2020屆浙江省衢州、麗水、湖州三地市高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2020屆浙江省衢州、麗水、湖州三地市高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題、單選題1.已知集合A 0,4 , B第7頁共21頁A.1,0B.1,0C. 0,1D.1,4【解析】先計算出集合A與B,再利用集合交集的概念即可得解由題意QrA,0 U 4,R| x 1R|則 eA I B1,0 .故選：A.本題考查了集合的運算，屬于基礎(chǔ)題2.橢圓1的離心率是（1B.一3C.,23D.由橢圓的一般式求得 a22、b21,利用烏即可得解.由題意該橢圓b21 ,由橢圓性質(zhì)可得c2b2所以離心率c2故選：D.本題考查了橢圓一般式的應(yīng)用和離心率求解，屬于基礎(chǔ)題3 .已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的

2、體積是（【答案】C16C.3D. 8【解析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：故選：C.【點睛】本題考查由三視圖還原幾何體之間的直觀圖和棱錐的體積公式，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力.4 .明朝的程大位在算法統(tǒng)宗中（1592年），有這么個算法歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知.它的意思是說：求某個數(shù)（正整數(shù)）的最小正整數(shù)值，可以將某數(shù)除以3所得的余數(shù)乘以70,除以5所得的余數(shù)乘以21,除以7所得的余數(shù)乘以15,再將所得的三個積相加，并逐次減去 105,減到差小于 105為止，所得結(jié)果就是

3、這個數(shù)的最小正整數(shù)值 .孫子算經(jīng)上有一道極其有名的 物不知數(shù)”問題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問物幾何.”用上面的算法歌訣來算，該物品最少是幾件（）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】C15 233,再計算233 105 2 23即可【解析】由題意先計算出70 2 3 21 2得解.【詳解】由題意可得70 2 3 21 2 15 233,則 233 105 2 23.故答案為：C.【點睛】本題考查了算法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5 .函數(shù)f(x) (ex ex)ln x的圖象大致為【解析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的定義域x|x可得當(dāng)x 1時，f (x) 0 ,當(dāng)

4、0 x 1時,分析選項，從而選出正確的結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的定義域 x|x 0 ,0 ,分析可得f(x)為偶函數(shù)，進(jìn)而分析f(x) 0,當(dāng) x 0 時，f(x)因為f(x) (ex e x)ln x ,所以f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y軸對稱，排除B項,當(dāng)x 1時，f(x) 0,當(dāng)0 x 1時，f(x) 0,排除A,C選項，當(dāng)x 0時，f(x) ，所以D項是正確的，故選D.該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖象的選擇問題，在選擇的過程中，注意從函數(shù)的定義域，圖象的對稱性，函數(shù)值的符號，函數(shù)圖象的變化趨勢，屬于簡單題目 x 2y6.若實數(shù)x, y滿足約束條件 2x00,則2x 3 y的取值范圍是（A.

5、1,15B. 1,15C.1,16D. 1,16【解析】由題意畫出可行域，設(shè)2x3y,數(shù)形結(jié)合即可得解.由題意畫出可行域，如圖所示,令z 2x 3y,轉(zhuǎn)化可得數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)直線 y33z分別過點A、點B時，z取最小值和最大值, 32x y 3 0由可得點A 1, 1x y 02xy 3 0-八可得點B 3,3 ,2y 3 0所以 Zmin 2 31,Zmax15.1,15 .所以2x 3y的取值范圍是本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題7.若 a 0,b 0,貝u ab4”是產(chǎn)1”的（）A.充分不必要條件B .必要不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件【解析

6、】由基本不等式可得:若ab 4-ab- 1成立；舉出反例可得若 -ab- 1, a ba b則ab 4不一定成立，由充分條件和必要條件的概念即可得解【詳解】Q a 0, b 0,若ab 4,則三ab = Tab 1 ,當(dāng)且僅當(dāng)a b 2時取等號，所以b- 1；a b 2、ab 2a bab 5當(dāng) a 1, b 5 時， 1,但 ab 5 4;a b 6ab 4”是ab- 1”充分不必要條件. a b故選：A.【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用和充分條件、必要條件的概念，屬于基礎(chǔ)題8.已知任意a若存在實數(shù)b使不等式2 x axb對任意的x0,2恒成立，則（A. b的最小值為B.b的最小值為C.

7、b的最小值為D.b的最小值為10【解析】轉(zhuǎn)化條件得 bax0,2 ,根據(jù) a10、a 0,2分類，分別求出函數(shù)f x的最值即可得解,2.2.由題息 xax bb x ax b,2x ax, x 0,2 ,其圖象為開口向上,a對稱軸為x 的拋物線的一部分,2當(dāng)a10即亙212,0 時，f x 由近f 00, f x max f 24 2a 6 ；maxf 24 2a 4；若要x2 ax b對于任意a1,2 , x 0,2均成立,b 6則即b 6,所以b的最小值為6.b 1故選：B.【點睛】第9頁共21頁本題考查了絕對值不等式和利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值,考查了恒成立問題的解決和分類討論思想，屬于

8、中檔題9.如圖，正方形 ABCD的中心與圓O的圓心重合，P是圓O上的動點，則下列敘述不正確的是（） uurPAuurPCuuuPBuurPD是定值.B.uuuPAuuuuPBuuuPBuurPCuuu uurPC PDuur uuuPD PA是定值.C.uur PAuuuPBuurPCuurPD是定值.D.uur2 PAuuu2 PBuur2 PCuur 2 ePD是正值.建立直角坐標(biāo)系后，設(shè)正方形邊長為2a,圓的半徑為r ,表示出各點坐標(biāo),利用坐標(biāo)運算即可判斷A、B、D,舉出反例即可判斷C,即可得解.如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為為2a,圓的半徑為,設(shè)點P x, y則 A a,a , B

9、 a,aa,uuu 則PAa x,auuuPBx,auuir y , PCuurPDa x,對于A,uuuPAuurPCuuuPBuuurPD4a22r2故A正確;對于B,uuuPAuuuPBuuuPBuurPCuuurPCuuurPDuur uuuPD PAuuuPBuuuPAuurPCuurPDuuu uurPA PCuuuPBuurPDuuuPAuurPC4 x2一 24r ,故B正確;對于C,不妨令r = 2,當(dāng)點P 0,2uuuPAuuuPBuuurPCuuurPD2 . 2 1 2 12 2 2 1 2 12urnPAuuuPBuurPCuurPD22 22 2 2 224 2展;

10、故C錯誤.第13頁共21頁urn 2對于D, PAUUU2 uuui2 uur2PB PC PD2222 a x 2 a x 2 a y 2 a y2.222.28a 4 x y 8a 4r ,故 d 正確.故選：C.【點睛】本題考查了平面向量的應(yīng)用，考查了圓的方程的應(yīng)用和運算能力，屬于中檔題10.對任意的實數(shù)x 0,不等式2ae2xln x ln a 0恒成立，則實數(shù)a的最小值為B.12；ec. 2 eD.12e【解析】排除a0的情況，存在唯一解,使則函數(shù)在 0,x上單調(diào)遞減，在xo,2x011上單倜遞增，故f x f x04ae 0 ,代換得到小 一,代入計算得mnx02到答案.【詳解】

11、2x _2x 1設(shè) f x 2ae ln x In a ,貝U f x 4ae 一. x當(dāng)a0時，fx 0,故fx單調(diào)遞減，當(dāng)x 時，f x ,不成立;2x 1. .當(dāng)a 0時，取f x 4ae 0,根據(jù)圖像知，方程有唯一解設(shè)為設(shè)，x則函數(shù)在 0,x0上單調(diào)遞減，在 x0,上單調(diào)遞增，故 f x mi。X02x02ae In x0 In a0,且40,代換得到:2xo21nx0 2x0 21n 2 0 ,易知函數(shù)12x21n x2x 21n 2 在0,1上單調(diào)遞減，且g 2a -2x04x e故當(dāng)x01一時，有最小值為212e本題考查了隱零點問題，不等式恒成立求參數(shù)，設(shè)出極值點是解題的關(guān)鍵二、

12、填空題211.若復(fù)數(shù)z （i為虛數(shù)單位）1 i由復(fù)數(shù)的運算法則得z 1i,由復(fù)數(shù)模的概念即可得解由題意z、12 12.2.故答案為:本題考查了復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)模的概念,屬于基礎(chǔ)題12.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點點的任意一點，過點 M作雙曲線的切線22M是雙曲線 土 1(a 0,b 0)上的異于頂1I，右koM ki,則雙曲線離心率 e等于33第15頁共21頁與x y2 y 1 ,轉(zhuǎn)化條件 a b2.33利用導(dǎo)數(shù)證明在雙曲線上點xo,y。處的切線方程為.2得Wa n即可得解.1,一，再利用3當(dāng)y 0時,2 y_ b21可得2 x2 a1y 二求導(dǎo)得 2b2 a2x12x亞b2b2x-2a

13、所以在雙曲線上點化簡得烹鵬b2b2x2a y ，設(shè)點M m,n由 koM ki1一得3故答案為：立3x。，y。處的切線方程為y y。b2x。2a y。ki,2b m-2- a n同理可得當(dāng)y0時依然成立;,2b m1所以3b2 a所以雙曲線離心率2,33【點睛】第19頁共21頁本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線，考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題213.已知函數(shù) f (x) x ax a, Ax R f(x) xR ff(x) f(x)B ,則實數(shù)a的取值范圍是f f(x)f f(x)x1x0 a 3 2 夜或 3 272 a設(shè)x1，x2 X x2是方程f (x)x的兩個實根，則可得f (x) f

14、 (x)x1或x2,進(jìn)而可得f (x) (x xi)(x x2)(x xi 1)(x x2 1),由 AB可得對任意X2，均有 f f(x)f (x) 0,即可得x1 x2由韋達(dá)定理和根的判別式列出不等式組即可得解A ,可設(shè) x1，x2 x.x2是方程f（x）0的兩個實根,x R f(x) xf f(x) f(x)f (x)x1或 x2,x2f(x) f(x) f(x)xif(x)x2 = f (x)x x x1f (x)x x x2x1x1x x2x x2(xx1)(x x2 )(x x1)(xx21).B可得對任意x1xx2,均有ff(x)f(x) 0,即（xx1）（xx2)(x X1)(

15、x x2 1)0對任意x1x2均成立,x1x x2 0,x x1 1 0 可得 x x20對任意x1x x2均成立,所以x1x21 0,所以解得x2故答案為：021 4a2x1x24x1x2 124a24a2 2或3 2.26.6,且數(shù)列an n是等n項和，考查了計算能 ，115.二項式(- x1【答案】64X 6-)6的展開式的各項系數(shù)之和為2旦16, x4 *的系數(shù)為本題考查了一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和計算能力, 屬于中檔題.三、雙空題14.在數(shù)列 an中，Sn為它的前n項和，已知a2 1, a3比數(shù)列，則an , Sn=【答案】3n . 3222故答案為：3

16、n 1 n, 3n n2 n 1. nn 1n 1【解析】設(shè)bn an n,由等比數(shù)列的性質(zhì)先求得 bn 3 ，進(jìn)而求得an 3 n；再利用分組求和法即可求得Sn .【詳解】設(shè)bn an n,數(shù)列bn的公比為q,則由題意 b2 a2 2 3, b3 a3 3 9,q -7 【點睛】, 6=殳=1,bn biqn 1 3n 1b2qan bn n 3n 1 n,Sn 1 1 3 2 32 33n 1 n 1 3 323n 11 2 3 n1 1 3n1 n n 3n n2 n 1【解析】令x 1即可求得該二項式的展開式的各項系數(shù)之和；寫出該二項式展開式的通項公式TriC；2rX2r 6 4即可求

17、得x的系數(shù).【詳解】(1x2)6164故該二項式的展開式的各項系數(shù)之和為1一；641二項式（1 xx 6 , 一 ，一 ., 一）的展開式的通項公式為 2Tr 1C6rC；r2r 6x ，令 2r 6 4 即 r = 5, C；63,故x4的系數(shù)為16316故答案為：工，.6416本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題16.已知直線l ：mx y 1,若直線l與直線x my 1 0平行，則m的值為動直線l被圓x2 y2 2y 8 0截得的弦長最短為 .【答案】12 ,5，一， ，一 一m11，、一 一，一，【解析】由直線平行的性質(zhì)可得m1,解方程即可得m 1 ；由題意知直線1

18、m 1l恒過點P 0, 1 ,圓的圓心C 0,1 ,半徑r 3,由圓的性質(zhì)即可得所求弦長最小值為2Jr2 CP ；即可得解.【詳解】Q直線l ：mxy1與直線xmy10平行，m 11 一,解得m 1 ；1 m1由題意可知直線l： mxy1恒過點P0,1,圓 x2 y2 2y 8 0 的圓心 C 0,1 ,半徑 r 3, CP 2,易知當(dāng)CP l時，直線被圓截得的弦長最短，此時弦長為2r2 CP2 2 95 2 5.5第23頁共21頁故答案為：1, 2J5.【點睛】本題考查了兩直線平行的性質(zhì)，考查了直線過定點和直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題X02aP12b1417.已知隨機(jī)變量 X的分布列如下表

19、：其中 a 0, b 0.且 E X 2,則 b= , D 2X 11【答案】-2441【解析】由概率和為1即可的b由題意結(jié)合期望公式可得4求得D X后利用D 2X 122 D X即可得解.【詳解】a 6,根據(jù)方差公式由題意12b a4所以D X216 2-6,42所以 D 2X 122 D X24.- -1故答案為：24.4本題考查了分布列的應(yīng)用,考查了利用分布列進(jìn)行期望和方差的相關(guān)計算屬于基礎(chǔ)題.四、解答題18.在VABC 中，內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a,b,c已知tan(7 A) 3.(1)求 sin2A cos2A 的值；(2)若VABC的面積S 1 , c 2 ,求a的值.一

20、 8【答案】(1) 一(2) a 1一 , ，一、一.1【解析】(1)由兩角差的正切公式可得 tan A ,轉(zhuǎn)化條件22 A 2 tan A 1 目口sin 2A cos A 2即可得斛；tan A 1(2)由同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合題意可得sin a 叵,cosA 2/5,由三角形面積551 公式S bcsin A可得b J5,再由余弦定理即可得解.2 -【詳解】tan( A) tan (1)由題意tan Atan (一 A)一44441 tan( A) tan 44所以 sin 2 A cos2 A2 A2sin AcosA cos A227sin A cos A2tan A 1tan2 A

21、 11sin A1(2)由(1) tan A 可得：tan A -即 cosA 2sin A ,2cosA 2又 sin2 A cos2 A 1, A 0,，所以 sin A , cosA5一一 1 .又 S -bcsin A 1 , c 2可得 b J5 ; 2222a2 b2 c2 2bccosA 5 4 8 1；所以a 1.考查了余弦定理和本題考查了利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和三角恒等變換進(jìn)行化簡求值,三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.19.如圖，已知四棱錐 A BCDE ,正三角形 ABC與正三角形 ABE所在平面互相垂直，BC/平面 ADE ,且 BC 2, DE 1.(1)求證：BC/

22、DE;uuir(2)右 AF2FDr，求CF與平面ABE所成角的正弦值【答案】(1)見解析(2)叵7【解析】(1)由線面平行的性質(zhì)即可得證;(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo),進(jìn)而可得平面uur 土ABE的一個法向量是 OC和uuu .直線CF的萬向向量CF ,利用sinuuur uur . cos（OC,CF）即可得解.(1)證明：因為BC/平面ADE , BCBCED，且平面 BCEDI 平面 ADE DE ,所以BC/DE(2)取AB中點O ,連接EOCO,由題意可得 OC、OB、OE兩兩垂直,第31頁共21頁如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,各點的坐標(biāo)分別為 A1,0,0B 1,0,0C

23、 0, .3,0E 0,0, .3所以uuirBC1,依0 ,uuurEDuur1BC,0所以uurAD所以uuurAF2 uur -AD32 r33, 3所以uurCF因為平面ABEuuur _的一個法向量是OC0, 3,0設(shè)CF與平面ABE所成的角為則sin.uur uuur cosOC,CFuuuruurOC CFuuur uurOC CF所以CF與平面ABE所成角的正弦值為21【點睛】本題考查了利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行, 檔題.考查了利用空間向量求線面角， 屬于中20.已知數(shù)列 an的前n項和Snan 2an ,且an40(n N).（1）寫出a1，a2,a3的值，并求出數(shù)列 a

24、n的通項公式;(2)設(shè) bn卮,Tn為數(shù)列bn的前n項和；求證:n2 n T n2 2n2 n 2【答案】（1） a12, a2 4, a3 6, an 2n. (2)見解析【解析】（1）分別令n 1、n2、n 3即可得a1、a2、a3的值；當(dāng)n 2時，利用 anSnSn1 可得anHn1HnHn120,則數(shù)列an是首項為2,公差為2的等差數(shù)列，即可得解;（2）由等差數(shù)列前n項和公式結(jié)合題意可得bn Jn(n 1),根據(jù)bn n即可得Tnn-n ,根據(jù)bnn （二1）即可得Tn n一2n ,即可得證222(1)因為 an 0 ,當(dāng) n 1 時，a1 S1a1 2a14當(dāng) n 2 時，S2 a1

25、 a2a22 a24,所以a2當(dāng) n 3時，S3 a1 a2a32a3 ,所以4當(dāng) n 2 時，an Sn Sni2c2 can2anan i 2an 1化簡得 anan 1 an an 1 20,因為an0 ,所以anan i 20 ;所以數(shù)列 an是首項為2,公差為2的等差數(shù)列, an 2 2 n 1 2n.(2)證明：由(1)可得 Sn 2-2n n n n 1 , bn Jn(n 1)；2所以 bnn ,所以 Tnb1b2bn1 2 nn一n2又 6Un_所以11Tnb1b2bn122 2/，/、2 c1 n(n 1) n n 2n22222n 2n22綜上可得nnTn2【點睛】 本題

26、考查了數(shù)列通項和前 n項和的求解，考查了放縮法證明不等式，屬于中檔題2 p上任意一點，過M2_21.如圖，設(shè)拋物線方程為x 2py (p0), M為直線y引拋物線的切線，切點分別為A, B.(1)求直線AB與y軸的交點坐標(biāo)；(2)若E為拋物線弧AB上的動點，拋物線在E點處的切線與三角形 MAB的邊MA ,_SAEAB、一MB分別交于點C , D ,記 ,問SA MCD是否為定值？若是求出該定值；若不是請說明理由【答案】(1) (0,2p) (2)是定值，定值為222【解析】(1)設(shè)A Xi,五，B X2x2- 2p2p,求導(dǎo)后可得直線AM的方程與直線BM方程，聯(lián)立方程組可得yMX1X22p寫出

27、直線AB的方程為y2 X12pX2XiX2pX 0即可得解;(2)設(shè)點E X3,y3 ,聯(lián)立方程組可得 Xc XL-X3 , Xd 上一，進(jìn)而可得22AC CM面積后，【詳解】CEEDMDDBACCMCEEDMDDBt,記 SA MCES ,表不出各三角形即可得解.22(1)設(shè)A Xi,?L , B X2,2 ，拋物線方程X22p2p2py p 0可變?yōu)閥所以 y l,所以 kAM - , kBM-2 ,ppp2直線AM的方程為y 21-2p2Xi，八 、一X2一 x X1 ,直線BM萬程為yp2pX2pX2 ，2Xi2P2X22PpX2 pXi解得XMX2X2XiyMXiX22p化簡得 Xi

28、 X2 x 2 py X1X20,令x 0, yX1X22p又yM2kx2p ,所以 y2p2p,所以直線AB與y軸的交點坐標(biāo)為0,2 p .22X2 Xi22 p 2 p x2 x1 ,所以直線AB的方程為y % 上一 x Xi- 2p2pX2 X 2p可得直線CD的方程為y2 X3 27X3 X X3p2X12PXiXi可得XCX3X1X32同理XdX2 X32，X32PPACCEMD所以X3X1X2X3CMACCM$ MAB& MCD所以所以EDCEEDDBMDDB|ma|mb| mc|md,記 SA MCES ,則 SaacetS, SA MDEBDEMAB& EABSA MABSA MCDLJ St ，SA MCDSA MCD13LSA ACESA BDEYstSU1S， tSZ EAB 2SAMCD本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了運算能力,屬于中檔題22.已知f X(1)當(dāng)a 1時,判斷函數(shù)X的單調(diào)性;(2)當(dāng)a1時，記f x的兩個極值點為x,X2 k X2 ,若不等式X2 fxif X2 g X1恒成立，求實數(shù) 的值.【答案】(i)單調(diào)遞減區(qū)間為 ，1 J2