4感生電磁感應(yīng)

1、學(xué)海無涯§4. 4感生電磁感應(yīng)導(dǎo)體相對(duì)磁場靜止，由于磁場的變化而引起導(dǎo)體內(nèi)感生電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象叫感生 電磁感應(yīng)。即：S a均不變，但B變而使得 變。產(chǎn)生原因：分析：回路置于變化的磁場里，最簡單的方法就是回路平面和磁場垂直， 回1i路中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，如果回路閉合就有感應(yīng)電流R t,如果回路不閉合，感生電動(dòng)勢(shì)仍是 t ,不產(chǎn)生感應(yīng)電流。這是法拉等的發(fā)現(xiàn)。由于法拉第自 身不可避免的局限，他沒有再追究這一現(xiàn)象的深層本質(zhì)。 接過接力棒再創(chuàng)佳績的 是麥克斯韋，他指出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)其實(shí)跟導(dǎo)體的性質(zhì)和種類無關(guān)，純粹是由變化多端的磁場引起的。放置了閉合回路，回路中就有電流，這只是表面現(xiàn)象，不是事 情的本質(zhì)

2、。麥克斯韋相信，即使不在導(dǎo)體回路，變化著的磁場也能在其周圍空間激發(fā)一種稱為渦旋電場的場，渦旋電場和靜電場的共同點(diǎn)就是對(duì)電荷都有作用力，當(dāng)然差異點(diǎn)也有不少。例如靜電荷它可以單獨(dú)存在，其電場線是閉合的無頭尾無始終。如果恰好變化磁場中有閉合導(dǎo)體回路， 變化磁場產(chǎn)生的渦旋電場電場 線跟導(dǎo)體不垂直因而分解出與導(dǎo)體相切的分量， 導(dǎo)體中的自由電荷受其作用力就 會(huì)定向移動(dòng)成為電流。這就是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的非靜電力的來源。 麥克斯韋最早分析了這種情況，他敏感地預(yù)見到這一現(xiàn)象，表 明電場和磁場之間必然有某種當(dāng)時(shí)尚未發(fā)現(xiàn) 的新關(guān)系。讓我們更具體地分析：一個(gè)物理場， 既圖 4-4-1學(xué)海無涯呈現(xiàn)某種空間分布又隨時(shí)間依一定規(guī)

3、律變化。我們說這個(gè)場是空間和時(shí)間的函 數(shù)。磁場和電場一樣，是矢量場。如果說它是勻強(qiáng)的，是指它非穩(wěn)恒，空間分布 狀況不變但隨時(shí)間改變其大小，場線會(huì)隨時(shí)間變密或變疏。本題中變化磁場產(chǎn)生 渦旋電場的問題，按麥克斯韋的理論，是一個(gè)十分復(fù)雜的問題。僅在非常特殊的 場合，再附加上非?？量痰臈l件，場的分布才是很確定的，中學(xué)階段我們面對(duì)的 模型幾乎都是這樣的：磁場被限制在一個(gè)圓柱狀空間，有理想邊界即磁場在邊界 上突變，在界內(nèi)勻強(qiáng)，在圓柱外突變?yōu)榱?。磁感線跟圓柱軸線平行，在與磁場垂 直的平面上磁場邊界是有限大的圓。按麥克斯韋理論：如果磁場隨時(shí)間均勻變化， 那么產(chǎn)生的渦旋電場就不隨時(shí)間變化； 如果磁場隨時(shí)間是振蕩

4、的，那么產(chǎn)生的渦 旋電場就是同頻率振蕩的，如圖4-4-1所示。渦旋電場的電場線是一系列環(huán)抱磁 感線的同心圓。沿這些同心圓的半徑方向放置導(dǎo)體， 導(dǎo)體上是不可能產(chǎn)生感應(yīng)電 動(dòng)勢(shì)的，在這個(gè)方向上導(dǎo)體內(nèi)的帶電粒子即受到渦旋電場力作用也不會(huì)沿導(dǎo)體定 向移動(dòng)。如果有環(huán)形導(dǎo)體恰好與電場線平行， 導(dǎo)體上能產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，那是確 定無疑的。在上述這些特殊條件下，由變化磁場產(chǎn)生的渦旋電場，其特征是：空間各 點(diǎn)的E渦一定處在與磁場垂直的平面上，即 E渦沒有跟B平行的分量；磁場邊 界內(nèi)外都有E渦。上面說過E渦的場線是與磁場邊界同心封閉圓，任何一個(gè)磁場 邊界同心的圓周上任意一點(diǎn)的E渦沿切線方向；E渦的指向與磁場變化的關(guān)

5、系 遵從楞次定律，即E渦的方向就是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向； E渦的大小，可以從渦 旋電場力是非靜電力這一點(diǎn)出發(fā)來推導(dǎo)， 根據(jù)電動(dòng)勢(shì)定義，電動(dòng)勢(shì)應(yīng)等于單位正 電荷從電源負(fù)極通過電源內(nèi)部移往正極， 單位正電荷在回路上繞行一周，非靜電 力做功W WUq E 2 r ,此處設(shè)該回路半徑為r,又根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定學(xué)海無涯 S r律 t t t ,這兩個(gè)&在本質(zhì)與現(xiàn)象的關(guān)系，其實(shí)是一回事，數(shù)2 Br BE渦2 r rE渦值上應(yīng)相等，即t ,所以 2 t o該結(jié)果僅適用于r&R的范圍（R是磁場邊界半徑），其說明E渦大小由兩個(gè)因素決定：一是磁感應(yīng)強(qiáng)度變BB2 B一一匚-E渦2 r R 一化率t；二

6、是r,如果t是恒量，那么E渦8r，在r>R處，t ,R2 B2 L -磁通量 BS中的S,只能計(jì)及有磁感線穿過的面積R ,曰國=2 t 0請(qǐng)我們關(guān)注t這個(gè)物理量，這是一個(gè)非常重要的物理量，以下的每個(gè) A類例題和B類例題，我們都要跟 t打交道。產(chǎn)生感應(yīng)電磁現(xiàn)象的原因是由于感生渦旋電場的作用， 假如有一個(gè)局限在圓 柱形范圍內(nèi)的勻強(qiáng)磁場B, B的方向平行于圓柱體的軸。當(dāng) B的大小在增加時(shí)， 感生電場的方向如圖圖4-4-2所示。根據(jù)對(duì)稱性，在回路上各點(diǎn)處的感生電場方 向必然與回路想切，感生電場的電場線是一些同心圓。 因此，感生電場的電感線 是閉合線，無頭無尾，像旋渦一樣，所以由磁場變化而激發(fā)的電

7、場也叫旋渦電場。而靜電場的電感線卻是起于正電荷而終于負(fù)電荷，是有頭有尾的。這是一個(gè)很重要的區(qū)別。根據(jù)電動(dòng)勢(shì)和電場的關(guān)系，如果磁場區(qū)域半徑為 R,回路的半徑為r,回路 上的電場強(qiáng)度為E,則rEB,E、 B ，；父圖 4-4-2學(xué)海無涯所以有r B2R2 B2r t4. 4. 1、磁場中導(dǎo)體的感生電動(dòng)勢(shì)在一個(gè)半徑為R的長直螺線管中通有變化的電流，使管內(nèi)圓柱形的空間產(chǎn)生變化的磁場，且B/ t>0（圖4-4-3）。如果在螺線管橫截面內(nèi)，放置一根長為R的導(dǎo)體棒ab,使得oa ab ob ,那么ab上的感生電動(dòng)勢(shì)ab是多少？如果將導(dǎo)體棒延伸到螺線管外，并使得ab bc R呢？前面已說過：長直通電螺線

8、管內(nèi)是勻強(qiáng)磁場， 而管外磁場為零，所以本題研 究的是一個(gè)圓柱形勻強(qiáng)磁場。盡管根據(jù)前述E的表達(dá)式，可知ab棒所在各點(diǎn)的電場強(qiáng)度，但要根據(jù)這些 場強(qiáng)來求出"卻要用到積分的知識(shí)，因此，一般中學(xué)生無法完成，我們可取個(gè)等邊三角形面積oab,因?yàn)閛a和ob垂直于感生電場的電力線，所以 oa和ob上圖 4-4-3Ct這也就是ab的大小。B t2R出 4沒有感生電動(dòng)勢(shì)。又根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，oab回路上的感生電動(dòng)勢(shì)如果將ab延伸到c,則可研究oac,根據(jù)同樣的道理可知ac出一R2工412 t很明顯，上面這個(gè)問題可以這樣解的前提是磁場局限于圓柱形內(nèi)。如果一根 導(dǎo)體棒是放在一個(gè)寬廣的或是其它范圍不規(guī)

9、則的磁場內(nèi)，那是得不出上述結(jié)果學(xué)海無涯的，假如將一個(gè)導(dǎo)體閉合回路放在磁場中，對(duì)磁場就沒有那么嚴(yán)格的要求了 , 類問題一般說來同學(xué)們是熟悉的，但如果是一個(gè)比較復(fù)雜的電路放在磁場中,理時(shí)就要用一些新的方法。4. 4.2、磁場中閉合電路的感生電動(dòng)勢(shì)個(gè)比(a)(b)SiIv圖 4-4-5Q1|小2 X圖 4-4-4較復(fù)雜的閉合電路的感生電流的問題，一般除了用到有關(guān)電磁感應(yīng)的知識(shí)以外,還要用到解復(fù)雜電路的回路電壓定律和節(jié)點(diǎn)電流定律。將一個(gè)半徑a、電阻為r的圓形導(dǎo)線，接上一個(gè)電阻為 R的電壓表后按圖4-4-4(a)、(b)兩種方式放在磁場中，連接電壓表的導(dǎo)線電阻可忽略,(a)、(b)中的圓心角都是8。均勻

10、變化的磁場垂直于圓面，變化率B/ t k。試問(a)、(b)中電壓表的讀數(shù)各為多少?因?yàn)殡妷罕淼淖x數(shù)與它兩端的正負(fù)無關(guān)， 所以可以任意假設(shè)磁場B的方向和變化率的正負(fù)?，F(xiàn)在我們?cè)O(shè) B垂直于紙面向里，且 B/ t k >0(圖4-4-5)?；芈?PsiQ的面積Si 2 a ，回路0Ps2Q的面積S2這兩個(gè)回路單獨(dú)存在時(shí)的感生電流方向相同，都是逆時(shí)針的,感生電動(dòng)勢(shì)的大小分別為S上1 Sit2a2 k,學(xué)海無涯i/ 2/(2PSiQ段導(dǎo)線和QSP段導(dǎo)線電阻分別為Ri如圖4-4-6中標(biāo)出的電流，應(yīng)該有IV 1211對(duì)兩個(gè)回路分別列出電壓方程iliRiIvR,2 I2R2 %R(R為伏特表的內(nèi)阻)。

11、由、可解得I1 2 r R2即有|11 2因此Iv 0所以圖4-4-4(a)的接法中電壓表的讀數(shù)為零。R ,4-4-6再看圖4-4-4 (b)中的接法：電流設(shè)定如圖 4-4-6,小回路和大回路的感生電動(dòng)勢(shì)大小分別為iSia2 -a2sin k2學(xué)海無涯1 2.一 kasin2C B 2212 .,2 S2a -a sin kt 22Ika2 2 sin2I V I 211 ,2 I2R2 IvR（R為伏特表的內(nèi)阻）。由上述方程可解得Iv 2 2a2ksin /2- 4 2 RR由些可知電壓表的讀數(shù)為_ _ 2 2_r2V IvR 2 aksin /2- 4R本問題中我們用到的電流方程（如式）和

12、回路電壓方程（如、式），實(shí)際 上就是上一講中提到過的基爾霍夫方程。 在解決電磁感應(yīng)的問題時(shí)，用電壓回路 方程十分方便，因?yàn)殡姶鸥袘?yīng)的電動(dòng)勢(shì)是分布在整個(gè)回路上的。附：靜電場與感生電場的比較就產(chǎn)生原因而言，靜電場是靜止電荷產(chǎn)生的，而感生電場是變化多端的磁場 激發(fā)的。就性質(zhì)而言，當(dāng)單位正電荷繞封閉合回路一周靜電場力的功為零。當(dāng)感生電場驅(qū)使單位正電荷繞付線圈一周時(shí)， 感生電場力的功不為零，其數(shù)值恰為副 線圈內(nèi)產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)，數(shù)值上等于通過副線圈的磁通量對(duì)時(shí)間的變化率。靜電場是保守場，感生電場是非保守場。靜電場的電力線是有頭有尾的不封閉曲線， 而感生電場的電力線是無頭無尾的閉合曲線。 靜電場是有源場，

13、而感生電場是無 源場。典型例題學(xué)海無涯例1、無限長螺線管的電流隨時(shí)間作線性變化（I/ t常數(shù)）時(shí)，其內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度B也隨時(shí)間作線性變化。已知 B/ t的數(shù)值，求管內(nèi)外的感生電場。解：如圖4-4-7所示為螺線管白橫截面圖，C表示螺線管的邊緣，其半徑為R。由于對(duì)稱性以及感生電場的電力線是一些封閉曲線的性質(zhì)，可知管內(nèi)外的感生電場電力線都是與C同心的同心圓，因止匕:當(dāng)r<R時(shí),圖 4-4-71 B 2 r2 r t r B當(dāng)r>R時(shí)rR2所以RB2r tE感的大小在管內(nèi)與r成正比，在管外與r成反比。感生電場電力線的方向B可由楞次定律確定，當(dāng) t >0時(shí)，電力線方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。例2

14、、在一無限長密繞螺線管中有一均勻磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間線性變化（即B/ t常數(shù)），求螺線管內(nèi)橫截面上長為l的直線段MNk的感生電動(dòng)勢(shì)。（橫截面圓的圓心O到MN的垂直距離為h）解：求感生電動(dòng)勢(shì)有兩種方法。（1）根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義：某一線段上的感生電動(dòng)勢(shì)等于感生電場搬運(yùn)單位正電荷沿此段運(yùn)動(dòng)時(shí)所做的功。在MN±任選一小段l,O點(diǎn)到l距離為r, l學(xué)海無涯處的E感如圖4-4-8所示，與l的夾角為9 ,感生電場沿l移動(dòng)單位正電荷所做的功為A E感 l cosa r B Al cos2 tr cos hE感把MN±所有l(wèi)的電動(dòng)勢(shì)相加,1 B l2 t1 hl2(2)用法拉第定律求解。連接

15、OM ON則封閉回路三角形OMN勺電動(dòng)勢(shì)等于其所包圍的磁通量的變化率。-1 BS lhB21 B hl t 2 tOMf口 ONLh各點(diǎn)的感生電場E感均各自與OMf口 ON®直，單位正電荷OMf口 ON上移動(dòng)時(shí)，感生電場的功為零，故OMK ONL1的感生電動(dòng)勢(shì)為零，封閉回路OMNO的電動(dòng)勢(shì)就是 MNL1的電動(dòng)勢(shì)電動(dòng)勢(shì)的方向可由楞次定律確定。例3、兩根長度相度、材料相同、電阻分別為 R和2R的細(xì)導(dǎo)線，圍成一直徑為D的圓環(huán)，P、Q為其兩個(gè)接點(diǎn)，如圖4-4-9所示。在圓環(huán)所圍成的區(qū)域內(nèi)，存在垂直于圓指向紙面里的勻強(qiáng)磁場。 磁場的磁感強(qiáng)度的大小隨時(shí)間增大， 變化率為恒定值bo已知圓環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是均勻分布的。設(shè) MNfe圓環(huán)上的兩點(diǎn),學(xué)