2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題《初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)》綜合檢測試卷含答案

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題初中數(shù)學(xué) 旋轉(zhuǎn)綜合檢測試卷含答案一、旋轉(zhuǎn)1. (1)如圖，在矩形 ABCD中，對角線 AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF，BD,交 AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE、DF,且BE平分/ABD. 求證：四邊形 BFDE是菱形；直接寫出/ EBF的度數(shù)；(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究，如圖 ，點(diǎn)G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連 接GD, H為GD的中點(diǎn)，連接 FH并延長，交ED于點(diǎn)J,連接IJ IH、IF、IG.試探究線段 IH與FH之間滿足的關(guān)系，并說明理由；(3)把中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究，如圖 ，當(dāng)矩形ABCD滿足AB=AD時(shí)

2、，點(diǎn)E是對角 線AC上一點(diǎn)，連接 DE、ER DF,使4DEF是等腰直角三角形， DF交AC于點(diǎn)G.請直接寫 出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)詳見解析；60。. (2) IH= J3fH； (3) EG2=AG2+C左【解析】【分析】(1) 由DOEBOF,推出EO= OF, OB= OD,推出四邊形 EBFD是平行四邊形， 再證明EB= ED即可. 先證明/ABD= 2/ADB,推出/ ADB= 30°,延長即可解決問題.(2) IH= J3FH.只要證明JF是等邊三角形即可.(3)結(jié)論：EG2=AG2+cE?.如圖3中，將4ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

3、得到ADCM,先證 明DE84DEM,再證明 ECM是直角三角形即可解決問題.【詳解】(1)證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形, .AD/BC, OB= OD,/ EDO= / FBO, 在 DOE和BOF中，EDO= FBOO£ BOF.,.DOEABOF7,EO= OF, 1.OB=OD, 四邊形EBFD是平行四邊形，EF± BD, OB=OD,.EB=ED, 四邊形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ ABE= / EBD, .EB=ED,/ EBD= / EDB,/ ABD=2Z ADB, / ABD+Z ADB=90 °,，/ADB=30； /ABD=

4、60 ；/ ABE= / EBO= / OBF= 30 °,/ EBF= 60 °.(2)結(jié)論：ih=J3fh.理由：如圖2中，延長BE至1J M,使得EM=EJ,連接MJ.V1. 四邊形EBFD是菱形，/ B= 60 °,-.EB=BF= ED, DE/ BF,/ JDH= / FGH, 在 DHJ和AGHF中，DHG= GHFDH=GH , JDH= FGH .DH乒GHF, .DJ=FG, JHF,.EJ= BG= EM=BI,.BE=IM = BF, / MEJ= / B= 60 ； .MEJ是等邊三角形，.-.MJ=EM=NI, ZM = ZB=60 &

5、#176;在 BIF和AMJI中，BI=MJB= M ,BF=IM2 .BIFAMJI,.IJ= IF, /BFI=/MIJ, HJ= HF,.-.IH± JF3 / BF+Z BIF= 120 :4 / MIJ+Z BIF= 120 ；/ JIF= 60 ； JIF是等邊三角形，在 RtIHF 中，. /IHF= 90°, /IFH= 60°,/ FIH= 30 °, IH= 73 FH.(3)結(jié)論：EG2=AG2+C邑理由：如圖3中，將4ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ADCM, / FA。/ DEF= 90 °, .AFED四點(diǎn)

6、共圓，/ EDF= / DAE= 45 : / ADC= 90 ； / ADF+Z EDC= 45 °, / ADF= / CDM, / CDM+Z CDE= 45 = / EDG, 在ADEM和 DEG中，DE=DEEDG= EDM , DG = DM .DEGADEM,.GE= EM, / DCM= / DAG= / ACD= 45 ； AG= CM, / ECM= 90 ° EC2+CM2= EM2, . EG= EM, AG=CM, .GE2=AG2+C邑【點(diǎn)睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定 和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，

7、解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn) 化的思想思'考問題.2.已知正方形ABCD的邊長為4, 一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別 與BC DC的延長線交于點(diǎn) E、F,連接EF,設(shè)CE= a, CF b.(1)如圖1,當(dāng)a=4j2時(shí)，求b的值；(2)當(dāng)a=4時(shí)，在圖2中畫出相應(yīng)的圖形并求出 b的值;(3)如圖3,請直接寫出/EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式.圖1圖2圖3【答案】(1) 4V2； (2) b=8; (3) ab=32.試題分析：(1)由正方形ABCD的邊長為4,可得AC= 472 , Z ACB= 45 °.再

8、CE= a = 4后，可得/ CAE= / AEC,從而可得/ CAF的度數(shù)，既而可得 b=AC；(2)通過證明ACD4ECA即可得；(3)通過證明 ACDECA,即可得.試題解析：(1)二正方形ABCD的邊長為4, .-.AC= 472 , Z ACB= 45 °. CE= a = 472，Z CAE= Z AEC= 45-= 22.5 °, . . / CAF= / EAF-/ CAE= 22.5 °,2/ AFC= / ACD- / CAF= 22.5，CAF= / AFQb=AC= CF= 472 ；(2) ./FAE= 45°, ZACB= 4

9、5°,/ FAJ / CAE= 45°, Z CAE+ Z AEC= 45°,/ FAC=/ AEC又 / ACF= / ECA= 135°,AACFAECAACECCF . 4.2CA '4CF4.2CF=8,即 b=8.(3) ab=32.提示：由(2)知可證ACQECAACEC_b_4> 2.ab=32.3.如圖所示，(1)正方形ABCD及等腰RtAEF有公共頂點(diǎn) A, / EAF=90；連接BE、DF,將RtAEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，BE、DF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？結(jié)合圖(1)給予證明；(2)將(1)中的正方形 ABC

10、D變?yōu)榫匦?ABCD,等腰RtAEF變?yōu)镽tAEF,且AD=kAB,AF=kAE,其他條彳不變.(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖(2)說明理由；(3)將(2)中的矩形 ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅?ABCD,將RtA AEF變?yōu)锳AEF,且/BAD=/ EAF=q其他條彳不變.(2)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖 (3),如果不變，直接 寫出結(jié)論；如果變化，直接用k表示出線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系，用 a表示出直線BE、DF形成的銳角3.圖1圖2圖3【答案】(1) DF=BE且DFLBE,證明見解析；(2)數(shù)量關(guān)系改變，位置關(guān)系不變，即DF=kBE, DF± BE; (3)不改變.DF=kB

11、E, 3=18?！啊窘馕觥俊痉治觥?1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中線段的長度不變，得到AF= AE,又/ BAE與/ DAF都與/ BAF互余，所以/BAE=/DAF,所以FAg4EAB,因此BE與DF相等，延長 DF交BE于G, 根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出/ EGF= 90°,所以DF± BE;(2)等同(1)的方法，因?yàn)榫匦蔚泥忂叢幌嗟?，但根?jù)題意，可以得到對應(yīng)邊成比例，所以FAgEAB,所以DF=kBE,同理，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角 和等于360°求出/EHF= 90°,所以DF, BE；(3)與(

12、2)的證明方法相同，但根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360 °求出/£人5+/ EHF= 180 °,所以 DF 與 BE 的夾角 3= 180 -【詳解】(1) DF與BE互相垂直且相等.證明：延長 DF分別交AR BE于點(diǎn)P、GEc在正方形ABCD和等腰直角4AEF中AD= AB, AF= AE,/ BAD= / EAF= 90 °/ FAD= / EAB2 .FADAEABZ AFD= Z AEB, DF= BE3 / AFD+Z AFG= 180 :4 / AEG+Z AFG= 180 ；5 Z EAF 90 ；Z EGR= 18

13、0 - 90 = 90 ,DFXBEDF= kBE, DF± BE殷竺AB AE Z BAD= Z EAF=a Z FAA Z EAB FAD A EABDF AF , kBE AE.DF= kBE.FADAEAB, Z AFA Z AEB,Z AFD+Z AFH= 180 ；Z AEH+ZAFH=180 ； Z EAR= 90 °,Z EH曰 180 - 90 = 90 ；DFXBE(3)不改變.DF=kBE, 3=180 - a.延長DF交EB的延長線于點(diǎn) H,. AD=kAB, AF= kAEAD k AF5ABAE(2)數(shù)量關(guān)系改變，位置關(guān)系不變.AD AFAB A

14、E6 / BAD= / EAF= a/ FAD= / EAB7 .FADAEABDF AF , kBE AE.DF= kBE由 FAD EAB得 / AFD= / AEB / AFD+/ AFH= 180 ° / AEB+Z AFH= 180 ° 四邊形AEHF的內(nèi)角和為360 ； / EAF+Z EHF= 180 ° / EAF= a, / EHF= 3 -a+ 3= 180 :3= 180 - a【點(diǎn)睛】本題（1）中主要利用三角形全等的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明；（2） （3）利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明，要解決本題，證明三角形全等和三角相似是解題的

15、關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在.4 .在RABC中，AB=BC=5, / B=90°,將一塊等腰直角三角板白直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)。處，將三角板繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交 AB, BC或其延長線于E, F兩 點(diǎn)，如圖與是旋轉(zhuǎn)三角板所得圖形的兩種情況.（1）三角板繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)，OFC是否能成為等腰直角三角形？若能，指出所有情況（即給出OFC是等腰直角三角形時(shí) BF的長）；若不能，請說明理由；（2）三角板繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)，線段OE和OF之間有什么數(shù)量關(guān)系？用圖 或 加以證明；（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊上的點(diǎn)P處（如圖），當(dāng)AP:AC=1:4時(shí)，PE和PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你發(fā)現(xiàn)

16、的結(jié)論.圖圖圖®【答案】（1） OFC是能成為等腰直角三角形，（2） OE=OF （3） PE PF=1: 3.【解析】【小題1】由題意可知， 當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，由AB=BC=5,可以推出CF和OF的長度，即可推出BF的長度，當(dāng)B與F重合時(shí)，根據(jù)直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，即可推出OF的長度，即可推出 BF的長度；【小題2】連接OB,由已知條件推出 OEg4OFC,即可推出OE=O【小題3】過點(diǎn)P做PMAB, PN± BC,結(jié)合圖形推出 PNF PME, AAPMAPNC, 繼而推出PM: PN=PE PF, PM: PN=AP: PC,根據(jù)已知條彳即可推出 PA: AC=PE

17、 PF=1: 4.5 .如圖：在 4ABC中，Z ACB=90°, AC=BC / PCQ=45,把/ PCQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在整個(gè)旋 轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn) A作AD, CP,垂足為D,直線AD交CQ于E.(1)如圖，當(dāng)/PCQ在/ACB內(nèi)部時(shí)，求證： AD+BE=DE(2)如圖，當(dāng)CQ在/ACB外部時(shí)，則線段 AD、BE與DE的關(guān)系為 ；(3)在(1)的條件下，若 CD=6, Sabce=2Saacd,求 AE 的長.【答案】(1)見解析【解析】(2) AD=BE+DE(3) 8試題分析：(1)延長DA到F,使DF=DE,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距 離相等可得CE=CF,再求出

18、ZACF=Z BCE,然后利用 邊角邊”證明 ACF和 BCE全等，根 據(jù)全等三角形的即可證明AF=BE,從而得證；(2)在AD上截取DF=DE,然后根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得CE=CF,再求出/ACF=/BCE，然后利用 邊角邊”證明4ACF和4BCE全等，根據(jù)全等三角形 的即可證明AF=BE,從而得到AD=BE+DE;(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出 CD=DF=DE,再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底 邊的比求出AF=2AD,然后求出AD的長，再根據(jù) AE=AD+DE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解. 試題解析：(1)證明：如圖，延長DA到F,使DF=DE. -. CD

19、)± AE,CE=CF,/ DCE=ZDCF=Z PCQ=45 ；/ ACD+Z ACF=Z DCF=45 :又/ ACB=90 ； / PCQ=45 ；Z ACD+ZBCE=90 - 45 =45 :，/ACF=/BCE 在 AACF 和 ABCE 中，CE CFACF BCE , .AC陣 BCE (SAS ,AF=BE, . AD+BE=AD+AF=DF=DE,即AC BCAD+BE=DE;(2)解：如圖，在 AD上截取 DF=DE. CD，AE,CE=CF,/ DCE=ZDCF=Z PCQ=45 ；/ ECF=Z DCE/ DCF=90 ；/ BCEZ BCF=Z ECF=9

20、0 :又 / ACB=90 ；/ ACF+Z BCF=90 ；/ ACF=Z BCE 在 ACF和 BCE中,CE CFACF BCE , .AC陣 BCE (SAS , ，AF=BE, . AD=AF+DF=BE+DE,即 AC BCAD=BE+DE;故答案為：AD=BE+DE.(3) / DC- DCF=Z PCQ=45°,. / ECF=45°+45°=90°,， ECF是等腰直角三角形，.CD=DF=DE=6.Sbce=2Saacd,，AF=2AD, . AD= X 6=2 . . AE=AD+DE=2+6=8.1 2點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的

21、判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離 相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大，作輔助線構(gòu)造出全 等三角形是解題的關(guān)鍵.6.如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AE,將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn)90。，得到AF,連接EF,交對角線BD于點(diǎn)G,連接AG.(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；(2)判定AG與EF的位置關(guān)系并證明；(3)當(dāng)AB=3, BE=2時(shí)，求線段 BG的長.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3) 25 .2【解析】【分析】(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；(2)先判斷出ADFABE,進(jìn)而判斷出點(diǎn) C, D, F共線，即可判斷出 DF8

22、HEG, 得出FG=EG即可得出結(jié)論；(3)先求出正方形的對角線 BD,再求出BH,進(jìn)而求出 DH,即可得出HG,求和即可得出 結(jié)論.【詳解】(1)補(bǔ)全圖形如圖所示,(2)連接 由旋轉(zhuǎn)知，DF,AE=AF, / EAF=90 ,四邊形ABCD是正方形，AB / CD, AD=AB, / ABC=Z ADC=BAD=90 ,° / DAF=Z BAE, .ADFAABE (SAS , ，DF=BE /ADF=/ ABC=90 / ADF+Z ADC=180 ,°.點(diǎn)C, D, F共線， .OF/ AB,過點(diǎn)E作EH/ BC交BD于H,/ BEH=Z BCD=90 ,°

23、; DF/ EH,/ DFG=Z HEG,BD是正方形ABCD的對角線,/ CBD=45 ； .BE=EH / DGF=Z HGE, .DF8 4HEG (AAS), .FG=EG .AE=AF, AGXEF;(3) .BD是正方形的對角線，.BD= 72 AB=3 V2，由(2)知，在 RtBEH中，BH=6bE=2&, ，dg=bd-bh=、2由(2)知，ADFGAHEG,.DG=HG,.HG=1DH=, 22BG=BH+HG=2無 + =52 .此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性 質(zhì)，勾股定理，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.7.如圖，在OAB

24、CD中，AB=10cm, BC=4cm, /BCD=120°, CE平分/BCD交 AB于點(diǎn) E.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，連接 CP,將 PCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使CE與CB重合，得到 AQUB,連接PQ.(1)求證：4PCQ是等邊三角形；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4PBQ的周長是否存在最小值？若存在，求出4PBQ周長的最小值；若不存在，請說明理由；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的直角三角形？【答案】(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析；(3) t為2s或者14s. 【解析】分析：(1)根據(jù)

25、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明 PC®4QCB,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三 角形的判定證明即可；(2)利用平行四邊形的性質(zhì)證得 4BCE為等邊三角形，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 PBQ的周長為4+CP,然后垂線段最短可由直角三角形的性質(zhì)求解即可；(3)根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)的距離，分類討論求解即可 .詳解：(1) :旋轉(zhuǎn).-.PCEAQCB .CP=CQ Z PCE =/ QCB, / BCD=120 ,° CE平分 / BCD,/ PCQ=60 ； / PCE 吆 QCE=Z QCB+Z QCE=60 . PCQ為等邊三角形.(2)存在. CE 平分 / BCD,/ BCE=60 , 在

26、平行四邊形 ABCD中， .AB/ CD/ ABC=180 - 120 =60 ° BCE為等邊三角形BE=CB=4;旋轉(zhuǎn).,.PCEAQCB，EP=BQCapbcfPB+BQ+PQ=PB+EP+PQfBE+PQ=4+CPCP，AB時(shí)，PBC周長最小當(dāng) CP，AB 時(shí)，CP=BCsin60 =273.PBQ周長最小為4+ 2J3(3)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)P重合時(shí)，P,B,Q不能構(gòu)成三角形當(dāng)0W6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，/ CPEfZ CQB,/ CPQ=/ CPB+Z BPQ=60 °則：/BPQ+/ CQB= 60°,又 / QPB+Z PQC+Z CQB+Z PBQ=180/

27、CBQ=180-60 -60 =60 °/ QBP=60 ； B BPQ< 60 °,所以/ PQB可能為直角由(1)知，4PCQ為等邊三角形，/ PBQ=60 ； C CQB= 30 ° / CQB= / CPB/ CPB=30 °/ CEB= 60 ；/ ACP= / APC=30 °PA=CA=4,所以 APfAE-EP=6-4=2所以t=2 1 2s當(dāng)6v tv 10時(shí)，由/ PBQ= 120 °> 90°,所以不存在 當(dāng)t>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)得： /PBQ=60°,由(1)得/CPQ=60&

28、#176;/ BPQ=/ CPQ+/ BPC=60+°/ BPC,而/ BPC> 0°, / BPQ> 60 °/ BPQ=90 ；從而 / BCP=30BP=BC=4所以 AP=14cm所以t=14s綜上所述：t為2s或者14s時(shí)，符合題意。點(diǎn)睛：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)圖形變化的應(yīng)用，結(jié)合平行四邊形、等邊三角形、全等三角形 的判定與性質(zhì)，進(jìn)行解答即可，注意分類討論思想的應(yīng)用，比較困難8.如圖1, Y ABCD和Y AEFG是兩個(gè)能完全重合的平行四邊形，現(xiàn)從AB與AE重合時(shí)開始，將YABCD固定不動(dòng)，YAEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 a (0°

29、;< /V 360 °), AB=a,BC=2?并發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)Y AEFG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E落在AD上時(shí)，F(xiàn)E的延長線恰好通過 點(diǎn)G探究一：(1)在圖2的情形下，求旋轉(zhuǎn)角 ”的度數(shù); 探究二： 如圖3,當(dāng)Y AEFG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E落在BC上時(shí)，EF與AD相交于點(diǎn)M,連接CM, DF, 請你判斷四邊形CDFM的形狀，并給予證明；探究三：(3)如圖1,連接CF, BF,在旋轉(zhuǎn)過程中4BCF的面積是否存在最大的情形，如果存在，求出最大面積，如果不存在，請說明理由.【答案】(1) a =120； (2)四邊形CDFM是菱形，證明見解析；(3)存在4BCF的面積最大的情形，S. bcf =3_a

30、a22【解析】試題分析：(1)由平行四邊形的性質(zhì)知/D=/B, AB=CD=a,可得 /D=/DEC,由等角等邊知 CD=CE 由 AE=AB=a, AD=BC=2q可得DE=CE即可證得CDE是等邊三角形，/D=60,由兩直線平行，同位角相等可得ZDAB=120即可求得 a；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及 /B=60°,可得 ABE是等邊三角形，由平行線的判定以及兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABEM是平行四邊形，再由由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；(3)當(dāng)點(diǎn)F至I BC的距離最大時(shí)，4BCF的面積最大，由于點(diǎn) F始終在以A為圓心AF為半 徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng) FG

31、與。A相切時(shí)，點(diǎn)F到BC的距離最大，過點(diǎn) A作AHLBC于點(diǎn) H,連接 AF,由題意知 /AFG=90°.由/ABH=/G=60°, AB=a, AG=2a,可得 AH、AF 的值.可 求得點(diǎn)F到BC的最大距離.進(jìn)而求得 臣BCF的值.試題解析：(1)二.四邊形ABCD是平行四邊形，Z D=Z B, AB=CD=a Z AEF=Z B, Z AEF=Z DEQ Z D=Z DEQ.CD=C.1 AE=AB=a, AD=BC=2a,.DE=CE,，CD=CE=DBACDE是等邊三角形，Z D=60 ；1. CD/ AB,Z D+ZDAB=180 ,°Z DAB=12

32、0 ,° a =120;.(2)四邊形CDFM是菱形.證明：由旋轉(zhuǎn)可得 AB=AE,Z B=60 ,°.ABE是等邊三角形，Z BAE=60°,Z BAG=Z BAE+Z GAE=60+120 =180 ,°點(diǎn)G, A, B在同一條直線上，.ME / AB, BE/ AM ,四邊形ABEM是平行四邊形，.AM=AB=ME,.CD=DM=MF,1. CD / AB/ MF,二四邊形CDFM是平行四邊形， Z D= 60 , D=DM,CDM是等邊三角形，.CD=DM,，四邊形CDFM是菱形；(3)存在4BCF的面積最大的情形.CB的長度不變，二當(dāng)點(diǎn)F到BC

33、的距離最大時(shí)，4BCF的面積最大.點(diǎn)F始終在以A為圓心AF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng), 當(dāng)FG與。A相切時(shí)，點(diǎn)F到BC的距離最大， 如圖，過點(diǎn) A作AHLBC于點(diǎn)H,連接AF,則 / AFG=90. / ABH=Z G=60 ； AB=a, AG=2a, .AH=ABX sin60 a, AF=AGX sin60=百 a. 二點(diǎn)F到BC的最大距離為 J3 a+ a= a.22.Sa Bcx2a -a=a2.222點(diǎn)睛：此題考查了旋轉(zhuǎn)的洗澡那個(gè)會(huì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，三 角形的面積的求法，關(guān)鍵是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)前后，圖形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì)解題9.在正方形ABCD中，連接BD.(1

34、)如圖1, AEXBDT E.直接寫出/BAE的度數(shù).(2)如圖1,在(1)的條件下，將 4AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 30°后得到 AB' E'AB'與BD交于M, AE'的延長線與 BD交于N.依題意補(bǔ)全圖1 ; 用等式表示線段 BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(3)如圖2, E、F是邊BC CD上的點(diǎn)，4CEF周長是正方形 ABCD周長的一半， AE、AF 分別與BD交于M、N,寫出判斷線段 BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路.(不必寫出完 整推理過程)【答案】(1) 45° (2) 補(bǔ)圖見解析；BM、DN和MN之間的

35、數(shù)量關(guān)系是BM2+MD2=MN2,證明見解析；(3)答案見解析.【解析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可；(2)依題意畫出如圖1所示的圖形，根據(jù)性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，判斷線段的關(guān)系，再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判斷出FM=MN即可；(3)利用4CEF周長是正方形 ABCD周長的一半，判斷出 EF=EG再利用(2)證明即可.解：(1) BD 是正方形 ABCD 的對角線，/ABD=/ ADB=45 ,AE± BD,/ ABE=Z BAE=45 ；(2) 依題意補(bǔ)全圖形，如圖 1所示，BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是 BM2+MD2=MN2 ,將 AND繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9

36、0°,得到AEB,/ ADB=Z FBA, / BAF=Z DAN, DN=BF, AF=AN,.在正方形 ABCD 中，AE± BD, . . / ADB=/ABD=45/ FBM=Z FBA+Z ABD=ZADB+Z ABD=90 ；在RtA BFM中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)B2+BM2=FM2, 旋轉(zhuǎn) 4ANE 得至 U AB1E1, ，/EABi=45；/ BABi+/DAN=90° 45 =45 °, / BAF=DAN/ BAB + / BAF=45°,/ FAM=45°,/ FAM=Z E1AB1, .AM=AM, AF=A

37、N, AAFMAANM, . FM=MN ,. fb2+bm2=fm2,dn2+bm2=mn2,(3)如圖2,將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到AARG,DF=GB 正方形 ABCD的周長為4AB, 4CEF周長為EF+EC+CF CEF周長是正方形 ABCD周長的一半，4AB=2 (EF+EC+CF , ，2AB=EF+EC+CF EC=AB- BE, CF=AB- DF,2AB=EF+AB- BE+AB- DF,EF=DF+BE DF=GB, .1. EF=GB+BE=GE 由旋轉(zhuǎn)得至U AD=AG=AB),AM=AM,AAEGAAEF / EAG=/ EAF=45,°

38、;和(2)的一樣，得到dn2+bm2=mn2.尊睛”此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的全等，判斷出(AFNANM,得到FM=MM是，是解題的關(guān)鍵10.如圖，4ABC是等邊三角形， AB=6cm, D為邊AB中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn) P、Q在邊AB上同時(shí)從 點(diǎn)D出發(fā)，點(diǎn)P沿 AA以1cm/s的速度向終點(diǎn) A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q沿 ABfD以2cm/s的速度 運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)D停止.以PQ為邊在AB上方作等邊三角形 PQNI.將4PQN繞QN的中點(diǎn)旋 轉(zhuǎn)180°得到4MNQ.設(shè)四邊形PQMN與4ABC重疊部分圖形的面積為 S (cmt= (2)二當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn) N在邊

39、AB的中線上,),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t (s) (0vtv3).(1)當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，求t的值.(2)當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，求t的值.(3)當(dāng)點(diǎn)Q沿D-B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式.(4)設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是 E、F,直接寫出四邊形 PEMF與四邊形PQMN的面積比為2: 3時(shí)t的值.1H 卜_7,，=十15.”九3(4)【答案】(1) " (2) 2 (3) S=S菱形 pqmn=2S/pnq= * t2；42415t=1 或 r【解析】試題分析：(1)由題意知：當(dāng)點(diǎn) N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，此時(shí)DQ=3;(2)當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A

40、、B的距離相等時(shí)，點(diǎn) N在邊AB的中線上，此時(shí) PD=DQ3131 131(3)當(dāng)0D麗寸，四邊形 PQMN與 ABC重疊部分圖形為四邊形 PQMN;當(dāng)Wt如，四 邊形PQMN與 ABC重疊部分圖形為五邊形 PQFEN3112(4) MN、MQ與邊BC的有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)n<t< 5 ,列出四邊形 PEMF與四邊形PQMN的 面積表達(dá)式后，即可求出 t的值.試題解析：(1)4PQN與4ABC都是等邊三角形,，當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合.DQ=3 .-2t=3 .PD=DQ, !當(dāng) 0vtv|2時(shí),此時(shí)，PD=t, DQ=2t2 .t=2t3 t=0 (不合題意，舍去)，3當(dāng)3

41、時(shí)，此時(shí)，PD=t, DQ=6 - 2t4 .t=6 - 2t,解得t=2;綜上所述，當(dāng)點(diǎn) N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，t=2；(3)由題意知：此時(shí)， PD=t, DQ=2t當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，5 .MN=BQ,. PQ=MN=3t, BQ=3- 2t.-3t=3 -2t3，解得t3如圖，當(dāng)0wt如Sa pncf PQ2=斗 t2；.$=5菱形 pqmn=2Spnq= " t2,3 3如圖，當(dāng)s<t刎，設(shè)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是 E、F,6 MN=PQ=3t, NE=BQ=3- 2t,.ME=MN - NE=PQ- BQ=5t- 3,EMF是等邊三角形，Saemf= ME2

42、= I (5t3)(4) MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是 E F,12此時(shí)5<t< S ,考點(diǎn)：幾何變換綜合題11.如圖1,在RtABC中，/ACB=90°, E是邊AC上任意一點(diǎn)（點(diǎn) E與點(diǎn)A, C不重合），以CE為一直角邊作 RtA ECD» /ECD=90,連接BE, AD.（1）若 CA=CB CE=CD猜想線段BE, AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論； 現(xiàn)將圖1中的RtECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角 ”，得到圖2,請判斷 中的結(jié)論是否 仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（2）若CA=8,CB=6 CE=3, CD=4,

43、Rt ECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)銳角 ”，如圖3,連接BD, AE,計(jì)算用" +月爐的值.【答案】（1）BE=AD, BEX AD;見解析；（2） 125.【解析】試題分析：根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)得出BE=AD, BEX AD;設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F, BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,根據(jù)/ ACB=Z ECD=9。得出/ ACD=Z BCE，然后結(jié)合 AC=BC CD=CE得出AC*4BCE 貝U AD=BE, / CAD=/ CBF,根據(jù) / BFC=/ AFG,/ BFC+/ CBE=90得出/ AFG+/ CAD=90 ,0從而說明垂直；首先根據(jù)題意得出 ACDABCEL,然后說明

44、/ AGE=/ BGD=90°,最后根據(jù)直角三角形的勾股定理將所求的線 段轉(zhuǎn)化成已知的線段得出答案.試題解析：（1）解：BE=AD BEX ADBE=AD, BEX AD仍然成立證明：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F, BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,如圖1. /ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ' AC=BC CD=CE. AC* BCE . AD=BE / CAD=/ CBF v / BFC玄 AFG / BFC-+Z CBE=90 °，/ AFG+Z CAD=90 °/ AGF=90 °.1. BEX AD(2)證明：設(shè)BE與

45、AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F, BE的延長線與 AD的交點(diǎn)為點(diǎn) G,如圖2. /ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ; AC=8, BC=6, CE=3 CD=4 ACgBCE/ CAD=Z CBE / BFC=Z AFG / BFC+Z CBE=90 / AFG+Z CAD=90 °/ AGF=90 °.1. BEX AD. / AGE=/ BGD=90 ° /爐=力+ EG1 RD2 = fiG2 + DG士.+ AE = AG 4-/ + W +. .八fX + HG'AP +- BD 工 + AE2 = AB1 + ED1 = CA

46、2 + CB3 + CD2 + CE2 = 125考點(diǎn)：三角形全等與相似、勾股定理.12.如圖所示，在 4ABC中，D、E分別是AR AC上的點(diǎn)，DE/ BC,如圖，然后將 ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖 ，然后將BD、CE分別延長至M、N,使DM=4bd, en= ±ce,得到圖 ，請解答下列問題：J?J?(1)若AB=AC,請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系： 在圖 中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是 ；在圖中，猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、/ MAN與/ BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若AB= k AC(k> 1),按上述操作方法，得到圖 ，請繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、/ M

47、AN與/ BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證【答案】(1)BD=CE; AM=AN , / MAN= / BAC理由如下：在圖中，DEBC, AB=AC .AD="AE."AR = AC, = £.CAEf.A -A _ , AD - AE_在 ABD 與 AACE 中AABDAACE.BD=CE /ACE玄 ABD.在ADAM與 EAN中,11111 / AEN=Z ACE-+Z CAE,DMBD, ENCE, BD=CE，DM=EN, / ADM= / ABD+Z BAD,/ AEN=Z ADM.y.' AE=AD,AADMAAEN.'

48、.AM=AN, / DAM=/EAN.，/ MAN= / DAE=/BAC.AM=AN, /MAN=/BAC.(2) AM=kAN, /MAN=/BAC.【解析】(1) 根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 AE®4ADB,所以BD=CE; 根據(jù)題意可知 Z CAE=BAD AB=AC, AD=AE,所以得到 BA4 4CAE,在 ABM和 ACN 中，11DM= BD, EN= CE：,可證ABM0ACN,所以 AM=AN ,即 / MAN= / BAC. 工人(2)直接類比(1)中結(jié)果可知 AM=k?AN, /MAN=/BAC.13.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC, CD上

49、，且BE=DF點(diǎn)P是AF的中 點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AC與EF的交點(diǎn)，連接 PQ, PD.(1)求證：AC垂直平分EF;(2)試判斷4PDQ的形狀，并加以證明；（3）如圖2,若將4CEF繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°,其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立 嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2） 4PDQ是等腰直角三角形；理由見解析（ 3）成立；理 由見解析.【解析】試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)得出 AB=BC=CD=AD /B=/ADF=90,Z BCA=Z DCA=45 ,°由BE=DF，得出CE=CF CEF是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；111

50、 II（2）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PD=AF, PQ=AF,得出PD=PQ再證明/DPQ=90 ；即可得出結(jié)論；111 II（3）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PD=AF, PQ?AF,得出PD=PQ再證明點(diǎn)A、F Q、P四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出/DPQ=2/ DAQ=90°,即可得出結(jié)論.試題解析：（1）證明：二四邊形ABCD是正方形， . AB=BC=CD=AD / B=Z ADF=90 ,° / BCA=Z DCA=45 ；,.BE=DR.CE=CF AC垂直平分 EF;(2)解：4PDQ是等腰直角三角形；理由如下： 點(diǎn)P是AF的中點(diǎn)，/ADF=90

51、, 11 .PD= AF=PA/ DAP=/ ADP,.AC垂直平分 EF,/ AQF=90 ；RPQ= AF=PA / PAQ土 AQP, PD=PQ, / DPF=Z PAD+Z ADP, / QPF=Z PAQ+Z AQP,/ DPQ=2/ PAD+2/ PAQ=2 ( / PAD+Z PAQ =2 X 4590 ；.PDQ是等腰直角三角形；(3)成立；理由如下：點(diǎn) P 是 AF 的中點(diǎn)，/ADF=90,°11，PD= AF=PA BE=DR BC=CQ / FCQ=/ ACD=45 ,° / ECQ4 ACB=45 , .CE=CF /FCQ=Z ECQ.-.CQ&

52、#177; EF, /AQF=90,°1PQ= AF=AP=PFPD=PQ=AP=PF 點(diǎn)A、F Q、P四點(diǎn)共圓，/ DPQ=2/ DAQ=90 ； PDQ是等腰直角三角形.考點(diǎn)：四邊形綜合題.14.在4AOB中，C, D分別是 OA, OB邊上的點(diǎn)，將 OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 OC' D'(1)如圖1,若/AOB=90, OA=OB, C, D分別為OA, OB的中點(diǎn)，證明： AC =BD； ACBD'(2)如圖2,若AOB為任意三角形且 /AOB=6, CD/ AB, AC與BD交于點(diǎn)E,猜想 ZAEB=程否成立？請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)成立，理由見解析【解析】試題分析：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 OC=O