現(xiàn)代控制理論知識點復(fù)習(xí)

1、第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1 .狀態(tài)空間表達(dá)式x Ax Bun 階u:r 1 y:m 1 A:n n B:n r C:m n D:m ry Cx DuA稱為系統(tǒng)矩陣，描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的聯(lián)系；B為輸入（或控制）矩陣，表示輸入對每個狀態(tài)變量的作用情況；C 輸出矩陣，表示輸出與每個狀態(tài)變量間的組成關(guān)系，D 直接傳遞矩陣，表示輸入對輸出的直接傳遞關(guān)系。2 . 狀態(tài)空間描述的特點考慮了 “輸入狀態(tài)輸出”這一過程，它揭示了問題的本質(zhì)，即輸入引起了狀態(tài)的變化，而狀態(tài)決定了輸出。狀態(tài)方程和輸出方程都是運動方程。狀態(tài)變量個數(shù)等于系統(tǒng)包含的獨立貯能元件的個數(shù)， n 階系統(tǒng)有 n 個狀態(tài)變量可以選擇。狀態(tài)

2、變量的選擇不唯一。從便于控制系統(tǒng)的構(gòu)成來說，把狀態(tài)變量選為可測量或可觀察的量更為合適。建立狀態(tài)空間描述的步驟：a 選擇狀態(tài)變量；b 列寫微分方程并化為狀態(tài)變量的一階微分方程組；c 將一階微分方程組化為向量矩陣形式，即為狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間分析法是時域內(nèi)的一種矩陣運算方法，特別適合于用計算機計算。3 . 模擬結(jié)構(gòu)圖（積分器 加法器 比例器）已知狀態(tài)空間描述，繪制模擬結(jié)構(gòu)圖的步驟：積分器的數(shù)目應(yīng)等于狀態(tài)變量數(shù)，將他們畫在適當(dāng)?shù)奈恢茫?每個積分器的輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量， 然后根據(jù)狀態(tài)空間表達(dá)式畫出相應(yīng)的加法器和比例器，最后用箭頭將這些元件連接起來。4 .狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 由系統(tǒng)框圖建立狀

3、態(tài)空間表達(dá)式：a 將各個環(huán)節(jié)（放大、積分、慣性等）變成相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖； b 每個積分器的輸出選作xi ，輸入則為 xi ； c 由模擬圖寫出狀態(tài)方程和輸出方程。 由系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式：如電路系統(tǒng)。通常選電容上的電壓和電感上的電流作為狀態(tài)變量。利用KVL和KCL列微分方程，整理。由描述系統(tǒng)的輸入輸出動態(tài)方程式（微分方程）或傳遞函數(shù)，建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，即實現(xiàn)問題。實現(xiàn)是非唯一的。方法：微分方程 系統(tǒng)函數(shù)模擬結(jié)構(gòu)圖 狀態(tài)空間表達(dá)式。注意： a 如果系統(tǒng)函數(shù)分子冪次等于分母冪次，首先化成真分式形式，然后再繼續(xù)其他工作。b 模擬結(jié)構(gòu)圖的等效。如前饋點等效移到綜合反饋點之前。c 對

4、多輸入多輸出微分方程的實現(xiàn)，也可以先畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。5 狀態(tài)矢量的線性變換 。也說明了狀態(tài)空間表達(dá)的非唯一性。不改變系統(tǒng)的特征值。特征多項式的系數(shù)也是系統(tǒng)的不變量。特征矢量 pi 的求解：也就是求（ i I A）x 0 的非零解。狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型（A為任意矩陣）：主要是要先求出變換矩陣。a互異根時，各特征矢量按列排。b有重根時，設(shè)3階系統(tǒng)，1= 2,3為單根，對特征矢量Pi, P3求法與前面相同，P2稱作1的廣義特征矢量，應(yīng)滿足(iI A)P2Pi。系統(tǒng)的并聯(lián)實現(xiàn)：特征根互異；有重根。方法：系統(tǒng)函數(shù) 態(tài)空間表達(dá)式。6.由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣 W(s)W(s) C(sI A)

5、 1 B D m r的矩陣函數(shù)Wj Wj表示第j個輸入對第i個輸出的傳遞關(guān)系狀態(tài)空間表達(dá)式不唯一，但系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 W(s)是不變的。部分分式展開模擬結(jié)構(gòu)圖 狀子系統(tǒng)的并聯(lián)、串聯(lián)、反饋連接時，對應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)及傳遞函數(shù)陣W(s)。方法：畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，理清關(guān)系，用分塊矩陣表示第二章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解一.線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程(x Ax)的解：x(t) eAtXo二.矩陣指數(shù)函數(shù)一一狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1. (t) eAt表示x(0)到x(t)的轉(zhuǎn)移。5個基本性質(zhì)。2. eAt的計算:a定義；b變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型(或J) T 1AT , eAt Te tT 1 或TeJtT 1c用拉氏反變

6、換eAt L1(sI A)1記憶常用的拉氏變換對111;1(t)-;t ;essnnats a' sn 1 '(s a)2，2 ；cos t sd應(yīng)用凱萊-哈密頓定理三.線性定常系統(tǒng)非齊次方程(tx Ax Bu)的解：x(t) (t)x(0)0 (t)Bu( )d 0 可由拉氏變換法證明(當(dāng)然給出拉氏變換法的求解思路)求解步驟：先求(t) eAt ,然后將B和u(t)代入公式即可。特殊激勵下的解。第三章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性一.能控性及能觀性定義(線性連續(xù)定常)二.線性定常系統(tǒng)的能控性判別(具有一般系統(tǒng)矩陣的多輸入系統(tǒng))判別方法(一)：通過線性變換 x Ax Bu z

7、T 1ATz T 1Bu1 .若A的特征值互異，線性變換(x Tz)為對角線標(biāo)準(zhǔn)型，T 1AT ,能控性充要條件：T1B沒有全為0的行。 變換矩陣T的求法。2 .若A的特征值有相同的，線性變換(x Tz)為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，J T 1AT ,能控性充要條件: 對應(yīng)于相同特征值的部分，每個約當(dāng)塊對應(yīng)的 T 1B中最后一行元素沒有全為0的。 T 1B中對應(yīng)于互異特征根部分，各行元素沒有全為 0的。變換矩陣T的求法這種方法能確定具體哪個狀態(tài)不能控。但線性變換比較復(fù)雜，關(guān)鍵是求T、T 1、T 1B判別方法（二）：直接從A, B判別rank (MM T)x Ax Bu 能控的充要條件是 能控性判別矩陣M （B

8、, AB, A2B, An1B）的秩為n 在單輸入系統(tǒng)中，M是一個n n的方陣；而多輸入系統(tǒng)，M是一個n nr的矩陣，可通過rankM三.線性定常系統(tǒng)的能觀性判別判別方法（一）：通過線性變換x Axy Cx1z T 1ATzy TCzT 1AT ,能觀性充要條件：TCJ T 1AT ,能控性充要條件:1 .若A的特征值互異，線性變換（x Tz）為對角線標(biāo)準(zhǔn)型,中沒有全為0的列。 變換矩陣T的求法 2 .若A的特征值有相同的，線性變換（x Tz）為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,對應(yīng)于相同特征值的部分，每個約當(dāng)塊對應(yīng)的 TC中第一列元素沒有全為0的。對應(yīng)于互異特征根部分，對應(yīng)的TC中各列元素沒有全為0的。變換矩陣

9、T的求法。這種方法能確定具體哪個狀態(tài)不能觀。但線性變換比較復(fù)雜，關(guān)鍵是求T、T 1、TC判別方法（二）：直接從A, C判別C CA能觀性的充要條件是能觀性判別矩陣N的秩為n0CAn 1在單輸入系統(tǒng)中，N是一個n n的方陣；而多輸入系統(tǒng)，N是一個nm n的矩陣，可通過rankM rank （MM T） 六.能控性與能觀性的對偶原理1 .若A2A1T,B2C；, C2B1T,則1（A1,B1,C1）與 2 （A2 ,B2,C2）對偶。對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣是互為轉(zhuǎn)置的。且他們的特征方程式是相同的。2.1與2對偶，則1能控性等價于2能觀性，1能觀性等價于2能控性。七.能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型對于狀態(tài)反饋

10、，化為能控標(biāo)準(zhǔn)型比較方便；對于觀測器的設(shè)計及系統(tǒng)辨識，能觀標(biāo)準(zhǔn)型比較方便。1 .能控標(biāo)準(zhǔn)I型（如果已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式）判別系統(tǒng)的能控性。計算特征多項式| I A| n a。1n1 a1a。，即可寫出A。求變P10換矩陣11p1A,p10,0,1b, Ab, An 1B 1。求 Tc11 ,計算 bT11b0 , ccT01,P1An11也可以驗證是否有A Tc1 1ATc1判別系統(tǒng)的能觀性。計算特征多項式|I A|ao ,即可寫出A。求變換矩陣 To2 T1，AT1， ,An1T1ccA求T02計算 bT02 1b ,cAn 1ccT020 01 ,也可以驗證是否有AT021AT02。3

11、 .如果已知傳遞函數(shù)陣，可直接寫出能控標(biāo)準(zhǔn)I型和能觀標(biāo)準(zhǔn)II型的狀態(tài)空間表達(dá)。00能控標(biāo)準(zhǔn)I型：A0a。aia2an 101能觀標(biāo)準(zhǔn)II型：A 0aO a1 a2c 0 010八.線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解an 11.按能控性分解（狀態(tài)不完全能控，即rankMn1 n）,通過非奇異變換x R*完成。Rc R1 R2Rn1Rn ,前n1個列矢量是M中n1個線性無關(guān)的列，其他列矢量保證 R。非奇異的條件下是任意的。2 .按能觀性分解（狀態(tài)不完全能觀，即rankN n n）,通過非奇異變換x R0»完成。RR2Ro 1，前5個行矢量是N中個線性無關(guān)的行，其他行矢量保證 R。1非奇異的條件下是任Rn

12、1Rn意的。3 .按能控性和能觀性分解（系統(tǒng)是不完全能控和不完全能觀的），采用逐步分解法，雖然煩瑣，但 直觀。步驟：首先按能控性分解（Xc能控狀態(tài)，xc不能控狀態(tài)）。對不能控子系統(tǒng)按能觀性分解 （xo不能控能觀狀態(tài)，xco不能控不能觀狀態(tài)）。將能控子系統(tǒng)按能觀性分解（xco能控能觀狀態(tài)，xco 能控不能觀狀態(tài))。綜合各步變換結(jié)果，寫出最后的表達(dá)式。另一種方法：化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，判斷各狀態(tài)的能控性能觀測性，最后按4 種類型分類排列。九傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)問題1 實現(xiàn)的定義： 由 W(s) 寫出狀態(tài)空間表達(dá)式， 甚至畫出模擬結(jié)構(gòu)圖， 稱為傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)問題。條件：傳遞函數(shù)陣中每個元的分子分母多項式都是

13、實常數(shù)；元是s的真有理分式。注意：如果不是有理分式，首先求出直接傳遞矩陣 D lim W (s) 。s2能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)單入單出系統(tǒng)，W(s)是有理分式，可直接根據(jù)分子分母多項式系數(shù)寫出能控標(biāo)準(zhǔn)1型和能觀標(biāo)準(zhǔn) 2 型實現(xiàn)。3最小實現(xiàn)(維數(shù)最小的實現(xiàn))x Ax Bu為W(s)最小實現(xiàn)的充要條件是(A, B, C)是完全能控能觀的。y Cx步驟：對給定的W(s) ，初選一種實現(xiàn)(能控標(biāo)準(zhǔn)型或能觀標(biāo)準(zhǔn)型)，假設(shè)選能控標(biāo)準(zhǔn)型，判斷是否完全能觀測，若完全能觀測則就是最小實現(xiàn)；否則進行能觀性分解，進一步找出能控能觀部分， 即 為最小實現(xiàn)。注意：傳遞函數(shù)陣W(s) 的實現(xiàn)不是唯一的，最小實現(xiàn)也不是

14、唯一的。十傳遞函數(shù)W(s) 中零極點對消與能控性和能觀性之間的關(guān)系對單輸入系統(tǒng)、 單輸出系統(tǒng)或者單輸入單輸出系統(tǒng)， 系統(tǒng)能控能觀的充要條件是傳遞函數(shù)沒有零極點對消。而對多輸入多輸出系統(tǒng)，傳遞函數(shù)陣沒有零極點對消只是最小實現(xiàn)的充分條件， 也就是說，即使存在零極點對消，系統(tǒng)仍有可能是能控能觀的( p147 例 3-19 ) 。對單輸入單輸出系統(tǒng)，若傳遞函數(shù)出現(xiàn)了零極點對消，還不能判斷到底是不能控還是不能觀，還是既不能控又不能觀。第四章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法1 穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫給出了對任何系統(tǒng)都普遍適用的穩(wěn)定性定義。1平衡狀態(tài)xf(x,t)為齊次狀態(tài)方程。滿足對所有t,都有f(Xe,t)0成

15、立的狀態(tài)矢量Xe稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。穩(wěn)定性問題都是相對于某個平衡狀態(tài)而言的。通常只討論坐標(biāo)原點處的穩(wěn)定性。2穩(wěn)定性的幾個定義李雅普諾夫意義下穩(wěn)定(相當(dāng)于自控里的臨界穩(wěn)定)；漸近穩(wěn)定(相當(dāng)于自控里的穩(wěn)定)；大 范圍漸近穩(wěn)定，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是整個狀態(tài)空間只有一個平衡狀態(tài)；不穩(wěn)定。2 李雅普諾夫第一法(間接法)1線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)狀態(tài)穩(wěn)定性：平衡狀態(tài)xe0 漸近穩(wěn)定的充要條件是A 的所有特征值具有負(fù)實部。輸出穩(wěn)定性：充要條件是傳遞函數(shù)的極點位于s 的左半平面。2非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性化處理。x A x ; A fx,若A的所有特征值具有負(fù)實部，則原非線性系統(tǒng)在平衡x Xe狀態(tài)Xe漸近穩(wěn)

16、定。若A的所有特征值至少有一個具有正實部，則原非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe不穩(wěn)定。若若A的所有特征值至少有實部為零，則穩(wěn)定性不能有特征值的符號來確定。三.李雅普諾夫第二法(直接法)借助于一個李雅普諾夫函數(shù)來直接對平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出判斷。1 .預(yù)備知識V(x)是由n維矢量x定義的標(biāo)量函數(shù)，且在x 0處，恒有V(x) 0,對任何非零矢量x,如果V(x) 0,則稱之為正定；如果V(x) 0,則稱之為負(fù)定；如果V(x) 0則稱之為半正定或非負(fù)定；如果 V(x) 0則稱之 為半負(fù)定或非正定；如果V(x) 0或V(x) 0,則稱之為不定。V(x) xTPx為二次型標(biāo)量函數(shù)，P為實對稱陣。要判別V(x)的符號

17、只要判別P的符號即可。P的定號判據(jù)(希爾維特斯判據(jù))：首先求出P的各階順序主子式 若所有的i 0,則P(V(x)正定；若i偶數(shù)的i 0,i奇數(shù)的i 0則P (V(x)負(fù)定；2 .李雅普諾夫函數(shù)對于一個給定系統(tǒng)，如果能找到一個正定的標(biāo)量函數(shù)V(x),而V(x)是負(fù)定的，則這個系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，這個標(biāo)量函數(shù)V(x)叫做李雅普諾夫函數(shù)。李雅普諾夫第二法的關(guān)鍵問題就是尋找李雅普諾夫函數(shù)V(x)的問題。3 .穩(wěn)定性判據(jù) 設(shè)x f(x),平衡狀態(tài)為xe 0 ,如果存在標(biāo)量函數(shù)V(x)是正定的，即x 0時，有V(x) 0 , x 0時，有V(x) 0,且滿足V(x) 0,則稱原點平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；如果當(dāng)

18、|X 時，V(x) , 則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。設(shè)x f(x),平衡狀態(tài)為xe 0 ,如果存在標(biāo)量函數(shù)V(x)是正定的，即x 0時，有V(x) 0,x 0時，有V(x) 0,且滿足V(x) 0,但除x 0外，即x 0, V(x)不包等于0,則稱原點平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；如果當(dāng) H 時，V(x) ,則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。設(shè)x f(x),平衡狀態(tài)為xe 0 ,如果存在標(biāo)量函數(shù)V(x)是正定的，即x 0時，有V(x) 0,x 0時，有V(x) 0,且滿足V(x)諾夫意義下穩(wěn)定的。0,但任意的x 0, V(x)包等于0,則稱原點平衡狀態(tài)是李雅普設(shè)x f(x),平衡狀態(tài)為Xe 0 ,如果存在標(biāo)量函

19、數(shù)V(x)是正定的，即x 0時，有V(x) 0,x 0時，有V(x) 0,且滿足V(x) 0,則稱原點平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。需要注意：這些判據(jù)定理知識充分條件，也就是說，沒有找到合適的李雅普諾夫函數(shù)來證明原點的穩(wěn)定性，不能說明原點一定是不穩(wěn)定的。如果 V(x)是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影響結(jié)論。V(x)最簡單的形式是二次型標(biāo)量函數(shù)，但不一定都是簡單的二次型。構(gòu)造V(x)需要較多技巧。四李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用一一線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)定理：x Ax,若A是非奇異的，原點xe 0是唯一的平衡點。原點大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是對任意對稱實正定矩陣Q,李雅普諾夫方程ATP PA

20、 Q,存在唯一的對稱正定解P。該定理等價于A的特征值具有負(fù)實部。但高階系統(tǒng)求解特征值復(fù)雜。步驟：選定正定矩陣Q ,通常為Q I ,代入李雅普諾夫方程，確定出 P ,判斷是否正定，進而做出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的結(jié)論。五.非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析一一雅可比矩陣法步驟：x f(x),寫出f(x),計算雅可比矩陣J(x)上，對給定正定矩陣P (通常P I), xQ(x)J(x)TP PJ(x)為正定的。并且V(x) f T(x)Pf(x)為系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。第五章線性定常系統(tǒng)的綜合一.線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性1 .狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參

21、考輸入相加，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。K稱為狀態(tài)反饋增益陣，r n0設(shè)原受控系統(tǒng) ° (A,B,C),D=0。狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式x (A BK)x Bv簡稱k (A BK,B,C)y Cx與原受控系統(tǒng) 0 (A,B,C)比較，狀態(tài)反饋增益陣K的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可以通過K的選擇改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使獲得所要求的性能。2 .輸出反饋由輸出端y引入輸出反饋增益陣H (r m ),然后反饋到輸入端與參考輸入相加，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。狀態(tài)空間表達(dá)式為x (A BHC)x Bv 簡稱 y Cxh (A BHC,B,C)通過H的選擇也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值， 從

22、而改變性能，但可供選擇的自由度遠(yuǎn)比K小(通 常 m n )。3 .從輸出到狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)x的反饋 從輸出y引入反饋增益陣G (n m )到狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)x,所得狀態(tài)空間表達(dá)式為x (A GC)x Bu簡稱h (A GC,B,C) y Cx通過G的選擇也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變性能。以上三種反饋的共同點是，不增加新的狀態(tài)變量，系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)同維，其次，反饋增益陣都 是常數(shù)矩陣，反饋為線性反饋。4 .閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性a狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)0 (A,B,C)的能控性，但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。b輸出反饋不改變受控系統(tǒng)0 (A,B,C)的能觀性，但不保證系統(tǒng)的能控性不變。二.極點配置

23、問題就是通過選擇反饋增益矩陣，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好配置在根平面所期望的位置，以獲得所希望的動態(tài)性能。只討論單輸入單輸出系統(tǒng)1 .采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)0 (A,b,c)任意配置極點的充要條件是°完全能控。給定° (A,b,c),給定期望的極點，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器的方法：能控規(guī)范型法，適合于n 3。首先判斷是否完全能控，是，則存在狀態(tài)觀測器。通過線性變換x TiX化為能控標(biāo)準(zhǔn)1型，得到一(A,b,C)。加入狀態(tài)反饋增益矩陣K k°,ki, ,kn 1,得到閉環(huán)系統(tǒng)k (A bK,b,C)狀態(tài)空間表達(dá)式，求出對應(yīng)的閉環(huán)特征多項式 _ . 、 一 、 、一、 - -f( )

24、 | I (A bK)|0由給定的期望極點，求出期望的閉環(huán)特征多項式f ( )( i )。將f()與f ()比較，即可得到K k°,ki, ,kn 1。把對應(yīng)與 的K ,通過K KTC1k°,ki, ,kni。進一步畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)階次較低時，n 3,可直接由反映物理系統(tǒng)的A,b矩陣求狀態(tài)反饋增益矩陣K k0,ki, ,kni,不通過非奇異變換，使設(shè)計工作簡單。首先判斷是否完全能控，是，則存在狀態(tài)觀測器。加入狀態(tài)反饋增益矩陣 K k°,ki， ,kni,得到閉環(huán)系統(tǒng) K (A bK,b,c)狀態(tài)空間表達(dá)式，求出對應(yīng)的閉環(huán)特征多項式 f( ) | I (A bK)

25、|0由給定的期望極點，求出期望的閉環(huán)特征多項式f ( )( i )。將f()與f ()比較，即可得到K k°,ki, ,kn 1 o進一步畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。注意，如果給定的是傳遞函數(shù)，則先畫出其要求的模擬結(jié)構(gòu)圖，寫出狀態(tài)空間描述，然后做其他工作。2.米用輸出反饋不能任意極點配置，正是輸出線性反饋的基本弱點。3 .采用從輸出到x的反饋 對系統(tǒng)° (A,b,c)任意配置極點的充要條件是°完全能觀。設(shè)計。從輸出到x的反饋陣G的問題就是其對偶系統(tǒng)。設(shè)計狀態(tài)反饋陣K的問題。方法：(1)能觀標(biāo)準(zhǔn)型法，適合于n 3。首先判斷是否完全能觀，是，則存在輸出反饋G。通過線性變換x T0

26、2X化為能觀標(biāo)準(zhǔn)2型，得到一(A,b,C)。加入輸出反饋增益矩陣G g0,gi, ,gniT,得到閉環(huán)系統(tǒng)一G (A Gc,b,C)狀態(tài)空間表達(dá)式，求出對應(yīng)的閉環(huán)特征多項 - 、，4*式f( ) | I (A Gc)|。由給定的期望極點，求出期望的閉環(huán)特征多項式f ( )( i )。將f ()與f*()比較，即可得到 G g°g, ,gniT。把對應(yīng)與 一的G,通過G To2Gg0,gl, ,gnl。進一步畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)階次較低時，n 3,可直接由反映物理系統(tǒng)的A,c矩陣求狀態(tài)反饋增益矩陣 G go,gi, ,gni,不通過非奇異變換，使設(shè)計工作簡單。首先判斷是否完全能觀，是，則

27、存在輸出反饋G。加入從輸出到x的反饋增益矩陣G go，gi， ,gnJ,得到閉環(huán)系統(tǒng)G (A Gc,b,c)狀態(tài)空間表達(dá)式，求出對應(yīng)的閉環(huán)特征多項式f( ) | I (A Gc)|。由給定的期望極點，求出期望的閉環(huán)特征多項式f ( )( i)。將f()與f ()比較，即可得到G go,gi, ,gn 1。進一步畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。三.系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題所謂系統(tǒng)鎮(zhèn)定，是對受控系統(tǒng)0 (A, B,C)通過反饋使其極點均具有負(fù)實部，保證系統(tǒng)為漸近鎮(zhèn)定問題是極點配置問題的一種特殊情況，它只要求把閉環(huán)極點配置在根平面的左側(cè)，而并不要求將閉環(huán)極點嚴(yán)格地配置在期望極點上。狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近

28、穩(wěn)定。輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是結(jié)構(gòu)分解中能控能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。輸出到x的反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定的充要條件是不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。五.狀態(tài)觀測器作用：閉環(huán)極點的任意配置、系統(tǒng)解藕以及最優(yōu)控制系統(tǒng)都離不開狀態(tài)反饋。但狀態(tài)變量并不 是都能直接檢測，有些根本無法檢測，這就提出狀態(tài)觀測或狀態(tài)重構(gòu)問題。 龍伯格提出的狀態(tài)觀測 器理論，解決的狀態(tài)重構(gòu)問題，使?fàn)顟B(tài)反饋成為一種可實現(xiàn)的控制律。1 .定義：動態(tài)系統(tǒng) ？以°的輸入u和輸出y作為輸入量，產(chǎn)生一組輸出量 ？逼近于x ,即 lim |x ?|0,則稱？為°的一個狀態(tài)觀測器。構(gòu)造原則：。必須是完全能觀或不能

29、觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；？的輸出"應(yīng)以足夠快的速度漸近于x； ?在結(jié)構(gòu)上盡可能簡單(具有盡可能低的維 數(shù))，以便于物理實現(xiàn)。2 .等價性指標(biāo)動態(tài)系統(tǒng)A? Bu c?原系統(tǒng)x Ax Buy cxx 父 A(x 刈得到 x ? eAt (x0 00)只要系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即A的特征值具有負(fù)實部，就可做到"與x是穩(wěn)態(tài)等價的。3 .重構(gòu)狀態(tài)方程原因：系統(tǒng)的狀態(tài)是不能直接量測的，因此很難判斷是否有？逼近于x；不一定能保證A的特征值均具有負(fù)實部。克服這個困難，用對輸出量的差值 y ?的測量代替對狀態(tài)誤差x ?的測量，當(dāng) pm | x ?| 0 ,有 pm | y ?| lim |cx c?|

30、 lim | c(x 如 0。同時，引入反饋陣G,使系統(tǒng)的特征值具有負(fù)實部。狀態(tài)重構(gòu)方框圖為p213 5.16(a) 要求熟練記憶，這種狀態(tài)觀測器稱為漸近觀測器。狀態(tài)觀測器方程為 " A? Bu G(y y) (A GC)x> Gy Bu 記為？(A GC,B,G)? CW這里的G稱為輸出誤差反饋矩陣?？梢宰C明，如果A GC的特征值具有負(fù)實部，那么狀態(tài)誤差 x ?將逐漸衰減到0,即估計狀態(tài)？逼近于實際的狀態(tài)x。逼近的速度取決于G的選擇，即A GC 的特征值的配置。4 .觀測器的存在性對于完全能觀測的線性定常系統(tǒng)，其觀測器總是存在的。觀測器存在的充要條件是0不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定

31、的。5 .觀測器的極點配置定理：線性定常系統(tǒng) 0 (A,B,C),其觀測器？ (A GC,B,G)可以任意配置極點，即具有任意逼近速度的充要條件是 o (A，B,C)完全能觀測。極點配置方法：(1)能觀標(biāo)準(zhǔn)型法，適合于n 3。首先判斷是否完全能觀，是，存在觀測器可以任意極點配置。通過線性變換 x Tx化為能觀標(biāo)準(zhǔn)2型，得到 一(A,b,C)。加入輸出誤差反饋陣G go，g ，gn iT,得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式？ (A Gc) Bu Gy),求出對應(yīng)的閉環(huán)特征多項式f( ) | I (A Gc)|o由給定的期望極點，求出期望的閉環(huán)特征多項式f ( )( i )。將f()與f ()比較，即可得到G go,gi, ,gniT。把對應(yīng)與 的G,通過 G TG應(yīng)，gni。 得觀測器方程，? (A Gc)? Bu Gy或)？ A? Bu G (y ?),進一步畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)階次較低時，n 3,可由特征值不變原理求狀態(tài)反饋增益矩陣 G go，gi， ,gni,不通過非 奇異變換，使設(shè)計工作簡單。首先判斷是否完全能觀，是，則存在觀測器可以任意極點配置。引入輸出誤差反饋矩陣G g0,gi， ,gni,得到觀測器系統(tǒng) ？ (A Gc,B,G)狀態(tài)空間表達(dá)