人教B版必修51.2應(yīng)用舉例1學(xué)案含答案

1、人教B版高中數(shù)學(xué)必修5同步學(xué)案M.2應(yīng)用舉例（一）自主學(xué)習(xí)o知識(shí)梳理1.實(shí)際問題中的常用角（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線 的角叫仰角，在水平線 的角叫俯角（如圖）.（2）方位角指從正北方向 轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為 如圖）.坡度坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).2.基線的定義：在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線.一般來說， 基線,測(cè)量的精確度越高.二自主探究為了測(cè)量?jī)缮巾?M、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在 A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A、B、M、 N在同一鉛垂平面內(nèi).飛機(jī)已經(jīng)測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角“1、0；B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角 g、份；A

2、、B的距離d（如圖所示）.甲乙兩位同學(xué)各自給出了計(jì)算 MN的兩種方案，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.甲方案：第一步：計(jì)算 AM.由正弦定理 AM =;第二步：計(jì)算 AN.由正弦定理 AN =;第三步：計(jì)算MN.由余弦定理MN =.乙方案：第一步：計(jì)算 BM.由正弦定理BM=;第二步：計(jì)算 BN.由正弦定理 BN =;第三步：計(jì)算MN.由余弦定理MN =.對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一測(cè)量距離問題例1要測(cè)量對(duì)岸兩點(diǎn) A、B之間的距離，選取相距V3 km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得/ ACB = 75°, Z BCD =45°, Z ADC =30°, /ADB = 45°,求 A、B 之間的距

3、離.總結(jié) 測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題.首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)A, B之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問題，然后在相關(guān)三角形中計(jì)算AC和BC.變式訓(xùn)練1如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在 A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為離為（）A. 502 mC. 25由 m50 m, /ACB = 45°, /CAB=105°后，就可以計(jì)算B. 50V3 m25 2Dk知識(shí)點(diǎn)二測(cè)量高度問題A、B兩點(diǎn)的距【例2】如圖所示，在山頂鐵塔上 B處測(cè)得地面上一點(diǎn) A的俯角為&在塔底C處測(cè)得 A處的俯角為3.已知鐵塔BC部分的高為h,求出山高CD

4、.總結(jié) 在運(yùn)用正弦定理、 余弦定理解決實(shí)際問題時(shí)， 通常都根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽 象出一個(gè)或幾個(gè)三角形， 然后通過解這些三角形， 得出實(shí)際問題的解.和高度有關(guān)的問題往 往涉及直角三角形的求解.變式訓(xùn)練2江岸邊有一炮臺(tái)高 30 m,江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和30。，而且兩條船與炮臺(tái)底部連成30。，求兩條船之間的距離.知識(shí)點(diǎn)三測(cè)量角度問題【例3】在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°的方向，距離 A （、/31） n mile的B處有一艘走私 船，在A處北偏西75°的方向，距離A 2 n mile的C處的緝私船奉命以10/3 n mile/h的速 度追截走私船.此時(shí)，

5、走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？總結(jié)本例考查正弦、余弦定理的建模應(yīng)用.注意到最快追上走私船時(shí)兩船所用時(shí)間相等，若在D處相遇，則可先在 4ABC中求出BC,再在4BCD中求/BCD.變式訓(xùn)練3甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東 60°方向的B處，兩船相距a n mile, 乙船向正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的J3倍，問甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能盡快追上乙船？相遇時(shí)乙船行駛多少n mile?課堂小結(jié)1 .距離問題測(cè)量平面距離時(shí)，往往把要測(cè)量的距離化為某一個(gè)三角形的一條邊，再運(yùn)用正弦定理或余弦定理加以求

6、解.2 .高度問題測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題.由于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算出建筑物頂部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之 間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.3 .角度問題測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1 .已知兩燈塔 A和B與海洋觀測(cè)站 C的距離都等于a km ,燈塔A在觀測(cè)站C的北偏 東20。，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40。，則燈塔A與燈塔B的距離為（）B. . 3a kmD. 2a km2 .如圖所示，D、C、B三點(diǎn)在地面同一直線上, 角分別是&

7、 a（僑”），則A點(diǎn)離地面的高AB等于（DC = a,從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰）A.B.C.asin osin 3 sin"- 3) asin osin 3 cos"- 3) asin ocos 6 sin"- 3)acos acos ED.COS（ a 3）3 .臺(tái)風(fēng)中心從 地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市A. 0.5小時(shí)4.A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為（）B. 1小時(shí) C, 1.5小時(shí)D. 2小時(shí)甲船在島B的正南 乙船自B出發(fā)以每小時(shí)它們所航行的時(shí)間是150 八“A. 7分鐘C. 21

8、.5分鐘二、填空題A處，AB=10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí),6千米的速度向北偏東 60。的方向駛?cè)?當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，）15B.175小時(shí)D. 2.15分鐘5.如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底 B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得/ BCD= % / BDC= & CD = s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為9,則塔高 AB 為.6.如圖，一貨輪航行到 M處，測(cè)得燈塔 S在貨輪的北偏東15。，與燈塔S相距20海里, 隨后貨輪按北偏西 30。的方向航行30分鐘后，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為海里/小時(shí).7.太湖中有一小島，沿太湖有一

9、條正南方向的公路，一輛汽車測(cè)得小島在公路的南偏西15°的方向上，汽車行駛 1 km后，又測(cè)得小島在南偏西 75°的方向上，則小島離開公路的距離是km.、解答題8.如圖所示，甲船以每小時(shí) 30/2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線 航行.當(dāng)甲船位于 Ai處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105。方向的Bi處，此時(shí)兩船相距 20海里.當(dāng)甲船航行 20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120。方向的B2處，此時(shí)兩船相距10V2海里.問乙船每小時(shí)航行多少海里？§1.2應(yīng)用舉例（一）知識(shí)梳理1 . （1）上方（2）下方 （3）順時(shí)針2 .越長(zhǎng)自主探究dsin &

10、#169; dsin 也sin（如+ 金）sin（白3i ）、AM2 + AN22AMX ANcos（a1 ）dsin b dsin Esin（ od+ 也）sin（3一0 ）、BM2 + BN2+2BMX BNcos（日+ 2 j對(duì)點(diǎn)講練例1解A B如圖所示，在 4ACD 中，/ACD = 120°, / CAD= / ADC= 30°,AC=CD = >/3 km.在ABCD 中，/BCD = 45°,/ BDC =75°,/ CBD=60°.,. BC =,3sin 75sin 60° .6+ 2=2 ABC中，由余弦定理

11、，得ab2=（V3）2+空/2#x 亨2S 75= 3+2+7373=5, ，AB= km.A、B之間的距離為 乖km.變式訓(xùn)練1 A 由題意知/ ABC =30°,由正弦定理ACAB:-=:sin/ABC sin/ACB2ACsin/ACB 50X 2 廣AB=. /A” =；=50蛆(m).sin/ABC 1" ' '【例 2】 解 在 ABC 中，ZBCA=90°+ 3, / ABC =90 - a,/ BAC = a根據(jù)正弦定理得:/ CAD= 3.ACBCsinZ ABC sin/BACBC,s BCcOS a hcos a AC.s s

12、in a 3) sin a 3)即“sin(90 a)sin (a 3). AB=30,BC=30, BD = -0=303.tan 30”BCD 中，CD2= BC2+ BD2-2BC BD cos 30 =900,.CD = 30,即兩船相距 30 m.【例3】解D如圖所示，設(shè)緝私船用 t h在D處追上走私船, 則有 CD = 10/3t, BD= 10t,在ABC中，,. AB=q31, AC=2,/ BAC = 120°,由余弦定理，得BC2= AB2+ AC2- 2AB AC cos/ BAC= (V3- 1)2 + 22-2X(73- 1)X2X cos 120 = 6,

13、 .BC=m，且 sin/ABC=ACsin/BAC = *x 號(hào)/.，/ABC=45°, BC與正北方向垂直.CBD=90° + 30° = 120°,在 BCD 中，由正弦定理得sin/ BCD =BD sin/CBD 10tsin 120CD10 . 3t/ BCD = 30°.即緝私船沿北偏東 60。方向能最快追上走私船.變式訓(xùn)練3解如圖所示，設(shè)兩船在為x n mile,則AC = J3x,由正弦定理得BC sin 120 ° 1sin 0= AC =2，而 0<60°,0= 30°,即 Z ACB

14、= 30°,AB sin 0從而 BC = -= a (n mile).sin/ACBC處相遇，并設(shè) /CAB=仇乙船行駛距離 BCAB=BC=a,答甲船應(yīng)沿北偏東30。方向前進(jìn)才能盡快追上乙船，兩船相遇時(shí)乙船行駛了a n mile.課時(shí)作業(yè)1. B ,. /ACB=120°, AC=BC=a, .AB=J3a.2. A 設(shè) AB=h,則 AD =. / CAD= a- 3：CDhsin，ADsin(民一 hsin(L 3) sin °sin 3,3 sin 6, asin a sin B h=.sin (a 3)3. B 設(shè)t小時(shí)后，B市恰好處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)，即 B

15、市離臺(tái)風(fēng)中心恰好為 30千米處，則 由余弦定理得：（20t）2+4022X 20tX 40cos 45 =302.化簡(jiǎn)彳導(dǎo):4t2-8V2t+7 = 0, ."1+12 = 272, tt2 = 7.從而1.4. A 設(shè)行駛x h后甲到點(diǎn)C,乙到點(diǎn)D, 兩船相距 y km,貝U/DBC= 180° 60°= 120°. .y2=(10-4x)2+ (6x)2-2(10-4x) 6xcos 120= 28x2-20x+ 100= 28 !x-»00150分鐘，y2有最小值.y最小.,5.一當(dāng)*=77小時(shí)= 14s tan Osin 35.-sin

16、(a+ 3)解析在 BCD中，/ CBD =兀一e由正弦定理，得BCCDsin/BDC sin/CBD'.D_CDsinZ BDC s sin 3. BCsin/CBD$訪0+ 3),_/ _ s tan Osin B在 RtAABC 中，AB= BCtanZ ACB =sin( a+ 3)6. 20( .6- 2)解析 由題意，ZSMN = 45°, ZSNM= 105°, /NSM=30°.由正弦定理得MNMSsin 30 sin 105 .2MS 1.MN=snr 2= w4則v貨=20(乖小)海里/小時(shí).7 /7 6解析如圖，/CAB=15°, Z CBA= 180 -75 = 105°, Z ACB= 180° - 105° - 15° = 60°,AB= 1 km.BCABT=' TTsin/CAB sin/ACB? BC =sn6sin 15 = "27T (km)-設(shè)C到直線AB的距離為d,貝U d = BC sin 75 =.6 ,2 6+ 23(km).8.解如圖所示，連結(jié)AiB2, 由已知A2B2= 10 2,20AiA2=30/X 60=10/2,AlA