2013年三直模型相關(guān)練習(xí)含答案

1、2013年三垂直模型相關(guān)練習(xí)一.選擇題（共13小題）1. （2010?雅安）如圖，直線l過(guò)等腰直角三角形 ABC頂點(diǎn)B, A、C兩點(diǎn)到直線l的距離分別是2和3,則AB的長(zhǎng)是（）A . 52. （2007?玉溪）如圖，AEXAB且AE=AB , BCCD且BC=CD,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍 成的圖形的面積$是（）C. 65D. 683. （2012?鄭城縣一模）如圖，已知直線 11/12/ 13/14,相鄰兩條平行直線間的距離都是1,如果正方形 ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則cos卡（）4. 如圖，有三條相互平行的直線，一塊等腰直角三角板的一直角邊與最上面的直線重合.然

2、后繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋車(chē)3 30°,恰好B點(diǎn)在中間的一條直線上， A點(diǎn)在下面的一條直線上.上、中兩平行線間的距離是m,中、下兩平行線間的距離是 n,那么n： m等于（）AA. V3： 1B.(61): 1C.(我+1): 1D. 2:我1、3、3.5,正放置的四個(gè)正5. 如圖，在直線L上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為方形的面積依次是 &、S2、S3、S4,則Si+2S2+2S3+S4=（）D. 46. 如圖，4ABC是等腰直角三角形，DE過(guò)直角頂點(diǎn) A, D D=/E=90°,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（） CD=AE ; / 1 = /2; /

3、 3=/ 4; AD=BE .C. 3個(gè)D, 4個(gè)7. 如圖所示， AB ± BC, CDXBC,垂足分別為 B、C, AB=BC , E為BC的中點(diǎn)，且 AEXBD于F,若CD=4cm ,則AB的長(zhǎng)度為（）A . 4cmB. 8cmC. 9cmD . 10cm8. （2012?樂(lè)山）如圖，在 ABC中，/ C=90°, AC=BC=4 , D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn) E、F分別在 AC、BC邊上運(yùn)動(dòng) （點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF ,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：4DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)

4、E位置的改變而發(fā)生變化;點(diǎn)C到線段EF的最大距離為 貶.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）CADBA. 1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D, 4個(gè)9. （2013?拱墅區(qū)一模）如圖，在 4ABC中，已知/ C=90°, AC=BC=4 , D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn) E、F分別在 AC、BC 邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF ,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：四邊形CEDF有可能成為正方形； 4DFE是等腰直角三角形； 四邊形CEDF的面積是定值； 點(diǎn)C到線段EF的最大距離為 <2.其中正確的結(jié)論是（）10.在直角三角形 ABCC.中，/ C=90 °,

5、 BC=2,以 AB 為邊作正方形 ABDE ,連接 AD、BE 交 O, CO=3>/2,則 AC的長(zhǎng)為（C. 411.兩個(gè)全等含30°、60°角的三角板ADE與三角板ABC按如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在同一條直線上，連接 BD,取BD的中點(diǎn) M,分別連接 ME、MC ,那么/ MEC等于（）°C. 45°D. 80°12. （2006?荷澤）如圖，D 為4ABC 的 AB 邊上的一點(diǎn)，/ DCA= / B,若 AC=，cm, AB=3cm ,則 AD 的長(zhǎng)為（）13.如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為25,內(nèi)部有6個(gè)全等的正方形，小正方

6、形的頂點(diǎn)AB、BC、CD上，則每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為（）E、F、G、H分別落在邊 AD、B CD HCAF BA . 6B. 5C. 2VTD. 734二.填空題（共4小題）14. （2012?綏化）如圖所示，直線a經(jīng)過(guò)正方形 ABCD的頂點(diǎn)A,分別過(guò)正方形的頂點(diǎn) 8、口作85,2于點(diǎn)F, DE±a 于點(diǎn)E,若DE=8 , BF=5 ,貝U EF的長(zhǎng)為 .15. （2010?攀枝花）如圖所示，在 4ABC中，AB=AC=2 , / BAC=90 °,直角/ EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE, PF分另1J交AB , AC于點(diǎn)E, F,給出以下四個(gè)結(jié)論：BE=AF ,SAE

7、PF的最小值為 工 tan PEF=,23S四邊形AEPF=1,當(dāng)/ EPF在4ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A, B重合），上述結(jié)論始終正確是 四邊形CEDF /、可能為止方形四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位呼改義而發(fā)生變化點(diǎn)C到線段EF的最大距離為 近其中正確的有 （填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所用序號(hào)）ADB17.如圖，RtAABC 中，AC=BC , Z ACB=90 ,CF 交 AB 于 E,BD _LCF, AF±CF,DF=5 , AF=3 ,則 CF=16. （2013?昆都侖區(qū)一模）如圖所示，在 4ABC中，/ C=90°, AC=BC=4 , D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)

8、E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A, C重合），且保持AE=CF,連接DE , DF, EF.在此運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，有下列結(jié)論：4DEF是等腰直角三角形三.解答題（共6小題）18. （2013?東營(yíng)）（1）如圖（1）,已知：在 4ABC 中，/ BAC=90 °, AB=AC ,直線 m 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A, BD，直線 m, CEL直線m,垂足分別為點(diǎn) D、E.證明：DE=BD+CE .（2）如圖（2）,將（1）中的條件改為：在 4ABC中，AB=AC , D、A、E三點(diǎn)都在直線 m上，并且有/ BDA= Z AEC= Z BAC= a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論 DE=BD

9、+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明； 若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3）, D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線 m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為/BAC平分線上的一點(diǎn)，且 4ABF和4ACF均為等邊三角形，連接 DEF的形狀.CDEttiD且E 鵬（圖D（圖2）19. （2005?揚(yáng)州）（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分 5 5BD、CE,若/ BDA= / AEC= / BAC ,試判斷 人DA E m（圖3），第（2）、（3）小題為選答題，其中，第（2）3）小題滿分6分，請(qǐng)從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評(píng)分.在 4ABC 中，/ ACB=

10、90 °, AC=BC ,直線 MN 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： AADC ACEB; DE=AD+BE ;（2）當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)D 加以證明.Hl氧注意：第（2）、（3）小題你選答的是第 2小題.20. （2002?崇文區(qū)）已知：如圖，在 RtAABC中，/上，且 ED_LFD.求證：S 四邊形 edfc=3s_a abc C,且 AD LMN 于 D, BEX MN 于 E.DE=AD - BE;丘、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并4In圄3ACB=90 &#

11、176;, AC=BC , D 是 AB 的中點(diǎn)，E、F 分別在 AC、BC21 . (2000?河南)如圖，在等腰 RtAABC中，/ C=90°, D是斜邊 AB上任一點(diǎn)，AELCD于E, BF，CD交CD 的延長(zhǎng)線于 F, CHXAB于H,交AE于G,求證：BD=CG .22 .如圖，已知在 4CDE中，/ DCE=90 °, CD=CE ,直線 AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C, DA LAB , EBXAB ,垂足分別為 A、B, 試說(shuō)明AC=BE的理由.解：因?yàn)?DAAB, EBXAB (已知)所以/ A= / ()因?yàn)? DCA=/A+/ADC ()即 / DCE+ / RCB=

12、 / A+ / ADC .又因?yàn)? DCE=90 °,所以/ = Z ECB .在4ADC和4ECB中，rZA=ZB (已證). (已證) (已證)所以ADC0 ECB ()所以 AC=BE ()C B(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，寫(xiě)出(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，寫(xiě)出(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，問(wèn)C,且 AD，MN 于 D, BEXMN 于 E,23 .在 4ABC 中，/ ACB=90 °, AC=BC ,直線 MN 經(jīng)過(guò)點(diǎn)DE、AD、BE具有的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；DE、AD、BE具有的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由;DE、AD、BE具有

13、怎樣的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由;2013年三垂宜模型相關(guān)練習(xí)參考答案與試題解析一.選擇題（共13小題）1. （2010?雅安）如圖，直線l過(guò)等腰直角三角形 ABC頂點(diǎn)B, A、C兩點(diǎn)到直線l的距離分別是2和3,則AB的長(zhǎng)是（）A . 5考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形.專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題.分析： 由三角形 ABC為等腰直角三角形，可得出 AB=BC , / ABC為直角，可得出/ ABD與/ EBC互余，在直 角三角形ABD中，由兩銳角互余，利用等角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，及AB=BC ,利用AAS可得出三角形 ABD與三角形BEC全等，根據(jù)全等三角形

14、的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BD=CE ,由CE=3得出BD=3 ,在直角三角形 ABD中，由AD=2 , BD=3,利用勾股定理即可求出 AB的長(zhǎng).解答：解：如圖所示：. ABC為等腰直角三角形，AB=BC , / ABC=90 °, ./ ABD+ Z CBE=90 °,又 ADBD, ./ ADB=90 °, ./ DAB+ / ABD=90 °,/ CBE= / DAB ,在ABD和ABCE中，rZADB=ZBEC=90°' NDAB=NCBE,年二BC.-.ABD BCE,BD=CE ,又 CE=3 ,BD=3 ,在 RtAABD 中，

15、AD=2 , BD=3 ,根據(jù)勾股定理得：AB= 癡沁鏟=V13 故選DDBE*點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想, 靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.2. （2007?玉溪）如圖，AEXAB且AE=AB , BCCD且BC=CD,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍 成的圖形的面積$是（）二考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專(zhuān)題：壓軸題.分析： 由 AEAB, EFXFH, BG XAG ,可以得到/ EAF= / ABG ,而 AE=AB , / EFA=/AGB,由此可以證明 EFAA ABG ,所以 AF=BG

16、, AG=EF ;同理證得BGCDHC, GC=DH , CH=BG .故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16 ,然后利用面積的割補(bǔ)法和面積公式即可求出圖形的面積.解答： 解：. AEXAB 且 AE=AB , EFXFH, BGXFH? Z EAB= Z EFA= Z BGA=90 °,/ EAF+ / BAG=90 °, / ABG+ / BAG=90 ? / EAF= ZABG , AE=AB , / EFA=/AGB, / EAF= / ABG ? EFAA ABG AF=BG , AG=EF .同理證得BGCDHC 得 GC=DH , CH=BG .

17、故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故 S=4(6+4) M6-3M-6X3=50.2故選A.E點(diǎn)評(píng)：本題考查的是全等三角形的判定的相關(guān)知識(shí).作輔助線是本題的關(guān)鍵.3. （2012?鄭城縣一模）如圖，已知直線 l1 / l2/ l3/ l4,相鄰兩條平行直線間的距離都是1,如果正方形 ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則cos產(chǎn)（）考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義.分析： 過(guò)點(diǎn)D作DEL"于點(diǎn)E并反向延長(zhǎng)交l4于點(diǎn)F,根據(jù)同角的余角相等求出/o=ZCDF,根據(jù)正方形的每條邊都相等可得 AD=DC ,然后利用 AAS”證明4ADE和 DCF

18、全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=AE ,再利用勾股定理列式求出 AD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)銳角的余弦值等于鄰邊比斜邊列式計(jì)算即可得解.解答： 解：如圖，過(guò)點(diǎn) D作DEIi于點(diǎn)E并反向延長(zhǎng)交l4于點(diǎn)F,在正方形 ABCD 中，AD=DC , Z ADC=90 °,. / o+Z ADE=90 °, ZADE+ Z CDF=180 - 90 =90°,卡/CDF, rZct=ZCDF在 4ADE 和 4DCF 中，, /虹口=/DFC=90"，ADEA DCF (AAS ),DF=AE ,相鄰兩條平行直線間的距離都是1,DE=1 , AE=2 ,根據(jù)勾股定

19、理得，AD=皿2 +比2= 2。1 2=，所以,cos a= _2=J1 .AD加 5故選A.點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的定義，作輔助線，構(gòu)造出全等三 角形以及/ a所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵.4 .如圖，有三條相互平行的直線，一塊等腰直角三角板的一直角邊與最上面的直線重合.然后繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋車(chē)3 30°,恰好B點(diǎn)在中間的一條直線上， A點(diǎn)在下面的一條直線上.上、中兩平行線間的距離是m,中、下兩平行線間的距離是 n,那么n： m等于（）AA. VS 1B. | （61）: 1C. | （我+1）: 1D. 2: V3考點(diǎn)：全等三角形的判

20、定與性質(zhì)；等腰直角三角形；解直角三角形.專(zhuān)題：計(jì)算題.分析： 過(guò)A作AD LCE,交CE于點(diǎn)D,過(guò)B作BELCE,交DC于點(diǎn)E,可得出一對(duì)直角相等， 再由三角形 ABC 為等腰直角三角形，得到 AC=BC , / ACB=90 °,利用平角的定義得到一對(duì)角互余，利用同角的余角相等得 到一對(duì)角相等，利用 AAS得到三角形ADC與三角形CEB全等，由全等三角形的性質(zhì)得到CE=AD ,而AD=m+n ,可得出CE=m+n ,在直角三角形 CBE中，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到BC=2m ,利用勾股定理列出 m與n的關(guān)系式，整理后即可求出 n： m的值.解答： 解：過(guò)

21、 A作ADXCE,交CE于點(diǎn)D,過(guò)B作BEXCE,交DC于點(diǎn)E, ./ ADC= Z CEB=90 °,又 ABC為等腰直角三角形，/ ACB=90 °, AC=BC , / ACD+ / BCE=90 °,又/ BCE=30 °, ./ ACD= / EBC=60 °, 在4ACD和4CBE中，ADC =/CEB 二 90”, /ROD二NCBE=6。"， lAC=CBACDA CBE (AAS), AD=CE=m+n , 又.在 RtABEC 中，/ BCE=30 °, BE=m ,CB=2EB=2m ,利用勾股定理得：

22、BC2=CE2+BE2,即(2m) 2= (m+n) 2+m2, 整理得：n2+2mn - 2m2=0,方程兩邊同時(shí)除以 m2,得(£)2+2?(工)-2=0, ITIT解得：工=b-1或工=-如-1 (舍去)， rrit則 n： m= (V3 T ) ： 1 .故選BA點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，含30。直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及解直角三角形，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.5 .如圖，在直線L上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1、3、3.5,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是 S、S2、S3、S4,則S1+2S2+2S3+S4=

23、()考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì).專(zhuān)題：計(jì)算題.分析： 先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到/ ABD=90 °,AB=DB ,再根據(jù)等角的余角相等得到/ CAB= / DBE ,則可根據(jù) AAS ” 判斷ABCBDE,于是有AC=BE ,然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2,代換后有 DE2+AC2=BD2,根據(jù)正方形的面積公式得到S1=AC2, S2=DE2, BD2=1,所以S1+S2=1 ,利用同樣方法可得到 S2+S3=3,S3+S4=3.5 ,通過(guò)計(jì)算可得到 S1+2S2+2S3+S4=1+3+3.5=7.5 .解答：解：如圖，二圖中的四邊形為正方形，/

24、ABD=90 °, AB=DB , ./ ABC+ / DBE=90 °, / ABC+ / CAB=90 °,/ CAB= / DBE, 在 4ABC 和 4BDE 中，rZACB=ZBED"ZCAB=ZEBD,lab=bdABCA BDE (AAS),ac=be ,DE2+BE2=BD2,de2+ac2=bd2,Si=AC2, S2=DE2, BD2=1, Si+S2=1 , 同理可得 S2+S3=3, S3+S4=3.5,Si+2S2+2S3+S4=1+3+3.5=7.5 . 故選A.C B E點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等

25、的方法有角形的對(duì)應(yīng)邊相等.也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì).Sss"、Sas"、Asa"、Aas”；全等三6.如圖，4ABC是等腰直角三角形，DE過(guò)直角頂點(diǎn) A, / D=/E=90°,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有() CD=AE ; / 1 = /2; / 3=7 4; AD=BE .C. 3個(gè)D, 4個(gè)考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專(zhuān)題：推理填空題.分析： 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出/2=/3,然后利用AAS證明4ABE和ACAD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可對(duì)各小題進(jìn)行判斷.解答：解：D=90 °,/ 1

26、+ Z 3=90°,.ABC是等腰直角三角形， A為直角頂點(diǎn)，.1 + Z 2=180 - 90 =90 °, AB=AC ,/ 2=7 3,在abe和acad中，22二/3"ND=/E=90” , lab=ac abeacad (aas), CD=AE , AD=BE , / 1 = /4, 故小題正確，小題錯(cuò)誤， 小題錯(cuò)誤， 小題正確， 所以結(jié)論正確的有共2個(gè).故選B.點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形直角邊相等的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/ 2=/ 3是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是解題的突破口.7.如圖所示， AB ± BC,

27、 CDXBC,垂足分別為 B、C, AB=BC , E為BC的中點(diǎn)，且 AEXBD于F,若CD=4cm ,則AB的長(zhǎng)度為（）A . 4cmB. 8cmC. 9cmD . 10cm考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：運(yùn)用等角的余角相等，得出/ A=/BFE,從而得到，ABEBCD,易求. 解答： 解：; AB ± BC, CD ± BC ,/ ABC= / ACD=90 ° / AEB+ / A=90° AEXBD/ BFE=90 ° / AEB+ / FBE=90 ° ./ A= Z BFE ,又 AB=BC , .ABE BCD ,

28、 BE=CD=4cm , AB=BC E為BC的中點(diǎn) . AB=BC=2BE=8cm .故選B.點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了等角的余角相等，三角形全等的判定，性質(zhì)等知識(shí).需注意當(dāng)題中出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上垂 直時(shí)，一般要從中找到一對(duì)相等的角.8. （2012?樂(lè)山）如圖，在 4ABC中，/ C=90°, AC=BC=4 , D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn) E、F分別在 AC、BC邊上運(yùn)動(dòng) （點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF ,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：4DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；點(diǎn)C到線段EF的

29、最大距離為 犯.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專(zhuān)題：壓軸題.分析： 作常規(guī)輔助線連接 CD,由SAS定理可證4CDF和4ADE全等，從而可證/ EDF=90 °, DE=DF .所以 DFE 是等腰直角三角形；當(dāng)E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形 CEDF為正方形； 由割補(bǔ)法可知四邊形 CEDF的面積保持不變；l4DEF是等腰直角三角形， &DE=EF,當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，F(xiàn)E取最小值2 班,此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離.解答：解：連接CD;. ABC是等腰直角三角形，DCB= /

30、A=45 °, CD=AD=DB ; AE=CF ,ADEA CDF;ED=DF , / CDF= / EDA ; . / ADE+ /EDC=90 °, / EDC+ / CDF= / EDF=90 °, . DFE是等腰直角三角形.故此選項(xiàng)正確;當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形 CDFE是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;如圖2所示，分別過(guò)點(diǎn) D,作DM ±AC , DNXBC,于點(diǎn)M, N,可以利用割補(bǔ)法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDN面積，故面積保持不變；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;ADEF是等腰直角三角形，血DE=EF ,當(dāng) EF/ AB 時(shí)， AE

31、=CF , .E, F分別是AC, BC的中點(diǎn)，故 EF>AABC的中位線, EF取最小值 五%”=2 血, CE=CF=2 , .此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為1EF=V2 故此選項(xiàng)正確；故正確的有2個(gè), 故選：B.AD B圖1點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圖形利 用割補(bǔ)法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDN面積是解題關(guān)鍵.9. （2013?拱墅區(qū)一模）如圖，在 4ABC中，已知/ C=90°, AC=BC=4 , D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn) E、F分別在 AC、BC 邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) E不與點(diǎn)A、C重合），且保持A

32、E=CF ,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：四邊形CEDF有可能成為正方形； 4DFE是等腰直角三角形； 四邊形CEDF的面積是定值； 點(diǎn)C到線段EF的最大距離為 <2.其中正確的結(jié)論是（）B.C.D.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.分析： 當(dāng)E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形 CEDF為正方形； 作常規(guī)輔助線連接 CD,由SAS定理可證 CDF和 ADE全等，從而可證/ EDF=90 °, DE=DF .所以 DFE 是等腰直角三角形；由ADECDF,就有Saade=SaCDF,再通過(guò)等量代換就可以求出結(jié)論；4DEF是等腰直角三角形，

33、&DE=EF,當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，F(xiàn)E取最小值 20 此時(shí)點(diǎn)0 到線段EF的最大距離.解答： 解：當(dāng)E、F分別為AC、B0中點(diǎn)時(shí)，四邊形 CDFE是正方形，故此選項(xiàng)正確；連接CD;. ABC是等腰直角三角形， ./ DCB= / A=45 °, 0D=AD=DB ; 在 4ADE 和 CDF 中，rAE=CF"NA:N DCFlAD=CDADEA CDF (SAS);ED=DF , / 0DF= / EDA ; . / ADE+ Z EDC=90 °, / ED0+ / 0DF= / EDF=90 °, . DFE是等腰直角三角形.故

34、此選項(xiàng)正確； ADECDF, saade=Sacdf -: S 四邊形 cedf=Saced+Sacfd,S 四邊形 cedf=Szced+Szaed ,S 四邊形 CEDF=SaADC . SAADC="Sa ABC =4 . 四邊形CEDF的面積是定值4,故本選項(xiàng)正確； DEF是等腰直角三角形， V2DE=EF ,當(dāng) EF/ AB 時(shí)， AE=0F ,EF是4ABC的中位線,E, F分別是AC, BC的中點(diǎn)，故EF 取最小值=22+2 2=2/2, CE=CF=2 ,此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為故選D.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形

35、性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圖形利 用割補(bǔ)法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDN面積是解題關(guān)鍵.細(xì)=&.故此選項(xiàng)正確. 210.在直角三角形 ABC中，/ 0=90°, BC=2,以AB為邊作正方形 ABDE ,連接AD、BE交O, CO=Mt 則AC 的長(zhǎng)為(C. 4考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的判定與性質(zhì).專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合.分析： 延長(zhǎng)CB過(guò)點(diǎn)D作CB延長(zhǎng)線的垂線，交點(diǎn)為 F,過(guò)點(diǎn)。作OMLCF,先證明RTA ACB RTA BFD ,然后 分別表示出OM、CM的長(zhǎng)度，在RTAOCM中利用勾股定理可得出答案.解答：解：延長(zhǎng)CB過(guò)點(diǎn)D作CB延長(zhǎng)線的垂線，交點(diǎn)為

36、 F,過(guò)點(diǎn)O作OM LCF,則可得OM是梯形ACFD的中位線，. / ABC+ / FBD= ZCAB+ /ABC=90 °,/ CAB= / FBD ,在 RTAACB 和 RTABFD 中，rAB=BD“ ZCAB=ZFBD,lzacb=zbfd RTAACB RTABFD ,AC=BF , BC=DF ,設(shè) AC=x ,貝U OM= AC+DF=2jj cm=_2E=止?2222在 RTA OCM 中，OM2+CM2=OC2,即 2 （畢）2=18,2解得：x=4,即AC的長(zhǎng)度為4.故選C.點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、梯形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本

37、題的關(guān)鍵是 正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，難度較大.11.兩個(gè)全等含30°、60°角的三角板ADE與三角板ABC按如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD,取BD的中點(diǎn) M,分別連接 ME、MC ,那么/ MEC等于（）C. 45D. 80°考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；梯形中位線定理.專(zhuān)題：計(jì)算題.分析： 連結(jié)AM ,利用三角形 ADE與三角形ABC是兩個(gè)全等含 30°、60°角的三角板得到/ 2=7 3=60°, AD=AB ,/ EAD=30 °, DE=AC ,易得 DAB 為等腰直角三

38、角形，則 AM ± BD , / 1=45 °, / 4=45°,則/ EDM= Z CAM=45 °+60o=105°,由 M 點(diǎn)為 BD 的中點(diǎn)，AM=DM=BM ,于是可根據(jù) SAS”判斷 DEM ACM ,所以 ME=MC , / 6= Z5,由于/ AMD=90 °,即/ 6+/ EMA=90 °,得到/ 5+/EMA=90 °,即/ EMC=90 °,可判斷AMEC為等腰直角三角形，根據(jù)等呀謳珠槿艷三角形的性質(zhì)即可得到/MEC=45;解答：解：連結(jié)AM ,如圖， 三角形ADE與三角形ABC是兩

39、個(gè)全等含 30°、60°角的三角板， / 2=/3=60°, AD=AB , / EAD=30 °, DE=AC ,/ DAB=90 °, . DAB為等腰直角三角形， AM XBD, / 1=45°, / 4=45 °, ./ EDM= Z CAM=45 +60 =105 ° M點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，AM=DM=BM ,在 ADEM AACM 中rDE=AC ZEDM=ZCAM ,、DM 二 AMDEMA ACM （SAS）,ME=MC , / 6=/5, . / AMD=90 ，即/ 6+ Z EMA=90 

40、6;,.5+ Z EMA=90，即/ EMC=90 °, . MEC為等腰直角三角形， ./ MEC=45 °.故選C.12. （2006?荷澤）如圖，D 為4ABC 的 AB 邊上的一點(diǎn)，/ DCA= / B,若 AC=V6cm, AB=3cm ,則 AD 的長(zhǎng)為（）B.是m 3C.2 cmD.m 2A .B考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).分析：先判斷ADC與4ACB相似，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可.解答：解：.一/ A=/A, /DCA=/B,ADCA ACB ,AD : AC=AC : AB ,AC= V&cm, AB=3cm ,AD：后巡：3,解得

41、AD=2cm .故選C.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì).13.如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為25,內(nèi)部有6個(gè)全等的正方形，小正方形的頂點(diǎn)E、F、G、H分別落在邊 AD、AB、BC、CD上，則每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為（）A . 6B. 5C.D.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì).專(zhuān)題：壓軸題.分析： 如圖，過(guò)點(diǎn)G作GPXAD ,垂足為P,可以得到BGFsPGE,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列 式求解即可得到 DE和BG ,根據(jù)勾股定理可求 EG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng).解答：解：如圖所示： 正方形 ABCD邊長(zhǎng)為25,/ A= / B=90 °,

42、 AB=25 ,過(guò)點(diǎn)G作GPXAD ,垂足為P,則/ 4=/5=90°, 四邊形APGB是矩形，.Z 2+7 3=90°, PG=AB=10 ,六個(gè)大小完全一樣的小正方形如圖放置在大正方形中， .1 + Z 2=90°, ./ 1 = Z FGB, . BGFA PGE,.區(qū)里PGFG'理，呷'GB=5 .AP=5 .同理DE=5 .PE=AD - AP - DE=15 ,EG=715£+25£=5V34, ，小正方形的邊長(zhǎng)為V34 故選D.D HCF B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)和勾

43、股定理，綜合性較強(qiáng)，正確 的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.二.填空題（共4小題）14. （2012?綏化）如圖所示，直線a經(jīng)過(guò)正方形 ABCD的頂點(diǎn)A,分別過(guò)正方形的頂點(diǎn) 8、口作85,2于點(diǎn)F, DE±a 于點(diǎn)E,若DE=8 , BF=5 ,貝U EF的長(zhǎng)為 13 .B C考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).專(zhuān)題：壓軸題.分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形兩個(gè)銳角互余以及等量代換可以證得AFBAED ;然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知 AF=DE、BF=AE ,所以 EF=AF+AE=13 .解答： 解：: ABCD是正方形（已知）， . AB=AD , / ABC= /BAD

44、=90 °又 / FAB+ / FBA= / FAB+ / EAD=90 °,/ FBA= / EAD （等量代換）；.BFa 于點(diǎn) F, DEa 于點(diǎn) E,在 RtAAFB 和 RtAAED 中， fZAFB=ZDEA=90° ' ZFBA=ZEAD ,tAB=DAAFBAAED （AAS ）,AF=DE=8 , BF=AE=5 （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13 .故答案為：13.點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定、正方形的性質(zhì).實(shí)際上，此題就是將EF的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為與已知長(zhǎng)度的線段DE和BF數(shù)量關(guān)系.15. （2010?

45、攀枝花）如圖所示，在 4ABC中，AB=AC=2 , / BAC=90 °,直角/ EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊 PE, PF分另1J交AB , AC于點(diǎn)E, F,給出以下四個(gè)結(jié)論：BE=AF ,Saepf的最小值為tan/PEF=4l,23S四邊形AEPF=1,當(dāng)/ EPF在4ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A, B重合），上述結(jié)論始終正確是 B考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.專(zhuān)題：綜合題；壓軸題.分析：根據(jù)全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)，對(duì)題中選項(xiàng)一一證明，得出正確結(jié)果.解答:解：連接PA.AB=AC , / BAC=90 °

46、, P 是 BC 的中點(diǎn)， PA=PC, / APC=90 °, / PAE=Z PCF=45°. / FPE=Z APC=90 °, ./ CPF=Z APE. PA=PC, / PAE=/PCF, . CFPA AEP.AE=CF. AB - AE=AC - CF,. BE=AF ,故始終正確； CFPA AEP,.PE=PF.,/ EPF=90°,. EPF為等腰直角三角形. / PEF=45°. tan/PEF=1,故 錯(cuò)誤； PA=BP, / B= / PAF, BE=AF , . EBPA PAF. Sa ebp+S a aep+S

47、 a paf+S a cfp=S A ABC , s aaep+S apaf=S 四邊形 AEPF二 S 四邊形 aepf=JszABC=J (2>2-2) =1 ,故 正確； AwS/epf的最小值為,故正確； ep+be >bp, bp=ap=cp ,BP>EP.，以P點(diǎn)為圓心，EP為半徑的圓不會(huì)與 A、B、C三點(diǎn)相交，即點(diǎn) E不會(huì)與A、B重合.故 正確.故選.點(diǎn)評(píng)：本題把全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合求解.綜合性強(qiáng)，難度較大.考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.16. （2013?昆都侖區(qū)一模）如圖所示，在 4ABC中，/ C=90°, AC=BC=4 ,

48、 D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn) E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A, C重合），且保持AE=CF,連接DE , DF, EF.在此運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，有下列結(jié)論：4DEF是等腰直角三角形四邊形CEDF不可能為正方形四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化點(diǎn)C到線段EF的最大距離為 加其中正確的有（填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所有序號(hào)）考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的判定.分析： 作常規(guī)輔助線連接 CD,由SAS定理可證4CDF和4ADE全等，從而可證/ EDF=90 °, DE=DF .所以 DFE 是等腰直角三角形；當(dāng)E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形 CEDF為

49、正方形； 由割補(bǔ)法可知四邊形 CEDF的面積保持不變；4DEF是等腰直角三角形， &DE=EF,當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，F(xiàn)E取最小值2丘,此時(shí)點(diǎn)C 到線段EF的最大距離.解答：解：連接CD;. ABC是等腰直角三角形， ./ DCB= / A=45 °, CD=AD=DB ; AE=CF ,ADEA CDF;ED=DF , / CDF= / EDA ; . / ADE+ Z EDC=90 °, / EDC+ / CDF= / EDF=90 °, . DFE是等腰直角三角形.故此選項(xiàng)正確；當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形 CDFE是正方形，故此

50、選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖2所示，分別過(guò)點(diǎn) D,作DM ±AC , DNXBC,于點(diǎn)M, N,可以利用割補(bǔ)法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDN面積，故面積保持不變；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；ADEF是等腰直角三角形，&DE=EF ,當(dāng) EF/ AB 時(shí)， AE=CF , .E, F分別是AC, BC的中點(diǎn)，故 EF>AABC的中位線， EF取最小值 63H=2五， CE=CF=2 , 此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為 細(xì)=& .故此選項(xiàng)正確；故正確的有.故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圖形利 用割補(bǔ)法可知四

51、邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDN面積是解題關(guān)鍵.17.如圖，RtAABC 中，AC=BC , / ACB=90 °, CF 交 AB 于 E, BDXCF, AF ±CF, DF=5 , AF=3 ,則 CF= 8考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).分析： 根據(jù)全等三角形的判定定理 ASA證得AFCCDB,然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊CD=AF ,從而求得CF=AF+DF=5+3=8 .解答： 解：BDXCF, /ACB=90 °, AFXCF, / DCB+ / DBC= / DCB+ / ACF=90 °,/ DBC= / ACF ;，/CAF=/BC

52、D （等角的余角相等）；在4AFC和4CDB中，rZCAF=ZBCD,AC=BC （已知），4CF = NDBCAFCACDB （ASA）,CD=AF=3 , CF=CD+DF=3+5=8 . 故答案是：8.點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS .注意:AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等 時(shí)，角必須是兩邊的夾角.三.解答題（共6小題）18. （2013?東營(yíng)）（1）如圖（1）,已知：在 4ABC 中，/ BAC=90 °, AB=AC ,直線 m 經(jīng)過(guò)點(diǎn)

53、A, BD，直線 m, CEL直線m,垂足分別為點(diǎn) D、E.證明：DE=BD+CE .（2）如圖（2）,將（1）中的條件改為：在 4ABC中，AB=AC , D、A、E三點(diǎn)都在直線 m上，并且有/ BDA= Z AEC= Z BAC= a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論 DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明； 若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3）, D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線 m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為 /BAC平分線上的一點(diǎn)，且 4ABF和4ACF均為等邊三角形，連接 BD、CE,若/ BDA= / AEC= / BAC ,試判斷 DEF的形

54、狀.(SOsD考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定.專(zhuān)題：壓軸題.分析:(1)根據(jù)BDL直線m, CEL直線m得/BDA= Z CEA=90 °,而/ BAC=90 °,根據(jù)等角的余角相等得/ CAE= / ABD ,然后根據(jù) AAS ”可判斷 ADBCEA ,貝U AE=BD , AD=CE ,于是 DE=AE+AD=BD+CE ;(2)與(1)的證明方法一樣；(3)與前面的結(jié)論得到 ADBCEA ,則BD=AE , / DBA= Z CAE ,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得/ ABF= / CAF=60 °,貝U/ DBA+ / ABF= / CAE+ /

55、CAF ,貝U/ DBF= / FAE ,利用 SAS”可判斷DBFA EAF ,所以 DF=EF , / BFD= / AFE ,于/ DFE= / DFA+ / AFE= / DFA+ / BFD=60 °,根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到4DEF為等邊三角形.解答:證明：(1) .BD，直線 m, CEL直線 m, . / BDA= / CEA=90 / BAC=90 °, . / BAD+ / CAE=90 / BAD+ / ABD=90 . / CAE= / ABD ,在 4ADB 和 ACEA 中 rZABD=ZCAE"ZBDA=ZCEA, 心ACADB CEA (AAS), AE=BD , AD=CE , DE=AE+AD=BD+CE ;(2) / BDA= / BAC= % / DBA+ / BAD= / BAD+ / CAE=180 - % / CAE= / ABD , 在 AADB 和 ACEA 中'/ABD=/CAE'