動點(diǎn)問題練習(xí)(含答案)

1、動點(diǎn)問題所謂 動點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點(diǎn)，它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題關(guān)鍵動中求靜數(shù)學(xué)思想：分類思想數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想1、如圖 1 ,梯形 ABCD 中，AD / BC,/B=90 °,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 點(diǎn) P從 A開始沿AD邊以1cm/秒的速度移動，點(diǎn)Q從C開始沿CB向點(diǎn)B以2 cm/秒的速度移動，如果P, Q分別從A, C同時出發(fā)，設(shè)移動時間為t秒。當(dāng)t=時，四邊形是平行四邊形；6.8,N為對角線AC上任2、如圖2,正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M意一點(diǎn)，

2、貝U DN+MN 的最小值為 53、如圖，在 Rt ABC 中，ACB =9°°,在邊DC上，且DM=1-B = 60° , BC = 2 .點(diǎn) O 是 AC 的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線I從與AC重合的位置開始,繞點(diǎn)O作逆時針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點(diǎn)D .過點(diǎn)C作BCE / AB交直線當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：厶ADC CEB;DE=AD + BE;于點(diǎn)E ,設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為.(1) 當(dāng)二度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為當(dāng)二度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為(2) 當(dāng)=90°時，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由解

3、：(1) 30, 1 : 60, 1.5;(2) 當(dāng)/a90°時，四邊形EDBC是菱形.(備用圖)/ = ZACB=90°, ABC/ED. CE/AB,二四邊形 EDBC是平行四邊形在 Rt ABC 中，/ACB=90 °,/B=60°,BC=2,/.zA=30 01 ACAB=4,AC=2.A0= 1 當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE ；當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量 關(guān)系，并加以證明.解：(1) zACD= / ACB=90ZCAD+ ZACD=9 0°

4、;ZBCE+ / ACD=90zCAD= /BCE AC=BCADC CEB ADCCEB.-CE=AD , CD=BE /-DE=CE+CD=AD+BE= -(2) zADC= /CEB= / ACB=90 ° /-zACD= ZCBE 又AC=BCACD CBE .-CE=AD , CD=BE/-DE=CE-CD=AD-BE .在 Rt AOD 中，/A=30° ,.AD=2.BD=2.BD=BC.又四邊形EDBC是平行四邊形四邊形EDBC是菱形且AD丄MN于D , BE丄MN于E.4、B(3) 當(dāng) MN 旋轉(zhuǎn)至U圖 3 的位置時,DE=BE-AD(或 AD=BE-DE

5、 , BE=AD+DE 等)VzADC= /CEB= / ACB=90 ° /./ACD= JCBE, 又AC=BC ,ACDCBE,.-AD=CE , CD=BE ,DE=CD-CE=BE-AD.5、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1 ,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中 點(diǎn).AEF =90；，且EF交正方形外角.DCG的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn) M ,連接ME,貝U AM = EC,易證 AME ECF ,所以 AE 二 EF .在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：(1) 小穎提出：如圖2,如果把點(diǎn)E是邊BC的

6、中點(diǎn)”改為點(diǎn)E是邊BC上(除B, C外)的任意一 點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論 AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎 ？如果正確，寫出證明過 程；如果不正確，請說明理由；(2) 小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論AE= EF仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由解：(1)正確.證明：在AB上取一點(diǎn)M，使AM =EC ,連接ME 二 BM=BE.二N BME=45。，二 N AME =135。：CF 是外角平分線，二N DCF =45。，二N ECF =135圖1TAEB+NBAE =90。，厶AEB+

7、NCEF =90。，BAE"CEF A AMEBCF (ASA)AE 二 EF.圖2(2)正確證明：在BA的延長線上取一點(diǎn) N 使AN二CE ,連接NE BN 二 BE . N =. PCE =45v四邊形ABCD是正方形，.AD II BE .DAEBEA.NAE CEF.C E GBC E G圖3. ANE ECF （ASA）.AE 二 EF .6、如圖，射線MB上,MB=9,A是射線MB外一點(diǎn),AB=5且A到射線MB的距離為3,動點(diǎn)P從M沿射線 MB方向以1個單位/秒的速度移動，設(shè)P的運(yùn)動時間為t.求（1）A PAB為等腰三角形的t值；（2）A PAB為直角三角形的t值；（3）

8、若AB=5且 4BM=45 。，其他條件不變，直接寫出 PAB為直角三角形的t值7、如圖1 ,在等腰梯形ABCD中，AD / BC , E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF II BC交CD于點(diǎn)F . AB =4, BC =6 , / B =60 .求：（1）求點(diǎn) E 到 BC 的距離；（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個動點(diǎn)，過P作PM _ EF交BC于點(diǎn)M ,過M作MN / AB交折線 ADC于點(diǎn)N ,連結(jié)PN，設(shè)EP =x. 當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時（如圖2）, PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出 PMN的周長； 若改變，請說明理由； 當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時（如圖3）,是否存在點(diǎn)P,使厶PMN為等腰三角形

9、？若存在，請求出所 有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由AmMM 圖3圖1圖2CBEAB = 2.2C解（1）如圖1,過點(diǎn)E作EG _ BC于點(diǎn)G.-/E為AB的中點(diǎn)，在 RtAEBG 中，/ B=60: :厶 BEG =30°；.B2 B1, EG_"2 一1 一 即點(diǎn)E到BC的距離為、3.(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上運(yùn)動時， PMN的形狀不發(fā)生改變./PM - EF, EG - EF,/-PM / EG.EF / BC, /.EPGM , PM=EG= .3.同理 MN = AB =4.如圖2,過點(diǎn)P作PH _ MN于H，: MN / AB,/ NMC 二/ B =60

10、 ,/ PMH =30 .=1 PM2 MH 二 PM_cos30、3 .則 NH 二 MN -MH =4一3 =5.2 2在 RtAPNH 中，PN = . NH2 PH2CPMN 的周長=PM PN MN = 3.7 4.當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上運(yùn)動時， PMN的形狀發(fā)生改變，但厶MNC恒為等邊三角形.當(dāng)PM =PN時，如圖3,作PR_MN于R,則MR二NR.3類似，MR . MN=2MR=3./ MNC 是等邊三角形， MC 二MN=3.2此時，x =EP =GM =BC-BG-MC =6-1-3=2.圖3GM圖4MG圖5此時，x = EP =GM =6-1一 .3 =5- 込.當(dāng) MP =

11、MN 時，如圖 4,這時 MC =MN 二 MP =、3.當(dāng) NP =NM 時，如圖 5, / NPM 二/ PMN =30 . 則/ PMN =120，又/ MNC = 60 ,/ PNM 'Z MNC =180 . 因此點(diǎn)P與F重合， PMC為直角三角形.MC 二 PMjan30 =1. 此時，x = EP =GM =6-1-1 =4.綜上所述,當(dāng)X =2或4或5 - '、3時， PMN為等腰三角形.8、如圖，已知 ABC中，AB=AC=10厘米，BC =8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).(1) 如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向

12、A點(diǎn)運(yùn)動 若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后， BPD與° CQP是否全等，請說明理由； 若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn) P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使BPD與 CQP全等？(2)若點(diǎn)Q以中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時出發(fā)，都逆時針沿 ABC三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在 ABC的哪條邊上相遇？解：（1） t 胡秒，.BP 二CQ=3 1=3厘米，.AB =10厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，/.BD =5厘米.又PC = BC -BP，BC =8厘米，.PC=83=5厘米，.PC = BD又.AB=AC，B=NC， . BPD

13、CQP .Vp =VqBP = CQ BPD CQPB=/CBP =PC =4, CQ =BD =5點(diǎn)p，點(diǎn)Q運(yùn)動的時間BP33秒CQ515Vq -A=t443厘米/秒。(2)設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，由題意，15x = 3x 2 10 得4，解得80x 二3秒.點(diǎn)P共運(yùn)動了80 3 =80厘米.80 =2 28 24,點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AB邊上相遇，80經(jīng)過3秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇.9、如圖所示,在菱形ABCD中，AB=4 ,/BAD=120 °,ZAEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC. CD上滑動，且E、F不與B. C. D重合.(1)證明不論E、F在BC.

14、CD上如何滑動，總有BE=CF;(2) 當(dāng)點(diǎn)E、F在BC. CD上滑動時，分別探討四邊形 AECF和厶CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化,求出最大(或最小)值.答案】解：(1)證明：如圖，連接AC四邊形ABCD為菱形，/BAD=120 °ZBAE+ ZEAC=60 ° , EAO ZEAC=60zBAE= ZFACo zBAD=120 °,.ABF=60 °。ABC和 ACD為等邊三角形。ECF=60 °,AC=ABo.EABE= ZAFC。在 ABE 和厶 ACF 中，：ZBAE= /FAC, AB=AC,EABE=

15、ZAFC, ABEgACF (ASA)o.BE=CFo(2)四邊形AECF的面積不變， CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得 ABE= ACF,則 Ssbe= acf。'S 四邊形 aecf= Saaec+ Saacf= Saaec+ Saabe= Saabc, 是定值。作AH丄BC于H點(diǎn)，貝U BH=2 ,S四邊形AECF =S ABCJ BC AH J BC AB2 -BH2 =4 3 2 2由 垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形 AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短.故厶AEF的面積會隨著 AE的變化而變化,且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又SACEF=S四邊形AE

16、CF" SA AEF,則此時 CEF的面積就會最大/-SaceF= S 四邊形 aecf Saaef=4 3 CEF的面積的最大值是3?？键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)。分析】(1)先求證 AB=AC,進(jìn)而求證 ABC、A ACD為等邊三角形，得ZACF =60 °,AC=AB,從而 求證 ABEAACF,即可求得 BE=CFo(2 ) 由 ABEA ACF 可得 Sa abe= Sa acf , 故根據(jù) S 四邊形 AECF= Saaec+ Saacf= Saaec+ SaabE=Saabc即可得四邊形 AECF的

17、面積是定值。當(dāng)正三角形AEF的邊AE與 BC垂直時，邊AE最短. AEF的面積會隨著 AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面 積會最小，根據(jù)Sacef=S四邊形AECF- Saaef,則 CEF的面積就會最大。10、如圖，在A AOB中，/ AOB=90 ° QA=0B=6 , C為OB上一點(diǎn)，射線CD丄OB交AB于點(diǎn)D, 0C=2 .點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒 匚個單位長度的速度沿 AB方向運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個單 位長度的速度沿 CD方向運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)到點(diǎn)B時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也隨之停止.過點(diǎn)P作PELOA于點(diǎn)E, PF丄OB于點(diǎn)F,得到矩形PE

18、OF.以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三 角形QMN，斜邊MIN/ OB 且MN=QC .設(shè)運(yùn)動時間為t (單位：秒).(1) 求t=1時FC的長度.(2) 求MN=PF時t的值.(3) 當(dāng)厶QMN和矩形PEOF有重疊部分時，求重疊(陰影)部分圖形面積 S與t的函數(shù)關(guān)系式.(4) 直接寫出 QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點(diǎn)時 t的值.0 F CB考點(diǎn)：相似形綜合題.分析：(1 )根據(jù)等腰直角三角形，可得人二7, OF=EP=t ,再將t=1代入求出FC的長度；(2) 根據(jù)MN=PF ,可得關(guān)于t的方程6-t=2t ,解方程即可求解;(3) 分三種情況：求出當(dāng)1 < t w時；當(dāng)2 v t弓時；當(dāng)待v t w時；求出重疊(陰影)部分圖形 面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；(4) 分M在OE 上; N在PF上兩種情況討論求得 QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點(diǎn) 時t的值.解答：解：(1)根據(jù)題意， AOB