單位根檢驗(yàn)詳解

1、第2節(jié)單位根檢驗(yàn)由于虛假回歸問題的存在,因此檢驗(yàn)變量的平穩(wěn)性是一個(gè)必須解決的問題.在第十二章中介紹用相關(guān)圖判斷時(shí)間序列的平穩(wěn)性.這一章那么給出序列平穩(wěn)性的嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法,即單位根檢驗(yàn).單位根檢驗(yàn)有很多方法,這里主要介紹 DF和ADF檢驗(yàn).序列均值為0那么無C,序列無時(shí)間趨勢那么無trend在介紹單位根檢驗(yàn)之前,先熟悉四種典型的非平穩(wěn)隨機(jī)過程.1、四種典型的非平穩(wěn)隨機(jī)過程1隨機(jī)游走過程.yt = yt-i + ut,yo = 0, ut IID(0,0 2)其均值為零,方差無限大？,但不含有確定性時(shí)間趨勢.見圖1a圖1a 由yt = yt-1+ ut生成的序列圖1b深證成指2隨機(jī)趨勢過程.y

2、t =+ yt-1 + ut,v.= 0,utIID(0, - 2)其中口稱作位移項(xiàng)漂移項(xiàng)由上式知,Ey1=.過程初始值的期望.將上式作如下迭代變換,tyt = u + yt-1 + ut= a+ (a+ yt-2 + ut-1) + ut= at +y0 +£ ui 1ttyt由確定性時(shí)間趨勢項(xiàng)at和% +z 5組成.可以把yo +z 5看作隨機(jī) i Ji的截距項(xiàng).在不存在任何沖擊 Ut的情況下,截距項(xiàng)為yo.而每個(gè)沖 擊Ut都表現(xiàn)為截距的移動.每個(gè)沖擊Ut對截距項(xiàng)的影響都是持久的, 導(dǎo)致序列的條件均值發(fā)生變化,所以稱這樣的過程為隨機(jī)趨勢過程(stochastic trend pr

3、ocess),或有漂移項(xiàng) 的非平穩(wěn)過程 (non-stationary process with drift),見圖 2,雖然總趨勢不變,但隨機(jī)游走過程圍繞趨勢項(xiàng)上下游動.由上式還可以看出, 口是確定性 時(shí)間趨勢項(xiàng)的系數(shù)(原序列yt的增長速度).口為正時(shí),趨勢向上；« 為負(fù)時(shí),趨勢向下.8050100 ' 150 ' 200 ' 250 ' 300350400圖2a由yt =0.1+ yt-i+ ut生成的序列圖2b由yt =- 0.1+ yt-1+ ut生成的序列由于對yt作一次差分后,序列就平穩(wěn)了,& yt = yt - yt-1 =豆 +

4、 ut平穩(wěn)過程所以也稱yt為差分平穩(wěn)過程(difference- stationary proceSfec(是 yt序列的均值,原序列yt的增長速度.(3)趨勢平穩(wěn)過程yt = o+ 1 t + ut, ut = ut-1 + vt, (: <1, vt IID(0, 2)yt與趨勢值Po+3t不同,差值為ut.由于ut是平穩(wěn)的,yt只會暫時(shí)背離趨勢.yt+k的長期預(yù)測值將趨近于趨勢線Po+Pi(t+k).所以稱 其為趨勢平穩(wěn)過程(trend stationary process.趨勢平穩(wěn)過程由確定 性時(shí)間趨勢3 t所主導(dǎo).趨勢平穩(wěn)過程見圖3,屬于非平穩(wěn)過程.趨勢平穩(wěn)過程也稱為退勢平穩(wěn)過

5、程,由于減去趨勢后,其為平穩(wěn) 過程,yt - it = o+ ut.yt = Po + P1t + ut不必通過差分變?yōu)槠椒€(wěn)過程.由于趨勢平穩(wěn)過程 的差分過程是過度差分過程.Ayt = Pi + ut - ut-i.移動平均特征方程中 含有單位根.50403020100-1050100l5020025030035.400圖 3 yt = 0.05+0.1 t + AR(1), P=0.8 生成的序列(4)趨勢非平穩(wěn)過程yt = 0+ t + yt-i + ut , y0 = 0, ut IID(0,0 2)其中力0稱作位移項(xiàng)(漂移項(xiàng)),口 t稱為趨勢項(xiàng).上式是含有隨機(jī)趨勢和確定性趨勢的混合隨機(jī)

6、過程(見圖4).80255075100125圖 4 yt = 0.01+ 0.01t + yt.i+ ut, ut- IID0,仃 2生成的序列對上式進(jìn)行迭代運(yùn)算(設(shè)定y0=0)yt =+ t + yt-1 + ut = J + t + ' + (t-1) + yt-2 + ut,1 + ut t=y0 + R t + (口 t) t - 口(1+2 + + t) +Z Uii 1.t.t=y0 + 1 t + t 2 -( 1+ t ) t + % u = (,-) t +-t 2 +% Ui , 2'' y '2'2 y,趨勢非平穩(wěn)過程是含有隨機(jī)趨勢

7、和確定性趨勢的混合過程.趨勢項(xiàng)中包括t的1次和2次項(xiàng).這種過程在經(jīng)濟(jì)問題中非常少見.下面分析隨機(jī)趨勢過程與平穩(wěn)的 AR(1)過程的區(qū)別.對于如下過程：yt = 0 + 1 yt-1 + ut當(dāng)匕=1時(shí),yt是一個(gè)隨機(jī)趨勢過程；當(dāng)仲1時(shí),yt是一個(gè)均值為&的平穩(wěn)過程.1 - 1隨機(jī)趨勢過程yt = 0.1 + yt-1 + ut和帶有漂移項(xiàng)的平穩(wěn)過程yt = 4+0.6 yt+ ut的比擬見下列圖.差異在于隨機(jī)趨勢過程的自回歸系數(shù)為1,帶有漂移項(xiàng)的平穩(wěn)過程的自回歸系數(shù)絕對值小于1.stochastic trend AR(1) with mean50 100"'1'

8、; 150"'1'200 250"1' '300''1' '350 400403020100-10-20圖5隨機(jī)趨勢過程和帶有漂移項(xiàng)的平穩(wěn)過程的比擬2、DF分布(1) DF統(tǒng)計(jì)量的分布特征三個(gè)簡單的自回歸模型：yt = PytJL+ut, y0 = 0, ut- IID(0,仃2)(13.1)yt=R + Pyt+ut, yo = 0, ut iid(0,.2)(13.2)yt= N +c(t + B yt+ut , y0 = 0, ut IID(0,仃 2)(13.3)其中N是漂移項(xiàng),at是趨勢項(xiàng).當(dāng)真值IP

9、 I < 1時(shí),yt是平穩(wěn)的, 當(dāng)IP I = 1時(shí),yt是非平穩(wěn)的.現(xiàn)在以(13.1)式為例,討論f?的分布特征如何.假設(shè)I = 0,統(tǒng)計(jì)量t(?)=12 t(T-1),其極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. s(?)假設(shè)11 I < 1,統(tǒng)計(jì)量t( ?)=(?)s( ?)漸近服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.當(dāng)IP I = 1時(shí),變量非平穩(wěn),上述極限分布發(fā)生退化(方差為零).定義DF統(tǒng)計(jì)量為：DF：1/ s(?)(2) DF統(tǒng)計(jì)量的分布特征與百分位數(shù)表取樣本容量T = 100,分別用(13.3)、(13.2)和(13.1) 各模擬 10000次得到的DF的分布見圖11.紅、綠、黑色直方圖分別代表對 應(yīng)式子

10、DF統(tǒng)計(jì)量的分布.隨著確定項(xiàng)的增加,分布越來越向左移.黑色DF分布近似于t分布,但整體向左大約移動了 1.6個(gè)單位.圖11 DF統(tǒng)計(jì)量分布的蒙特卡羅模擬Full (1976)用蒙特卡羅模擬方法得到DF統(tǒng)計(jì)量的百分位數(shù)表, 見附表5.(3)進(jìn)一步討論以上三個(gè)自回歸模型對于研究實(shí)際經(jīng)濟(jì)變量太嚴(yán)格,還應(yīng)該進(jìn)一 步討論在AR(p)模型條件下,隨機(jī)誤差項(xiàng)非白噪聲條件下,檢驗(yàn)用 統(tǒng)計(jì)量的分布特征.(i)對于AR(p)過程yt=Kyt-1+%yt-2+ +:yt-p+ u(13.4)當(dāng)yt中含有單位根時(shí),可以通過如下模型研究 P = 1條件下,檢驗(yàn)用 統(tǒng)計(jì)量DF的分布特征.p 1yt= Pyt+ Z /Zy

11、tt + ut(13.5)j 1其中 =£ G , *j* = - Z., j = 1, 2,p,T.i 1i41%為(13.4)式中的自回歸系數(shù).為什么可以通過(13.5)式進(jìn)行研 究呢？看一個(gè)例子.yt = i yt-i + 2 yt-2 + 3 yt-3 + ut上式右側(cè)同時(shí)加減與yt-i, *3 yt-i,與yt-2然后合并同類項(xiàng),yt =iyt-i+ 2 yt-i + 3yt-i- 2yt-i+2 yt-2- 3yt-i- 3yt-2+ 3 yt-2 + 3 yt-3 + ut=(i +2 +3) yt-i- 2 yt-i -3 yt-i-3 yt-2 +ut=(i +2

12、+3)yt-i-( 2 + 3)yt-i -3yt-2 + ut=- yt-i - i*yt-i - 2*yt-2 + ut=:yt-i 八'yj + ut j注_3其中 = V i,i 1j = -i *i, j = i, 2. i=j 1(i3.5)式中P的DF統(tǒng)計(jì)量的分布與yt = P yt-i + 5中P的DF統(tǒng)計(jì) 量的分布近似相同.(i3.5)式中的差分項(xiàng) yt-j , j = i,2,p-1之 所以不會對DF統(tǒng)計(jì)量的分布產(chǎn)生影響是由于當(dāng) v1(1),那么全部的 yt-j T(0).yt與 yt-j的交叉積漸進(jìn)被忽略,從而使兩式中P的DF 統(tǒng)計(jì)量的分布漸近相同.當(dāng)模型(13.

13、4)中含有位移項(xiàng)R和趨勢項(xiàng)at時(shí),相應(yīng)于P的DF統(tǒng) 計(jì)量的分布分別與模型(13.2)和(13.3)白DF統(tǒng)計(jì)量的分布漸近相同(ii)現(xiàn)在進(jìn)一步放寬對yt的限制.考慮如下AR(1)過程(13.6)yt= yt-i+ut其中允許yt是一個(gè)ARMA( p, q),隨機(jī)項(xiàng)ut是一個(gè) MA(q)過程(即 誤差項(xiàng)ut中的自相關(guān)),甚至參數(shù)p, q的值也可未知.那么可以用下 式研究P和DF統(tǒng)計(jì)量的分布.kyt= ?yt-i + v ? yt-i + ?(13.7)i 4假設(shè)p = i,上式是一個(gè)差分的AR(k)過程.參加見滯后項(xiàng)的目的是 捕捉(13.6)式誤差項(xiàng)ut中的自相關(guān).(ut的自相關(guān)項(xiàng)對于模型(13

14、.6) 來說是移動平均項(xiàng),所以滯后項(xiàng)的參加可以捕捉之.)由于可逆的 移動平均過程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)無限階的自回歸過程, 從而使？t近似為 一個(gè)白噪聲過程.Said-Dickey (1984)證實(shí)(13.7)式中P的DF統(tǒng)計(jì)量的分布與 (13.6)式中P的DF統(tǒng)計(jì)量的分布類似.當(dāng)(13.7)式中參加位移項(xiàng)N和趨勢項(xiàng)* t時(shí),P的DF分布類似.3、單位根檢驗(yàn)對于時(shí)間序列yt可用如下自回歸模型檢驗(yàn)單位根.yt = yt-1 + ut,零假設(shè)和備擇假設(shè)分別是：Ho： P = 1,( yt非平穩(wěn))H1： P < 1,( yt 平穩(wěn))在零假設(shè)成立條件下,用DF統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行單位根檢驗(yàn)DF =s( ?)其中

15、s(i?) =1v a2；Tt假設(shè)用樣本計(jì)算的DF >臨界值,那么接受H0, yt非平穩(wěn);DF<臨界值,那么拒絕H.,yt是平穩(wěn)的.圖12單位根檢驗(yàn)示意圖注息(1)由于用DF統(tǒng)計(jì)量作單位根檢驗(yàn),所以此檢驗(yàn)稱作 DF檢驗(yàn)(由 Dickey-Fuller 提出).(2) DF檢驗(yàn)采用的是OLS估計(jì).(3) DF檢驗(yàn)是左單端檢驗(yàn).由于 P > 1意味著強(qiáng)非平穩(wěn),P < 1意味著平穩(wěn).當(dāng)接受P < 1,拒絕P = 1時(shí),自然也應(yīng)拒絕P > 1.上述DF檢驗(yàn)還可用另一種形式表達(dá).yt = 0 yt-1 + ut式兩側(cè)同減 yt-i,得 yt = (0 -1) yt-1

16、 + ut,令 p = p - 1,代入上式得 yt = P yt-1 + ut ,與上述零假設(shè)和備擇假設(shè)相對應(yīng),用于模型的零假設(shè)和備擇假設(shè)是Ho： p= 0,弘非平穩(wěn)Hi： p < 0, yt平穩(wěn)這種變化并不影響DF統(tǒng)計(jì)量的值,所以檢驗(yàn)規(guī)那么仍然是：假設(shè)DF >臨界值,那么yt是非平穩(wěn)的；假設(shè)DFW臨界值,那么yt是平穩(wěn)的.這種檢驗(yàn)方法是DF檢驗(yàn)的常用方法.便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)舉例說明以上兩種單位根檢驗(yàn)方法的 DF值相同.用同一組數(shù)據(jù)yt得到的兩個(gè)回歸結(jié)果如下括號內(nèi)給出的是標(biāo)準(zhǔn)差,?t=0.1474yt-i(13.8)(0.1427)s.e. = 0.87, DW = 1.93呼=

17、0.8526yt-i(13.9)(0.1427) s.e. = 0.87, DW = 1.93對應(yīng)13.8式,因零假設(shè)是P = 1,所以統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法是DF =0.1474-10.1427=-5.97對應(yīng)13.9式,因零假設(shè)是 P = 0,所以統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法是DF =-0.8526 -00.1427=-5.97兩種計(jì)算方法的結(jié)果相同.由于 -5.97 < -1.95 臨界值,所以拒絕H.,認(rèn)為yt是平穩(wěn)的注息:1式子Ayt = p yt-1 + ut中上yt和yt的下標(biāo)分別為t和t-1,計(jì) 算時(shí)不要用錯(cuò)!(2)在實(shí)際檢驗(yàn)中,假設(shè)H0不能被拒絕,說明兌是非平穩(wěn)序列(起 碼為一階非平穩(wěn)序

18、列).接下來應(yīng)該繼續(xù)檢驗(yàn) yt的平穩(wěn)性.即2-yt =yt-i + ut ,直至結(jié)論為平穩(wěn)為止.從而獲知 yt為幾階單整序列.(3)當(dāng)檢驗(yàn)式中含有位移項(xiàng)N和趨勢項(xiàng)口 t時(shí)yt =+ yt-i + utyt = J + t + yt-i + ut也可以把檢驗(yàn)式寫成如下形式y(tǒng)t = 1 + ? yt-i + utyt = J + ： t +、yt-i + ut檢驗(yàn)用臨界值應(yīng)分別從附表5的b, c局部中查找.(4) yt = p yt-i + ut的殘差序列u?t不能存在自相關(guān).如存在自 相關(guān),說明yt不是一個(gè)AR(i)過程,那么不能使用DF檢驗(yàn).以上方法只適用于AR(i)過程的單位根檢驗(yàn).當(dāng)時(shí)間序列為AR(p) 形式,或者由以上形式檢驗(yàn)得到的殘差序列存在自相關(guān)時(shí),應(yīng)采用如下形式檢驗(yàn)單位根. kyt= ? yt-i+ ? yt-i + v(i3.7)由于上式中含有 yt的滯后項(xiàng),所以對于= 0( yt非平穩(wěn))的檢驗(yàn)稱 為增項(xiàng)DF檢驗(yàn)或ADF檢驗(yàn).、A、1、 注息:(1) (13.7)式中 yt滯后項(xiàng)個(gè)數(shù)k的選擇準(zhǔn)那么是：盡量小,以 保持更大