第四章不定積分PPT課件

1、第四章第四章 不定積分不定積分4.1 4.1 不定積分的概念和性質不定積分的概念和性質引言：引言： 1、研究內容：、研究內容：在科學技術領域中，還會遇到與微分學相反的問題：在科學技術領域中，還會遇到與微分學相反的問題：“尋求一個可導函數尋求一個可導函數F(x)，使其導數等于已知函，使其導數等于已知函f(x)”， 從而產生從而產生一元函數積分學一元函數積分學（不定積分和定積分兩分）。（不定積分和定積分兩分）。2、研究思路：、研究思路： 本章我們先從本章我們先從導數的逆運算導數的逆運算引出引出原函數、不定積分原函數、不定積分的概念、性質，然后系統(tǒng)地介紹的概念、性質，然后系統(tǒng)地介紹積分方法積分方法。

2、重點重點原函數與不定積分的概念原函數與不定積分的概念基本積分公式、直接積分法基本積分公式、直接積分法換元積分法、換元積分法、 分部積分法分部積分法有理函數積分，有理函數積分，難點難點換元積分換元積分分部積分分部積分有理函數積分，有理函數積分，簡單無理函數積分、簡單無理函數積分、三角函數積分三角函數積分基本要求基本要求正確理解正確理解原函數和不定積分概念原函數和不定積分概念熟記熟記基本積分公式基本積分公式熟練地運用熟練地運用換元積分法和分部積分法換元積分法和分部積分法會用會用待定系數法求有理函數積分待定系數法求有理函數積分會用會用萬能代換和三角代換求三角有理式積分萬能代換和三角代換求三角有理式積

3、分會求會求簡單無理函數的積分簡單無理函數的積分一、一、如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內，內，定義：定義：可可導導函函數數)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數數)(xF就就稱稱為為)(xf導函數為導函數為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間I內內原原函函數數. .原函數與不定積分的概念原函數與不定積分的概念例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數數.問題問題1：原函數存在定理：原函數存在定理簡言之：連續(xù)函數一定有原函數簡言之：連續(xù)函數一定有原函數.注注2：在某區(qū)間內不連續(xù)的函數，也可能存在原函數：在某區(qū)間內不連續(xù)的函數，也可能

4、存在原函數.注注1：“初等函數在其定義區(qū)間內一定存在原函初等函數在其定義區(qū)間內一定存在原函數數”.若若 ，則對于任意常數，則對于任意常數 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數數. G(x)是是f(x)的另外一個任意的原函數，的另外一個任意的原函數，則則CxGxF )()(（ 為任意常數）為任意常數）C )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數）為任意常數）C定理定理4.1.1: “若若F(x)是是f(x)的一個原函數，則的一個原函數，則f(x)的任一的任一原函數均可表示為原函數均可表示為F(x)+C，C為任意常數。為任

5、意常數。問題問題2：原函數是否唯一？若不唯一，它們之：原函數是否唯一？若不唯一，它們之間有什么聯(lián)系？原函數的一般表達式？間有什么聯(lián)系？原函數的一般表達式？任意常數任意常數積分號積分號被積函數被積函數不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內內，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函函數數)(xf的的帶帶有有任任意意常數項的原函數常數項的原函數不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. . 為求不定積分，只須求出被積函數的一個原函數為求不定積分，只須求出被積函數的一個原函數再加上積分常數即可再加上積分常數即可例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665C

6、xdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxxxx11而：而：.11Cxdxx )1( 例例3 3 設曲線通過點（設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設曲線方程為設曲線方程為),(F xy 根據題意知根據題意知F(x)2dxdx,22 Cxxdx,)(FCxx2由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy顯然，求不定積分得到一顯然，求不定積分得到一積分曲線族積分曲線族.三、三、

7、不定積分的性質不定積分的性質 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF（1）練習：若練習：若11( ),( ).xxf x edxxeCf x求x解：兩邊對 求導得：111121( )=+xxxxf x exeCexex（）1( )=1+f xx11=(1+)xex(2) ( )( )f xg x dx;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf ( )kf x dx .)( dxxfk（k是是常常數數，)0 k dxxfkdxxfkiniiniii)( )(11這說

8、明這說明不定積分具有不定積分具有線性運算性質線性運算性質(3) 積分的結果在形式上可能有所不同，但實質上積分的結果在形式上可能有所不同，但實質上只相差一個常數。只相差一個常數。實例實例1 xx 11.11Cxdxx )1( 四、不定積分的計算四、不定積分的計算1 1、 基本積分表基本積分表 )0(1ln xxx11ln() (0)xxxx實例實例2ln |;dxxCx1 1、基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數是常數););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)(Cxxdx3 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx

9、 xdxsin)7(;cosCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據積分公式（根據積分公式（2）Cxdxx 11 2、直接積分法：直接積分法：被積函數被積函數先恒等變形先恒等變形，再使用基本積分表和積分性質。，再使用基本積分表和積分性質。例例5(1)5(1) dxxx)1213(22 d

10、xxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 1163(2)2xxxdx1113232xxxxdx111 32 3( )2 2xxdx136 3( )32xxdxdx6133( )3ln323ln2xxC例例6 6 求積分求積分.)1(122dxxxxx 解解dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.|lnarctanCxx例例7 7 4221xxdxx“分子拆開分子拆開”42222221xxxdxx222(2)1xdxx3122arctan3xxxC例例8dxxx 241解解dxxx 241dxxx 2411)1(

11、dxxx 11122Cxxx 331arctan例例9dxxx 22cossin1dxxxxx 2222cossincossin “1” dxxxsin1cos122Cxx cottan例例1010 求積分求積分.2cos11 dxx解解 dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx “分母化簡分母化簡”例例11dxxx 2cos2sin122dxxx 2cos2sin4422dxx 2sin14Cx cot4練習：練習：1 1 、2sin.2xdx1(1 cos ).2x dx2tan xdx2、2(sec1).xdx解解練習練習 設設 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf