七年級數(shù)學下冊培優(yōu)新幫手專題29歸納與猜想試題(新版)新人教版

1、29 歸納與猜想閱讀與思考當一個問題涉及相當多的乃至無窮多的情形時，可從問題的簡單情形或特殊情況人手，通過對簡單情形或特殊情況的試驗，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法，這種研究問題的方法叫歸納猜想法 .歸納是建立在細致而深刻的觀察基礎上，發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開始的，觀察是解決問題的先導， 解題中的觀察活動主要有三條途徑：1.數(shù)與式的特征觀察.2幾何圖形的結構觀察.3通過對簡單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況需要注意的是，用歸納猜想法得到的結果，常常具有或然性，它可能是成功的發(fā)現(xiàn)，也可能是 失敗的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫成無懈可擊的證明.【例 1】下圖是飛行棋

2、的一顆骰子，根據(jù)圖中A, B, C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出“？ ”處的數(shù)字是_.(東方航空杯”上海市競賽試題)(A)(B)(C)解題思路：認真觀察A,B, C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推斷。【例 2】如圖，依次連結第一個正方形各邊的中點得到第二個正方形，再依次連結第二個正方形各邊的中點得到第三個正方形，按此方法繼續(xù)下去，若第一個正方形邊長為1,則第n個正方形的面積是3(湖北省武漢市競賽試題)針方向依次在射線上寫出數(shù)字1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7“17”在射線_上.(2)請任意寫出三條射線上 數(shù)字的排列規(guī)律.(3)“ 2 007 ”在哪條射線上？(貴州省貴陽市

3、中考試題)解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)每條射線上的數(shù)除以6 的余數(shù)相同.【例 4】觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：1121231234123451 .()()1，2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 62(1)在(探)中，從左起第m個數(shù)記為F(n),當F(n)= 2001 時，求m的值和這m個數(shù)的積.解題思路：從觀察分析圖形的面積入手，先考察n= 1, 2，3, 4 時的簡單情形，進而作出猜想.【例 3】如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA OB OC OD OE OF從射線0A開始按逆時4(2)在(探)中，未經(jīng)約分且分母為2 的數(shù)記為c.它后面的一個數(shù)記為d,是否存在這樣的兩個5數(shù)c和d

4、,使cd= 2 001 000? 如果存在，求出c和d;如果不存在，請說明理由.(湖北省競賽試題)解題思路：按分母遞減而分子遞增的變化規(guī)律，對原數(shù)列恰當分組，明確每組中數(shù)的個數(shù)與分母的關系、未經(jīng)約分且分母為 2 的數(shù)在每組中的位置，這是解本例的關鍵，2+ 3【例 5】在 2,3 兩個數(shù)之間，第一次寫上 =5，第二次在 2.5 之間和 5,3 之間分別寫上第 0次操作2第 1次操作*2第 2次操作：2第 3次操作：-第k次操作是在上一次操作的基礎上，在每兩個相鄰的數(shù)之間寫上這兩個數(shù)的和的(2)經(jīng)過k次操作后所有的數(shù)的和記為S，第k+1 次操作后所有數(shù)的和記 為S+1,寫出S+1與S之間的關系式.

5、(“希望杯”邀請賽試題)解題思路：(1)先得出第 3 次操作后所得到的 9 個數(shù)，再把它們相加即可.(2)找到規(guī)律，即毒次操作幾個數(shù)的時候，除了頭尾兩個數(shù)2 和 3 之外，中間的n-2 個數(shù)均重復計算了 2 次，用S表示出S+1(3)根據(jù)(1) , (2)可算出S6的值.能力訓練1. 有數(shù)組(1 , 1, 1) , (2 , 4, 8) , (3 , 9 , 27)，則第 100 組的三個數(shù)之和為 _(廣東省廣州市競賽試題)2.如圖有一長條型鏈子，其外形由邊長為1cm的正六邊形排列而成.其中每個黑色六邊形與6 個白色六邊形相鄰，若鏈子上有35 個黑色六.邊形，則此鏈子有 _ 個白色六邊形.=4

6、,如圖所示:2+ 5-2請寫出第 3 次操作后所得到的9 個數(shù)，并求出它們的和.64.給出下列麗列數(shù)2，4，6，8，10,，1 9946，13, 20, 27, 34,，1 994則這兩列數(shù)中，相同的數(shù)的個數(shù)是（）A . 142B. 143 C. 284（浙江省競賽試題）5.如圖，/AOB=45，對OA上到點O的距離分別為 1，3，5，7，9，11，的點作OA的垂線且與OB相交，得到并標出一組黑色梯形，面積分別為S，S，S，貝U So=_L為n部分，則n等于（）（北京市“迎春杯”競賽試題）7觀察下 列正方形的四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律那么2013 這個數(shù)標在（）3.按一定規(guī)律排列的一串數(shù):1 23

7、 12 34 51 233，3，_ 3，5，_ 5，5， 5，5，_ 7，7， 7，（2013 年“實中杯”數(shù)學競賽試題）中，第 98 個數(shù)是（山東省競賽試A . 16B . 18C.24D . 316. 一條直線分一張平面為兩部分,4 部分，設五條直線最多分平面7B.第 503 個正方形的右下角D.第 504 個正方形的右下角（2013 年浙江省衢江市競賽試題）8.自然數(shù)按下表的規(guī)律排列：（1）求上起第 10 行，左起第 13 列的數(shù).（2）數(shù) 127 應在上起第幾行，左起第幾列.（北京市“迎春杯”競賽試題）9.一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個數(shù)都是1,從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是

8、前兩個數(shù)的和，也就是 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55問：這串數(shù)的前 100 個數(shù)中（包括第 100 個數(shù)）有多少個偶數(shù)？（“華羅庚金杯”競賽試題）斗（第3個正方形）A.第 503 個正方形的左下角C.第 504 個正方形的左下角（第 1 個 jE 方購（第 2 個正療形）16 15 14 1320810.將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于 50 個小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由.（“五羊杯”競賽試題）911.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù):10 個數(shù)，第 11 個數(shù)，第 12 個數(shù)，第 13 個數(shù)中，最大的數(shù)是哪一個?12

9、.有依次排列的 3 個數(shù)：3, 9, &對任相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所 得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3, 6, 9, - 1 , 8,這稱 為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3, 3, 6, 3, 9, - 10, 1, 9, 8，繼續(xù)依次操作下去，問：從第 1 個數(shù):12-(1-1+?。坏?2 個數(shù)：1廣1 +1兀13k2丿3/第 3 個數(shù)：1/1 +-1、42丄.3丿門1筍 3;第 n 個2丿L3一4.2n一2n那么，在第+；410數(shù)串 3, 9, 8 開始操作第一百次以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？11專題 29 歸納

10、與猜想例 1 6提示：5 的對面是 2, 4 的對面是 3, 1 的對面是 6.1一1 11 11 1例2石 提示：Sr= 1 ,S2=,S3=2，S4=3，進而推出Sn=百.224 228 232例 3(1)OE(2)射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律：6n 5 (n為自然數(shù)，下同)；射線OB上數(shù)字的排列規(guī)律：6n4;射線0C上數(shù)字的排列規(guī)律：6n 3;射線0D上數(shù)字的排列規(guī)律：6n2;射線0E上數(shù)字的排列規(guī)律：6n 1;射線OF上數(shù)字的排列規(guī)律：6n.(3)在 6 條射線的數(shù)字規(guī)律中，只有 6n 3 = 2 007 有整數(shù)解，解圍n= 335，故“ 2007”在射線OC.11212312344( 1

11、)可分組為(1),(丄，2),(丄，2,3),(1,2,-,-),121時，20011+ 2= 2003003,這 2003003 個數(shù)的積為一20030011175( 1)第 3 次操作后所得到的 9 個數(shù)為：2, 一 , 一6 211717755它們的和為 2+一+17+ 5+ 3 + 4 +一+ 3=.62632(2)由條件知So=5,則Sk 1=Sk+2Sk一S0=k 3 Sk一555(3)因 S3=552【能力訓練】1. 1010100提示：若有n個黑色六邊形，則白色六邊形個數(shù)為 4n+ 2.故=35 時，4n+ 2 = 4X35= 142個.195. 76 黑色梯形的規(guī)律明顯：每個

12、梯形的高都為2, 上底分別對OA上的 1, 5, 9,，下底分別對應OA上的 3, 7, 11，.而上、下底的長度恰好和它在OA上對應的數(shù)值是一樣的.以上底為55)，可知各組數(shù)的個數(shù)依次為 1, 2, 3，.當F( m)=1(1 + 2+-+ 2001)3, 4,k 3Skk 18k十1k十1斗657585.故S4=S3=40;S5=S4= 55 ,S6=S5=4455662. 14212例，1 = 1 , 5 = 1+ 4X1 , 9= 1+ 4X2,，故第 10 個梯形的上底對應0A上的數(shù)為 1+ 4X9 =1337,下底的長正好為 39,于是So=37 39一2= 76.26.A7.D

13、提示：2013 十 4 = 5031,故在第 504 個正方形右下角.&(1 )第 1 列的每個數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在的行數(shù)的平方第10 行起，左起第13 列，應該是第 13 列的第 10 個數(shù)，即+ 10= 144+ 10= 154.(2)數(shù) 127 滿足關系式 127=112+ 6=12-12+ 6,即 127 在左起第 12 列，上起第 6 行的位置.9觀察已經(jīng)寫出的數(shù)，發(fā)現(xiàn)每三個連續(xù)數(shù)中恰好有一個偶數(shù)，在前100 項中，第 100 項是奇數(shù)，前9999 項中有99= 33 個偶數(shù).310 .設至少要畫k條直線.k條直線最多將圓分成 1 + 1 + 2+ 3+4 +

14、k塊，當k= 9 時，1+ 1 + 2 + 3+-+ 9= 46，當k= 10 時，1+ 1 + 2+ 3+-+ 10= 56,故至少要畫 10 條直線，可以將圓紙 片分成不小于 50 塊.11.若對前三個先進行計算：1-111第 1 個數(shù)：丄(1+1)=11= 0；222 2第 2 個數(shù)：1-(1 +1)(-1 f1 + 1+ 2=1 1=1.;3234326第 3 個數(shù)：1-(1 +1)(-1丫1 + 1+_11+_112+ -1=11=1423456424最大的數(shù)是第 10 個數(shù).a3a2,a4a3，ana.二新增數(shù)之和為(a?a1) + (a3a?)1按此規(guī)律，第n個數(shù)：(1+h21 +丄13+41+T】=2n由此可知n越大，第n個數(shù)越小，那么在第10 個數(shù)，第11 個數(shù)，第 12 個數(shù)，第 13 個數(shù)中,12. 一個依次排列的n個數(shù)組成一個數(shù)串：a1,a2,a3,an.依題設操作方法可