初一數(shù)學(xué)競賽專題08還原與對消

1、專題08還原與對消方程的解與解方程閱讀與思考解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、得方程的解我們在解一元一次方程時，既要學(xué)會按部就班（嚴格按步驟）地解方程，又要能隨機應(yīng)變（靈活打亂步驟）地解方程.方程的解是方程理論中的一個重要概念，對于方程解的概念，要學(xué)會從兩個方面去運用：1. 求解：通過解方程，求出方程的解，進而解決問題.2 代解：將方程的解代入原方程進行解題.當方程中的未知數(shù)是用字母表示時，這樣的方程叫含字母系數(shù)的方程，含字母系數(shù)的一元一次方程總可以化為 ax= b的形式，其方程的解由 a, b的取值范圍確定字母 a, b的取 值范圍確定或?qū)夥匠痰倪^程

2、并未產(chǎn)生實質(zhì)性的影響，其解法同數(shù)字系數(shù)的一次方程解法一樣；當字母a, b的取值范圍未給出時，則需討論解的情況，其方法是：當a工0時，原方程有唯一解 x=-；a當a = 0且b = 0時，原方程有無數(shù)個解；（3）當a = 0, bz 0時，原方程無解；例題與求解例1已知關(guān)于x的方程3x 2（x釗=4x和 5 = 1有相同的解，那么3128這個解是.（北京市“迎春杯”競賽試題） 解題思路：建立關(guān)于a的方程，解方程.例2已知a是任意有理數(shù)，在下面各說法中（1）方程ax = 0的解是x= 1（2）方程ax= a的解是x= 11方程ax = 1的解是x=a(4)方程| a| x= a的解是x=±

3、; 1結(jié)論正確的個數(shù)是（）.A. 0B. 1C. 2D. 3（江蘇省競賽試題） 解題思路：給出的方程都是含字母系數(shù)的方程，注意a的任意性.xx 1例3 a為何值時，方程 -+ a= - - （x 12）有無數(shù)多個解？無解？32 6解題思路：化簡原方程，運用方程ax= b各種解的情況所應(yīng)滿足的條件建立a的關(guān)系式.例4如果a, b為定值時，關(guān)于x的方程竺 a = 2 +丄嚴，無論k為何值時，它36的根總是1,求a, b的值.（2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題）解題思路：利用一元一次方程方程的解與系數(shù)之間的關(guān)系求解.例5已知p, q都是質(zhì)數(shù)，并且以 x為未知數(shù)的一元一次方程px+ 5q= 97的解

4、是1 ,求代數(shù)式p2 q的值.（北京市“迎春杯”競賽試題） 解題思路：用代解法可得到 p, q的關(guān)系式，進而綜合運用整數(shù)相關(guān)知識分析.例6（1）在日歷中（如圖），任意圈出一豎列上相鄰的三個數(shù)，設(shè)中間的一個為用含a的代數(shù)式表示這三個數(shù)（從小到大排列）分別是.（2）現(xiàn)將連續(xù)自然數(shù)1至2004按圖中的方式排成一個長方形陣列，用一個正方形框出16個數(shù)（如圖）. 圖中框出的這16個數(shù)的和是_ 在右圖中，要使一個正方形框出的a,則能，試說明理由；若有可能，請求出該正方形框出的-?16個數(shù)之和等于2000, 2004,是否可能？若不可16個數(shù)中的最小數(shù)和最大數(shù).日-一-二三四五六1234567L811011

5、12131415161718192021'1 i222425262728'2930圖2345679:1111111:17111222:2222723；333331 -3733444199199200200200200圖199200181223解題思路：（1）等差數(shù)列，相鄰兩數(shù)相差 個關(guān)于中心對稱的數(shù)之和都等于44.如31是易算出這16個數(shù)之和.設(shè)框出的（湖北省黃岡市中考試題）7. （2）經(jīng)觀察不難發(fā)現(xiàn)，在這個方框里的每兩與13 , 11與33, 17與27都成中心對稱的.于a,用a表示出16個數(shù)之16個數(shù)中最小的一個數(shù)為和，若算出的a為自然數(shù)，則成立；不為自然數(shù)，則不可能.能力

6、訓(xùn)練A級1 .若關(guān)于x的方程（k 2）x k 1 + 5k= 0是一元一次方程，則k=;若關(guān)于x的方程（k+ 2）x2+ 4kx 5k= 0是一元一次方程，則方程的解x=.2方程 X 4 X 1（X 7 ） = 16（X 3 ）的解是 .（廣西賽區(qū)選拔賽試題）3. 若有理數(shù) x, y 滿足（x+ y 2）2+ I x+ 2y| = 0,則 x2 + y3=（“希望杯”邀請賽試題）4. 若關(guān)于x的方程a（2x+ b） = 12x+ 5有無數(shù)個解，則 a=, b =.（“希望杯”邀請賽試題）5. 已知關(guān)于x的方程9x 3= kx= 14有整數(shù)解，那么滿足條件的所有整數(shù)k=.（“五羊杯”競賽試題）6

7、. 下列判斷中正確的是（）.A. 方程2x 3= 1與方程x（2x 3） = x同解B. 方程2x 3 = 1與方程x（2x 3）= x沒有相同的解C. 方程x（2x 3） = x的解都是方程2x 3= 1的解D. 方程2x 3= 1的解都是方程x（2x 3） = x的解7 方程丄 + + x = 1995的解是（）.1 22 31995 1996A. 1995 B. 1996C. 1997 D. 1998&若關(guān)于x的方程亠=0的解是非負數(shù)，貝V b的取值范圍是（）.x 1A. b> 0 B. b>0C. b工 2 D. b> 0 且 2（黑龍江省競賽試題）9. 關(guān)于

8、x的方程a（x a）+ b（x+ b）= 0有無窮多個解，則（）.A. a + b = 0 B. a b = 0C. ab= 0D. a = 0b10. 已知關(guān)于x的一次方程（3a + 8b）x+ 7 = 0無解，則ab是（）.A.正數(shù)B.非正數(shù)C.負數(shù) D.非負數(shù)（“希望杯”邀請賽試題）11. 若關(guān)于x的方程kx12 = 3x+ 3k有整數(shù)解，且k為整數(shù)，求符合條件的k值.（北京市“迎春杯”訓(xùn)練題）x | a |112. 已知關(guān)于x的方程了+ a = x（x 6），當a取何值時，（1）方程無解？ 方程326有無窮多解？（重慶市競賽試題）B級1.已知方程 2（x+ 1） = 3（x 1）的解為

9、 a + 2，則方程 22（x+ 3） 3（x a） = 3a的解為2. 已知關(guān)于x的方程乞必=區(qū)衛(wèi)的解是x = 2,其中a豐0且b豐0，則代數(shù)式-23a的值是.3.若k為整數(shù),則使得方程（k 1999）x= 2001 2000x的解也是整數(shù)的 k值有個.（“希望杯”邀請賽試題:5.用表示一種運算，它的含義是B= A B + (A 1)(B 1)（江蘇省競賽試題，如果存1=胄那么3探4=6.如圖所示的兩架天平保持平衡,則一塊巧克力的質(zhì)量是 克.（“希望杯”競賽試題 且每塊巧克力的質(zhì)量相等，每個果凍的質(zhì)量也相等,巧克力果凍第6題圖50g砝碼II（河北省中考試題）7.有四個關(guān)于x的方程 x 2 =

10、 1(x 2)+ (x 1) = 1 + (x 1)x= 0X2+宀=-1 +其中同解的兩個方程是（）A.與 B.與C.與 D.與&已知a是不為0的整數(shù)，并且關(guān)于 x的方程ax= 2a3- 3a2- 5a + 4有整數(shù)解，則 a 的值共有（）.A. 1個B. 3個 C. 6個 D. 9個（“希望杯”邀請賽試題）9. （1）當a取符合na+ 3豐0的任意數(shù)時，式子 ma_2的值都是一個定值，其中m-nna 3=6，求m, n的值.（北京市“迎春杯”競賽試題）（2）已知無論x取什么值，式子3必為同一定值，求 壬上的值.bx 5b（“華羅庚杯”香港中學(xué)競賽試題）10.甲隊原有96人，現(xiàn)調(diào)出1

11、6人到乙隊，調(diào)出后，甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的k（k是不等于1的正整數(shù)）倍還多6人，問乙隊原有多少人?（上海市競賽試題）11.下圖的數(shù)陣是由77個偶數(shù)排成:21312414141414151515第11題圖用一平行四邊形框出四個數(shù) （如圖中示例）.（1）小穎說四個數(shù)的和是 436，你能求出這四個數(shù)嗎? 小明說四個數(shù)的和是 326，你能求出這四個數(shù)嗎?專題08還原與對消-方程的解與解方程例 1 提示： 兩方程的解分別為 x= - a禾口 x=，由題意知 一a =，得287217212722 2727a=.從而可以得到 x= a=x=.877 828例2 A提示：當a= 0時，各題結(jié)論都不正確.例3提示

12、：原方程化為 0x = 6a 12(1) 當6a 12= 0，即a= 2時，原方程有無數(shù)個解.(2) 當6a 12工0即a2時，原方程無解.例4 原方程整理可得：(4x + b)k = 12+ x a./無論k為何值時，它的根總是1. x= 1且k的系數(shù)為0.4+ b= 0, 13 2a= 0.例5 提示：把x = 1代入方程px + 5q= 97,得p + 5q= 97,故p與5q之中必有一個數(shù)是偶數(shù)(1)若 p= 2,則 5q= 95, q = 19, p2 q 15 ;(2)若5q是偶數(shù)，則q= 2, p= 87,而2因此p q 15 .例 5(1) a 7, a, a+ 7;(2) 4

13、4X8= 352;設(shè)框出的16個數(shù)中最小的一個數(shù)為a,則這16個數(shù)組成的正方形方框如右圖所示，因為框中每兩個關(guān)于正方形的中心對稱的數(shù)之和都等于2a+ 24,所以這16個數(shù)之和為8 x( 2a+24)= 16a+192.87不是質(zhì)數(shù)，與題設(shè)矛盾，舍去;a +a +a+a123a+ 7a+ 8a+ 9a + 10a+ 14a+ 15a + 16a + 17a+ 21a+ 22a + 23a + 24當 16a+ 192= 2000 時，a= 113;當 16a+ 192= 2004 時，a= 113.25./ a為自然數(shù)， a= 113.25不合題意，則框出的16個數(shù)之和不可能等于 2004，由長

14、方形陣列的排列可知，a只能在1, 2, 3, 4列，則a被7整除的余數(shù)只能是1, 2,3, 4 .因為113= 16 >7 + 1,所以，這16個數(shù)之和等于2000是可能的.這時，方框漲最小的數(shù)是113，最大的數(shù)是113+ 24= 137 .A級550 ；2. x = 03. 84. 6;4610；26; 8;屮一178提示:x9k能被17整除，則9 k 1，或 9 k179 kD7. B提示：原方程化為x 1111 1L1199522319951996D9. A10. B3k 1221.原方程的解為x3 -k 3 k 3顯然 k- 3= ±1 , ±3, ±

15、;7, ±21,即 k = 4, 2, 6, 0,- 4, 10, 24,- 18.提示：原方程化為1 a x 2 1 a(1) 當a=- 1時，方程無解；(2) 當a= 1時，方程有無窮多解.10.52.提示:iB級當x = 2時，代入得b312a4200116 提示：X 為整數(shù)，2001 = 1X3X23X29,故 k 可取 ±1 , ±3, ±23, ±29 , ±3X23,1.5.6.8.11121 .3.4.5.6.9.k 1丄11112003提示:L2612n n 11 1 11 111 ,=1L12233 4nn 119提示：2探11x352121 1 1207. A8.Cma22(1)取a= 0,則;取 a = 1,na33±3X29, ±23 X9,±2001共16個值.5解得x= &31111, 1L1 22 33 44 5n n 11200311，得一n 12004n 12004m 22則一n