2020年天津市寶坻區(qū)高一(下)期中數(shù)學試卷

1、期中數(shù)學試卷題號一一二總分得分、選擇題（本大題共 8小題，共40.0分）1. 下列命題中正確的是（）A.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相 平行的幾何體叫棱柱C.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺D.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱2. 在AABC中，內角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知a=1, b=1, c=/3 ,則角C二（）A. 30B. 60C. 903.如圖，一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖為全等的 等股直角三角形，如果直角三角形的直角邊長

2、為a,那么這個幾何體的體積為（）3 A. a3B. a3 C. aD. a34. 下列命題中正確的個數(shù)是（）平面a與平面3相交，它們只有有限個公共點.若直線l上有無數(shù)個點不在平面口內，則l /a.若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線互相平行已知平面 的 3和異面直線a, b,滿足a?a/3, b? 3, b/a,則a/3.A. 0B. 1C. 2D. 35 .已知邊長為1的正方體的所有頂點在一個球面上，則這個球的表面積為（）A.守兀B.孝兀C. 3 %D. 4 %6 . 在AABC中，內角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知白則BBC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.

3、等腰直角三角形D.等腰或直角三角形7 .已知邊長為1的菱形ABCD中，4二；,則用斜二測面法畫出這個菱形的直觀圖的面積為（）A木C、序拈C相A. TB. CC. DD. 08 . 在BBC中，內角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c,則acosB+bcosA=（）A. aB. bC. cD. ccosC二、填空題(本大題共 6小題，共30.0分)9 .若點M在直線l上，則M, l間的關系可用集合語言表示為 .10 .寶地區(qū)在新城建設中，要把一個三角形的區(qū)域改造成區(qū)內公園，經過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別 2千米，3千米，4千米，則這個區(qū)域的面積為 平方千米.11 .在長方體 A

4、BCD AiBiCiDi 中，AB=AAi=2AD ,點 E, F 分別是 AB, CCi 的中點， 則異面直線AAi與EF所成的角的正切值為.12 .在那BC中，內角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,已知a= 2 , b=同，A=45 ,則 角 C=.13 .正四棱錐(頂點在底面的射影是底面正方形的中心)的體積為挈，底面邊長為2,則側面與底面所成二面角的大小為 .14 .在鈍角那BC中，內角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c,若a=i , b=3,則最大邊c 的取值范圍是.三、解答題(本大題共 4小題，共50.0分)15 .在那BC中，內角 A, B, C的對邊分別為 a

5、, b, c,已知A=60 , 2a=3b.(I )求sinB的值；(n )若b=2,求邊c的值.16 .如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PD一面ABCD,底面ABCD為直角梯形，AD 1CD , AB 心D, CD=2AB.(I )求證：平面 PAB!面PAD(n)在側棱PC上是否存在點 M,使得BM胡面PAD,若存在，確定點 M位置； 若不存在，說明理由.fi17 .在那BC 中，內角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,已知 cos2A=cos2B+sin2C-sinAsinC.(I )求角B的值；(n )若b=2,且那BC的面積為2/3 ,求a+c的值.18 .如圖，已知四棱

6、錐 P-ABCD中，底面 ABCD為矩形且AD=2AB,平面 PAD面 ABCD , APAD是等邊三角 形，點E是AD的中點.(I )求證：BE1PC；(II)求直線PB與平面ABCD所成的角的正弦值.第3頁，共10頁答案和解析1 .【答案】B【解析】解：在A中，如圖的幾何體，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不是棱柱，故A錯誤；八在B中，由棱柱的定義得： /有兩個面平行，其余各面都是四邊形， 并且每相鄰兩個四邊形的；公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱，故B正確；二U在C中，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間:1八的部分組成的幾何體叫棱臺，故 C錯誤； 在D中，如圖的幾何體，有

7、兩個面平行，其余各面都是平行四 好 邊形的幾何體不是棱柱，故d錯誤.Vy故選：B.在A中，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱；在B中，由棱柱的定義直接判斷；在C中，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺； 在D中，有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一 定是棱柱，本題考查命題真假的判斷， 考查棱柱、棱臺等基礎知識，考查運算求解能力， 是基礎題.2 .【答案】D【解析】解：.a=1, b=1 , c=p由余弦定理可得，cosC=,-0C 180 , . C=120 故選：D.由余弦定理可得，cosC=rT廠，代入即可求解本題主要考查了余

8、弦定理的簡單應用，屬于基礎題 3.【答案】A【解析】解：根據幾何體得三視圖轉換為幾何體為：底面為直角邊長為 a的等腰直角三角形，高為 a的三棱錐.I 1L -I故：V= ；疝二產.故選：A.首先把三視圖轉換為幾何體，進一步利用幾何體的體積公式的應用求出結果.本題考查的知識要點：三視圖和幾何體之間的轉換，幾何體的體積公式的應用，主要考 察學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題型.4 .【答案】B【解析】解：在中，平面 ”與平面3相交，它們有無數(shù)個公共點，故錯誤；在中，若直線l上有無數(shù)個點不在平面 a內，則l與a平行或相交，故錯誤; 在中，若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線相交、平行或

9、異面，故錯誤；在中，已知平面 ”，3和異面直線 a, b,滿足a? % a/舊b?&b/%則由面面平行的判定定理得a/3,故正確.故選：B.在中，平面 a與平面3相交，它們有無數(shù)個公共點；在中，l與a平行或相交；在中，這兩條直線相交、平行或異面；在中，由面面平行的判定定理得本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考 查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題.5 .【答案】C【解析】 解：由題意，正方體的中心為其外接球的球心，.正方體的棱長為1, .正方體的對角線長為 3則外接球的半徑為.,外接球的表面積為 鈕X備工=M .故選：C.由已知求出正方體對角線長

10、，得到外接球的半徑，代入球的表面積公式即可.本題考查多面體外接球表面積的求法，是基礎的計算題.6.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題.由正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式化簡已知可求得sin2A=sin2C,結合范圍2A, 2C C（0, 2兀），可求2A=2C,或2A+2C=/解得A=C,或A+C=即可得解.【解答】解：,.,=, 可得 acosA=ccosC,加十ctfsAr，由正弦定理可得：sinAcosA=sin CcosC,可得：sin2A=sin2C,.A, CC （0,兀），可得：2A,

11、2CC （0, 2兀），-2A=2C,或 2A+2C= it,.解得A=C,或A+C=g,即BC是等腰或直角三角形.故選：D.7 .【答案】D【解析】解：菱形ABCD中，AB=1, =,：,第5頁，共10頁S 菱形 abcd=2Szabd=2 內 X1 M Ki則菱形的面積為所以用斜二測面法畫出這個菱形的直觀圖面積為S=2=故選：D.求出菱形ABCD的面積，再根據平面圖形的面積與斜二測面法的直觀圖面積比為根:1,求出即可.本題考查了平面圖形面積與斜二測法畫直觀圖的面積比應用問題，是基礎題.8 .【答案】C【解析】 解：由正弦定理 二，=“二六,=2R,即a=2RsinA, b=2RsinB,

12、c=2RsinC,代入 acosB+bcosA 中得：2RsinAcosB+2RsinBcosA=2R (sinAcosB+cosAsinB)=2Rsin (A+B) =2RsinC=c.故選：C.利用正弦定理列出關系式，表示出a, b, c,將表示出的a與b代入原式，變形后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式化簡，即可得到結果.此題考查了正弦定理，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵.9 .【答案】Md【解析】解：點M在直線l上，MQ考查點與直線的位置關系等基礎知識，是基礎則M, l間的關系可用集合語言表示為: 故答案為：M 1.利用點和直線間的集合語言直接求解.

13、本題考查點和直線間的集合語言的求法, 題.10 .【答案】半【解析】解：由海倫公式得,2+344 Ms=MDmOD=亞故這個三角形區(qū)域的面積是半平方千米.故答案為：平.利用海倫公式直接求面積即可.本題考查了海倫公式的應用，屬于基礎題.11 .【答案】姬【解析】解：如圖,設 AD=1 ,貝U AB=AAi=2AD=2. E, F 分別是 AB, CCi 的中點，BE=1, BC=1 , CF=1 , CE=/2 .AAi /CCi,，zEFC為異面直線AAi與EF所成的角，則 tan/EFC. = g.故答案為：&由已知畫出圖形，找出異面直線AAi與EF所成的角，求解三角形得答案.本題考查異面直

14、線所成角，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是基礎題.i2.【答案】75?；騣5【解析】解：a嶂,b=氏A=45。，由正弦定理 施=再，可得sinB= =. BC (0, i80 ),可得 B=60 ,或 i20 ,. C=i80 -A-B=75 ,或 i5 .故答案為：75,或i5.由已知利用正弦定理可求sinB的值，結合B的范圍可求B的值，根據三角形的內角和定理即可解得C的值.本題主要考查了正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，三角形的內角和定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題.Hl-m【解析】【分析】本題考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考

15、查 運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是中檔題.由正四棱錐S-ABCD的體積為？1底面邊長 AB=2, AC ABD=O,連接SO,求出正四棱錐 S-ABCD 的高 SO=3,取 BC 中點 E,連接 OE, SE,貝U OE1BC, SE1BC, ZSEO是 側面與底面所成二面角的大小，由此能求出側面與底面所成二面角的大小.【解析】解：如圖，正四棱錐 S-ABCD的體積為挈，底面邊長AB=2,ACABD=O,連接SO,則SO是正四棱錐 S-ABCD的高， Vsabcd=彳 X 5矩用/= S0= ； K 4 X 5。= ,解得 SO= 3 , 取BC中點E,連接OE, SE, 貝U OE1BC

16、, SEIBC,zSEO是側面與底面所成二面角的大小，. OE=1.癡疑0=簿呵，趾0=；,.,側面與底面所成二面角的大小為【解析】【分析】本題考查了三角形的邊角關系，余弦定理，以及余弦函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握余弦 定理是解本題的關鍵，是簡單題.由a與b的值，利用三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊得出c的取值范圍，然后再由三角形 ABC為鈍角三角形，得到cosC小于0,利用余弦定理表示出 cosC, 把a與b的值代入，根據cosC小于0列出關于c的不等式，求出不等式的解集，取 c 范圍的公共部分，即可得到最大邊c的取值范圍.【解答】解：.a=1, b=3,.3-1 vcv 3+1

17、 ,即 2vcv4,又 9BC為鈍角三角形，. cosC 0,根據余弦定理得cosC=Tv 0,即 a2+b2-c2 10,解得：c.To, .10 cv 4,則最大邊c的取值范圍是（ 回,4）.故答案為：（、而，4）.15 .【答案】 解：（I ）在 “BC中，由正弦定理 肅7 = 焉，及A=60 , 2a=3b,可得slnB =可.(n )由 b=2 及 2a=3b,可得 a=3, 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, 即 c2-2c-5=0,可得匚=1 +第9頁，共i0頁【解析】(I )在AABC中，由正弦定理即可解得 sinB的值.(n)由已知利用余弦定理可得：c2-2c-5

18、=0 ,即可解得c的值.本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化 思想，屬于基礎題.16 .【答案】(I )證明：因為PD#面ABCD, 所以PDAB.又因為 AD 1CD, AB CD , 所以ADAB.又 ADAPD=D, AD, PD?平面 PAD.可得 AB面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PAB1平面PAD.(n )解：當點M是PC的中點時，BM忤面PAD.證明如下：設 PD的中點為N,連接MN, AN,易得MN是4PCD的中位線,所以 MN /CD, MM ; CD 由題設可得 AB心D, CD=2AB,所以 MN /AB, MN=AB.所以

19、四邊形 ABMN為平行四邊形，所以 BM /AN.又BM?平面PAD, AN?平面PAD,所以BM /平面PAD.【解析】(I)證明AB一面PAD即可得出結論；(II)當M為PC的中點時，可證 BM /平面PAD .本題考查了線面垂直，線面平行的判定，屬于中檔題.17 .【答案】解：(I )由題意知 1-sin2A=1-sin2B+sin2C-sinAsinC, 即 sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,由正弦定理工=工二三51 nA ftnB 甄司C得 a2+c2-b2=ac,由余弦定理cosB = 得 coaB =!,又因為0vBv陽所以H(n )因為b = 2書,B由面積公式得5 =2口 ,即ac=8.由得 a2+c2=b2+ac=20, 故（a+c） 2=36,即 a+c=6.【解析】(I)