高等數(shù)學(xué)第七版下冊復(fù)習(xí)綱要

1、第七章：微分方程一、微分方程的相關(guān)概念1 .微分方程的階數(shù)：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的景高階數(shù)叫做微分方程的階.2 .微分方程的解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.通解：所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同的錢稱為微分方程的通解.特解：確定了任意常數(shù)的通解稱為微分方程的特孵.3 .特孵與通解的關(guān)系：可通過初始條件確定通解中的常數(shù)而得到滿足條件的特孵;也可通過方程的表達(dá)式直接觀察得到特解，因此特解不總包含在通解中.二、微分方程的常見類型及其解法(1) 分得變量的微分方程及其解法方程的形式：g(y)dy = f(x)dx.(2) .方程的解法：分離變量法(3) .求解步驟 .分離變量

2、，將方程寫成鼠丁)力= /(x)dx的形式； .兩端積分：Jg(y)dv = J/a)公，得除式通解G(y) = F(x) + C； .將隱函數(shù)員化.2.齊次方程及其解法方程的形式：2dx yx)2) ).方程的解法：變重替換法.求解步獴 .引進(jìn)新變量，=)，有及半= + x半； xax ax .代入原方程得：+ x也=/(相)； dxdu dx .分離變量后求解，即孵方程u= 一；(p(u)-ii x .變量還原，即再用二代替X3) 一階線性微分方程及其整法dv.方程的形式：+ P(x)y = Q(x). dx一階齊次線性微分方程:半+尸(x)y = 0.axdy一階非齊次線性微分方程:+

3、P(x)y = Q(x)*0. dx(2).一階齊次線性微分方程下 +尸(x)y = O的解法：分離變量法. ax逋解為 y = Ce-idx(0 £ R).(公式)dy.一階非齊次線性微分方程+ P(x)y = QM工0的鋰去 常政交易法. ax對方程g + P(x)y = Q(x),設(shè)y = (x)ei蛇為其逋解，其中。)為未知函數(shù)，從而有 半=u'(x)Pxdx-u(x)P(x)ejP(x)dx,ax代入原方程有't心)P(x)eF"'"x + P(x)u(x)eIPxdx = Q(x),整理得 '(x)= Q(x)e&quo

4、t;0'"',兩端積分得 (x) = J Q(x)eiP(x)dxdx + C,再代人通辭表達(dá)式，便得到一階非齊次線性微分方程的通解y = eiP(x)dxQ(xp(xdxdx + C) = cePxdx+e-x)dxQ(x)ePxdxdx ,(公/因非齊次線性方程通解=齊次線性方程通解+非齊次線性方程特解第八章：空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量7=（乙，北，2“），=（毛，券，&）,?=（天,尤，2,）1 .向重7 =（兒，咒,）與0 =（玉,%,Q）的數(shù)量積：a-b=a|cosm + xbyb + zaZb;一ijk2 .向量7 =（%,），a，z）與=（4

5、，第，園）的向量積：axb = xayaza .&yb4=回W卜皿3的幾何意義為以7, b為鄰邊的平行四邊形的面積.3 .向重了= （x,y,z）的方向余弦：XyVcosa = ,cos/7 = ,cosy = '' .=,2,）/ *>*>2/*>/）E +）廣 + （Jx- +）,- + （'x- +）,- + （cos2 cr+cos2 /7 + cos2 / = 1 ； sin2 a +sin2 /? + sin2 / = 2.4 .向重 7 = （4,）'n，Za）與 B =（Z，Zb）垂直的判定：d 上b =d,b = 0&

6、lt;=>xaxb +xbyh+zazh =0.5 .向重7 = (%,北，z)與=(4,%,&)平行的判定:a/b axb=0<>a = kb.k()<> = = =6.三向重共面的判定：ka+mb+nc = 0 7力,£共面.-e7.向重 7 = （Xd，Za）在 5 =（4，券，Zb）上的投影：Pr j-b=-=二、平面1.過點(diǎn)P（Xo，）'o，Zo）,以亓= （A5C）為法向重的平面的點(diǎn)法式方程:A(x - /) + 8(y 凡)+ C(z Z。)= 0.2.以向量n = （A,及C）為法向重的平面的一般式方程：Ax+ By+Cz

7、 + D = O.Axy + By. + c& + D點(diǎn)M(M，乃，4)到平面Ax+8y+Cz + £) = 0的距庾c/ = 一：、，、Va2 + b2+c24.平面77 : Ax + dy + Gz + O =0與?。?工+紇丁 +。22 +。2 =。平行的判定:7ZJ/A =瓦訊。3=冬=邑0212.4 5 C)5 5.平面77 : 4% + 4丁+ Gz + D =0與 :A2x + B2y + C2z + D2 =。垂直的判定:口1 ±Z72 =萬±n2 o 4A? + BB + CC2 = 0.平面27I : 4% + 用丁+ Gz + A =

8、0與 A2 : A2x + B2y + C2z, + D2 =。的夾角:c°se =4 生-cq|內(nèi)+哥+C； M+8；+C；三、直線L過點(diǎn)P（Xo，），o，Z（）,以亍= （7,p）為方向向量的直線的點(diǎn)向式時(shí)稱式、標(biāo)準(zhǔn)）方程:X-/ _)'一)'。_ z-Zox-x0= tm2.過點(diǎn)P（Xo，）m，Zo）,以S = 0,，p）為方向向量的直線的參數(shù)式方程：, y - y（）=f ，一 Zo=f3.直線的一般式方程：4.亙線方程之間的轉(zhuǎn)化:i）點(diǎn)向式-參數(shù)式仆 + 外 +。R + £)| =0_ _ _c 八 c 方向向量為s = X2.Ax + By +

9、Cz + Dy =0ii) 一般式點(diǎn)向式第一步：找點(diǎn)第二步：找方向向量M =自r x - x. y - y. z-Zi ry - y9 z-z?5.直線L| := "二 =1與4：-=J=平行的判定:叫 P叫 «2 PiLJ/L、=吊I氐="=%=匹. m2 n2 p2r x-xx y - y. z-Z ry - vs Z-Z)直線4:-=-=1與乙： = - =垂直的判定:叫 勺 Pi - fn2 n2 p2± L, <=> ?)± ?2 <=> mxm2 +”% + P1P2 = 0r x - xx y - y. z

10、-Z r x-x y - y? z-z)7 .直線4:L = = 與乙：= 一二=M勺夾角: 叫 勺 P - 叫 n2 Pl|叫62+1”2+1必|yjm： + : + p： "刀7； + 川 + P；8 .直線L：=1 = 匕包=三二包與平面27：4工+8)，+。2 +。=。垂直的判定： I m nr , _ 二 k I "i fJLn => sun o =一.ABC9 .直線L:匚3 =二»與平面：4¥+8>，+。2 +。= 0平行的判定： I m nLUn <=> S ± <=> A/ + Bin +

11、Cn = 0.10 .直線L:二 = 二 =:二？與平面77:4工+8)，+。2 +。= 0的夾角： I m nAm+ Bn+ CjA sin 6?= ,t. 1. yjA1 +B1 +C2 yjm1 + n1 + p211點(diǎn)口與，)0,20)到直線,y+wk。的距離一A2x + B2y + C2Z + D2 =0PMxsT,其中M是直線上任意一點(diǎn)，s =n xn2.四、曲線、曲面i. yoz平面上的曲線C： /(y,z) = 0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面為S： y(±7x2 + /,z)=o.2.空間曲線C： <F(x, y, z) = 0“關(guān)于xoy平面上的投影柱面方程為

12、：”(x,y) = 0；G(x, 乂 z) = 0f（x,y） = O在工0，平面上的投影曲線為C： j二_0第九章：多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、平面點(diǎn)集1 .內(nèi)點(diǎn)一定在點(diǎn)更內(nèi)，但點(diǎn)集內(nèi)的點(diǎn)未必是點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，還有孤立點(diǎn);2 .聚點(diǎn)可以是點(diǎn)更的邊界點(diǎn)，也可以是點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，但不可以是點(diǎn)集的外點(diǎn)和點(diǎn)集內(nèi)的孤立點(diǎn);3 .開集和閉集內(nèi)的所有點(diǎn)都是安點(diǎn).二、二元函數(shù)的極限、連續(xù)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)liinf (x, y) = A.1 .二元函數(shù)/（X, y）在（/，0）點(diǎn)的二重極限:"雙、JW/即加2 .二元函數(shù)/（X, ）9在（玉），打）點(diǎn)的連續(xù)性:3 .二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).二、二元函數(shù)的

13、偏導(dǎo)欽的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，/、dz oz1 .函數(shù)z = /（x,y）對自變量的偏導(dǎo)數(shù)：丁及丁. dx dy2.函數(shù)z = /（x,y）對自變量的二階幅導(dǎo)數(shù):d2Zdx1d1Z 62> 表 dy1 dxdy dydx注：若二階混合偏導(dǎo)數(shù)去與小連續(xù)，則二者相等.dxdy dydx三、二元函教的全微分：dz = dx + dy ox oy四、二元函數(shù)連續(xù)性、謁導(dǎo)數(shù)存在性以及全微分存在性三者之間的關(guān)系1 .函數(shù)連續(xù)性與隔導(dǎo)數(shù)存在性的關(guān)系：二者沒有任何的道涵關(guān)系.2 .偏導(dǎo)數(shù)存在性與全微分存在性的美系：全微分存在，偏導(dǎo)數(shù)存在；反之未必.（保導(dǎo)數(shù)不存在，全微分一定不存在）偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，全微分存在，反之未必

14、.3 .連續(xù)性與全微分存在性的關(guān)系：全微分存在，函數(shù)一定連續(xù)；（函數(shù)不迄續(xù)，全微分一定不存在）函數(shù)連續(xù)，全微分未必存在.五、二元亙合函數(shù)的偏（全）導(dǎo)故1 .中間變量為網(wǎng)個(gè)，自變重為一個(gè)的亙合函數(shù)的全導(dǎo)教：Z = /（/，）, =的）w =%,z = /（如）""）,dz dz du & dv=pdt du dt dv dt2 .中間變量為兩個(gè)，自變量為兩個(gè)的短臺(tái)函數(shù)的漏導(dǎo)數(shù):Z =叭X, y),v =叭X, y),z = f (叭X,y),(x, y),dzdz. ondz ovdz.& cudz dv=+, =+dxdu dxdv dxdydu dxdv

15、dx六、隱函數(shù)微分法i.由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)微分法：E（蒼乂z） = 0確定隱函數(shù)z = /（x,y）,dF dx dF dy dF dz.八直接對方程左右兩端關(guān)于自變重求偏導(dǎo)數(shù)，即:一-+ - + = 0,即 dx dx dy dx & dxdF t dF n dF dz n dz, Fv 1 + 0 + - = 0,好得一=一一' dx dy dz dxdx F:尸(x,y,y) = 02.由方程組確定的隱函數(shù)組微分法：i.c確定隱函較u = it(x,y)v = v(x,y)直接對方程組左右兩端關(guān)于自變重求偏導(dǎo)數(shù)，即IdF dx + dx dxdG dx + dx dx

16、dF dudu dxdG dudF ov 八 =0 譏，ox,即 dG dv 八 =0 ov dxG(x,y,j)=。dF dF du dF 3，八+= 0八 八& dx dv dx皿、.由加avdG dG du dG dv 八dv dx+= 0.dx du dx 3, dx七、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用L曲線的切線方程和法平面方程x = 8（f）,1 ）.以參敵式方程，丁 =獷«），表示的曲線在，=，0對應(yīng)的點(diǎn)M（Xo，）'o，Zo）的 < =7（0切線方程:X 一 凡 _ 一 九 _ z - Zo 夕。0）- （，0）/'。0）法平面方程：。（，0 ）（ X

17、玉）+ 獷（A）（ y - 先）+，Go）（ Z - Zo ）=。2).以一般式方程尸(x,y,z) = oG(x, y, z) = 0表示的曲線在點(diǎn)M （x。，九，Zo）的切線和法平面方程：I F（x, y, z） = 0y = f （x）dy dz先用方程組八確定的隱函較組微分法求出丁，丁，然后得到切線的方向向重G（Ky,z） = 0z = g（x）dx dx、喘上dzdxx - % y - % z - z()切線方程： = -2- = -1/(X。) g*0)法平面方程：X - X。+ / (x°)(y 一 兒)+ g (Xo)(z - Zo) = 02 .曲面的切平面方程和法

18、線方程1) .以一般式方程F(a Z)= 0表示的曲面在點(diǎn)M(X。，y(), Zo)的切平面和法線方程：切平面線方程：E； (M )(x -與)+4(M )(y 先)+ £' (M )(Z 之)=0法姓蒜二蒜二蒜 人"人.2) .以特殊式方程Z = /(乂丁)表示的曲面在點(diǎn)用(為)，凡，小)的切平面和法線方程: 令F(x, y, z) = fx, y) z = 0 ,有曲面在點(diǎn)M (x°,光,z°)的切平面的法向重M=(五;("),月(),£() = (f 島,用)/(%, >'o)-O切平面線方程：f'

19、x(xo,yo)(x-xo) + f'y(xQyyo)(y-yo)-(z-Zo) = O法方程：上工=上上=人(工0，兒)AC'oO'o) -13) 方向?qū)?shù)與梯度：df v f(x + Ax. y +/v) - /(xy)1) .方向?qū)?shù)：=hm L- .dl A)p2) .方向?qū)?shù)存在條件：可微分函數(shù)z = /(x,y)在一點(diǎn)沿任意方向/的方向?qū)к壎即嬖?，并?coscr + cos/7 ,其中cosa, cos/?是方向/的方向余弦. dl dx dy3) .梯度：函數(shù)/(x,y,z)在點(diǎn)(/，凡,2。)處的梯度/(/，為，20)=。(入0，%，20)； + &#

20、163;(%，20)/ + 4(與，%，%)%()4) .方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：減小景快的方向是 .函數(shù)/(x,y,z)在點(diǎn)M(Xo，)，0,Zo)處增加最快的方向是其梯度的方向，一身/(天),兒,4)的方向 .函數(shù)/(A-,)，,Z)在點(diǎn)M(毛，為，4)沿任意方向的方向?qū)?shù)的懸大值為凡，福，八、板值、條件極值1 .函數(shù)z = /(x,y)的極值點(diǎn)和駐點(diǎn)的關(guān)系：函數(shù)z = /(x,y)的極值在其狂點(diǎn)或不可偏導(dǎo)點(diǎn)取潺.2 .求函數(shù)板直的步驟:.對函數(shù)z = /（x,y）求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組/。,），）=0“、八，得所有駐點(diǎn)（七，£）. 。（2）= 02 2）.對每一個(gè)駐點(diǎn)（再，H,求出二

21、階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ) = /；（七，y ）,3 = /；（七，y ）,c = £；（七，y.）.計(jì)算8。- AC,根據(jù)82 AC以及A的符號(hào)判定/（七，上）是否是極值:若8? AC v 0, A > 0 ,則/（看，勢）是極小值;B2-AC<0M<0,則/(xr，y)是極大值;若8? AC>0,則/（七，/）不是極小值;苦824。=0,則/（七，%）是否是極值不能判定，需其他方法驗(yàn)證.3 .求函數(shù)z = / J, y）在附加條件。（xy）=。下的條件極直的方法:做拉后即日函數(shù)尸（x,y） =/（x,y） +九雙尤?。?，對自變量求謁導(dǎo)，建立方程組IF； (x, 丁)=

22、 f'x (x, >') + 即(居 >,)=0五；(乂 y) = fy (x, y) + 沏；(x, y) = 0尸;(% >,) =于卜,y) + A'(x, y) = 0與附加條件航立的方程組 Fjx, y) = f；(x, y) + 電(x, y) = 0 ,解出的x, y就是函數(shù)2 = f(x, y)的可能極值點(diǎn). 叭x, y) = o第十章：重積分一、二重積分的相關(guān)性質(zhì)I .有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)/（x, y）在該區(qū)域。上二重快分J£ J（"）4b存在；2若函敏/（x, y）在有界閉區(qū)域。上二重快分存在j£/（

23、x, y）da,則f（x, y）在該區(qū)域上有界;3 .中直性：若函數(shù)/（x,y）在有界閉區(qū)域。上連續(xù)，區(qū)域。的面積為則在。上至少存在一點(diǎn)信力），使得J£j（x，、）4b = /«），）。4 . U"b = b,區(qū)域。的面積為二、二重積分的計(jì)算1利用平面亙用坐標(biāo)計(jì)算二重積分1） .先對y后對尤積分，由于積分區(qū)域。：a vxvb; 8（x）vy <。2（工），有2） .先對x后對y積分，由于積分區(qū)域。：cvy v ； %(y)vxvg(y),有JJ心籃:f(x, y)dx.3).積分換序:t dxC f5 ydy =! f5W"(辦£； /*

24、，y)" 2 ,利用板坐標(biāo)計(jì)算二重積分x = pcosO令 .八，由于積分區(qū)域。：a v6v/7； Pi(e)vxva(d),有 y = psin0y口喘f(pcos0,psinO)ptlp.三、三重積分的相關(guān)性質(zhì)：jjjdv = v,區(qū)域。的體積為v. n四、三重積分的計(jì)算1利用豆用坐標(biāo)計(jì)算三重積分積分區(qū)域 V ： a<x<b, y(x) < y < y2(x) ； z,(x,y) < z < z2(x,y), WJJIf xdv=f' "C： 4'C；/a 乂 z)dz第十一章：曲線積分曲面積分一、曲線積分的計(jì)算1 .

25、第一型曲線積分的計(jì)算:x = 0(7), 若曲線C的參數(shù)方程是：。<乙，則第一型曲線積分、/(x, y)ds =L”)k.2。) + 獷2。)力2 .第二型曲線積分的計(jì)算：若曲線C的參數(shù)方程是：x =(p(t),t0<t<tl ,分別對應(yīng)曲線的兩個(gè)端點(diǎn)，則第一型曲線積分)'=%)， j 尸(x, y)dx+Q(x, y)dy = £ 尸(例/),(/)夕(t) + Q(叭t)w(t)y/ 3dt3 .格林公式(聯(lián)系曲線積分和二重根分) 設(shè)有界閉區(qū)域n由分段光滑曲線c所圍成，c取正向，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在/>上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式

26、注：1.可用第二型曲線積分計(jì)算該曲線所圍成區(qū)域的面積：設(shè)有界閉區(qū)域D由取正向的光滑曲線0所圍成，則區(qū)域Q的面積為cr = jj dxdy = 1_ ydx + xdy. 八2 '2.函數(shù)尸(x,y),Q(x,y)在區(qū)域八上連續(xù).二、曲面積分的計(jì)算1 .第一型曲面積分的計(jì)算: 若曲面S的方程是：z = z(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在工。)，平面上的投影區(qū)域?yàn)椤?lt;v,函數(shù)/(x,y,z)在S上連續(xù)，則第一型曲面積分工 /(x，y，ZdS = J” flz, y,z(z, y)ljl + z： +z；dxdy2 .第二型曲面積分的計(jì)算： 若正向曲面S的方程是：z = z*,y),且在

27、my平面上的投影區(qū)域?yàn)镈”，函數(shù)Rx,y,z)在S上連續(xù)，則第二型曲面積分f. R(x, y,z)dxdy = J Rx, y, z(x, yWxdy , JSJ。”同理可得P(k z)dydz. = f Rx(y, z), y, z)dydz.； JSJ。).£ Q(x, y, z)dz.dx = £ Qx, y(z,x),3 .高斯公式(聯(lián)系曲面積分和三重積分)若函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域。及其光滑邊界曲面s上具巧連續(xù)偏導(dǎo)銳，則有高斯公式：目、Pdydz, + Qdzjclx+ Rdxdy= JJJ空+金史dx dy &)dxdydz1注：設(shè)空間有界閉區(qū)域a由光滑封閉曲面s所圍成，則區(qū)域保勺體積為V =；技,必,以 + yd