關(guān)于高等數(shù)學(xué)不定積分例題思路和答案超全

1、第4章不定積分內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容不不疋疋設(shè) f(x)， xI，假設(shè)存在函數(shù)F(x)，使得對任意x I均有F (x) f (x)積分積分或dF(x) f(x)dx，那么稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)。的 概f (x)的全部原函數(shù)稱為f (x)在區(qū)間1上的不定積分，記為念注：(1 )假設(shè)f (x)連續(xù)，那么必可 積；(2)假設(shè)F(x),G(x)均為f(x)的原函數(shù)，那么F (x) G(x) C。故不定積分的表達(dá)式不唯一。性d質(zhì)性質(zhì)1: 一f (x)dxf (x)或 d f (x)dxf (x)dx ；dx性質(zhì) 2： F (x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C ；性質(zhì) 3： f

2、(x)g(x)dxf (x)dxg(x)dx，,為非零常數(shù)。計算第一換元積分法設(shè)f (u)的原函數(shù)為F (u) , u(x)可導(dǎo)，那么有換元公式：方(湊微分法)法:第二類設(shè)x(t)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，f (t) (t)有原函數(shù)F(t)，換元積分法那么 f(x)dxf( (t) (t)dt F(t) C F( 1(x) C分部積分法有理函數(shù)積假設(shè)有理函數(shù)為假分式，那么先將其變?yōu)槎囗検胶驼娣质降暮停粚φ娣质降奶幚矸职辞闆r確定。本章在下一章定積分中由微積分根本公式可知-求定積分的問題，實質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問題；的地后繼課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最終的解決都?xì)w結(jié)為對

3、定積分的求位與解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講，不定積分在整個積分學(xué)理論中作用起到了根基的作用，積分的問題會不會求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對這一章掌握的好壞。這一點隨著學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們會曼慢體會到！課后習(xí)題全解習(xí)題4-11.求以下不定積分：知識點：直接積分法的練習(xí)求不定積分的根本方法。思路分析:利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和根本積分公式，直接求出不定積分！dxx2 x思路:被積函數(shù)x 2，由積分表中的公式2可解。dx解:2廠X x/X5x 2dx3x2 C(3 x 1)dx 、x思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。解：3 x1 1(x3

4、x ' )dx1x3dx1x 2dx-x3 2x< C4分別積分。分別積分。(2x x)dx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項,2解：(2x x2)dx2xdxx2dx In 2.x(x 3)dx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項,解： i x (x 3)dx3x2 dx 31x2dx53x" Cc 4 (5) 3x 3x 1(5)2 dxx21423x2-后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項，分別積分。1思路:觀察到3x 23x1x21解：c 4 c 2丿3x 3x 1x21dx3x2dxdx x3arcta n x Cx (6)思路

5、:注意到x2x211 x2，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項，分別積分。x解：2dx1 xdxdx xarctanx C.減去一個真分式的形式，再分項積分 (7)( x-l + 3-x x3思路:分項積分。解： (x-1+-3-2 x4有)dxx xxdx1dxxx 3dx44 x dx八忌A)dx*2思路:分項積分。)dx思路:.x x : X ？1x2dx1,=dx一 1 x23arcta n x2 arcs in x C. (10)思路:解：7x'，直接積分。解：dx1p廠dxx (1 x )裂項分項積分。1 dxx (1x2) (11)解： (12)x(e7x8dx158

6、 Tx815C.1)(eex 1思路 :初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)冪的乘法:12)dxxarcta nx C.1)dx(ex 1)dx指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然x C.3xex(3e)解:九匕急C.2 (13) cot xdx思路:應(yīng)用三角恒等式“ cot2 x CSC2 X 1。解：cot2xdx(esc2 * x 1)dx cot x x C (14)3x思路:被積函數(shù)23 x5 23x(-) ，積分沒困難。3(分(25(-)x)dx 2x 53 C.3In 2 In 32 x (15) cos dx2思路:假設(shè)被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時，一般地先降冪，再積分。解:cos2 d211 cosx1dx

7、 x221 sin x C.2 (16)1 cos2xdx思路 :應(yīng)用弦函數(shù)的升降冪公式，先升冪再積分。解：dx1 cos2xcos2x(17)dxcosx sin x2cos-dxx2 1 sec xdx tan x C.2思路:不難，關(guān)鍵知道“ cos2xcos2 xsin2 x(cos x sin x)(cos x sin x)"。解： (18)cos2x ,dx(cosxcosx sin xcos2x ,22 dxcos x sin x sin x)dx sinx cosx C.思路:同上題方法，應(yīng)用“cos2x2 . cos x sinx ，分項積分。解：.2x sin x

8、 , dx ( 19)cos2x ,2廠dx2 cos2 . 2 x sin xdx sin x12 xcos x=2，應(yīng)用公式(5)即可。1 x2思:注意至寸被積函數(shù)J1J11xV1 xV1 xV1x2(1x2解：1x 2 dx 2arcsinx C.思路:注意到被積函數(shù)1cos x1 cos x1 2 sec x21-，那么積分易得。21cos2xc22cos x解：12cos x dx cos2x12 secxdx-dx2tan x xC.122 2、設(shè)xf (x)dxarccosxC，求 f(x)0知識點： 考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：直接利用不定積分的性質(zhì)1:

9、f(x)dx f(x)即可。 dx 3、解 :等式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得：設(shè)f (x)的導(dǎo)函數(shù)為sinx，求f (x)的原函數(shù)全體。知識點： 仍為考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析:連續(xù)兩次求不定積分即可 。解：由題意可知，f (x) sinxdxCOSX所以f (x)的原函數(shù)全體為：(cosxG)dxsin xG xC2。 4、1證明函數(shù)一e2x, exshx和exchx都是2xechx-shx的原函數(shù)知識點:考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析:只需驗證即可。解：Qchx shxe2x，而加鬥 dxexshx加chxe2x2求此曲線的方程。 5、一曲線通過點(e2,3)

10、，且在任意點處的切線的斜率都等于該點的橫坐標(biāo)的倒數(shù),知識點： 屬于第12章最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。-J解：設(shè)曲線方程為y f(x)，由題意可知：f (x)dx1，f (x) ln | x | C ;x22又點(e ,3)在曲線上，適合方程，有 3 ln(e ) C, C1，所以曲線的方程為f(x) In |x|1.2 6、一物體由靜止開始運(yùn)動，經(jīng) t秒后的速度是3t2(m/s)，問：(1) 在3秒后物體離開岀發(fā)點的距離是多少？(2) 物體走完360米需要多少時間

11、？知識點： 屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。解 :設(shè)物體的位移方程為：y f (t)，d23那么由速度和位移的關(guān)系可得：f (t)3t2f (t) t3 C，dt又因為物體是由靜止開始運(yùn)動的，f(0)0, C 0, f (t) t3。3(1) 3秒后物體離開出發(fā)點的距離為：f(3)327米；令t3360 t 3 360 秒。習(xí)題4-2 1、填空是以下等式成立。知識點：練習(xí)簡單的湊微分。思路分析:根據(jù)微分運(yùn)算湊齊系數(shù)即可 。111解：(1)dx d(7x 3 );(2)xdx-d

12、(1 x2);(3) x3dxd(3x4 2);72122、求以下不定積分。知識點：(湊微分)第一換元積分法的練習(xí)。這在思路分析:審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實就是看看積分表達(dá)式中，有沒有成塊的形式作為一個整體變量， 這種能夠馬上觀察岀來的功夫來自對微積分根本公式的熟練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對特定的題目也非常有效,課外例題中專門介紹！ (1) e3tdt思路:湊微分。解：e3tdt- e3td(3t) -e3t C333 (2)(3 5x) dx思路 :湊微分。3 1 3 1 4解：(3 5x) dx - (3 5x) d(3 5x)(3 5x) C5201 (3)d

13、x3 2x思路:湊微分解：一1dx3 2xd(33 2x2x)-l n|3 2x| C.213 5 3xdx思路 :湊微分。1 1 1解：-3 dx3d(5 3x)753x3 引 5 3xx (5) (sinax eb)dx思路:湊微分。x 1解:(sin ax eb )dx sin axd (ax) ba13 (513x) 3d(53x)*5 3x$ Cxxe%百1 cosaxbeCba (6)COS t1思路 :如果你能看到dJ 一 dt,湊出 dC.t 易解。2趴解: (7)cos td (、t)2sin . t C思路 :湊微分解：tan10 xsec2xdxtan10 xd (tan

14、 x) (8)dxxIn xln In xd(ln |ln x|)ln ln xln 11n ln x | C思路 :連續(xù)三次應(yīng)用公式3湊微分即可解：dxd(ln |x|)xln xln ln x ln xln ln x (9) tan .k 叱思路 :此題關(guān)鍵是能夠看到xdx是什么，是什么呢？就是d 1 x2這有一定難度!解：tantan .1x2d 1x2In | cos、. 1x2 | C (10)dxsin xcosx思路 :湊微分解：方法倍角公式 sin2x 2sin xcosx。方法二將被積函數(shù)湊出tan x的函數(shù)和tanx的導(dǎo)數(shù)。方法三:三角公式sinx cos2x 1，然后湊微

15、分。 (11)dxx e思路:湊微分:dxxxe eexdxdexdex解：dxexdx2x edex (12)思路:解：xcos(x2)dx湊微分。xcos(x2)dx2x e1(ex)2cosx2dx21(ex)2arcta nex C1 . sin x213xdx2 3x2思路:由xdxdx221 d(2 3x )解：2 3x2xdx2 3x2d(2 3x2)湊微分易解。2 3x211 (213x2) 2d(2 3x2) (14) cos2( t)sin(t)dt思路:湊微分。解:cos2( t)sin( t)dt 1 cos2(t)si n(t)d t - cos2(t )d cos(

16、 t)思路:湊微分解：34343ln |1x4 | C.4(sin x3 dxcos x思路:湊微分。解：sin x3 T cos x13 cos一 d cosx x1 12 cos2 xC.9 ( 17)x2dx20x思路:經(jīng)過兩步湊微分即可。9解：一xdx強(qiáng)x2010 ,220xdx101d10x102x101 arcsi n() C10 . 2 ( 18)dx一 9 4x2思路:分項后分別湊微分即可。解: bdx2dx=dx4x2(19)務(wù)思路：裂項分項后分別湊微分即可。解：dx (20)思路:解：_dx2x21( . 2x 1)( . 2x 1)xdx(45x)2分項后分別湊微分即可。

17、xdx(4 5x)21/4 5x 4、5 (45x)2dx、2x 1)dx4(4 5x)2) d(4 5x)x2dx(x 1)100思路 :分項后分別湊微分即可解：2 2x dx (x 1 1) dx100100-(x 1)(x 1)2_(x 1) (x1)100 (22)嘗x 1思路:裂項分項后分別湊微分即可。解：xdxxdxx8 1(x4 1)( x4 1)12 x41-)xdx1-)dx21 (23)cos3 xdx思路:湊微分。cosxdx dsinx。解：cos3 xdxcos2 x cosxdxcos2 xdsin x(1sin2 x)d sin x (24) cos2( t )d

18、t思路 :降冪后分項湊微分。解：cos2( t )dt1 cos2(-)dt丄dt2cos2( t)d2( (25) sin 2x cos3xdx思:積化和差后分項湊微分。1-sin xdx2解： sin 2x cos3xdx (sin5x sin x)dx sin 5xd5x2 10 (26) sin 5xs in 7xdx思路 :積化和差后分項湊微分。11 1解： sin5xsin 7xdx (cos2x cos12x)dx cos2xd2x cos12xd(12x) 2424 (27) tan3 x secxdx思路 :湊微分 tan xsecxdx dsecx。3222解： tan x

19、 secxdx tan x tan xsecxdxtan xd secx(sec x 1)d secx28arccos x思路 :湊微分d( arccosx)。arccosx解：10dx (1x2arccosx10 d arccosx10arccosxIn10 C. (29)dx(arcsi nx)2 1x21思路 :湊微分dx71 x2d(arcsin x)。dx解：22(arcsinx)2 . 1 x2d arcsinx(arcsi nx)2Carcs inx (30) arctan = dX 丘(1 x)思路:湊微分arctan x仮(1 x)dx羽似肇呼 d 仮 2arctan Vxd

20、 (arcta門仮)。1(x)2解：弩叫xdx7x(1 x)羽似丫呼 d 仮2arcta n Vxd (arcta n 依)1( x)2dx (31) ln tanxcosxsin x思路:被積函數(shù)中間變量為tanx,故須在微分中湊出tanx，即被積函數(shù)中湊出sec x ,解：Jntandx cosxsin xIn tan x2dxcos xtanxln tan xd tanxIn tanxd (ln tan x)tan x1 In x dx ( 32)2(x In x)思路:d(xl nx) (1 In x)dx解：1 In x2 dx (xIn x)1(xIn x)2d(xIn x) (

21、33)dxx1 e解：方法一:思路:將被積函數(shù)的分子分母同時除以ex，那么湊微分易得。方法思路 :分項后湊微分方法三: ( 34)x(x 4)解：方法思路：分項后湊積分。方法二思路:利用第二類換元法的倒代換。那么 dx dt。 t2 ( 35)dxx8(1 x2)解：方法思路：分項后湊積分。方法二思路:利用第二類換元法的倒代換。那么dx(t6t4t21t77-t5511)dt (二)dtt 13 t 丄ln| C2 t 1(t6t42 1t2 1)dt -21 17 x75 x53x3)dt t 11冷Cx1iln|13、求以下不定積分。知識點:思路分析真正的換元，主要是三角換元第二種換元積分

22、法的練習(xí)。:題目特征是-被積函數(shù)中有二次根式，如何化無理式為有理式？三角函數(shù)中，以下二恒等式起到了重要的作用。為保證替換函數(shù)的單調(diào)性，通常將交的范圍加以限制，以確保函數(shù)單調(diào)。不妨將角的范圍統(tǒng)統(tǒng)限制在銳角范圍內(nèi)，得岀新變量的表 達(dá)式，再形式化地?fù)Q回原變量即可。 ( 1) -1dx.1 x2思路:令xsint, t，先進(jìn)行三角換元，分項后，再用三角函數(shù)的升降冪公式。2解：令xsint,t i，那么 dx costdt。t tan -2Carcs in xx 1 x2C.(或arcsinx 1一 x C )萬能公式ttan 一2sin t1 cost1 costsin t，又 si nt x 時，c

23、ost . 1 x2 ) ( 2)Jx思路:求出的不定積分，由條件9ddxx思路:令x3sect, t(0,)，2三角換元。解：令x3sect, t(0,)，貝9 dx 3sect tantdt。2(x3secx時,3 . cosx ,sin xx三，tanx三匸x3 ( 3)dxx21)V1 x思路:令x tan t, t-，三角換元。2解：令 x tant, t，貝9 dx sec2 tdt2 ( 4)dx思路:令xata nt, t，三角換兀。2解：令xatant,t i，那么 dx asec2tdt。 ( 5)思路:先令2u x，進(jìn)行第一次換元；然后令 utant, t，進(jìn)行第二次換元

24、。2解：Q-* x 1-dx 1x. x412x2 得:x21du，1tan t, t2貝U du sec tdt，與課本后答案不同(6). 5 4x x2dx思路 :三角換元，關(guān)鍵配方要正確。解：Q5 4xx29 (x 2)2x 23sin t, t，貝卩 dx 3costdt。2 4、求一個函數(shù)f (x),滿足 f (x)f 0 1確定出常數(shù)C的值即可。解：Q IdxJd(x1)C.令 f(x) 2.1 x C，又 f(0)可知C 5、設(shè) I ntann xdx,，求證:Intann1x In-2，并求 tan xdx。思路:由目標(biāo)式子可以看岀應(yīng)將被積函數(shù)tann x分開成tann 2 x

25、tan2 x，進(jìn)而寫成:tann 2x(sec2 x 1) tann2 2xsectann2x，分項積分即可。證明:Intann xdx(tannxsec xtann 2 x)dxtann 2 xsec xdx tann 2 xdx習(xí)題4-31、求以下不定積分：知識點:根本的分部積分法的練習(xí)。思路分析:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指'順序,越靠后的越優(yōu)先納入到微分號下湊微分。的原那么進(jìn)行分部積分的練習(xí)。 ( 1) arcs in xdx思路:被積函數(shù)的形式看作 x0 arcsinx，按照“反、對、冪、三、指順序，冪函數(shù)x0優(yōu)先納入到微分號下，湊微分后仍為dx。解： arcs in xdx

26、 xarcs in xxTdx 1 x21 xarcsin x 21 丄x2d° "I( 2)ln(1 x2)dx思路:同上題。解：2ln(1 x )dx xln(1x_12x2dx xln(1 x )2x22dx1 xarcta nxdx思路:同上題。解：arctan xdx xarctan xdx (4)e2xsindx2思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指解：Q e 2x sin xdx sin d (2 2x1 x2xarcta nx 2順序湊微分即可。1 2x、12x . Xe ) e sin2 2 2d(11x2)x2e 2x1 cos - dx2 2 ( 5)x

27、2 arcta nxdx思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解：x2 arctan xdxarctan xd arcta nx33 (6)xcosdx2思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解：xcosdx22 xdsin?22xsin x 2 sin -dx22xsin -2xta n2xdx思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解：xta n2xdx22x(sec x 1)dx (xsecx)dxxse£ xdxxdx8In 2xdx思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解：2 2In xdx xIn xx 2ln12x -dx

28、xln x xIn xdx x In2 x2x In x1x dxx ( 9)xln(x 1)dx思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解：x In (x 1)dxln(x 1沁丄 x2ln(x2 21)2x . -dx 1 (10)叭x思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解:ln 2xdx In2xxd(丄In2 xx1 -2ln x1dxxAn2 xxIn x dx x (11) cos In xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解: Q cos In xdx xcos In xxsin In x dxxxcos Insin In xdx (1

29、2)呼dxx思路 :詳見第10小題解答中間，解答略(13) Xnl nxdx (n 1)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解：xn In xdx In xd丄 xn 11n Xn 1(14)x2e xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解:x2e xdxx2e xe x2xdxx2e x2xe xe Xdx32 (15) x (In x) dx思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解：x3(In x)2dx(In x)2dx4) lx4(In x)244x42In x dxx (16)皿Xx思路將積分表達(dá)式In In x dx 寫成 In In x

30、d (In x)，將 xIn x看作一個整體變量積分即可。解：In In x dxxIn In xd (In x) In xln In xIn x -In x1dx In xIn In x x1dx x(17)xsin x cosxdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解： xsin x cos xdx11xsin 2xdx xd(221 cos2x)211x cos 2xcos 2 xdx4422 x (18) x cos dx2思路：先將cos2 -降冪得21一cosx，然后分項積分;第二個積分嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。2解: x2cos22dx(r21

31、x2 cosx)dx2x2dx ix2 cos xdx(19) (x2 1)si n2xdx思路 :分項后對第一個積分分部積分。解：(x2 1)sin 2xdxx2 sin2xdxsin 2xdxx2d(1 cos2x)21-cos2x2思路 :首先換元，后分部積分。解：令t 3 x，那么 x t3,dx 3t2dt, (21) (arcsin x)2dx思路 :嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可解： (arcsin x)2dx x(arcsinx)22arcsin xdxx2x(arcsinx)22 1 x2 arcsinxx(arcs in x)22 1-2xarcsinxdx21

32、xdxJ1 x2x(arcsi nx)22 12x arcsinx 2x C.(22) ex sin2 xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、指順序湊微分即可。解：方法 方法二:(23)叱亠 Jx思路 :嚴(yán)格按照“反、對、冪、指順序湊微分即可。解：ln (1=x)dxln(1 x)d(2 Jx)=2.xl n(1 x) ®dxJx1 x令tJx,那么 dx 2tdt,所以原積分ln(1廠x)dx 2仮|n(1 x) 4lx 4arctan 仮 C。xx (24)叫dxe思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解： ln(1 xe )dx ln(1 ex)d( e x) e xl

33、n(1 ex) e x e xdxe1 e注：該題中- dx的其他計算方法可參照習(xí)題 4-2，2(33)。1 ex1 x(25) x ln dx1 x思路 :將被積表達(dá)式dxsin 2xcosx寫成dx2sin xcos2 xsec xdx2sin xd tan x2sin x然后分部積分即可dxdx解：2sin 2xcosx 2sin xcos xsec xdx2sin xd tan x2sin x思路 :嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可解：1 x1x12121x121 x 1 x 1 xx IndxIn -d(x )xInx2 dx1 x1x1x1 x (1 x)2注:該題也可以

34、化為1 xlnxdxxl n(1x)ln(1x) dx再利用分部積分法計算。1x ( 26)dxsin 2x cosx2、用列表法求以下不定積分。知識點：仍是分部積分法的練習(xí) 思路分析:審題看看是否需要分項，是否需要分部積分，是否需要湊微分。按照各種方法完成。我們?nèi)匀挥靡话惴椒ń鈱? 不用列表法。 (呢？這里涉及到三角函數(shù)中 1的變形應(yīng)用，初等數(shù)學(xué)中有過專門的介紹，這里 1可變?yōu)閟in2 x cos2 x o) xe3xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解：3x1 3x1xe dx xd( e )- x333x 13x ,13x:ee dx - xe3313x , _e d

35、3x913(x1)貴c (2)(x 1)exdx思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解：(x 1)exdx(x 1)dex(x 1)exexdx xexC。 2)x2 cosxdx思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解：x2 cosxdxx2d sinx2x sinx 2 xsin xdx2x sinx 2xd cosx (4)(x21)e xdx思路:分項后分部積分即可。解：(x2 1)e xdxx2e xdxe xdxx2d( e x)e xdx思路 :嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可解： xln(x 1)dxIn(x 1)d(*x2) 1 x21n(

36、x1)-12dxx 1x e 又Q f(x)=-xf(x) = F e xxf 5、設(shè) |ndx /，(nsin x2)；證明：Incosx.n 1sin xn 2?Vn2 o知識點:仍然是分部積分法的練習(xí)。思路分析cos x:要證明的目標(biāo)表達(dá)式中出現(xiàn)了ln，- 浮sinn x和In 2提示我們?nèi)绾卧诒环e函數(shù)的表達(dá)式1cosx中變岀 n. n 1sin xsin x(6) e e 4、 f(x)二，求 xf (x)dx ox知識點：仍然是分部積分法的練習(xí)。思路分析：積分xf (x)dx中出現(xiàn)了 f(X), 應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分。解：Q xf (x)dx xd(f (x) xf (x)

37、f (x)dx xf (x) f (x) C. * cosxdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指順序湊微分即可。解：Q e x cosxdx cosxd( e x) e xcosx e x sinxdxsin x 3、 是f (x)的原函數(shù)，求 xf (x)dxo x知識點：考察原函數(shù)的定義及分部積分法的練習(xí)。思路分析：積分 xf (x)dx中出現(xiàn)了 f (x),應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分，條件告訴你是f (x)的原函數(shù)，xsin x應(yīng)該知道 f(x)dx C.x解：Q xf (x)dxxd(f (x)=xf (x)f (x)dxsi nxxcosx si nx、 xcosx sin x又

38、Q f (x)dxC, f (x)2, xf (x);xxx1和n 2sin xIndxnsin x2cos x .dx sin x2 2sin x cos xdxnsin x2cos x .dxsin x.2sin x .dxxsin2cos x .dxsin xsinInIncosx ,. n dsinx sin xIn2cosx . n sinx sin xcosxn-1sin xcosxn 1sin x單調(diào)連續(xù)函數(shù)，求:sinxnsinx sin x nsin2n sin x2 xcosxdxInIn2cosx2cos x _ n dx sin xnIn nIn 2n 1 sin xn

39、In1f (x)為其反函數(shù),1f (x)dx。InIncosxn 1sin xcosxnsin1xIn2nIn(nf(x)dxF(x).2sin x i ,n dx In sin x2)In 2 6、設(shè) f( x)為知識點：此題考察了一對互為反函數(shù)的函數(shù)間的關(guān)系，還有就是分部積分法的練習(xí)。 思路分析 :要明白x f (f 1(x)這一恒等式，在分部積分過程中適時替換。解：Q f-1(x)dx=xf-1(x)- xd(f -1(x)又Q x f (f 1(x)又Q f (x)dx F (x) C習(xí)題4-41、求以下不定積分知識點：有理函數(shù)積分法的練習(xí) 思路分析：被積函數(shù)為有理函數(shù)的形式時，要區(qū)分

40、被積函數(shù)為有理真分式還是有理假分式，假設(shè)是假分式，通常將被積函數(shù)分 解為一個整式加上一個真分式的形式，然后再具體問題具體分析。3x(1)dxx 3思路 :被積函數(shù)為假分式，先將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式，然后分項積分解：3xQ x 3x327 27x 32x 3x 927x 3dx54x x3x x解：54x x 83x x(x5x3)(x4x2)(x3x)x2x 82x2x 83x x 1x xx x而 x3x x(x 1)(x 1),人 x2 x 8 A B 令-X廠，等式右邊通分后比擬兩邊分子x 1x的同次項的系數(shù)得:A B C 1A 8C B 1 解此方程組得：B4A

41、8C33 (3)3 dxx 1思路 :將被積函數(shù)裂項后分項積分。解：Q x3 1 (x 1)(x2x 1)x31Bx Cx2 x 1等式右邊通分后比擬兩邊分子x的同次項的系數(shù)得:A+B=OB+C-A=O解此方程組得:A+C=3 (4)丄丄抄(x 1)思路 :將被積函數(shù)裂項后分項積分解：令(x(x1)2(x1)3，等式右邊通分后比擬兩邊分子x的同次項的系數(shù)得:A 0,2A1, A解此方程組得:0, B1, C3x (5)23dxx(x 1)思路 :將被積函數(shù)裂項后分項積分。解:Q；ti兒x(x 1)3 'C(x 1)2D(x 1)3等式右邊通分后比擬兩邊分子 x的同次項的系數(shù)得:ABOA

42、 23A 2B C 0B2解此方程組得：3A B C D 0C2A 2D2 (6)(x 2)(x 3)2思路 :將被積函數(shù)裂項后分項積分解：x(x 2)(x 3)2x 22(x 2)(x 3)2x 2(x 2)( x 3)22(x 2)(x 3)21(x 3)222 ；令22(x 2)( x 3)2(x 2)(x 3)2A B Cx 2 x 3 (x 3)2等式右邊通分后比擬兩邊分子 x的A B0A26A 5BC0解此方程組得：B29A 6B2C2C2同次項的系數(shù)得:22(x 2)( x 3) (7)2 2 22x 2 x 3 (x 3)3xx思路 :將被積函數(shù)裂項后分項積分3x 3(x 1)

43、 333解：Q飛32廠x 1 x 1 x x 1 x 1x 1 x1 xx1AB 0A1AB C0解此方程組得B1AC 3C2而x2而2x x 1j(2x1)3(2x1)31(2x1)32222222 xx12x x12 xx 12x x12x x 1A Bx C令飛2，等式右邊通分后比擬兩邊分子x的同次項的系數(shù)得: (8)1 x2 xdx1)2思路 :將被積函數(shù)裂項后分項積分解：21 x xQ r(x2 1)21x2x21 (x21)2 (x21)2又由分部積分法可知:dxi 22(x 1)xx21xdx(x 1)(x2)( x 3)解：(X 1)(X2)( x3)x 3 3(x 1)(x

44、2)(x 3)(x 1)(x 2)(x 1)(x2)(x 3)(x 1)(x2)(x 3)ABCx 1 x 2 x 33ABC0A25A4B3C0解之得：B36A3B2C3C32等式右邊通分后比擬兩邊分子x的同次項的系數(shù)得:33 _J_(x 1)(x 2)(x 3) x 11(x 1)(x 2) (10)x2 1(x 1)2(x 1)dx思路 :將被積函數(shù)裂項后分項積分解：x21Q(x 1)2(x1)x212(x 1)2(x 1)1 2x 1 (x 1)2(x 1)令一(x21)2(x1)2 ，(x 1)等式右邊通分后比擬兩邊分子x的同次項的系數(shù)得:0,2AC 0,解之得：A 丄，B2 (11)2 dx x(x 1)思路 :將被積函數(shù)裂項后分項積