2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章基本初等函數(shù)(Ⅱ)1.2任意角的三角函數(shù)學(xué)案新人教B版必

1、1. 2.1 三角函數(shù)的定義(2)三角函數(shù)值的大小與其終邊上的點(diǎn)P的位置是否有關(guān)?(3)如何求三角函數(shù)的定義域?(4)如何判斷三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號?新知初探1三角函數(shù)的定義(1)前提準(zhǔn)備：以角a的頂點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以角a的始邊的方向作為x軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系xOy如圖所示.設(shè)角a的終邊上任一點(diǎn)P(x,y),0P= r(r豐0).定義：xx1余弦函數(shù)：-叫做角a的余弦，記作 COSa，即 COSa=rr2正弦函數(shù)：y叫做角a的正弦，記作 sina，即 sina=.rryy3正切函數(shù)：丄叫做角a的正切，記作 tana,即卩 tana=.(1)任意角的三角函數(shù)的定義是什么?XX正割函

2、數(shù)：角a的正害9seca1 COSaX3余切函數(shù)：角a的余切 COta=廠=X.tana y點(diǎn)睛三角函數(shù)也是函數(shù)，都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(坐標(biāo)的比值)為函數(shù)值的函數(shù)；三角函數(shù)值只與角a的大小有關(guān)，即由角a的終邊位置決定.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域sinaRCOsaRtanana akn+空，kZ 3 三角函數(shù)值的符號如圖所示：正弦：一二象限正，三四象限負(fù)；余弦:一四象限正，二三象限負(fù)；正切:一三象限正，二四象限負(fù).簡記口訣：一全正、 二正弦、三正切、四余弦小試身手1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)三角函數(shù)也是函數(shù)，它們都是以角

3、為自變量的，以比值為函數(shù)值的函數(shù).若 sina =sinB，V a = B.()已知a是三角形的內(nèi)角，則必有 Sina0.()答案：V(2)X(3)V2. 若 sina0,則a在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限余割函數(shù)：角a的余割 CSCasinay4答案：CC.攀D .-等答案：B,一：一n_3n4. sin 3 _, cos4 _.34典例 已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P( 4a,3a)(a 0)，求 sina, cosa,tana的值.解r=3a2= 5|a|.y3a3x 4a右a0,貝 Ur= 5a, 故 sina=-=-, cosa= =r5a5r5a利用三角函數(shù)的定義

4、求值的策略(1)已知角a的終邊在直線上求a的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、 余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值.法二：在a的終邊上任選一點(diǎn)P(x,y),P到原點(diǎn)的距離為r(r0).則 sina=y, cos3.已知角a +COsa =(4,tana5y=3ax4a若a0,貝 Ur= 5a.同理可得 sin343a=一，COSa=一，tana= 一.554a的終邊與圓X2+y2= 1 的交點(diǎn), ,貝ysin5a=i.已知ar的終邊求a的三角函數(shù)值時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便. 當(dāng)角a的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況

5、對參數(shù)進(jìn)行分6類討論.活學(xué)活用1.如果a的終邊過點(diǎn) R2sin 30 ，- 2cos 30 ），那么 sina的值等于1A.21B.2c2D - 解析：選 C 由題意知P（1 ,:3),所以 r = -_12+ ,32= 2,所以 sinacsca, cota的值.解：直線-J3x+y= 0，即y=3x,則直線通過第二和第四象限.在第二象限內(nèi)取直線上的點(diǎn)（一 1,3）,則 r = 2+32= 2,2空_3 = 3cosa1，則 seca =2;tana=飛：3，貝 V cota在第四象限內(nèi)取直線上的點(diǎn)2所以 sina，則 csc至-3 .(1 , ,3)，則r= . 12+；32= 2,2,3

6、 ；3 ；cos則 seca =2;tana=尹，則cotaK3T JX| 三角函數(shù)值符號的運(yùn)用2.已知角a的終邊落在直線3x+y= 0 上，求 sina ,cosa ,tana ,seca ,所以 sina7典例若角0冋時(shí)滿足 sin00 且 tan00,則角0的終邊一定位于( )A.第一象限B .第二象限C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限設(shè)a是第三象限角，且aCOS-=aacos2，則所在象限是()A.第一象限B .第二象限C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限解析由 sin00,可知0的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的負(fù)半軸重合由 tan00,可知0的終邊可能位于第二象限或第四象限，故0的終邊只能

7、位于第四象限.(2) I，a是第三象限角，3n 2kn + na2knT,kZ.3n4- aa在第二、四象限.- a在第二象限.答案(1)D(2)B對于已知角a,判斷a的相應(yīng)三角函數(shù)值的符號問題，常依據(jù)三角函數(shù)的定義，或利 用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來處理.活學(xué)活用1.設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角為A, B, C,則下列各組數(shù)中有意義且均為正值的是()A. tanA與 cosBB . cosB與 sinCAC. sinC與 tanAD . tan?與 sinCAnA解析：選 DTOvAv n, 0v2 0;又 0C0.又aCOS aa =-cos1cos20,cosa V0. F(sina

8、, COSa)位于第四象限.答案：四|31求三角函數(shù)的定義域求函數(shù)f(x)sin:+lg COsX的定義域. tanx解要使f(x)有意義,.sinx0,| cosx 0 ,則 tanx豐0,I x豐kn + -2,kZ,2kn WxW2kn + n,kZ,nn2kn Vxv2kn + ,kZ,.x豐kn+牙,x豐kn ,k乙n解得：2kn Vxv2kn + ,k Z.所以原函數(shù)的定義域?yàn)閕x2knVxV2kn+亍,k Z 二求三角函數(shù)定義域的方法(1) 求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍，一般通過解不等式 或不等式組求得.對于三角函數(shù)的定義域問題，還要考慮三角函數(shù)自身定義

9、域的限制.(2) 要特別注意求一個(gè)固定集合與一個(gè)含有無限多段的集合的交集時(shí)，可以用取特殊值 把不固定的集合寫成若干個(gè)固定集合再求交集.典所以9活學(xué)活用求下列函數(shù)的定義域：10sinx+ cosxy=tan；(2)y= cosx+ tanx.解：要使函數(shù)式有意義，需 tanXM0,解得XMkn(k Z). 要使 tanx有意義，需XMkn+ -2(k Z)，解得xMk(k Z).所以函數(shù)的定義域?yàn)?xXMk2n, k Z,0,tanx0.nXM+kn ,L2由 cosx0得x的終邊在y軸上，或第一象限，或第四象限，或在x軸非負(fù)半軸上.由一 tanx 0,得 tanx 0,則角x的終邊在第二象限，

10、或第四象限，或在x軸上.綜上，角x的終邊在第四象限或x軸非負(fù)半軸上.rAn所以函數(shù)的定義域?yàn)閄 -2 + 2knVx 0,cos30,二3為鈍角.B1D4=晉.或者取P(1 , 2)，則r= ,1 + 4=5,所以 sina6.計(jì)算：tan =,csc=.6 6解析：T a=nn，在a的終邊上取一點(diǎn)P( 3a,a),r= 2a.3.若三角形的兩內(nèi)角a,3滿足 sinaCOS30,則此三角形必為（A. 銳角三角形B. 鈍角三角形C. 直角三角形D. 以上三種情況都可能解析：選 B sincos30, a ,3(0,4. 代數(shù)式 sin 120cos 210 的值為解析：選 A 利用三角函數(shù)定義易

11、得sin 120cos 210，- sin 120 cos 21034 故選 *A.5.若角的終邊在直線y= - 2x上，則 sina等于（）A.C.解析：選 C在a的終邊上任取一點(diǎn)（一 1,2），則r=1 + 4= .5，所以siny=_2_r=5A.C.13當(dāng)m=-5時(shí), cosX0 = _ =r20，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.( 2,3B. ( 2,3)C. 2,3)D . 2,3解析：選 A由 cosaw0, sina0 可知，角a的終邊落在第二象限內(nèi)或y軸的正3a9w0,半軸上，所以有*即一 2aw3.2 .設(shè)a0 ,角a的終邊與圓22x+y= 1 的交點(diǎn)為F( 3a,4a)，那么

12、 sina+ 2cosa的值等于（2A.52B.5解析：選 A 點(diǎn)P在圓x2+y2= 1 上，則|OP= 1.即，一 3a2+ la2= 1,解得a= 5.1Ta0,.a=一.P點(diǎn)的坐標(biāo)為（|,- 5.163n又 cos 20 V0,所以 2kn+nV20V2kn+ 亍,k Z,所以5nk乙因?yàn)閚 V 0 V2n,所以k= 1,即卩0的取值范圍是V 0答案:/ sin45,432a=5+2X5=5.3. 若 tanx0, 且 sinx cosx0,則角x的終邊在（)A. 第一象限B . 第二象限C.第三象限D(zhuǎn) . 第四象限sinx cosx0,角x的終邊在第四象限.4.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn) R

13、m 6）,且 cosm=(A.C.解析：選 B由題意r=| Op=m+o2m+36，故cosma=m+ 36解得n= 8.5.已知角0的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P（4 ,y）是角0終邊上一點(diǎn)，且 sin0=電總，貝 U y=5解析：1OP=, 42+y2.根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義得,5,解得y= 8.又Tsin0=學(xué)v0 及 R4 ,y）是角0終邊上一點(diǎn)，可知50為第四象限答案:0W 0 v2n,若 sin0v0 且 cos 20 v0，貝U 0的取值范圍是解析: 因?yàn)镺W0V2n且 sin0 v0,所以nV0V2n.n3nkn +_/ sin+ 2cos四象限，又解析：選 DT

14、tanx0,(1)由題意得nrrjx豐kn+ ke L即 fn7x豐knke L *匕n n解得 00空或 y0,nn即 2kn wx2kn + ,ke乙函數(shù)的定義域?yàn)?2kn-, 2kn+專：所以a是第四象限角.(2)因?yàn)閨OM= 1，所以弓1 2+m= v5./又a為第四象限角，故m0,1 18已知品一齊，且lg(cosa)有意義.(1)試判斷角a所在的象限.m，且|OM= 1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值及 sina的值.f(x)=.2 + log12x+ tanx； (2)f(x) = cosx.1 1 解：由|sina|=齊所以 sina0,解:(2)若角a的終邊上一點(diǎn)是4181.22單

15、位圓與三角函數(shù)線(2)三角函數(shù)線是如何定義的?從而rm=5，sina191. 單位圓把半徑為 1 的圓叫做單位圓.2. 單位圓中角a的坐標(biāo)角a的余弦和正弦分別等于角3. 點(diǎn)的射影及三角函數(shù)線(1)點(diǎn)的射影dw的 頂點(diǎn) 在 圓to始邊與孟軸的it半軸弟合，鋤邊單也園愛于點(diǎn)f1L_總過點(diǎn)戶悴卩腫垂口工軸點(diǎn)材.作嵌垂直、軸于點(diǎn)博 : V點(diǎn)材小分別為點(diǎn)戶在軸*軸上的正肘畝簡稱射玄(2)三角函數(shù)線1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1)三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值.()三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負(fù).()(3)對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線.()新知初探小試身手

16、a終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).20答案：X(2)V(3)X2.已知角a的正弦線的長度為單位長度，那么角a的終邊()21A.在x軸上B.在y軸上C.在直線y=x上D .在直線y=-x上答案：B3.角a(0a”或“ |MP|，且|_MP與M P都與y軸正方向相同,所以sin 4nsin；IIAT| |AT|，且AT與辰壬都與y軸正方向相反，所以2n4ntanTvtanE，正切線為 星.的正弦線為MP，余弦線為24V31(1)sina;(2)cosa W-225叮 3解：作直線y=步交單位圓于A B兩點(diǎn)，連接OA OB則OA與0B圍成的區(qū)域(圖陰影部分)即為角a的終邊的范圍，故滿足條件的角a的

17、集合為 2 ca|2kn +丁三a W2knT,kZ 乙1(2)作直線x=-交單位圓于C, D兩點(diǎn)，連接OC OD則0C與0D圍成的區(qū)域(圖中 陰影部分)即為角a終邊的范圍，故滿足條件的角a的集合為2n4n|a|2kn + -W a W2kn + _,kZI33,題點(diǎn)三：利用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域3.求函數(shù)f(x) =;1-2cosx+ In jsinx# 的定義域.解：由題意，得自變量x應(yīng)滿足不等式組則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示,-L即定義域?yàn)?a|2kn+才W a W2kn+乎，k Z1 2cosx0,sinx#0,2 261利用三角函數(shù)線比較大小的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)三角函數(shù)線

18、是一個(gè)角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長度是三角函數(shù)值的絕對值.(2)比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小，不僅要看其長度，還要看其方向.2利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法：(1)正弦、余弦型不等式的解法. 對于 sinxb, cosxa(sinxb, cosxc,取點(diǎn)(1 ,c)連接該點(diǎn)和原點(diǎn)并反向延長，即得角的終邊所在的位置， 結(jié)合圖象可確定相應(yīng)的范圍.3利用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域解答此類題目的關(guān)鍵在于借助于單位圓，作出等號成立時(shí)角a的三角函數(shù)線，然后運(yùn)用運(yùn)動的觀點(diǎn)，找出符合條件的角的范圍.在這個(gè)解題過程中實(shí)現(xiàn)了一個(gè)轉(zhuǎn)化，即把代數(shù)問6n1.角自和角一產(chǎn)有相同的()

19、A.正弦線B.余弦線C.正切線D .不能確定6n解析：選 C 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出角和角一丁的三角函數(shù)線可知，正弦線及余弦線都55相反，而正切線相等.2已知角a的正切線是長度為單位長度的有向線段，那么角a的終邊在()A.直線y=x上B.直線y=x上C.直線y=x上或直線y=x上27D. x軸上或y軸上解析：選 C 由角a的正切線是長度為單位長度的有向線段，得tana=1,故角a的終邊在直線y=x上或直線y=-x上.3.設(shè)a= sin( 1) ,b= cos( 1),c= tan( 1)，則有()A.abcB .bacC. cabD .ac0,c= tan( 1) =AT0,a= sin( 1)

20、=MRO,由圖可知MRAT ca1.6._ 若角a的余弦線長度為 0,則它的正弦線的長度為 _.解析：若角a的余弦線長度為 0，則a的終邊落在y軸上，所以它的正弦線的長度為 1.答案：17.用三角函數(shù)線比較sin 1 與 cos 1 的大小，結(jié)果是 _解析：如圖，sin 1 =MPcos 1 =OM顯然MPOM即 sin 1cos 1.vzJAT解析：選 C 作圖（圖略）可知角a的終邊在直線y= x上，a的終邊在第二、第四象限的角平分線上，故選 C.5.若a是第一象限角，則 sinA. sina +cosa1C. sina +cosacos 1309.作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線.n5

21、n石；(2) -6解: (1)如圖 所示，在單位圓中|oN,OM , AT分別表示-6 角的正弦線、余弦線、正切線.fON,OM，巨T分別表示-n角的正弦線、余弦線、正切線.10求下列函數(shù)的定義域.y= 3tanx ,3.解析：由圖可知3nsin =-1,琴，則 sin3nsin 41vsin0的取值范圍是_7t2(2)如圖(2)所示，在單位圓中(1)y=ig子-sinx.答案:3132-2 sinx0,所以 sinxv#，所以角x終邊所在區(qū)域如圖所示,所以2kn寧 x2kn+ |,k Z.所以原函數(shù)的定義域是x|2kn _4YX2knn所以kn+ 6 三xvkn+ ,k乙所以原函數(shù)的定義域是

22、jX|kn + 60,所以 tanx#所以角x終邊所在區(qū)域如圖所示,應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)手與的余弦線相等.44其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A. 1C. 3解析：選 B和的正弦線關(guān)于6 6邊在同一條直線上，因而所作正切線相等;2.若a是三角形的內(nèi)角，且 sinA.等邊三角形解：為使y= igsinx有意義，則C.銳角三角形D .鈍角三角形33n解析：選 D 當(dāng) 0a_2 時(shí)，由單位圓中的三角函數(shù)線知,sin2a +cosa =3,3a必為鈍角.3.如果a2，那么下列不等式成立的是A. cosasinatanatansincosC. sinacosatanacostan解析：選 A 如圖所示，在單位圓中分別作

23、出 正切線lAT，很容易地觀察出|si n的正弦線MP、余弦線|OM| 丘P| GT i ，且都與坐標(biāo)軸的正方向相同.即 cosasinatana.sin4.使 sinx cosx成立的x的一個(gè)變化區(qū)間是（）-3n4，4解析：選 A 如圖，畫出三角函數(shù)線B.2，2D.0, nsinx=Mp,cosx=3n4=cosnnsin7 =cos匚，為使 sinx cosx成立,則由圖可得-X遷2n6n5.sin5-,cos,tan年從小到大的順序是解析：由圖可知:6ncos -0,sin52nT 0.- IIMP|AT| ，且MPMP,AT與y軸正方向相同,34解：(1)圖中陰影部分就是滿足條件的角0

24、的范圍,(2)圖中陰影部分就是滿足條件的角0的范圍，即02kn202kn一弓或 2kn+n0 2kn+2,k Z.36632n2n/ sin5vtan56n2n2n故 cos5-sin5vtan.56n2n2n答案： cos5si n5 tan5a甘，6 .若 0a2-利用三角函數(shù)線，得到a的取值范圍是解析：利用三角函數(shù)線得7.利用單位圓中的三角函數(shù)線，分別確定角0的取值范圍.sin1 102；(2)-蘆cos_32-卄 5n即0-+2kn035n8 .若 0a2，證明：sinaatana.證明：如圖所示，連接AP設(shè)弧AP的長為I,OAS扇形 OASAOAT,1 1 1 2IOAMpiOA2l

25、OAAT,IMpi|AT, - sinaatana.1. 2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式已知 sina, cosa和 tana其中的一個(gè)值，如何求其余兩個(gè)值?(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有哪兩種?36新知初探37答案：C答案：12同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式平方關(guān)系：Sin + COS2a= 1.(2)商數(shù)關(guān)系：tana =-1a豐kn+w，k Z；：COSa2這就是說，同一個(gè)角a的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角a的正切aMkn +點(diǎn)睛同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了 “同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，這里“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提_ 2

26、2下).關(guān)系式成立與角的表達(dá)形式無關(guān)，如sin 3a+ COS 3a= 1.小試身手1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1)對任意角.2a2a /a ,sin + cos =1都成立.(2)對任意角sin 2aa，cosrr =tan 2a都成立.若 cosa=0，貝 U sina= 1.(答案：(1)V(2)X(3)X2.已知a0,專,sin3 小a=匚， 貝 9 COs4A5B.答案：A3.已知 cos1a= ，且是第四象限角，則sinB.c.D.4.已知 sina= 13，7t2，n，貝 U tan38限)討論.2.已知角a的正切求關(guān)于 sina, cosa的齊

27、次式的方法(1)關(guān)于 sina, cosa的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sina, cosa的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子、分母同除以cosa的n次幕，其式子可化為關(guān)于 tana的式子，再代入求值.(2)若無分母時(shí)，把分母看作1，并將 1 用 sin2a+ cos2a來代換，將分子、分母同除2以 cosa,可化為關(guān)于 tana的式子，再代入求值.12典例已知 sina= 13，并且a是第二象限角，求cosa和tana.已知 sina+ 2cosa= 0, 求 2sinacosa cos2a的值.所以 cosa0, cosa0,Sina COSa(1)已知 COSa4,求 Si

28、n5a禾口ta na.因?yàn)?cosa = 0,5所以a是第二或第三象限角,是第二象限角時(shí),sin3a= 5，tansinaCOsa是第三象限角時(shí),sin35，tansina3a4COS由 tana= 2 可得sin=2cosa ,2sina 3cosa故盂a +sinaa 3cosacosa +2cosa 3COSa4cosCOsa13.典(1)化簡:若角a是第二象限角，化簡:所以原式=sina|COSa|XCOSa|sina|(2)原式=tan=tan40X ；= 1.COSaSina41三角函數(shù)式的化簡技巧(1) 化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡 的

29、目的.(2) 對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目 的.(3) 對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2a+ cos2a= 1 ,以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的.解：(1)原式=sina1COsa1COSa1+COSasina1cosa1COSa|sina|1證明簡單的三角恒等式典求證:tana sinatana +sinatana sinatanasina證明, tana sina t汕a +sina法一：左邊=tan2asin2atana sina liill a +sina12 2 2tana tana cosa活學(xué)活用42tan

30、a sina汕a +sinatana COSa_ - sin 2a +sin ?atanasina ttlFI a sina=0,tanasinaa sinatan2 .a sin2iatan2a +sina=ta nasinat 汕 asinat2anasin2a -12+sinatana sinatana sinatan222acosa +sinatana sinatana sina.2sinatan2a2-sinatanasinat a +sintan2a2sinata na +sina亠，=右邊,atana sin原等式成立.法二：右邊=tan2a sin2a|汕a sina * c/

31、1 a sina2 2 2a ta nacosaa sinaaSinatantana cosatan a sinatanasinatan2asin2at/m a sin a_asinatanasinatana sin=左邊,a原等式成立.法三：左邊=tana sinatana tanacosasina1cos, tana右邊=+tanacosa1+costanasinasina1cos2asina1 COsasin2aa 1 cosasinsina1cosa 左邊=右邊，原等式成立.法四： tana sinatana +sinatana sinatana sinat.cl2a43tanasin

32、atana+sinatana sinatana sina法五：T(tana sina)(tana+ sina)=tana sinx22 2=tana tana cosa2 2=tana(1cosa)tanasinatana +sinatana sinatanasina證明三角恒等式常用的方法(1)從一邊開始，證得它等于另一邊，一般是由比較復(fù)雜的一邊開始化簡到另一邊，其依據(jù)是相等關(guān)系的傳遞性.：(2)左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子，其依據(jù)是等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等.(3)綜合法：即由一個(gè)已知成立的等式(如公式等)恒等變形得到所要證明的等式，其依據(jù)是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.產(chǎn)、力比較法：即證左

33、邊右邊= o 或證右邊=1.活學(xué)活用=tan2a2sina ,44求證：2(1 sina)(1 + cosa) = (1 sina+ cosa)2.證明：法一：左邊=2 2sina+ 2cosa 2sinaCOs. 2 2=1+Sina +cosa 2sinacos=1+2(cosa sina)+(cosaa +2(cosa sina)2sin=(1 sina+ cosa) ?=右邊.法二：左邊= 2 2sina+ 2cosa 2sinaCOsa ,右邊=1 + sin2 2a +cosa 2sina +2cosa 2sinacosa =22sina +2cosa2sinacosa ,左邊=右

34、邊sina cosa型求45典例 已知 sin0+ cos0= 2(09n)，求 sin0cos0和 sin0 cos0的 值.1解 因?yàn)?sin0+ cos0= 2(000,所以 sin0 cos0的任何一個(gè)，則另兩個(gè)式子的值均可求出.活學(xué)活用所以(sin0 + cos0)2=4，2即 sin0+ 2sin=：sill 0 +cos02 4sin0cos0已知 sina cosa, sinacosa求值問題，一般利用三角恒等式,采用整體代入的方法求解. 涉及的三角恒等式有:(sin(sin(sin(sin+ cos02)=1 + 2si n0cos0 ;一cos02)=12si n0cos0

35、 ;+ cos0)2+(sin0cos0)222cos0)=(sin0+ cos0)0 cos 0 .上述三角恒等式告訴我們，已知0 +cossin0 cos0 ,sin0cos01 .已知 00n,且 sin0 cossin0 +cos0 ,tan0的值.1解：Tsin0 cos0=，二(sin50 cos0)2125.sin=2;4sin46解得 sin120cos0=A. 3B . - 347/000,25 sin00,cos00. sin=:0 + cos 0= , dill2471+25=5.0 +cos0=1 + 2sin0cos0r .1r .4sin0 cos0=一，sin0一

36、一,55由7得3| sin0 +cos0=2,5cos0=5,sin04 ta n0 =一 .cos03602 .若 000,cos00.12A.y0= S i II 0 cos02= l ;1 2sin0cossin0 cos1.（福建咼考）若 sina且a為第四象限角，則tana的值等于（5_13,解析：選 D 因?yàn)?sina13為第四象限角,所以 cosa12丙所以tan故選 D.2.若a為第三象限角，則cosa.1sin2a_2sin_a1cos2a的值為（解：T00n, sin600cos0 =-袪0, cosa0,.a為銳角.右 sintan00,貝 U cos0 =A. 3B .

37、 - 349解析：選 BTa為第三象限角，cosa2sina二原式=+= 3.cosasina3.下列四個(gè)結(jié)論中可能成立的是(1a= 2a =1a =1解析：由已知得0是第三象限角,507.化簡：屮2sin 40 cos 40 =解析：原式= sin 40+ cos 40 2sin40cos40= sili廣2= |cos 40 sin 40 =cos 40 sin 40 .答案：cos 40 sin 40答案:-1cos 36 J 1 cos236 9化簡：(1) :p1 2sin 36 cos 36 sin0 cos0tan0 1.cos 36sin 36解：原式=扁236+ 曲36-2s

38、in 36 cos 36cos 36 sin 36,門用W sri 3b，Jcos 36 sin 362= |cos 36 sin 36cos 36 sin 36cos 36 sin 36=1.sin0 cos0(2)原式=:sin01cos0cos0汕I 0 cos0sin0 cos0cos0.10.已知 sina+ cos3,、1_T，求tana+tonr 及sina cosa的值.解：將 sina+ cosa-3 兩邊平方，得 sinacosa313.&已知 tana2,則1 + 2sinacosa22-sina cosa解析:1 +2sinaSill a + cos a2 2sina

39、cosa2 2sinasina +cosasina cosa1tana +12+1tana 11232151二tana + :-tan_ 1aSinacosa=3，(sinaCOS2a)=12sinCOS(X COSa =層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1 .已知 tan7t3n，2，貝 U sina的值是（）A.52,55解析：選7t/ sina0.由 tansin得 sin2.A. sinCOsa化簡1 tanac.1 + sin解析：選.2 2 ,Sina +COSa =1,1 cos+COSasina3.已知1C.3解析：選1 1sinatana-(1cosa)是第三象限角，A 由 sin40+1-

40、COS2sinaB.COSaD.1+COScosa)=(11sina） 的結(jié)果是（COSa+ .sin-(1cosa)=.2aSina=sinsina且 sin4045+cos0 =9，則sin0cos0的值為（）45cos0 =9,52(sin22 2.2 250 +cos0)2sin0cos0 =9./ sin20cos09.v 0是第三象限角,/ sincos0 v0,. sin0cos0 =34.已知sin0sin0 cos+cos00=2,0cos0的值是(3A.4解析：選 C 由條件得sin0+cos0 =2sin0 2cos0即 3cos0 =sin0 ,tan0/ sin00c

41、os0cossin0=sin20+cos20tan0332=2=1+tan01+3105.已知 sin1口acosa =7,且n84，則cosasin解析: 因?yàn)閚a罟，所以 cosa0,sina0.利用三角函數(shù)線，知 cosasina,所以 cosa sina0,所以 cosasincosa Sina112X8答案:6.若sina+ cosa= 1,貝Usinna +cosa(n Z)的值為解析: sina +cosa =1,/ (sin 2XF22a+ cosa) = 1，乂 sina+ COSa/ sinacosa =0,sina =0 或 COSa當(dāng) sina= 0 時(shí)， cosa=

42、1，此時(shí)有 sinn+cosa =1；當(dāng) cosa= 0 時(shí)， sina= 1，也有 sinna+ cosansinna +cosa=1.答案:53求 tana的值;亠 sina+2cos求 5cosa -sin1a +cosa +二2? JU、a sina COS a +Sina +1a +cos壬 vU S a sin a右邊.1+sina +cosa所以原等式成立.7.八 tan2a知 1 + 2tana13,a解:tan2a1+2ta n13,2得 3tana 2tana 1=0,即(3ta na+ 1)(ta na 1) = 0,1 、解得 tana= 3 或 tana= 1.3因?yàn)?/p>

43、a1所以 tana0,所以 tana= 3.3, 1由(1)，得 tana= 3,tana +211+255tana(1)=165 3sina +2cosa以5cosa sina&求證:cosa1+sinasina ?a sina1+cosa1+sina +COSa證明：左邊=cosa 1 +cosa Sina +Sina+sina +cosa2.2 .cosa sina +cosa sina1+sina +cosa +sinacosaCUS a sin aCOS a +sina + 1的值.2+ sin541. 2.4 誘導(dǎo)公式第一課時(shí) 誘導(dǎo)公式(一、二、三)a與a+k2 n(k Z) ,

44、-a,a+ (2k+ 1)n(k Z)終邊有何關(guān)系?(2)誘導(dǎo)公式一、二、三有哪些結(jié)構(gòu)特征?新知初探誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式(一)角a與a +k，2n(kZ)的三角函 數(shù)間的關(guān)系COS(a+k2 n) = COS_a(kZ),sin(a+k2 n) = sin_a(kZ),tan(a+k2 n) = tan_a(kZ)誘導(dǎo)公式(二)角a與一a的三角函數(shù)間的關(guān)系COS( a)=COSa ,sin( a)=sina ,tan( a)= tana誘導(dǎo)公式(三)角a與a+ (2k+ 1)n(k Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系cosa +(2k+1)n=COsa ,55sina +(2k+1)n=sin_a ,tana

45、 +(2k+1)n=tan_a ,其中k Z點(diǎn)睛利用誘導(dǎo)公式(二)和(三)，可得到角a與na的三角函數(shù)間的關(guān)系sin(n a)=sinn +( a)=sin( a)=sina ,同樣方法可得 cos(na) = cosa, tan(na) = tana.小試身手1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打(1)誘導(dǎo)公式中角a是任意角.(答案：4“X”公式 sin(a)=Sina , a是銳角才成立.(公式 tan(n+a) = ta na中,a=nn不成立.(答案：X(2)X(3)V2.已知 cos(n+9)= ，則cosB.答案:3.若sin(na等于(1A.3C. 3答案:4.已知

46、 tana= 4，貝Utan(56119n(1)sin(1 200);(2)tan 945 ;(3)cos & 解(1)sin(1 200)= sin 1 200 = sin(3x360+120 )= sin 120,3=sin180 + ( 60 ) = sin( 60 ) = sin 60 = 牙(2)tan 945 =tan(2x360+225)=tan 225 =tan(180 +45)=tan 45 =1.利用誘導(dǎo)公式解決給角求值問題的步驟-、一用撿式一或二來轉(zhuǎn)化XJ工用公式一將命化為到32盯可的彌工卜小化銳J用公式二或三特大于9的角轉(zhuǎn)化為銳角L得到稅命的二命函數(shù)后歡值0,答案:13

47、解: (1)sin8nv=sin=sinn+專 一 sinn(2)cos23ncos 4n(3)tan37ntan 6n=tan 6丿 6310.若COSa23,a是第四象限角,a 3nl-CS a 4n64 sina= 1 cosa=八.1 一-sin(2n a)=sin( a)= sina若a,3的終邊關(guān)于y軸對稱，則下列等式成立的是=2kn n 3 ,kZ,sina =sin3sin | 2n 1 n 專.-3n其中nZ,則函數(shù)值與 sin亍的值相同的是B .D .解析：選 C中sin 2nn+亍=sin汙工sin7t3 ；7t中，cosi2nn點(diǎn)7tnnnfsin ;中，sin i2nn+ = sin ;中，cos7t?n+ln 卡=