(課標(biāo)專用)天津市2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型練8大題專項(六)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題

1、題型練8大題專項(六)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題題型練第62頁1.設(shè)函數(shù) f (x) = ax2- (4 a+1) x+4a+3e x.若曲線y=f (x)在點(1,f(1)處的切線與x軸平行，求a;(2)若f (x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.解：(1)因為 f (x) = ax2-(4 a+1) x+4a+3e x,所以 f (x) =2 ax- (4 a+1)e x+ ax2- (4 a+1) x+4a+3e x= ax2- (2 a+1) x+2e x( x R).f (1) =(1 -a)e .由題設(shè)知f (1) =0,即(1-a)e =0,解得a=1.此時f (1) =3ew。,

2、所以a的值為1.(2)由(1)得 f (x)=ax2-(2 a+1)x+2e x=(ax-1)( x-2)ex.若 a,則當(dāng) x -時，f (x)0.所以f (x)在x=2處取得極小值.若 aw,則當(dāng) x (0,2)時,x-20, ax- -x-10.所以2不是f(x)的極小值點.綜上可知，a的取值范圍是 -8 .2 .已知f(x)=ax-ln( -x), xC-e,0),其中e是自然對數(shù)的底數(shù),aR.(1)當(dāng) a=-1 時，證明：f (x) +-.(2)是否存在實數(shù)a,使f (x)的最小值為3?如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由.- 證明由題意可知，所證不等式為f(x),xC-e,

3、0).因為 f (x) =-1-=-所以當(dāng)-e x-1時,f (x)0,此時f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)-1x0,此時f (x)單調(diào)遞增.所以f(x)在區(qū)間-e,0)內(nèi)有唯一極小值f(-1)=1,即f(x)在區(qū)間-e,0)內(nèi)的最小值為1;-令 h(x)=- ,xC-e,0),貝U h (x)=,當(dāng)-ew x0時，h(x -e,由于 xC - e,0),貝U f (x) =a-0所以函數(shù)f(x)=ax-ln( -x)在區(qū)間-e,0)內(nèi)是增函數(shù)，所以 f (x) min=f (-e) =-ae-1=3,解得a=-e-e矛盾，舍去.若 a-e,貝U當(dāng)-ew x-時，f (x) =a-0,此時f (x)=ax

4、-ln( -x)是減函數(shù),當(dāng)-x0,此時f (x)=ax-ln( -x)是增函數(shù),所以 f (x) min=f - =1-ln - - =3,解得 a=-e .綜上知，存在實數(shù)a=-e2,使f (x)的最小值為3.3 .已知函數(shù) f (x) =x3+ax2+b( a, b C F).試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若b=c-a(實數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(-8, - 3) U -8 ,求 c 的值.2解:(1) f (x)=3x+2ax,令 f (x) =0,解得 xi=0, x2=-.當(dāng) a=0 時，因為 f (x)=3x20(xw0),所以

5、函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8, +8)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，xC-oo - - u (0,+OO)時，f(x)0, xC - - 0 時，f(x)0,所以函數(shù)f (x)在區(qū)間-8 - ,(0, +oo)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間- 0內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng) a0, xC 0 - 時，f (x) 0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,0),-, OO內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間0 -一內(nèi)單調(diào)遞減.(2)由(1)知，函數(shù)f (x)的兩個極值為f (0) =b, f - -a3+b,00則函數(shù)f(x)有三個零點等價于f (0) - f - - =b 0 時，一a3-a+c0或當(dāng) a0 時，a3-a+c0.設(shè)g( a) =-a3-a+

6、c,因為函數(shù)f (x)有三個零點時，a的取值范圍恰好是(-00,-3) U - ,則在(-oo,-3)內(nèi) g( a) 0 均恒成立，從而 g(-3)=c- 0因此c=1.一，一322此時,f (x) =x+ax +1-a= (x+1) x +(a-1) x+1-a,因函數(shù)有三個零點，則x2+( a-1)x+1-a=0有兩個異于-1的不等實根，所以A =( a-1)2- 4(1 -a) =a2+2a-30,且(-1)2-(a-1)+1-aw0,解得 a (-oo,-3) U -8.綜上c=1.4.(2019 全國 n,理 20)已知函數(shù) f(x)=ln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(

7、x)有且僅有兩個零點；(2)設(shè)xo是f(x)的一個零點,證明曲線y=lnx在點A(xo,lnxo)處的切線也是曲線y=ex的切線.解f(x)的定義域為(0,1) U(1,+8).因為f (x)=-0,所以f(x)在區(qū)間(0,1),(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.因為 f(e) =1-0,e-e - e -所以f(x)在區(qū)間(1, +8)內(nèi)有唯一零點x1,即f(x1)=0.又 0-f (x)恒成立，求 a 的取值范圍解:(1)由題意可知,f (x) =ex- 2a-3a2e-x=eee-e 當(dāng)a=0時，f (x)=ex0,此時f (x)在R上單調(diào)遞增當(dāng) a0 時,令 f (x)=0,解得 x=ln(3

8、a),當(dāng) xC(-oo,in(3 a)時，f (x)0, f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) a0 時,令 f (x) =0,解得 x=ln( -a),當(dāng) xC(-oo,in( -a)時，f (x)0, f(x)單調(diào)遞增；綜上可知，當(dāng)a=0時，f(x)在R上單調(diào)遞增； 當(dāng) a0 時，xC (-8,in(3 a)時，f(x)單調(diào)遞減，xC(ln(3 a), +8)時，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) af ( x),可得 ,e x( x-a- 1) -x 2+2ax-a2+100,令 g( x) =ex(x-a- 1) -x2+2ax-a2+10,只需在xC(0, +8)時使g(x)min0即可.g (x)=ex(x-a

9、- 1) +ex- 2x+2a=(ex-2)( x-a ),當(dāng) a 0.當(dāng) 0xln2 時，g (x) ln2 時, g (x) 0,所以g(x)在區(qū)間(0,ln2)內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間(ln2, +8)內(nèi)是增函數(shù)，只需 g(ln2) =-a2+(2ln2 -2) a-(ln2) 2+2ln2 +80, 解得 ln2 -4aln2 +2,所以 ln2 - 4a 0;當(dāng)0aln2時，g(x)在區(qū)間(0, a)內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間(a,ln2)內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間(ln2, +)內(nèi)是增函數(shù)則0則00解得0a0 g(x)在區(qū)間(0, +0)內(nèi)是增函數(shù)而 g(0) =9- ln2 - (ln2) 20 成立

10、;當(dāng)aln2時，g(x)在區(qū)間(0,ln2)內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間(ln2, a)內(nèi)是減函數(shù),在區(qū)間(a,+8)內(nèi)是增 函數(shù),-e 00-0解得 ln2 an10 .綜上可知，a的取值范圍為(ln2 -4,ln10).6.設(shè)函數(shù)f (x) =g(x) =-x+(a+b)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a, bCR且aw。)，曲線y=f(x)在點(1, f(1)處的切線方程為y=ae(x-1).求b的值;(2)若對任意xC e 00 , f (x)與g(x)的圖象有且只有兩個交點，求a的取值范圍.解:(1)由 f(x)=,得 f (x)=由題意得f (1) =ab=ae. aw 0, : b=e.8 ,

11、f (x)與g(x)有且只有兩個交點，(2)令 h( x) =x f (x)-g( x) =x2-(a+e) x+aeln x,貝U任意 xC - 等價于函數(shù)h(x)在區(qū)間e 8有且只有兩個零點.2由 h(x) =-x -( a+e)x+aeln x, 得 h (x)- -e當(dāng)a0得xe;由 h (x) 0 得exe.此時h(x)在區(qū)間e e內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(e, +0)內(nèi)單調(diào)遞增.22 一因為 h(e) =-e - (a+e)e +aelne =-e -e(e -2) - e - e 0(或當(dāng) xf+8時，h(x) 0 亦可),所以要使得h(x)在區(qū)間e8內(nèi)有且只有兩個零點，e - e e 0ee貝U只需 h -一一+aeln -eeee當(dāng)ea0 得exe;由 h (x) 0 得 axe.此時h(x)在區(qū)間(a,e)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間- 和(e,