第五章發(fā)電機(jī)組與負(fù)荷的數(shù)學(xué)模型

1、第5章 發(fā)電機(jī)組與負(fù)荷的數(shù)學(xué)模型51 概 述電力系統(tǒng)的規(guī)模持續(xù)增大，結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜，組件不斷更新，電力系統(tǒng)運(yùn)行對(duì)電力系統(tǒng)的分析、規(guī)劃和控制的方法不斷地提出新的、更高的要求。與此相適應(yīng)的是計(jì)算工具和計(jì)算數(shù)學(xué)以及其它技術(shù)領(lǐng)域也在不斷地進(jìn)步，為研究電力系統(tǒng)提供了新的手段?，F(xiàn)代電力系統(tǒng)分析目前大多是以電子數(shù)字計(jì)算機(jī)為計(jì)算工具，因而，建立描述電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是研究分析電力系統(tǒng)特種專門問題的基礎(chǔ)。把數(shù)學(xué)與客觀物理系統(tǒng)聯(lián)系起來的過程就是通常所說的建模過程。數(shù)學(xué)模型的正確性和準(zhǔn)確性是保證計(jì)算結(jié)果的正確性和準(zhǔn)確性的基本前提。電力系統(tǒng)的過渡過程十分迅速，因而它對(duì)自動(dòng)控制在客觀上有很強(qiáng)的依賴性?，F(xiàn)代電力系統(tǒng)，由于計(jì)

2、算機(jī)和電子技術(shù)在控制領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，包括了種類繁多的自動(dòng)裝置，具有很高的自動(dòng)化程度。如此龐大、復(fù)雜的系統(tǒng)，表現(xiàn)在描述它的數(shù)學(xué)方程方面是方程的極度非線性和高維數(shù)。分析任何復(fù)雜系統(tǒng)的一般方法是：由簡(jiǎn)單到復(fù)雜；由局部到全體。電力系統(tǒng)的分析計(jì)算也是如此。龐大而復(fù)雜的電力系統(tǒng)首先被分解為一個(gè)個(gè)獨(dú)立的基本組件，加發(fā)電機(jī)、變壓器、輸電線、調(diào)速器和勵(lì)磁調(diào)節(jié)器等等，然后運(yùn)用電工理論和其它相關(guān)理論分別建立單個(gè)組件的數(shù)學(xué)模型。組件的數(shù)學(xué)模型是構(gòu)造全系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的基本磚石。有了各種組件的數(shù)學(xué)模型。進(jìn)步根據(jù)電力系統(tǒng)的專門知識(shí)和這些組件在一個(gè)具體系統(tǒng)中的具體聯(lián)系，從而可以建立全系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于同一個(gè)客觀的系統(tǒng)，研究

3、不同的問題數(shù)學(xué)模型可能是不同的。從數(shù)學(xué)上講，電力系統(tǒng)是一個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。在研究這個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)行為時(shí)，涉及到的是代數(shù)方程：在研究動(dòng)態(tài)行為時(shí)，是微分方程(般是常微分方程，某些特殊問題可能涉及偏微分力程)。在研究某些特殊問題時(shí)，模型參數(shù)可能還是時(shí)變的、變量為不連續(xù)的。另外，對(duì)計(jì)算結(jié)果的精度的要求不同，數(shù)學(xué)模型也可能不同。顯然，定性分析的模型相對(duì)于定量分析的模型可以簡(jiǎn)單一些。計(jì)算精度與計(jì)算速度是在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)應(yīng)同時(shí)考慮的兩個(gè)相互矛盾的要求。計(jì)算精度的要求越高，計(jì)算的工作量也就越大，從而完成計(jì)算所需要的時(shí)間就越長。反之，犧牲一定的計(jì)算精度，換取較快的計(jì)算速度是建立數(shù)學(xué)模型和構(gòu)造計(jì)算方法

4、時(shí)常用的方法。研究工作者的努力方向是建立一個(gè)在當(dāng)代計(jì)算工具條件下既滿足工程分析精度要求又滿足工程分析速度要求的數(shù)學(xué)模型和求解方法。一般的情況總是精度與速度之間的折中。數(shù)學(xué)模型的建立通常有兩大問題：第一是確定描述對(duì)象的數(shù)學(xué)方程式。數(shù)學(xué)方程式的確定方法有兩種：一種是分析法即利用專門學(xué)科理論推演出描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；另一種是利用實(shí)驗(yàn)或運(yùn)行數(shù)據(jù)來識(shí)別數(shù)學(xué)模型，即自動(dòng)控制理論中的系統(tǒng)辨識(shí)法。第二是參數(shù)的獲取。無論是微分方程還是代數(shù)方程，方程中總會(huì)有各種物理參數(shù)。一般地，對(duì)子簡(jiǎn)單的組件，由其組件的設(shè)計(jì)參數(shù)按一定的物理關(guān)系可以導(dǎo)出模型參數(shù)。例如對(duì)于架空線路，按導(dǎo)線在空間的排列方式及導(dǎo)線的材料和導(dǎo)線所在的自然

5、環(huán)境，由電磁場(chǎng)理論可以求出輸電線路的4個(gè)等值參數(shù)：電阻、電抗、對(duì)地電容和對(duì)地電導(dǎo)。這種方法隸屬于分析法，但是，對(duì)于復(fù)雜的組件或系統(tǒng)，設(shè)計(jì)參數(shù)與實(shí)際參數(shù)往往有定的差別。例如發(fā)電機(jī)參數(shù)，由于實(shí)際遠(yuǎn)行工況千變?nèi)f化、運(yùn)行中電機(jī)的飽和效應(yīng)、渦流效應(yīng)、旋轉(zhuǎn)效應(yīng)等一系列機(jī)、電、磁和熱能的復(fù)雜轉(zhuǎn)換都會(huì)對(duì)參數(shù)值有或多或少的影響。因此，獲取復(fù)雜組件或系統(tǒng)模型參數(shù)的方法除了理論推導(dǎo)外還有個(gè)很重要的途徑：參數(shù)估計(jì)法。參數(shù)估計(jì)法隸屬于系統(tǒng)辨識(shí)法。系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)是以實(shí)驗(yàn)或運(yùn)行數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)來建立系統(tǒng)(組件)數(shù)學(xué)模型的一個(gè)專門研究領(lǐng)域。本書將不涉及這一方法，有興趣的讀者可參看文獻(xiàn)1。應(yīng)該指出分析法與系統(tǒng)辨識(shí)法并不是截然分開

6、的，只是偏重不同。在分析法里也需要有系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；在辨識(shí)法里也需要由分析法來設(shè)計(jì)試驗(yàn)。分析法與辨識(shí)法各有優(yōu)缺點(diǎn)。當(dāng)人們對(duì)系統(tǒng)有比較深入的了解時(shí)多用分析法，反之則用辨識(shí)法。在第1章中介紹了電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，在第4章中介紹了直流輸電與柔性輸電的數(shù)學(xué)模型。本章將在以下章節(jié)中介紹發(fā)電機(jī)組與負(fù)荷的數(shù)學(xué)模型。發(fā)電機(jī)組的數(shù)學(xué)模型包括同步電機(jī)、勵(lì)磁調(diào)節(jié)系統(tǒng)和調(diào)速系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。52 同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型電力系統(tǒng)中的電源是同步發(fā)電機(jī)。同步發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)特性或者說動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型是研究電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的基礎(chǔ)。在研究建立同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型的近百年歷史中有兩個(gè)重要的里程碑。一個(gè)是20世紀(jì)20年代的雙反應(yīng)理論的建立2,3；

7、另一個(gè)是美國電氣工程師帕克(Park)在20世紀(jì)30年代提出的帕克變換4。帕克在合適的理想化假設(shè)條件下，利用電機(jī)的雙反應(yīng)原理推導(dǎo)出了采用dqo坐標(biāo)系的同步電機(jī)基本方程。在近百年的發(fā)展過程中，同步機(jī)的數(shù)學(xué)模型基本上以帕克的工作為基礎(chǔ)。在帕克之后提出的數(shù)學(xué)模型只是在模擬轉(zhuǎn)子時(shí)采用的等值繞組的數(shù)目、用暫態(tài)和次暫態(tài)參數(shù)表示同步電機(jī)方程式時(shí)所采用的假設(shè)以及磁路飽和效應(yīng)的處理方法等方面有所不同。這些數(shù)學(xué)模型在相關(guān)的書籍、文獻(xiàn)中有詳細(xì)的論述5-15。本節(jié)將詳細(xì)地介紹目前在國內(nèi)外比較廣泛使用的數(shù)學(xué)模型。讀者在閱讀其它參考文獻(xiàn)時(shí)需注意不同的作者可能采用不同的符號(hào)、不同的物理量的參考正方向、不同形式的坐標(biāo)變換矩陣

8、以及不同的基準(zhǔn)值選擇方法。由同步電機(jī)的結(jié)構(gòu)我們知道，轉(zhuǎn)子上的勵(lì)磁繞組是一個(gè)客觀真實(shí)存在的繞組；而阻尼繞組則是電氣上的等值繞組。對(duì)水輪發(fā)電機(jī)等凸極同步電機(jī)，阻尼繞組模擬了分布在轉(zhuǎn)子上的阻尼條的阻尼作用；對(duì)汽輪發(fā)電機(jī)等隱極同步電機(jī)，阻尼繞組則模擬了整塊轉(zhuǎn)子鐵芯中的由渦流所產(chǎn)生的阻尼作用。由于是電氣上的等值繞組，因而可以用一個(gè)乃至多個(gè)繞組來等值。從理論上來講，等值繞組的個(gè)數(shù)越多模擬的精度就越高。采用較多的等值阻尼繞組，僅從建立同步機(jī)的數(shù)學(xué)模型的角度而言并不困難。但是采用過多的等值繞組將帶來兩個(gè)問題，一是使數(shù)學(xué)模型的微分方程階數(shù)增高，從而使后續(xù)的求解計(jì)算量大大增加；二是很難準(zhǔn)確地獲取相關(guān)的電氣參數(shù)。因

9、此，除了在電機(jī)設(shè)計(jì)中有少量采用多個(gè)阻尼繞組來研究某些特殊問題的報(bào)告，在目前應(yīng)用比較廣泛的數(shù)學(xué)模型中，等值阻尼繞組的個(gè)數(shù)一般不超過3個(gè)。由于凸極機(jī)的轉(zhuǎn)于阻尼條與隱極機(jī)的整塊轉(zhuǎn)子鐵芯比起來，前者更接近于真實(shí)的繞組，以及在磁路上凸極機(jī)在轉(zhuǎn)了的直軸（d軸）、交軸(q軸)兩個(gè)方向的磁阻不同而隱極機(jī)相同，故對(duì)于凸極機(jī)，一般在轉(zhuǎn)子的直軸和交軸上各采用一個(gè)等值阻尼繞組，分別記為D繞組和Q繞組；而對(duì)于隱極機(jī)，除了D、Q繞組外在交軸上再增加一個(gè)等值阻尼繞組，記為g繞組。g繞組和Q繞組分別用于反映阻尼作用較強(qiáng)和較弱的渦流效應(yīng)。在電機(jī)學(xué)和參考文獻(xiàn)16、17中已介紹過理想同步電機(jī)的假設(shè)條件，即認(rèn)為同步電機(jī)的磁路對(duì)稱且不

10、飽和及空間磁勢(shì)按正弦分布。下面我們先推導(dǎo)轉(zhuǎn)子具有D、g和Q三個(gè)阻尼繞組的理想同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，然后介紹計(jì)及電機(jī)鐵芯磁路飽和效應(yīng)的方法。順便指出，所介紹的數(shù)學(xué)模型對(duì)于同步發(fā)電機(jī)、同步調(diào)相機(jī)相同步電動(dòng)機(jī)都是適用的。5.2.1 同步電機(jī)的基本方程 1原始方程式圖5-1(a)和(b)分別為同步電機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖和各繞組的電路圖。為一般起見，考慮轉(zhuǎn)子為凸極并具有D、g、Q三個(gè)阻尼繞組而將隱極電機(jī)或轉(zhuǎn)子僅有D、Q阻尼繞組時(shí)分別處理為它的持殊情況。圖中給出了本書所采用的定子三相繞組abc、轉(zhuǎn)子勵(lì)磁繞組f和阻尼繞組D、g、Q的電流、電壓和磁軸的參考正方向。需特別注意的是，定子三相繞組磁軸的正方向分別與各繞組的

11、正向電流所產(chǎn)生的磁通的方向相反；而轉(zhuǎn)子各繞組磁軸的正方向與其正向電流所產(chǎn)生的磁通的方向相同；轉(zhuǎn)了的q軸沿轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向超前d軸90°。另外，選定各繞組磁鏈的正方向與相應(yīng)的磁軸正方向一致。圖5-1 同步電機(jī)結(jié)構(gòu)和等值電路圖(圖中未標(biāo)出繞組間的互感)由圖5-1（b）并注意各物理量的參考正向，可以列出各繞組的電壓平衡方程，即式中：為微分算子。由于是理想同步電機(jī)，故不計(jì)磁路飽和效應(yīng)，因而各繞組的磁鏈可以通過各繞組的L自感及繞組之間的互感M表示為下邊的磁鏈方程：由電工理論知，上式中的系數(shù)矩陣是對(duì)稱矩陣。由圖5-1(a)并注意轉(zhuǎn)子是旋轉(zhuǎn)的，可以看出有些繞組的磁路的磁阻是隨轉(zhuǎn)子位置的改變而呈周期性變

12、化的，因而這些繞組的自感及互感也是轉(zhuǎn)子位置的函數(shù)。在理想同步電機(jī)的假設(shè)條件下，定子電流所產(chǎn)生的磁勢(shì)及定子繞組與轉(zhuǎn)子繞組間的互磁通在空間均按正弦規(guī)律分布。轉(zhuǎn)子的位置由轉(zhuǎn)子d軸與定于a相繞組磁軸之間的夾角為表征，從而各繞組的自感和繞組間的互感可以表示如下16,18：(1) 定子各相繞組的自感和定子繞組之間的互感.順便指出，在理想同步電機(jī)的條件下，可以證明19 。另外，對(duì)于隱極電機(jī)，由于轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)過程中與定子繞組自感及定子繞組間的互感相關(guān)的磁路的磁阻不發(fā)生變化，因而顯然有，從而上邊的自感和互感都是常數(shù)。(2) 定子繞組與轉(zhuǎn)子繞組之間的互感。(3)轉(zhuǎn)子各繞組的自感和轉(zhuǎn)子繞組之間的互感。由于轉(zhuǎn)子繞組隨轉(zhuǎn)

13、子一起旋轉(zhuǎn)，因而無論凸極機(jī)還是隱極機(jī)，這些繞組的磁路的磁阻都不因轉(zhuǎn)子位置的改變而變化，這樣轉(zhuǎn)子繞組的自感及轉(zhuǎn)子繞組之間的互感均為常數(shù)。注意到直軸上的f、D繞組與交軸上的g、Q繞組彼此正交，因而它們之間的互感為零，即由上邊的分析已知：繞組的自感及繞組之間的互感不都是常數(shù)。其中一些是隨轉(zhuǎn)子位置而變化的。因而由式(5-1)和式(5-2)組成的以時(shí)間t為自變量的常微分方程是變系數(shù)的常微分方程。變系數(shù)和常系數(shù)的常微分方程，對(duì)前者的求解要比后者困難得多。因此人們希望能將上邊的變系數(shù)常微分方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的常微分方程。為此，先后提出過數(shù)種坐標(biāo)變換的方法5。帕克所提出的dqo坐標(biāo)系4是這類坐標(biāo)變換中被普遍采用

14、的一種。在dqo坐標(biāo)系中，磁鏈方程成為常系數(shù)方程，從而使得同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型成為常系數(shù)常微分方程。下邊我們就介紹帕克變換的具體方法。帕克變換特定于電流、電壓和磁鏈的abc三相分量通過相同的坐標(biāo)變換矩陣分別變換成d、q和o三個(gè)分量。其變換關(guān)系式可統(tǒng)一寫成為行文方便，記上式為緊湊形式稱矩陣P為帕克變換。不難得出帕克變換的逆變換為或式（5-8）（5-11）中的符號(hào)A可分別代表電流、電壓或磁鏈。即有以下各式成立：順便指出，不同的作者所采用的坐標(biāo)變換矩陣P，其元素可能不同。特別地，有的將它取為正交矩陣。應(yīng)用坐標(biāo)變換關(guān)系式(5-12)和式(5-13)，以及各繞組的自感和繞組間的互感表達(dá)式(5-3)(5-7

15、)，不難將式(5-1)和式(5-2)變換成dqo坐標(biāo)系下的方程：式中：為同步機(jī)的電角速度。 帕克變換實(shí)際上相當(dāng)于將定子的三個(gè)相繞組用結(jié)構(gòu)與它們相同的另外三個(gè)等值繞組d繞組、q繞組和o繞組來代替。本質(zhì)的區(qū)別在于abc三個(gè)相繞組的磁軸在空間是靜止的，而dqo繞組的磁軸在空間與轉(zhuǎn)子同速旋轉(zhuǎn)。d繞組和q繞組的磁軸正方向分別與轉(zhuǎn)子的d軸和q軸相同，用來反映定子三相繞組的電氣量在d軸和q軸方向的行為；而o繞組用于反映定子三相中的零序分量。式(516)中的、和依次為等值d繞組、q繞組和o繞組的自感，它們依次對(duì)應(yīng)于d軸同步電抗、q軸同步電抗和o軸同步電抗。由式(516)可見，式(515)的系數(shù)矩陣是常數(shù)矩陣，

16、因而描述同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型式(514)已被變換成常系數(shù)常微分方程。由式(514)可以看出，同步機(jī)定子繞組的電壓由三部分組成：一是定子繞組電流流過定子繞組時(shí)，在定子繞組電阻上的壓降；二是由于定子繞組的磁鏈隨時(shí)間變化而產(chǎn)生的電勢(shì)，這一部分電勢(shì)通常稱為同步機(jī)的變壓器電勢(shì)，三是由于同步機(jī)的旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的電勢(shì)，這一部分電勢(shì)通常稱為同步機(jī)的發(fā)電機(jī)電勢(shì)。數(shù)值上發(fā)電機(jī)電勢(shì)遠(yuǎn)大于變壓器電勢(shì)。需要注意，式(515)的系數(shù)矩陣是不對(duì)稱的，即定子d、q和o繞組與轉(zhuǎn)子間的互感為不可逆。這是由變換引起的。如果將各轉(zhuǎn)子繞組的電流分別用它們的倍替換11,17，或者將P取為正交矩陣13，則這些互感即成為可逆的。順便指出，由式(5

17、16)還可見，對(duì)于凸極機(jī),；對(duì)于隱極機(jī)，由于，。注意到隱極機(jī)與凸極機(jī)的這一區(qū)別，從而可以將凸極機(jī)的數(shù)學(xué)模型直接用于隱極機(jī)。當(dāng)電流和電壓取圖5-1（b）所示的參考方向時(shí)，三相定子繞組輸出的總功率為對(duì)上式進(jìn)行坐標(biāo)變換，由式（5-13），可得dqo坐標(biāo)系下的定子繞組輸出功率方程3.表幺制下的同步電機(jī)方程由于標(biāo)么制的諸多優(yōu)點(diǎn)，在電力系統(tǒng)分析中普遍使用標(biāo)么制。同步電機(jī)的參數(shù)通常也都是用表幺值給比。因此我們需將有名制下的同步電機(jī)方程(514)、(515)轉(zhuǎn)化為標(biāo)幺制下的同步電機(jī)方程。在4.3.1節(jié)中介紹直流輸電系統(tǒng)的標(biāo)么制基本方程時(shí)已述及：由于標(biāo)幺制要求不同物理量的基準(zhǔn)值之間必須滿足有名制下原有的關(guān)系，因

18、而總有一些物理量的基準(zhǔn)值是人為取定的，而另一些基準(zhǔn)值是由它們之間的物理關(guān)系導(dǎo)出的。顯然人為取定的基準(zhǔn)值是不惟一的。基準(zhǔn)值的取法不同將產(chǎn)生不同的標(biāo)幺制系統(tǒng)。般的原則是，在所取定的基準(zhǔn)值下，使得到的標(biāo)幺制方程盡可能地簡(jiǎn)單。本書介紹一種應(yīng)用比較廣泛的基準(zhǔn)值系統(tǒng)“單位勵(lì)磁電壓?jiǎn)挝欢ㄗ与妷骸被迪到y(tǒng)。仍用帶有下標(biāo)B的記號(hào)表示相應(yīng)物理世的基準(zhǔn)值；用下標(biāo)“*”來表示相應(yīng)物理量的標(biāo)幺值。首先人為取定同步機(jī)電轉(zhuǎn)速的基準(zhǔn)值為同步角頻率()。注意，由于本身是無量綱的，故其無基準(zhǔn)值可言。而時(shí)間的基準(zhǔn)值應(yīng)滿足，則可導(dǎo)出時(shí)間的基準(zhǔn)值。因而有在同步機(jī)定子側(cè)，人為取定于電壓、電流的幅值分別作為定子電壓、電流的基準(zhǔn)值。導(dǎo)出定子

19、三相功率、阻抗和磁鏈的基準(zhǔn)值為順便指出，上邊和的取值與電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的標(biāo)幺制系統(tǒng)是一致的。在同步機(jī)轉(zhuǎn)子側(cè)的f、D、g、和Q四個(gè)繞組中，按照在同一標(biāo)幺制系統(tǒng)中，功率基準(zhǔn)惟一的原則，有由于上式的約束，轉(zhuǎn)子每個(gè)繞組中的基準(zhǔn)電壓和基準(zhǔn)電流可以人為取定一個(gè)，而另一個(gè)由上式導(dǎo)出。此處暫不討論人為取定哪一個(gè)及如何取。電壓、電流的基準(zhǔn)值確定之后，阻抗、磁鏈的基準(zhǔn)值由下式確定：下邊我們將同步電機(jī)的基本方程(514)和(515)化為標(biāo)幺制。在式(514)中的7個(gè)繞組電壓平衡方程兩邊同除以各自的電壓基準(zhǔn)值并注意到上邊式(519)(524)給出的各基準(zhǔn)值之間的關(guān)系，不難得出式中：為標(biāo)幺微分算子：同法，在式(515)

20、中的7個(gè)繞組的磁鏈方程兩邊同時(shí)除以各自的磁鏈基準(zhǔn)值，也注意到上邊式(519)(624)給出的各基準(zhǔn)值之間的關(guān)系，不難得出式中：另外，在式（5-18）兩邊同除，由式（5-20）可得標(biāo)幺制下的同步機(jī)的輸出功率注意，標(biāo)幺制下的同步電機(jī)方程(525)與有名制下的同步電機(jī)方程(514)具有相同的形式。但標(biāo)幺制下的磁鏈方程(527)的系數(shù)矩陣是對(duì)稱的，即轉(zhuǎn)子與定子之間的互感在用標(biāo)幺值表示時(shí)是可逆的。另外，注意到標(biāo)幺制下，通過選擇合適的電感基準(zhǔn)值，總可以使電抗的標(biāo)幺值與電感的標(biāo)幺值相等。因此，磁鏈方程的系數(shù)矩陣也可以用電感的標(biāo)幺值來表示。5.2.2 用電機(jī)參數(shù)表示的同步電機(jī)方程上邊我們介紹了用標(biāo)幺值表示的同

21、步電機(jī)方程。以下為行文方便，如不特別指出，都是在標(biāo)幺制下討論，且省去標(biāo)么值下標(biāo)“*”。 在同步電機(jī)基本方程(525)和(527)中，由式(526)和式(528)確定其18個(gè)參數(shù)。這18個(gè)參數(shù)我們稱為同步電機(jī)的原始參數(shù)。這些參數(shù)的數(shù)值大小與同步電機(jī)的制造工藝、材料有很密切的關(guān)系。嚴(yán)格地講，即使兩臺(tái)同型號(hào)的同步機(jī)，它們的參數(shù)也未必相等。通過分析計(jì)算來獲取這些原始參數(shù)的準(zhǔn)確值是十分困難的。因此，工程上通常將同步機(jī)的18個(gè)原始參數(shù)轉(zhuǎn)換成11個(gè)由穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)和次暫態(tài)參數(shù)組成的一組參數(shù)，并稱其為電機(jī)參數(shù)。電機(jī)參數(shù)可以通過電機(jī)實(shí)驗(yàn)直接獲得。這11個(gè)電機(jī)參數(shù)分別是定子繞組的電阻()，交、直軸同步電抗(、)，交、

22、直軸暫態(tài)電抗(、)，和交、直軸次暫態(tài)電抗(、)以及4個(gè)時(shí)間常數(shù)(、)?？梢?，電機(jī)參數(shù)的個(gè)數(shù)少于原始參數(shù)的個(gè)數(shù)，因此從原始參數(shù)轉(zhuǎn)化成電機(jī)參數(shù)時(shí)需要一些假設(shè)條件。 首先，由于定子繞組中的零軸分量電流在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)為零，故對(duì)轉(zhuǎn)子的電氣量不產(chǎn)生任何影響。從同步機(jī)的基本方程(525)和(527)可以很容易地看出這一點(diǎn)，因而在式(525)和式(527)中可不必關(guān)心零軸分量的方程。這樣，參數(shù)也一并不予關(guān)心。這樣，式(525)寫成式（5-27）寫成下邊根據(jù)通常的電機(jī)參數(shù)的定義，導(dǎo)出電機(jī)參數(shù)與原始參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而導(dǎo)出用電機(jī)參數(shù)表達(dá)的同步電機(jī)基本方程。這里所采用的假設(shè)條件為：認(rèn)為在式(532)、式(533)中的

23、原始參數(shù)之間存在式(534)所表示的關(guān)系20：對(duì)于d軸，電機(jī)參數(shù)與原始參數(shù)關(guān)系如下。(1) d軸同步電抗的定義為：當(dāng)f、D繞組開路時(shí)，令定子繞組中流過只含有d軸分量的電流，此時(shí)測(cè)得的定子繞組電抗即是。由此定義知，公式(532)中，則有可見，原始參數(shù)正式電機(jī)參數(shù)，即二者相同。(2)d軸暫態(tài)電抗的定義為：當(dāng)f組短路、D繞組開路時(shí)，令定子繞組中突然流過只含有d軸分量的電流，此時(shí)測(cè)得的定子繞組電抗即是。由此定義知，由于D繞組開路，故有；由于f繞組短路，當(dāng)定子中突然流過電流的瞬時(shí)，根據(jù)磁鏈?zhǔn)睾愕脑?，有。這樣在式(532)中，我們有由上式消去，得可見(3)d軸次暫態(tài)電抗的定義為：當(dāng)f、D繞組都短路時(shí)，令

24、定子繞組中突然流過只含有d軸分量的電流，此時(shí)測(cè)得的定子繞組電抗即是。由此定義，在式(532)中，,即有在上式中消去和得可見由前邊的假設(shè)條件式（534）中的第一式解出并代入式（536），得（4）d軸開路暫態(tài)時(shí)間常數(shù)的定義為：當(dāng)d、D繞組都開路時(shí)，f繞組電流的衰減時(shí)間常數(shù)，由定義可見， 在式（530）和式（532），得注意在表幺制下，由上式得顯見事實(shí)上，由于d、D繞組都開路，f繞組成為一個(gè)孤立的繞組，因而其電流的衰減時(shí)間常數(shù)就是f繞組自身的時(shí)間常數(shù)。(5)d軸開路次暫態(tài)時(shí)間常數(shù)的定義為：當(dāng)d繞組開路、f繞組短路時(shí)，D繞組電流的衰減時(shí)間常數(shù)。由定義可見，在式(530)和式(532)中，得即是顯見這是

25、一個(gè)二階電路的情況，因而存在兩個(gè)時(shí)間常數(shù)。考慮到的值很小，因而近似認(rèn)為并從上式中消去電流，得顯見至此，我們得到了d軸的5個(gè)電機(jī)參數(shù)與原始參數(shù)之間的關(guān)系式。同法，根據(jù)q軸的各個(gè)電機(jī)參數(shù)的定義，由q軸的電壓平衡方程(531)、磁鏈方程(533)與假定條件式(534)可以得到q軸的5個(gè)電機(jī)參數(shù)與原始參數(shù)之間的關(guān)系式。為閱讀方便，下邊將11個(gè)電機(jī)參數(shù)與18個(gè)原始參數(shù)的關(guān)系式一并列出如下(各式左邊為電機(jī)參數(shù)，右邊為原始參數(shù))：以上11個(gè)電機(jī)參數(shù)可以由電機(jī)實(shí)驗(yàn)方便地測(cè)出。值得指出的是，式（540）給出電機(jī)參數(shù)與原始參數(shù)之間的關(guān)系式依賴于所采用的假設(shè)條件(534)。采用不同的假設(shè)條件，電機(jī)參數(shù)與原始參數(shù)間特

26、有不同的關(guān)系式，如文獻(xiàn)13；而不同的關(guān)系式則導(dǎo)致用電機(jī)參數(shù)表示的同步機(jī)方程有不同的形式。另外需指出的是，電機(jī)參數(shù)的數(shù)值僅與電機(jī)參數(shù)的定義有關(guān)而與所采用的假設(shè)條件無關(guān)。下邊我們推導(dǎo)用電機(jī)參數(shù)表示的同步電機(jī)方程。為此引入與各轉(zhuǎn)子繞組電流成正比的空載電勢(shì)以及與轉(zhuǎn)子各繞組磁鏈成正比的暫態(tài)、次暫態(tài)電勢(shì)。它們分別定義為空載電勢(shì)：暫態(tài)電勢(shì)：在用原始參數(shù)表示的同步機(jī)基本方程(530)(533)中，把所有轉(zhuǎn)子繞組電流、轉(zhuǎn)子繞組磁鏈用式(540)(542)定義的電勢(shì)表出，并注意到原始參數(shù)與電機(jī)參數(shù)的關(guān)系式(540)和所采用的假定條件式(534)，不難導(dǎo)出以下用電機(jī)參數(shù)表示的同步電機(jī)方程。定子繞組磁鏈方程：轉(zhuǎn)子繞組

27、磁鏈方程：定子繞組電壓平衡方程：轉(zhuǎn)子繞組電壓平衡方程：式中的物理意義為同步機(jī)穩(wěn)態(tài)空載時(shí)的定子電壓。實(shí)際上，為與相對(duì)應(yīng)的假想穩(wěn)態(tài)勵(lì)磁電流，在暫態(tài)過程中它與實(shí)際的勵(lì)磁電流并不相等。由式(541)的定義顯見，這一穩(wěn)態(tài)勵(lì)磁電流與的乘積將得出空載電勢(shì)，故稱為假想空載電勢(shì)。由轉(zhuǎn)子繞組磁鏈方程(544)解出代數(shù)變量、和，得把式（548）代入式（543）、式（546），消去其中的代數(shù)變量，得定子繞組磁鏈方程轉(zhuǎn)子繞組電壓平衡方程注意在式(547)中仍然含有原始參數(shù)與。回避這兩個(gè)原始參數(shù)的方法是：通過選擇合適的基準(zhǔn)值，使得在標(biāo)幺制下有，從而有。滿足這種要求的基準(zhǔn)值系統(tǒng)通常稱為“單位勵(lì)磁電壓?jiǎn)挝欢ㄗ与妷骸被鶞?zhǔn)值系統(tǒng)

28、。具體的方法介紹如下。前已述及，在式(523)中，已由定子側(cè)基準(zhǔn)值取定；每個(gè)轉(zhuǎn)子繞組需人為取定各自的基準(zhǔn)電壓或基準(zhǔn)電流，然后由式(523)導(dǎo)出另一個(gè)基準(zhǔn)值。“單位勵(lì)磁電壓?jiǎn)挝欢ㄗ与妷骸被鶞?zhǔn)值系統(tǒng)首先人為取定勵(lì)磁繞組的基準(zhǔn)電壓，然后由式(523)導(dǎo)出勵(lì)磁繞組的基準(zhǔn)電流。的具體值為，當(dāng)同步電機(jī)穩(wěn)態(tài)、空載且以同步速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，使得同步電機(jī)定子電壓等于定子電壓基準(zhǔn)值時(shí)的勵(lì)磁電壓即為的取值。顯然，按上述條件，可以通過電機(jī)實(shí)驗(yàn)獲取。由以上對(duì)的定義，在式(514)和式(515)中所涉及的電流中僅，可得解出，有注意，則將上式與式（528）中的的表達(dá)式相比較，顯見，有成立。從而在表幺制下：至此，我們得到了用11個(gè)

29、電機(jī)參數(shù)表示的同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，它由定子繞組電壓平衡方程(545)、定子繞組磁鏈方程(549)和轉(zhuǎn)子繞組電壓平衡方程(550)組成。值得指出的是，該模型對(duì)轉(zhuǎn)子各繞組除勵(lì)磁繞組的基準(zhǔn)值有明確規(guī)定外，各阻尼繞組的基準(zhǔn)電壓、基準(zhǔn)電流的取值只要滿足式523)即可。此外，勵(lì)磁繞組的電壓還受勵(lì)磁系統(tǒng)的控制，故式(550)中的存在將引出同來電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)的方程。描述同步電機(jī)的勵(lì)磁系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型將在53節(jié)討論。5.2.3 同步電機(jī)的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型上邊我們推導(dǎo)了轉(zhuǎn)子采用廣、f、g、D 和Q四個(gè)繞組來等值的同步機(jī)數(shù)學(xué)模型；由式(550)可見，描述轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)過程的微分方程有四階。現(xiàn)代電力系統(tǒng)中，并列運(yùn)行的同步發(fā)電機(jī)

30、臺(tái)數(shù)可高達(dá)千臺(tái)以上，因而過高的微分方程階數(shù)往往帶來所謂“維數(shù)災(zāi)”問題，使分析計(jì)算實(shí)際上無法進(jìn)行。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，常根據(jù)對(duì)分析計(jì)算不同的精度要求，對(duì)同步機(jī)的數(shù)學(xué)模型給予簡(jiǎn)化，而僅僅對(duì)一些需要特殊關(guān)心的同步機(jī)才采用較高階的數(shù)學(xué)模型。同步機(jī)的簡(jiǎn)化模型按照對(duì)轉(zhuǎn)子繞組的取舍分為三繞組模型、兩繞組模型、不計(jì)阻尼繞組模型和為常數(shù)的模型以及所謂經(jīng)典模型。這些簡(jiǎn)化模型都可以從四繞組轉(zhuǎn)子模型中導(dǎo)出。為節(jié)省篇幅，此處不再給出詳盡的推導(dǎo)。為方便讀者使用，稍加說明而直接給出這些模型。1. 三繞組轉(zhuǎn)子模型（f、D、Q）在凸極機(jī)中，轉(zhuǎn)子q軸通常只考慮一個(gè)等值阻尼繞組Q，而認(rèn)為g繞組不存在。這相當(dāng)于在四繞組轉(zhuǎn)子模型中令。

31、這樣，在式(541)中即有，在式(542)中即有且，從而轉(zhuǎn)子電壓平衡方程降為三階：定子電壓平衡方程及定子磁鏈方程的形式不發(fā)生變化。2. 兩繞組轉(zhuǎn)子模型（f、g，亦稱雙軸模型）只在q軸上考慮一個(gè)阻尼繞組g，人為D，Q繞組不存在。相當(dāng)于在四繞組轉(zhuǎn)子模型中令。則在式（5-41）中即有，在式（5-42）中即有，從而定子繞組磁鏈方程為轉(zhuǎn)子繞組電壓平衡方程將為二階：定子電壓平衡方程的形式不發(fā)生變化。3. 不計(jì)阻尼繞組的模型（f，亦稱變化的模型）不計(jì)阻尼繞組，相當(dāng)于在四繞組轉(zhuǎn)子模型中令，則在式（5-41）中即有，在式(5-42)中即有，從而定子繞組成鏈方程為轉(zhuǎn)子電壓平衡方程將為一階：定子電壓平衡方程的形式不

32、發(fā)生變化。 4. 為常數(shù)的模型不計(jì)阻尼繞組且忽略勵(lì)磁繞組的暫態(tài)過程，認(rèn)為勵(lì)磁調(diào)節(jié)器的控制作用使得式(5-56)右邊恒為零。即。這樣，同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型僅為定子電壓平衡方程(545)和定子磁鏈方程(555)而不出現(xiàn)描述轉(zhuǎn)子繞組的微分方程。為常數(shù)的模型集中在同步電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程中由同步電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式來描述同步電機(jī)。5.經(jīng)典模型進(jìn)一步在同步電機(jī)的電磁功率表達(dá)式中認(rèn)為，使同步機(jī)電磁功率表達(dá)式更為簡(jiǎn)化。以上從對(duì)轉(zhuǎn)子繞組簡(jiǎn)化的角度對(duì)同步機(jī)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化。在定子繞組電壓平衡方程中，在進(jìn)行電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時(shí)，通常有以下兩個(gè)方面的簡(jiǎn)化。（1）忽略定子回路的電磁暫態(tài)過程。即在定子電壓平衡方程式(545)中

33、忽略因和隨時(shí)間變化而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。這樣，定子電壓平衡方程式成為對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性計(jì)算而言，這一簡(jiǎn)化是十分必要的。由定子繞組磁鏈方程(549)可見，定子繞組磁鏈對(duì)時(shí)間求導(dǎo)將涉及到定子電流對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。由于發(fā)電機(jī)定子繞組與電力網(wǎng)絡(luò)相連，電力網(wǎng)絡(luò)由電阻、電感和電容按照一定的拓?fù)湟?guī)則連接而成，因而定子電流對(duì)時(shí)間求導(dǎo)特使描述電力網(wǎng)絡(luò)的方程成為微分方程，從而使描述整個(gè)電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的階數(shù)大大增加。另外，當(dāng)同步電機(jī)定子繞組和電力網(wǎng)絡(luò)的電磁暫態(tài)過程不被忽略時(shí)，同步電機(jī)的定子電流中將包含高頻分量。由于這些高頻分量的存在，欲使計(jì)算有相應(yīng)的精度，在數(shù)值積分時(shí)就要求有較小的積分步長。對(duì)于現(xiàn)代大型電力系統(tǒng)，微分方程

34、階數(shù)的增加和積分步長的減小都將使計(jì)算量增加到使分析計(jì)算無法進(jìn)行的程度。事實(shí)上，由子電力網(wǎng)絡(luò)中的電磁暫態(tài)過程相對(duì)于同步電機(jī)的機(jī)電暫態(tài)過程而言十分迅速，因而在電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中忽略其暫態(tài)過程對(duì)分析結(jié)果的影響甚小。在忽略定子回路的電磁暫態(tài)過程的條件下，由式(557)可見，同步電機(jī)的定子電壓平衡方程式即成為代數(shù)方程，因而描述電力網(wǎng)絡(luò)的方程也是代數(shù)方程，即通常所謂的穩(wěn)態(tài)關(guān)系式。（2）在定子電壓平衡方程式中，認(rèn)為同步電機(jī)的轉(zhuǎn)速。恒為同步轉(zhuǎn)速。標(biāo)幺制下即恒取。注意，這并不是認(rèn)為同步電機(jī)的轉(zhuǎn)速在暫態(tài)過程中不發(fā)生變化，而僅僅是由于各種控制的作用，的變化范圍不大，因而由于的變化而引起的定子電壓在數(shù)值上的變化很小

35、。這一簡(jiǎn)化并不能在計(jì)算量上獲得較大的節(jié)省，但是研究表明，在定子電壓平衡方程中恒取可以部分地彌補(bǔ)忽略定子繞組電磁暫態(tài)過程所帶來的誤差18。這樣，同步電機(jī)的定子電壓平衡方程式成為5.2.4 同步電機(jī)的穩(wěn)態(tài)方程和相量圖從數(shù)學(xué)上講，所謂電力系統(tǒng)的暫態(tài)分析就是求解描述電力系統(tǒng)暫態(tài)行為的微分方程組。而電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)即是這個(gè)微分方程的定解條件。以下導(dǎo)出獲取穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)所需的公式，即通常所說的同步電機(jī)穩(wěn)態(tài)方程式。注意同步電機(jī)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行方式下，轉(zhuǎn)子以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，各電氣量對(duì)稱且各阻尼繞組電流為零。由于各阻尼繞組電流為零，因而其相應(yīng)的空載電勢(shì)也為零，而其它繞組的電流、和對(duì)應(yīng)于的空載電勢(shì)及所有繞組的磁鏈都保持不

36、變。為便于區(qū)別，用大寫字母表示其相應(yīng)電氣量的穩(wěn)態(tài)值。1用同步電抗表示的穩(wěn)態(tài)方程由式(543)，有注意在穩(wěn)態(tài)時(shí)，有并將式（5-59）代入定子電壓平衡方程（5-58）：在電力系統(tǒng)潮流計(jì)算完成以后，我們已知的是復(fù)平面下x-y坐標(biāo)系的同步電機(jī)的機(jī)端電壓和機(jī)端電流。欲得到同步電機(jī)自身d-q坐標(biāo)系下的、和，需確定這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換式，即確定二者之間的夾角。為此，將式(560)中的第一式乘j后加到第二式上，經(jīng)整理可得據(jù)上式定義虛構(gòu)電勢(shì)：注意與同方向，由向量圖5-2（a）可見，與x軸的夾角即是d-q坐標(biāo)與x-y坐標(biāo)的夾角，因而由式（5-61）可以確定，從而不難得到兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換式：式中：A表示電流、

37、電壓、磁鏈和各種電勢(shì)。順便指出，可以證明上邊的坐標(biāo)變換式不僅對(duì)穩(wěn)態(tài)值成立，而且對(duì)瞬時(shí)值也成立。、和確定以后即可由式(560)求出微分狀態(tài)變量的初值。 2.用暫態(tài)電抗表示的穩(wěn)態(tài)方程由式（5-44）的第一、三兩式，有注意穩(wěn)態(tài)時(shí)，將式（5-60）的第一、二兩式分別代入上式的第一、二式以消去上式中含有同步電抗和的項(xiàng)，從而可得3.用次暫態(tài)電抗表示的穩(wěn)態(tài)方程 由式（5-44）的第二、四兩式，有與式（5-64）的推到完全相同，得 式(560)、式(564)和式(565)構(gòu)成了轉(zhuǎn)子采用四繞組模型時(shí)的同步電機(jī)穩(wěn)態(tài)方程。由此三式可以確定所涉及的五個(gè)微分狀態(tài)變量、和的初值。對(duì)應(yīng)于此三式的向量圖見圖52。當(dāng)同步電機(jī)采

38、用簡(jiǎn)化模型時(shí)，相應(yīng)的微分狀態(tài)變量初值可以直接從轉(zhuǎn)子四繞組模型的穩(wěn)態(tài)方程中獲取。例如，當(dāng)不計(jì)阻尼繞組時(shí)：5.2.5 考慮飽和影響時(shí)的同步電機(jī)方程 前面所推導(dǎo)的同步電機(jī)方程是在假定電機(jī)磁路不飽和的條件下導(dǎo)出的。實(shí)際上，為了節(jié)省材料，同步電機(jī)在設(shè)計(jì)和制造上使得同步機(jī)在額定工況下運(yùn)行時(shí)，定于和轉(zhuǎn)子的鐵芯已處于淺度飽和狀態(tài)。在特殊工況下，如果磁通密度增大，飽和現(xiàn)象將愈趨明顯和嚴(yán)重。在系統(tǒng)的規(guī)劃及運(yùn)行決策分析時(shí)，忽略飽和效應(yīng)帶來的誤差不大。但在某些特殊情況下，例如在詳細(xì)模擬勵(lì)磁調(diào)解器及其限幅環(huán)節(jié)的暫態(tài)穩(wěn)定分析中，機(jī)組的飽和效應(yīng)可能顯著地影響分析計(jì)算的精度。對(duì)磁路飽和效應(yīng)的研究可以追溯到五六十年以前。詳細(xì)地

39、模擬磁路的飽和效應(yīng)將使同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型十分復(fù)雜，主要原因是磁路的飽和程度與作用于電機(jī)氣隙的總磁勢(shì)有關(guān)。這就需要將d軸與q軸的磁勢(shì)合成為氣隙總磁勢(shì)后再根據(jù)飽和曲線求出相應(yīng)的磁通和磁鏈。而且即使氣隙總磁勢(shì)在空間嚴(yán)格按正弦分布，但由于各點(diǎn)的磁勢(shì)不等，其飽和程度也各不相同，從而使氣隙的磁通波形發(fā)生畸變。因而在工程上，在兼顧模型的簡(jiǎn)單性、參數(shù)的有效性和計(jì)算的精確性諸方面因素的同時(shí)，通常都進(jìn)行一些適當(dāng)?shù)慕?124。下面介紹在穩(wěn)定性分析中常用的一種方法22。 所采用的假設(shè)條件為： 1)磁路飽和的影響簡(jiǎn)化為d、q軸分別考慮。d軸和q軸磁路的磁阻，其差別僅在于兩軸氣隙長度的不同。 (2)在同一軸下，飽和程度

40、由保梯(Potier)電抗后相應(yīng)的保梯電壓分量來決定。保梯電壓越高，飽和程度越嚴(yán)重。d、q軸的保梯電壓分量分別為另外，近似認(rèn)為同一軸下的定子繞組和轉(zhuǎn)子繞組的電壓和磁鏈具有相同的飽和程度。 (3)近似認(rèn)為氣隙磁通分布波形的畸變不影響各繞組的自感相互感以及相應(yīng)電抗的不飽和位。 飽和程度的深淺用飽和系數(shù)來反映。對(duì)于d軸，飽和系數(shù)可以根據(jù)電機(jī)的空載飽和特性來決定，這是因?yàn)橄喈?dāng)于d軸合成氣隙磁通在q繞組中所產(chǎn)生的電壓。對(duì)于的某一取值，由圖53所示的同步電機(jī)空載飽和特性可以得出相應(yīng)的不飽和值，從而定義為顯然，的值越大，飽和度越深。為零時(shí)相當(dāng)于末發(fā)生飽和。對(duì)于q軸，由于其飽和特性難于通過電機(jī)實(shí)驗(yàn)獲得，故由上

41、述假設(shè)條件(1)，其飽和系數(shù)也按電機(jī)空載飽和特性來確定，將其值取為為了求得飽和系數(shù)，一種簡(jiǎn)單常用的方法是將圖5-3中的空載飽和特性曲線用一個(gè)近似的解析函數(shù)擬合，即參數(shù)a、b和n的取值可參考文獻(xiàn)25。顯然，當(dāng)b取值為零時(shí)即是不飽和特性曲線，為于是，在圖5-3中的三角形相似關(guān)系，有即式中：。 同理，由式（5-68），有下邊討論計(jì)及飽和效應(yīng)時(shí)的同步電機(jī)轉(zhuǎn)子繞組電壓平衡方程、定子繞組磁鏈方程以及定子繞組電壓平衡方程。由不計(jì)飽和效應(yīng)的轉(zhuǎn)子繞組電壓平衡方程(550)的推導(dǎo)過程可知，該式的右端各項(xiàng)是轉(zhuǎn)子繞組的電流流過其繞組時(shí)在繞組的等值電阻上引起的壓降以及繞組的外施電壓(即勵(lì)磁繞組的激勵(lì)電壓)，因而不存在飽

42、和與否的問題。故當(dāng)計(jì)及飽和效應(yīng)時(shí)，在此式的右端仍用不飽和值。而此式的左端對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)子各繞組的磁鏈隨時(shí)間變化而引起的感應(yīng)電壓，顯然當(dāng)計(jì)及飽和效應(yīng)時(shí)這些項(xiàng)應(yīng)采用與實(shí)際磁鏈相對(duì)應(yīng)的飽和值。按照前邊的假定(2)并注意到式(567)，可知在d軸方向上，各電勢(shì)和磁鏈的不飽和值與相應(yīng)的飽和值之比都等于;類似地，對(duì)q軸則為。因此，當(dāng)計(jì)及飽和的影響時(shí)，同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子繞組電壓平衡方程成為式中：各電勢(shì)的下標(biāo)s表示相應(yīng)電勢(shì)的飽和值。 計(jì)及飽和效應(yīng)后，定子繞組磁鏈方程由式（5-49）成為由未計(jì)及飽和效應(yīng)的同步電機(jī)定子繞組電壓方程(558)及保梯電壓的定義式(566)可以得出不飽和時(shí)保梯電壓與定子繞組磁鏈的關(guān)系為由飽和值與

43、不飽和值間的關(guān)系，有將式(572)代入上式即得飽和時(shí)保梯電壓與電勢(shì)的關(guān)系為再將上式代入保梯電壓定義式即得計(jì)及飽和效應(yīng)時(shí)的定子繞組電壓平衡方程為 式(566)、式(571)、式(572)和式(575)共同構(gòu)成了計(jì)及飽和效應(yīng)時(shí)的同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型。至此讀者不難推導(dǎo)出計(jì)及飽和效應(yīng)時(shí)的同步電機(jī)穩(wěn)態(tài)方程。 另外，必須指出，在實(shí)際應(yīng)用中，常假定定子漏磁鏈不飽和而將保梯電抗的值取為繞組漏抗。5.2.6同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程式1剛性轉(zhuǎn)子情況下的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程式當(dāng)把原動(dòng)機(jī)和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子視為一個(gè)剛休時(shí)，整個(gè)發(fā)電機(jī)組的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為16，17式中式中：為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子q軸與以同步速度旋轉(zhuǎn)的系統(tǒng)參考軸x間的電角度，為無量綱純

44、數(shù)，習(xí)慣上將其以弧度(rad)計(jì)量；為發(fā)電機(jī)組的慣性時(shí)間常數(shù)，量綱為秒(s)；為轉(zhuǎn)子在同步轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，量綱為焦耳(J)；為基準(zhǔn)容量，量綱為伏安(VA)；和。分別為原動(dòng)機(jī)的機(jī)械輸出轉(zhuǎn)矩和發(fā)電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩的標(biāo)幺值，其基準(zhǔn)值為為轉(zhuǎn)子的機(jī)械同步轉(zhuǎn)速，量綱為弧度秒(rads)。和，的正方向分別取為與轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)方向相同和相反。順便指出，在國外的文獻(xiàn)中，轉(zhuǎn)子的機(jī)械慣性常用來表示。顯見，在式(576)中，將換成2H即可。此外，有以下兩個(gè)問題需要注意。 (1)由子轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速的乘積為該轉(zhuǎn)矩的功率，且。故在標(biāo)么制下有式中：為原動(dòng)機(jī)的機(jī)械輸出功率；為同步發(fā)電機(jī)的電磁功率。由于電力系統(tǒng)的各種穩(wěn)定控制措施的作用，的

45、變化不大，因而為了節(jié)省計(jì)算量，有時(shí)在上式中直接將的值取為1，從而認(rèn)為轉(zhuǎn)矩的標(biāo)幺值與功率的標(biāo)么值相等。 (2)轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)中受到空氣以及軸與軸承間的摩擦阻力，這些力對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生阻尼轉(zhuǎn)矩，通常近似認(rèn)為這個(gè)轉(zhuǎn)矩的大小與轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速成正比并用風(fēng)阻系數(shù)D與轉(zhuǎn)速的積來反映?？紤]到以上兩個(gè)因素，當(dāng)時(shí)間變量也采用標(biāo)幺值時(shí)，剛體轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程就是 （5-78）順便指出，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程中涉及到的機(jī)組的機(jī)械轉(zhuǎn)矩或機(jī)械功率受機(jī)組的調(diào)速系統(tǒng)的控制，因而機(jī)械轉(zhuǎn)矩或機(jī)械功率的出現(xiàn)將引出機(jī)組調(diào)速系統(tǒng)的方程。描述機(jī)組調(diào)速系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型將在5.4節(jié)討論。在式（5-78）中，實(shí)際上將發(fā)電機(jī)和原動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子合并在一起，看成是一個(gè)集中的剛性質(zhì)量

46、塊。對(duì)于一般的暫態(tài)穩(wěn)定性系統(tǒng)，這種處理方法不會(huì)引起明顯的誤差。但是，在分析電力系統(tǒng)次同步諧振問題時(shí)們對(duì)于大型汽輪發(fā)電機(jī)組，由于汽輪機(jī)由多級(jí)組成，整個(gè)機(jī)組轉(zhuǎn)子軸的總長度可達(dá)數(shù)十米，轉(zhuǎn)子軸客觀存在的彈性便不能被忽略。通常把軸上的勵(lì)磁機(jī)、發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子和各個(gè)汽缸的轉(zhuǎn)子各自處理為一個(gè)集中質(zhì)量塊，整個(gè)軸系的彈性處理為各質(zhì)量塊的扭簧的彈性。在考慮了彈性之后，各質(zhì)量塊在暫態(tài)過程中的轉(zhuǎn)速就可能不同，因而質(zhì)量塊之間就會(huì)出現(xiàn)相對(duì)角位移。每一個(gè)質(zhì)量塊的轉(zhuǎn)動(dòng)方程共同構(gòu)成發(fā)電機(jī)組的軸系方程。此處不在詳細(xì)介紹軸系方程，有興趣的讀者可參看文獻(xiàn)26,27。2.同步點(diǎn)擊的電磁轉(zhuǎn)矩和電磁功率在轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程（5-78）涉及到原動(dòng)機(jī)的機(jī)

47、械轉(zhuǎn)矩（或功率）和同步機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩（或功率）。前者由機(jī)組的原動(dòng)機(jī)或機(jī)組的調(diào)速系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來確定，我們?cè)?.4節(jié)討論。此處討論電磁轉(zhuǎn)矩及電磁功率的計(jì)算模型。同步機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩放映同步機(jī)定子與轉(zhuǎn)子間通過電與磁的相互作用而對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的力的作用?？梢詮睦碚撋献C明：電磁轉(zhuǎn)矩等于各繞組儲(chǔ)存的總磁場(chǎng)能量對(duì)轉(zhuǎn)子角度的偏導(dǎo)數(shù)4 ，即 （5-79）式中：為同步機(jī)轉(zhuǎn)子d軸與定子繞組a軸的夾角，參見圖5-1（a）；為同步機(jī)的定子三相繞組和轉(zhuǎn)子各繞組所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量的總和，可表示為 （5-80）上式中的負(fù)號(hào)時(shí)因定子繞組電流的參考方向與其磁鏈的參考方向相反而引起。由式（5-2）（5-7），注意轉(zhuǎn)矩的基準(zhǔn)值為便可導(dǎo)出 （5

48、-81）由上式可見，電磁轉(zhuǎn)矩與定子的零軸分量無關(guān)，這是因?yàn)榱爿S磁通不與轉(zhuǎn)子繞組相匝鏈。另外，雖然上式是在轉(zhuǎn)子采用四繞組模型下導(dǎo)出的，但對(duì)轉(zhuǎn)子采用其它更高階或低階的模型同樣適用，只是推導(dǎo)過程稍有不同， 當(dāng)轉(zhuǎn)子采用四繞組模型時(shí)，將定子繞組磁鏈方程(5-49)代入上式即可得該模型下的電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式 （5-82）由上邊的表達(dá)式并注意到式（5-77）可以直接得到同步機(jī)的電磁功率表達(dá)式。但是這樣得到的電磁功率表達(dá)式中含有微分狀態(tài)變量、，從而使得在后續(xù)的求解過程中計(jì)算量很大。為了解決這個(gè)問題，把定子繞組電壓方程式(545)代入式(581)并注意式(5-77)，可以導(dǎo)出電磁功率的常用表達(dá)式顯然為同步機(jī)的定子繞

49、組銅耗。當(dāng)忽略定子繞組的電磁暫態(tài)過程時(shí)，將上式與同步機(jī)的輸出功率表達(dá)式(529)比較可知，這時(shí)的發(fā)電機(jī)電磁功率等于發(fā)電機(jī)的輸出功率與發(fā)電機(jī)的定子繞組銅耗之和。順便指出，式(583)也適用于轉(zhuǎn)子不采用四繞組模型的情況以及計(jì)及飽和效應(yīng)的情況。53 發(fā)電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 在式(550)中含有變量。由式(5-51)知，在“單位勵(lì)磁電壓?jiǎn)挝欢ㄗ与妷骸被鶞?zhǔn)值系統(tǒng)下，等于發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁繞組電壓。發(fā)電機(jī)勵(lì)磁繞組電壓受發(fā)電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)的控制，因此，必須建立發(fā)電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 發(fā)電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)的基本功能是給發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁繞組提供合適的直流電流，以在發(fā)電機(jī)定子空間產(chǎn)生磁場(chǎng)。歷史上，早期的勵(lì)磁系統(tǒng)是通過手動(dòng)控制來

50、調(diào)節(jié)勵(lì)磁繞組的電壓以維持所需的發(fā)電機(jī)端電壓和相應(yīng)的無功出力。20世紀(jì)20年代，人們初步認(rèn)識(shí)到連續(xù)、快速地控制勵(lì)磁電流對(duì)提高電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的積極作用。自此，各種勵(lì)磁方式和自動(dòng)勵(lì)磁調(diào)節(jié)器先后被提出和采用。20世紀(jì)60年代，電力系統(tǒng)穩(wěn)定器的提出和應(yīng)用進(jìn)一步擴(kuò)展了勵(lì)磁控制系統(tǒng)對(duì)提高電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的作用。隨著自動(dòng)控制理論和計(jì)算機(jī)控制技術(shù)的發(fā)展，不斷地有新的勵(lì)磁調(diào)節(jié)器被提出。調(diào)節(jié)功能從單的發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓控制發(fā)展到多功能的勵(lì)磁控制；控制器的反饋信號(hào)從單一的機(jī)端電壓偏差發(fā)展到以電壓偏差為主，附加發(fā)電機(jī)電磁功功率、發(fā)電機(jī)電角速度、系統(tǒng)頻率、發(fā)電機(jī)定于電流、勵(lì)磁電流或勵(lì)磁電壓的偏差以及它們的組合；控制策略從簡(jiǎn)單的

51、比例反饋調(diào)節(jié)發(fā)展到比例-積分-微分調(diào)節(jié)，從線性勵(lì)磁調(diào)節(jié)發(fā)展到自校正勵(lì)磁調(diào)節(jié)、自適應(yīng)勵(lì)磁控制、模糊勵(lì)磁控制等非線性勵(lì)磁調(diào)節(jié)；在實(shí)現(xiàn)手段上，從早期的機(jī)電式或電磁式發(fā)展到晶體管式或集成電路式等模擬調(diào)節(jié)器，直到近代的基于微處理器或微型計(jì)算機(jī)的數(shù)字式勵(lì)磁控制器。應(yīng)用現(xiàn)代控制理論的設(shè)計(jì)思想28、由微型計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的數(shù)字式勵(lì)磁控制系統(tǒng)29是未來十?dāng)?shù)年的主要研究發(fā)展方向。 電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的精確分析離不開勵(lì)磁系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。對(duì)新型勵(lì)磁控制器的理論設(shè)計(jì)首先要根據(jù)其數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真計(jì)算以確認(rèn)其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的效果是否理想。本書不討論勵(lì)磁調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)原理，只介紹目前已廣泛應(yīng)用的勵(lì)磁調(diào)節(jié)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。這些勵(lì)磁系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)

52、和工作原理可參看文獻(xiàn)30。對(duì)于各種相對(duì)比較新型的勵(lì)磁控制器，例如線性最優(yōu)勵(lì)磁控制器(LOEC)、非線性最優(yōu)勵(lì)磁控制器(NOEC)28，由于它們尚處在理論研究或被實(shí)踐檢驗(yàn)的階段，故本書也不作更深入的討論。一般的勵(lì)磁系統(tǒng)的組成可以用圖54表示。主勵(lì)磁系統(tǒng)為發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁繞組提供勵(lì)磁電流；勵(lì)磁調(diào)節(jié)器用于對(duì)勵(lì)磁電流進(jìn)行調(diào)節(jié)或控制；發(fā)電機(jī)端電壓測(cè)量與負(fù)載補(bǔ)償環(huán)節(jié)測(cè)量發(fā)電機(jī)的端電壓并對(duì)發(fā)電機(jī)負(fù)載電流進(jìn)行補(bǔ)償；輔助調(diào)節(jié)器對(duì)勵(lì)磁調(diào)節(jié)器輸入輔助控制信號(hào)，最常用的輔助調(diào)節(jié)器為電力系統(tǒng)穩(wěn)定器。保護(hù)與限幅環(huán)節(jié)用以確保機(jī)組的各種運(yùn)行參數(shù)不越過其限值。5.2節(jié)已介紹了發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，下邊我們將逐框地介紹其他部分的用于電力

53、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的數(shù)學(xué)模型。這些數(shù)學(xué)模型適用于系統(tǒng)頻率偏差不超過5、振蕩頻率約在3Hz以內(nèi)的工況。一般地講，對(duì)于研究次同步諧振或其他的軸系扭振問題，這些模型的精確性是不夠的。531 主勵(lì)磁系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型根據(jù)勵(lì)磁電源的獲取方式，勵(lì)磁系統(tǒng)可以分為直流勵(lì)磁機(jī)系統(tǒng)、交流勵(lì)磁機(jī)系統(tǒng)和靜止勵(lì)磁系統(tǒng)三類。前兩類也合稱旋轉(zhuǎn)勵(lì)磁系統(tǒng)。以下分別介紹三類主勵(lì)磁系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。1.直流勵(lì)磁機(jī)由于運(yùn)行維護(hù)成本過大，已不用于新建的大容量的發(fā)電機(jī)組。但是某些電力系統(tǒng)中仍可能有未退役的直流勵(lì)磁機(jī)，因此仍有必要介紹其數(shù)學(xué)模型。作為一般的情況，討論同時(shí)具有自勵(lì)和它勵(lì)的直流勵(lì)磁機(jī)的數(shù)學(xué)模型。其原理接線如圖55所示。圖中，表示勵(lì)磁機(jī)的

54、電樞；和、和分別為自勵(lì)、它勵(lì)繞組的電阻相自感；、和分別為自勵(lì)、它勵(lì)和復(fù)勵(lì)電流；為它勵(lì)繞組的外施電壓；為可變調(diào)節(jié)電阻。為分析簡(jiǎn)單起見，認(rèn)為它勵(lì)繞組和自勵(lì)繞組的匝數(shù)相同，或者認(rèn)為它勵(lì)繞組的匝數(shù)和參數(shù)已被折算到自勵(lì)繞組側(cè)。據(jù)此，可以列出下列電壓平行方程和不計(jì)磁路飽和效應(yīng)的磁鏈方程：在上邊的磁鏈方程中，近似認(rèn)為它勵(lì)繞組和自勵(lì)繞組完全耦合。這樣，每個(gè)繞組的漏抗為零，不飽和自感和繞組間的互感都相等，于是由式(585)得式中：為不計(jì)磁路飽和效應(yīng)時(shí)它勵(lì)繞組和自勵(lì)繞組的磁鏈；為直流機(jī)的總勵(lì)磁電流。 計(jì)及磁路飽和效應(yīng)后，實(shí)際的磁鏈與直流機(jī)的總勵(lì)磁電流之間的關(guān)系由圖56(a)所示的直流勵(lì)磁機(jī)的飽和特性曲線來確定。類

55、似于式(567)，定義直流勵(lì)磁機(jī)的飽和系數(shù)為如圖56所示，式中是在不考慮飽和效應(yīng)時(shí)，為了產(chǎn)生而需要的總勵(lì)磁電流。的數(shù)值大小反映了直流勵(lì)磁機(jī)飽和程度的深淺，描述了飽和磁鏈與不飽和磁鏈體之間的關(guān)系。的具體數(shù)值通常由勵(lì)磁機(jī)的負(fù)載特性曲線獲取。如圖56(b)，由于勵(lì)磁機(jī)的負(fù)載是固定的，即發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁繞組，當(dāng)忽略發(fā)電機(jī)勵(lì)磁電流在暫態(tài)過程中的變化對(duì)勵(lì)磁機(jī)的電樞電壓的影響時(shí)，可以近似地認(rèn)為勵(lì)磁機(jī)的輸出電壓與其內(nèi)電勢(shì)成正比。進(jìn)一步忽略轉(zhuǎn)速的變化，則磁鏈便與電壓成正比。據(jù)此，圖56(b)中的不飽和特性可以由下式表示：順便指出，為勵(lì)磁機(jī)的不飽和負(fù)載特性曲線的斜率，具有歐姆的量綱。由上式及式（5-86）可得注意已知

56、磁鏈與電壓成正比，故上式顯然可以推廣為 田56 直流勵(lì)磁機(jī)的飽和特性曲線把式(584)的第一式兩邊同除以，第二式兩邊同除以，再將它們相加，注意到式(586)、式(587)和式(590)，不難導(dǎo)出由式（5-90）、（5-88）和式（5-89）有將上式代入式(591)以消去其中的變量，經(jīng)整理可得式中：和分別為自勵(lì)繞組和它勵(lì)繞組的時(shí)間常數(shù)，量綱為秒。式(592)是有名制下的勵(lì)磁機(jī)輸入量、與輸出量的關(guān)系。為與在52節(jié)中導(dǎo)得的標(biāo)幺制下的發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型聯(lián)立，需將式(592)化成標(biāo)幺制。注意，燈的基準(zhǔn)值已在52節(jié)中推導(dǎo)同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型時(shí)取定，故此處不能另取。而和的基準(zhǔn)值需要選取。為此首先將式(592)兩邊同除以，顯見當(dāng)按下式選取勵(lì)磁機(jī)的勵(lì)磁電流和它勵(lì)繞組電壓基準(zhǔn)值時(shí)，標(biāo)幺制下的方程具有最簡(jiǎn)潔的形式。式（5-92）的標(biāo)幺制方程為式中：、和分別稱為勵(lì)磁機(jī)的自勵(lì)系數(shù)、時(shí)間常數(shù)和復(fù)勵(lì)增益。順便指出，調(diào)節(jié)電阻可以適當(dāng)?shù)卣{(diào)整這三個(gè)參數(shù)。式(595)便是圖5-5所示勵(lì)磁機(jī)的數(shù)學(xué)模型。因57為與其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)框圖(已按習(xí)慣略去了標(biāo)幺制下標(biāo)*)。獲取飽和系數(shù)與直流