第四章不定積分PPT課件

1、第四章第四章 不定積分不定積分4.1 4.1 不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì)引言：引言： 1、研究?jī)?nèi)容：、研究?jī)?nèi)容：在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，還會(huì)遇到與微分學(xué)相反的問(wèn)題：在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，還會(huì)遇到與微分學(xué)相反的問(wèn)題：“尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使其導(dǎo)數(shù)等于已知函，使其導(dǎo)數(shù)等于已知函f(x)”， 從而產(chǎn)生從而產(chǎn)生一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)（不定積分和定積分兩分）。（不定積分和定積分兩分）。2、研究思路：、研究思路： 本章我們先從本章我們先從導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算引出引出原函數(shù)、不定積分原函數(shù)、不定積分的概念、性質(zhì)，然后系統(tǒng)地介紹的概念、性質(zhì)，然后系統(tǒng)地介紹積分方法積分方法。

2、重點(diǎn)重點(diǎn)原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式、直接積分法基本積分公式、直接積分法換元積分法、換元積分法、 分部積分法分部積分法有理函數(shù)積分，有理函數(shù)積分，難點(diǎn)難點(diǎn)換元積分換元積分分部積分分部積分有理函數(shù)積分，有理函數(shù)積分，簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分、三角函數(shù)積分三角函數(shù)積分基本要求基本要求正確理解正確理解原函數(shù)和不定積分概念原函數(shù)和不定積分概念熟記熟記基本積分公式基本積分公式熟練地運(yùn)用熟練地運(yùn)用換元積分法和分部積分法換元積分法和分部積分法會(huì)用會(huì)用待定系數(shù)法求有理函數(shù)積分待定系數(shù)法求有理函數(shù)積分會(huì)用會(huì)用萬(wàn)能代換和三角代換求三角有理式積分萬(wàn)能代換和三角代換求三角有理式積

3、分會(huì)求會(huì)求簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分一、一、如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù).問(wèn)題問(wèn)題1：原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).注注2：在某區(qū)間內(nèi)不連續(xù)的函數(shù)，也可能存在原函數(shù)：在某區(qū)間內(nèi)不連續(xù)的函數(shù)，也可能

4、存在原函數(shù).注注1：“初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)一定存在原函初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)一定存在原函數(shù)數(shù)”.若若 ，則對(duì)于任意常數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù). G(x)是是f(x)的另外一個(gè)任意的原函數(shù)，的另外一個(gè)任意的原函數(shù)，則則CxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C定理定理4.1.1: “若若F(x)是是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的任一的任一原函數(shù)均可表示為原函數(shù)均可表示為F(x)+C，C為任意常數(shù)。為任

5、意常數(shù)。問(wèn)題問(wèn)題2：原函數(shù)是否唯一？若不唯一，它們之：原函數(shù)是否唯一？若不唯一，它們之間有什么聯(lián)系？原函數(shù)的一般表達(dá)式？間有什么聯(lián)系？原函數(shù)的一般表達(dá)式？任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. . 為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可再加上積分常數(shù)即可例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665C

6、xdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxxxx11而：而：.11Cxdxx )1( 例例3 3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(F xy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知F(x)2dxdx,22 Cxxdx,)(FCxx2由曲線通過(guò)點(diǎn)（由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy顯然，求不定積分得到一顯然，求不定積分得到一積分曲線族積分曲線族.三、三、

7、不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF（1）練習(xí)：若練習(xí)：若11( ),( ).xxf x edxxeCf x求x解：兩邊對(duì) 求導(dǎo)得：111121( )=+xxxxf x exeCexex（）1( )=1+f xx11=(1+)xex(2) ( )( )f xg x dx;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf ( )kf x dx .)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k dxxfkdxxfkiniiniii)( )(11這說(shuō)

8、明這說(shuō)明不定積分具有不定積分具有線性運(yùn)算性質(zhì)線性運(yùn)算性質(zhì)(3) 積分的結(jié)果在形式上可能有所不同，但實(shí)質(zhì)上積分的結(jié)果在形式上可能有所不同，但實(shí)質(zhì)上只相差一個(gè)常數(shù)。只相差一個(gè)常數(shù)。實(shí)例實(shí)例1 xx 11.11Cxdxx )1( 四、不定積分的計(jì)算四、不定積分的計(jì)算1 1、 基本積分表基本積分表 )0(1ln xxx11ln() (0)xxxx實(shí)例實(shí)例2ln |;dxxCx1 1、基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)(Cxxdx3 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx

9、 xdxsin)7(;cosCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）Cxdxx 11 2、直接積分法：直接積分法：被積函數(shù)被積函數(shù)先恒等變形先恒等變形，再使用基本積分表和積分性質(zhì)。，再使用基本積分表和積分性質(zhì)。例例5(1)5(1) dxxx)1213(22 d

10、xxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 1163(2)2xxxdx1113232xxxxdx111 32 3( )2 2xxdx136 3( )32xxdxdx6133( )3ln323ln2xxC例例6 6 求積分求積分.)1(122dxxxxx 解解dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.|lnarctanCxx例例7 7 4221xxdxx“分子拆開(kāi)分子拆開(kāi)”42222221xxxdxx222(2)1xdxx3122arctan3xxxC例例8dxxx 241解解dxxx 241dxxx 2411)1(

11、dxxx 11122Cxxx 331arctan例例9dxxx 22cossin1dxxxxx 2222cossincossin “1” dxxxsin1cos122Cxx cottan例例1010 求積分求積分.2cos11 dxx解解 dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx “分母化簡(jiǎn)分母化簡(jiǎn)”例例11dxxx 2cos2sin122dxxx 2cos2sin4422dxx 2sin14Cx cot4練習(xí)：練習(xí)：1 1 、2sin.2xdx1(1 cos ).2x dx2tan xdx2、2(sec1).xdx解解練習(xí)練習(xí) 設(shè)設(shè) 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf