含絕對(duì)值的方程

1、主備人：主備人：劉小英劉小英 授課人授課人：劉小英劉小英授課時(shí)間：授課時(shí)間：2012014 4年年3 3月月第二講第二講 含絕對(duì)值的方程含絕對(duì)值的方程從數(shù)軸上看，從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離但除零以外，任但除零以外，任何何一個(gè)一個(gè)絕對(duì)值都是表示兩個(gè)不同數(shù)的絕對(duì)值絕對(duì)值都是表示兩個(gè)不同數(shù)的絕對(duì)值即即一個(gè)一個(gè)數(shù)與它相反數(shù)的絕對(duì)值是一樣的數(shù)與它相反數(shù)的絕對(duì)值是一樣的由于這個(gè)性由于這個(gè)性質(zhì)，所以含有絕對(duì)值的方程的求解過(guò)程又出現(xiàn)質(zhì)，所以含有絕對(duì)值的方程的求解過(guò)程又出現(xiàn)了一些新特點(diǎn)本講主要介紹方程中含有絕對(duì)了一些新特點(diǎn)本講主要介紹

2、方程中含有絕對(duì)值的處理方法值的處理方法一個(gè)實(shí)數(shù)一個(gè)實(shí)數(shù)a a的絕對(duì)值記作的絕對(duì)值記作a a，指的是，指的是由由a a所唯一確定的非負(fù)實(shí)數(shù)：所唯一確定的非負(fù)實(shí)數(shù)：由于絕對(duì)值的定義，所以含有絕對(duì)值的代數(shù)式無(wú)由于絕對(duì)值的定義，所以含有絕對(duì)值的代數(shù)式無(wú)法進(jìn)行統(tǒng)一的代數(shù)運(yùn)算通常的法進(jìn)行統(tǒng)一的代數(shù)運(yùn)算通常的方方法是分別按照法是分別按照絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負(fù)情況，去絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負(fù)情況，去掉掉絕時(shí)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)絕時(shí)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算算，即含有絕對(duì)值的方程的求解，常用，即含有絕對(duì)值的方程的求解，常用分類(lèi)討論分類(lèi)討論法法在進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，要

3、注意所劃分的類(lèi)別之在進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，要注意所劃分的類(lèi)別之間應(yīng)該間應(yīng)該不重、不漏不重、不漏下面結(jié)合例題予以分析下面結(jié)合例題予以分析例例1 已知：有理數(shù)已知：有理數(shù)x、y、z滿足滿足xy0,并且并且丨丨x丨丨=3，丨，丨y丨丨=2，丨，丨z+1丨丨=2，求，求x+y+z的值。的值。分析：分析：本題本題x，y，z,的符號(hào)難以確定，但三者的的符號(hào)難以確定，但三者的符號(hào)密切聯(lián)系，可圍繞其中一個(gè)進(jìn)行分類(lèi)討論。符號(hào)密切聯(lián)系，可圍繞其中一個(gè)進(jìn)行分類(lèi)討論。解：由丨解：由丨z+1z+1丨丨=2=2，得，得z+1=z+1=2 2，所以，所以z=1z=1或或z=-3z=-3 由由xy0 xy0yz0知，知，y y，z

4、 z同號(hào)；同號(hào)； 又丨又丨x x丨丨=3=3，丨，丨y y丨丨=2=2，故，故當(dāng)當(dāng)z=1z=1時(shí)，時(shí)，x=-3,y=2x=-3,y=2，此時(shí)，此時(shí)x+y+z=-3+2+1=0 x+y+z=-3+2+1=0當(dāng)當(dāng)z=-3z=-3時(shí)，時(shí)，x=3,y=-2x=3,y=-2。此時(shí)。此時(shí)x+y+z=3+(-2)+(-3)=-2x+y+z=3+(-2)+(-3)=-2x+y+zx+y+z的值為的值為0 0或或-2.-2.1 1解下列方程：解下列方程：(1)(1)x-x-5 5+2x+2x= =-5-5； ( (2 2) )3x-3x-1 1= =丨丨2 2x+x+1 1丨丨；練習(xí)一：練習(xí)一：x=-10 x=

5、0或或x=2例例2 2： 解方程解方程x-2x-2+ +2x+12x+1=7=7分析分析： 解含有絕對(duì)值符號(hào)的方程的關(guān)鍵是去絕對(duì)值解含有絕對(duì)值符號(hào)的方程的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，這可用符號(hào)，這可用“零零點(diǎn)分段法點(diǎn)分段法”，即令即令x-2=0,2x+1=0 x-2=0,2x+1=0，分別得到，分別得到x=2,x= x=2,x= 用用2 2，將數(shù)軸分成三段：將數(shù)軸分成三段：x2x2， x x2 2，x x ，然后在每一段上去掉絕對(duì)值符號(hào)再求解。然后在每一段上去掉絕對(duì)值符號(hào)再求解。21212121解解: :說(shuō)明說(shuō)明： 若在若在x x的某個(gè)范圍內(nèi)求解方程時(shí)，若求出的未知數(shù)的值的某個(gè)范圍內(nèi)求解方程時(shí)，若求出

6、的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi)，則這樣的解不是方程的解，應(yīng)舍去不屬于此范圍內(nèi)，則這樣的解不是方程的解，應(yīng)舍去（1 1）當(dāng)當(dāng)x x 時(shí)，原方程化為時(shí)，原方程化為 - -(x-2)(x-2)- -(2x+1)=(2x+1)=7 7，解得：解得：x=-2,x=-2,在所給的范圍在所給的范圍x x 之內(nèi)，之內(nèi)，x=-2x=-2是方程是方程的解；的解；2121（2 2）當(dāng)當(dāng) x x2 2時(shí)，原方程化為時(shí)，原方程化為 - -(x-2)+(2x+1)=(x-2)+(2x+1)=7 7，解得：解得：x=4,x=4,它不在所給的范圍它不在所給的范圍 x x2 2之內(nèi)，之內(nèi)，所以所以x=4x=4不是方程的解，應(yīng)舍去；

7、不是方程的解，應(yīng)舍去；2121( (3 3) )當(dāng)當(dāng)x22時(shí)，原方程化為時(shí)，原方程化為 ( (x-2)+(2-2)+(2x+1)=+1)=7 7，解得：解得：x= ,= ,所以在所給的范圍所以在所給的范圍x22之內(nèi)，之內(nèi)，x= =是方程的解；是方程的解；3838綜上所述，原方程的解為綜上所述，原方程的解為x= x= 或或x=-2x=-2381 1解下列方程：解下列方程：(1)(1)x+3x+3- -1 1- -x x=x+1=x+1；( (2 2) )x-2x-2+ +2 2x+1x+1= =8 8；練習(xí)二：練習(xí)二：x=2.5或或x=-1.5x=3或或x=37例例3 3：求方程求方程x-x-2

8、x+12x+1=3=3的不同的解的個(gè)數(shù)的不同的解的個(gè)數(shù)分析：分析：此方程有兩層絕對(duì)值符號(hào)，先由此方程有兩層絕對(duì)值符號(hào)，先由2x+1=02x+1=0得：得：x=-1/2,x=-1/2,然后分別對(duì)然后分別對(duì)x=-1/2,x-1/2,x-1/2,x-1/2-1/2時(shí)，原方程化為時(shí)，原方程化為 丨丨1+x1+x丨丨= =3 3，解得：解得：x=2x=2或或x=-4,x=-4,而而x=-4x=-4不在不在x-1/2x-1/2之內(nèi)，應(yīng)舍去；之內(nèi)，應(yīng)舍去；（3 3）當(dāng)當(dāng)x x-1/2-1/2時(shí)，原方程化為時(shí)，原方程化為 丨丨x+x+(2x+1)(2x+1)丨丨= =3 3，即丨即丨3x+13x+1丨丨=3=

9、3解得：解得：x=2/3x=2/3或或x=-4/3,x=-4/3,而而x=2/3x=2/3不在不在x x-1/2-1/2之內(nèi)，應(yīng)舍去；之內(nèi)，應(yīng)舍去；綜上所述，所求方程的解為綜上所述，所求方程的解為x=2x=2或或x=-4/3x=-4/3，所以原方程，所以原方程不同的解的個(gè)數(shù)為不同的解的個(gè)數(shù)為2 2個(gè)。個(gè)。1 1、適合關(guān)系式丨、適合關(guān)系式丨3x-43x-4丨丨+ +丨丨3x+23x+2丨丨=6=6的整數(shù)的整數(shù)x x的值有的值有多少個(gè)？多少個(gè)？練習(xí)三：練習(xí)三：2個(gè)個(gè)綜上可知，綜上可知，a=1a=1例例4 4 ：若關(guān)于若關(guān)于x x的方程的方程x-2x-2-1-1=a=a有三個(gè)整數(shù)解有三個(gè)整數(shù)解則則a

10、 a的值是多少？的值是多少？解解 若若a a0 0，原方程無(wú)解，所以，原方程無(wú)解，所以a0a0由絕對(duì)值的定義由絕對(duì)值的定義可知可知x-2x-2-1=-1=a a，所以，所以 x-2x-2=1=1a a(1)(1)若若a a1 1，則，則x-2x-2=1-a=1-a0 0，無(wú)解，無(wú)解x-2x-2=1=1a a，x x只能有兩個(gè)解只能有兩個(gè)解x=3+ax=3+a和和x=1-ax=1-a(2)(2)若若0a10a1，則由，則由x-2x-2=1+a=1+a，求得，求得x=1-ax=1-a或或x=3+ax=3+a；由由x-2x-2=1-a=1-a，求得，求得x=1+ax=1+a或或x=3-ax=3-a原

11、方程的解為原方程的解為x=3+ax=3+a，3-a3-a，1+a1+a，1-a1-a，為使方程有三個(gè)，為使方程有三個(gè)整數(shù)解，整數(shù)解，a a必為整數(shù)，所以必為整數(shù)，所以a a只能取只能取0 0或或1 1當(dāng)當(dāng)a=0a=0時(shí)，原時(shí)，原方程的解為方程的解為x=3x=3，1 1，只有兩個(gè)解，與題設(shè)不符，所以，只有兩個(gè)解，與題設(shè)不符，所以a0a0當(dāng)當(dāng)a=1a=1時(shí)，原方程的解為時(shí)，原方程的解為x=4x=4，0 0，2 2，有三個(gè)解，有三個(gè)解練習(xí)四：練習(xí)四：設(shè)設(shè)a a、b b為有理數(shù)，且丨為有理數(shù)，且丨a a丨丨00，方程丨丨，方程丨丨x-ax-a丨丨-b-b丨丨=3=3有三個(gè)不相等的解，求有三個(gè)不相等的解

12、，求b b的值。的值。b=3例例5 5 : :已知方程已知方程x x=ax+1=ax+1有一負(fù)根，且無(wú)正根，有一負(fù)根，且無(wú)正根，求求a a的取值范圍的取值范圍綜上可知，若使原方程有一負(fù)根且無(wú)正根，必須綜上可知，若使原方程有一負(fù)根且無(wú)正根，必須a1a1所以應(yīng)有所以應(yīng)有a a-1-1反之，反之，a a-1-1時(shí)，原方程有負(fù)根時(shí)，原方程有負(fù)根 解解 設(shè)設(shè)x x為方程的負(fù)根，則為方程的負(fù)根，則-x=ax+1-x=ax+1，即，即 設(shè)方程有正根設(shè)方程有正根x x，則，則x=axx=ax1 1，即，即 所以所以a a1 1反之，反之，a a1 1時(shí)，原方程有正根時(shí)，原方程有正根練習(xí)五：練習(xí)五：已知關(guān)于已知

13、關(guān)于x x的方程丨的方程丨x x丨丨-ax=1-ax=1同時(shí)有一個(gè)正根和一個(gè)同時(shí)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，求整數(shù)負(fù)根，求整數(shù)a a的值。的值。a=0所以，只有當(dāng)所以，只有當(dāng)a3a3時(shí)，原方程有解時(shí)，原方程有解例例6 6 : :當(dāng)當(dāng)a a取哪些值時(shí)，方程取哪些值時(shí)，方程x+2x+2+ +x-1x-1=a=a有解？有解？解解 (1) (1)當(dāng)當(dāng)x-2x-2時(shí)，時(shí)， x+2x+2+ +x-1x-1=-2x-1-2(-2)-1=3=-2x-1-2(-2)-1=3(2)(2)當(dāng)當(dāng)-2-2x x1 1時(shí)，時(shí)，x+2x+2+ +x-1x-1=x+2-x+1=3=x+2-x+1=3(3)(3)當(dāng)當(dāng)x1x1時(shí)，時(shí)，x+2x+2+ +x-1x-1