù)的定積分，即速度函數(shù)兩車行駛路程的大小問題.根據(jù)定積分的幾何意義知：車在某段時(shí)間內(nèi)行駛的路程就是該時(shí)v的圖象與t軸以及時(shí)間段圍成區(qū)域的面積.從圖象知：在t0

12、時(shí)刻，v甲的圖象與t軸和t= 0, t=t0圍成區(qū)域的面積大于 v乙的圖象與t軸和t=0, t = t0圍成區(qū)域的面積，因此，在 t0時(shí)刻，甲車在乙車的前面，而且此時(shí)乙車的速度剛剛趕上甲車的速度，所以選項(xiàng)C, D錯(cuò)誤；同樣，在t1時(shí)刻，v甲的圖象與t軸和t =t1圍成區(qū)域的面積，仍然大于v乙的圖象與t軸和t=t1圍成區(qū)域的面積， 所以，可以斷定： 在t1時(shí)刻，甲車還是在乙車的前面.所以選 A.5. （2012 山東日照模擬）向平面區(qū)域兀 兀.=（x, y）i 版?；?內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在曲線y=cos2x下方的概率是（）兀1A.-B.-4 22答案D2D. 一兀解讀 平面區(qū)域 Q是矩形區(qū)域

13、，其面積是：，在這個(gè)區(qū)域中曲線v= cos2t下方區(qū)域的面積是 G匹cos2tcU =*i2信co52HdN=2（3皿112工）療=1.故所求的概率是上=2_K_22二.故選D716. - (sinx cosx)dx 的值是()兀A. 0B.- C, 2D. - 2答案Dr TIT| - 7；2 rJ 2解讀一(sinx cosx)dx = ( cosx sinx) 一= 2.7. (2010 惠州模擬)”2(2 |1 x|)dx =0 0答案31 + x 0 a W1解讀 3-x 1<x <2. .2(2 |1 -x|)dx = 01(1+x)dx+ 2(3 x)dx113 3

14、+ -= 3.=(x + -x2)|10 + (3x - - x2)|2 =8. (2010 蕪湖十二中)已知函數(shù) f(x) = 3x2 +2x+1 ,若 /1 1f(x)dx =2f(a)成立，則 a1答案1或3解讀丁1f(x)dx=。 1(3x2 +2x+1)dx = (x3+x2+x)|1- 1 = 4,1f(x)dx =2f(a) , . 6a2 + 4a + 2 = 4,1. a = 1 或一39.已知 a =才0(sinx + cosx)dx ,則二項(xiàng)式)6的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是答案192解讀由已知得 a= T0(sinx + cosx)dx = ( cosx + sinx)|

15、 -0= (sin- cos")(sin0 的展開式中第(2cos0) = 2,r+1 項(xiàng)是 Tr+1=(1)r >C6X26-r及3 r,令 3r=2 得,r=1,故其系數(shù)為(一1)1 >C6X25 = 192.10.有一條直線與拋物線 y=x2相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB與拋物線所圍成圖形的面4積恒等于求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.3解讀設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(a, a2), B(b ,b2),不妨設(shè)a<b ,b2-a2則直線AB的方程為y-a2=(x-a),b a即 y = (a+ b)x ab.則直線AB與拋物線圍成圖形的面積為S= b(a+b)x

16、aba ax2dx = ( 2 x2 abx x3 171a = 6(b a)3,6(b-a)3 = 3,解得ba = 2.設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為P(x, y),其中a2 + b2y =2x= a + 1 ,將ba=2代入得SIy=a2 + 2a + 2.消去a得y=x2 + 1.線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為y=x2 + 1.能力拓展提升11.(2012鄭州二測(cè))等比數(shù)列an中,a3=6,前三項(xiàng)和S3 =()1A. 1 B. 234xdx ,則公比q的值為 0 oC. 1 或 一D. - 1 或一22答案C解讀因?yàn)?S3= "34xdx =2x2|®=18,所以 9十

17、76;- + 6= 18,化簡得 2q2 -q - 1=0, Lq q21解得q = 1或q = -2,故選C.12 . (2012 太原模擬)已知(xlnx)'=lnx + 1 ,則“elnxdx =()A. 1 B. e C. e-1 D, e+1答案A解讀由(xlnx) '= Inx + 1,聯(lián)想到(xlnx x) '= (Inx + 1) 1 = Inx,于是 elnxdx = (xlnxx)|d = (elne e) (1 Mn1 1)=1.13 .拋物線y2 = 2x與直線y = 4 x圍成的平面圖形的面積為 答案18y2 = 2x,解讀由方程組£

18、解得兩交點(diǎn)A(2,2)、B(8, 4),選y作為積分變量xy= 4-x,y2=-、x=4 y, 2-S= "2 (4y) y2dy = (4y? 恰 4=18.-414.區(qū)域I4 l區(qū)域u已知函數(shù)f(x)=ex1,直線11 ： x=1, 12： y = et 1(t為常數(shù)，且 0 4司).直線11, 12與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形如圖中區(qū)域n所示，其面積用S2表示.直線12, y軸與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形如圖中區(qū)域I所示，其面積用S1表示.當(dāng)t變化時(shí)，陰影部分的面積的最小值為.答案(41)2解讀由題意得 S1 + S2 = " (et - 1 - ex +

19、 1)dx + 7(ex 1 et + 1)dx = " (et 0 0t t0 0ex)dx +1 (ex et)dx = (xet ex)|t0 + (ex xet)|1 = (2t 3)et + e + 1 ,令 g=(2t 3)et + e t+ 1(0 44)，則 g'(t) = 2et+ (2t 3)et = (2t 1)et,令 g'(t) = 0,得 t=' .當(dāng) t q0,1)時(shí)，g'(t)<0 , 22g是減函數(shù)，當(dāng)tq； 1時(shí)，g '>0 , g是增函數(shù)，因此g(t)的最小值為g(；) = e+ 1 2e；=

20、(、/e 1)2.故陰影部分的面積的最小值為(、/e 1)2.15.求下列定積分. j11|x|dx。(2) f 七os2 -dx; 021(3) £+1dx.x- 1,1解讀(1)1 1|x|dx =2 1xdx=2kx2|0=1.J。(2)32。=%dx = _x|0t + -sinx| 0t =-. 02.022221(3) Je+ 1dx=ln(x-1)|(2+ 1=1.x- 116 .已知函數(shù)f(x) = x3 + ax2 + bx(a , b玳)的圖象如圖所示，它與x軸在原點(diǎn)處相切, 且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為 工，求a的值.解讀f (x) = 3x2+2ax+ b,汗(0) = 0, .b = 0,. f(x) = x3 + ax2 ,令 f(x) = 0,得 x = 0 或 x = a(a<0).- S 陰影="00-(-x3+ax2)dx a a=(x4 -ax3)|Qa = -a4 =一,431212，a<Q , a = 1.1.(2011龍巖質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x) = sin5x + 1 ,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、積分的性質(zhì)和積分的幾何意義，探求f(x)dx的值，結(jié)果是1兀A.6+2 B.兀C. 1 D.答案B! 2工9一 f(x)dx =77-sin5xdx +1 LI 112L