軸對稱問題有限元法

1、第四章軸對稱問題有限元法第四章軸對稱問題有限元法在工程問題中經(jīng)常會遇到一些實際結(jié)構(gòu)，它們的幾何形狀、約束條件和外載荷均對稱某一固定軸，我們把該固定軸 稱為對稱軸。則在載荷作用下產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移也都 對稱此軸。這種問題就稱為 軸對稱問題。在離心機(jī)械、壓力 容器、礦山機(jī)械、飛行器中經(jīng)常遇到軸對稱問題。第一節(jié)軸對稱問題彈性力學(xué)基本方程對于軸對稱問題，宜采用圓柱坐標(biāo)系( r, ,z)o如果將彈性體的對稱軸作為 Z軸，則所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量都 只是r和Z軸的函數(shù)，而與 無關(guān)，即不隨 變化。彈性體 內(nèi)任意一點只有兩個位移：即沿 r方向的徑向位移 u和沿Z 方向的軸向位移 Wo由于軸對稱，沿 方向

2、的環(huán)向(周向) 位移v等于零。因此軸對稱問題是二維問題。在軸對稱彈性體內(nèi)用相距的兩個圓柱面和過軸線互成1 / 21第四章軸對稱問題有限元法de角的兩個鉛垂面切割由一個高為的微元體，如圖2所示。 x(a)z(b)沿r方向作用的正應(yīng)力r稱為徑向應(yīng)力沿e方向作用的正應(yīng)力稱為環(huán)向應(yīng)力沿z方向作用的正應(yīng)力z稱為軸向應(yīng)力面內(nèi)的剪應(yīng)力zr - rz故軸對稱彈性體內(nèi)任意一點的應(yīng)力分量2 / 21第四章軸對稱問題有限元法T rz rz對應(yīng)的軸對稱彈性體內(nèi)任意一點的應(yīng)變分量T rz rz其中沿r方向徑向線應(yīng)變沿。方向環(huán)向線應(yīng)變z 沿z方向軸向線應(yīng)變rz 面內(nèi)的剪應(yīng)變與平面問題相比，軸對稱問題多了一個環(huán)向應(yīng)變。彈

3、性體受載時，點（r, ,z）產(chǎn)生徑向位移u ,使過點（r, ,z） 的周長增加了 2 （r u） 2 r,因而產(chǎn)生相對伸長，即環(huán) 向應(yīng)變：2 （r u） 2r u2 r r軸對稱問題的幾何方程（應(yīng)變與位移之間的關(guān)系）為uwwu, z , zr r zrz寫成矩陣形式3 / 21第四章軸對稱問題有限元法rzrzu rurwz u w z r根據(jù)虎克定律，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為rrz1 E1E1E1G rz由上式得z)2(1)E rz4 / 21第四章軸對稱問題有限元法zzr1 -111E(1)1(1)(1 2 ) 110001101 22(1)(4-2)這里彈性矩陣D為1011D =E(1)(1)(

4、1 2 )101110001 22(1)5 / 21rzrz第四章軸對稱問題有限元法第二節(jié)三角形截面環(huán)單元一、結(jié)構(gòu)離散化離散化軸對稱體時，采用的單元是一些圓環(huán)。這些圓環(huán)單元與平面（子午面）正交的截面可以有不同的形狀：3節(jié)點三角形、6節(jié)點三角形、4節(jié)點四邊形和8節(jié)點四邊形等 等。單元的節(jié)點是圓周狀的較鏈，各單元平面（子午面）內(nèi) 形成網(wǎng)格。在我們這里研究的是3節(jié)點三角形軸對稱單元，這些圓環(huán)單元與平面（子午面）正交的截面是三角形，如圖 3所示。圖4-3軸對稱結(jié)構(gòu)注：（1）對軸對稱問題進(jìn)行計算時，只需取由一個截面進(jìn)行 網(wǎng)格劃分和分析，即 在平面（子午面）截面進(jìn)行網(wǎng)格劃分和 分析。但是應(yīng)注意到單元是圓環(huán)

5、狀的，所有節(jié)點載荷都應(yīng)為6 / 21第四章軸對稱問題有限元法作用在單元節(jié)點所在的圓周上；同樣，位移邊界條件也是如此。(2)軸對稱體受非軸對稱載荷時，成為三維問題。此時，采用將載荷沿e方向展成富氏級數(shù)的半解析方法，把三維問題化為一組二維問題。軸對稱問題離散化例1例2如圖所示是一承受內(nèi)壓和外壓的無限長厚壁圓筒，可取 單位長度圓筒進(jìn)行分析，有限元模型：軸對稱問題離散化7 / 21第四章軸對稱問題有限元法取四分之一模型研究，有限元模型（網(wǎng)格未劃，只給由位移 邊界條件）： z8 / 21第四章軸對稱問題有限元法Te Ui Wj Uj wj um wm 仿照平面三角形單元，取線性位移模式U12r3Zw 4

6、5r6Z類似平面三角形單元的推導(dǎo)，(4-3)(4-4)將節(jié)點坐標(biāo)rj , Z , rj , Zj , rm, Zm 和節(jié)點位移 Uj , Wj , Uj , Wj, Um, Wm 代入位移 模式(4-3)中，可解得1, 2,., 6。再將這些系數(shù)代回式 (4-4)中，得UNiUiN jU jNmUm(4-5) wNiwiNjWjNmwm其中形函數(shù)9 / 21第四章軸對稱問題有限元法1Ni （ai bir cz）（輪換）（4-6）而11r - 1 rj2 1 rmzzjzmai rjZm 路馬 b Zj玲Ci rm rj三、單元應(yīng)變?yōu)榱饲髥卧獞?yīng)變，將式 程，得urr uerz_wrzZU z I

7、（輪換）（4-7）（4-5）代入軸對稱問題的幾何方Uibi0bj0bm0Wifi0fj0fm0Uj20g0Cj0GmWjcibicjbjcmbmumwm（4-9）式中（輪換）免czfibr r10 / 21第四章軸對稱問題有限元法式（4-9）可簡寫為(4-10)其中，B為變矩陣，且可寫為Cih由式（4-9）可以看由，單元應(yīng)變只有環(huán)向應(yīng)變是坐標(biāo)的函數(shù)，其它應(yīng)變都是常量。四、單元應(yīng)力為求單元應(yīng)力，把式（4-5）代入軸對稱問題的物理方程式，得(4-11)rz式中，應(yīng)力矩陣的子矩陣為:11 / 21第四章軸對稱問題有限元法h A fi Ag 2A3 Ah fi Ag 一A(bi fi) GA2G A2

8、 b其中5人行。）從式（4-11）可知，只有剪應(yīng)力rz在單元中是常量，而其它應(yīng)力分量在單元中都不是常量，與坐標(biāo) r和z有關(guān)為了簡化計算和消除由 0引起的奇異，通常取單元形心 點的r、z坐標(biāo)值作為其近似值，即r t ai .ci zfi f - bi =（, m）r r其中-11 .、r -（ri 口 加），z -（z 4 zm）33單元網(wǎng)格確定后，各單元的 r, z就是定值。這樣按軸對稱三節(jié)點三角形單元所求的應(yīng)變和應(yīng)力，是單元形心處的應(yīng)變和 應(yīng)力近似值，它們都是常數(shù) 。當(dāng)單元較小時，誤差很小，特 別是單元離z軸較遠(yuǎn)時，誤差就更小。12 / 21第四章軸對稱問題有限元法第三節(jié)單元剛度矩陣運用虛功

9、原理來推導(dǎo)軸對稱問題的單元剛度矩陣。單元在節(jié)點力作用下處于平衡狀態(tài)，節(jié)點力列陣為R eRrRzRjrRjz假設(shè)單元e的三個節(jié)點的虛位移為* e *UiWi*Uj Wj*Um* TWm單元上任一點的虛位移為* e(4-12)f N單元的虛應(yīng)變?yōu)? * e(4-13)B根據(jù)虛功原理，單元體所吸收的虛應(yīng)變能等于單元節(jié)點力所13 / 21第四章軸對稱問題有限元法做的虛功，即rdrdzd (4-14)將式(4-11)(4-13 )代入式(4-14 ),則得e rdrdzd由于虛位移列陣式中,eT2TBDerdrdz的任意性，所以有D B rdrdz(4-16)eeeK 就是單元剛度矩陣eK2寫成分塊形式

10、為kiieKkji66kkmi其中每個子矩陣為Kst 2kijkjjkmjBsD B rdrdz(4-17 )kimkjmk'mm(4-18 )D Bt rdrdz()(4-19)把上式中的坐標(biāo)用單元形心點的坐標(biāo)代替，有14 / 21第四章軸對稱問題有限元法Ktst2rA3bs(btAJ)£,(AQ)A2csetAcgf,)CsQA1cs(btfj A2bset0(4-20)求得單元剛度矩陣后，就可向平面問題一樣“子塊搬家,對號入座”組集整體剛度矩陣。注：實踐表明，只要網(wǎng)格剖分不太粗，這樣近似計算引起的誤差是很小的。15 / 21第四章軸對稱問題有限元法第四節(jié)等效節(jié)點載荷計算

11、與平面問題類似，當(dāng)結(jié)構(gòu)外載荷不作用在節(jié)點上時，也需 要將這些作用在環(huán)形單元上的集中力、表面力、和體積力分 別移置到節(jié)點上。移置的原則也是要求這些外力和等效節(jié)點載荷在任意位移上所作的虛功相等，即eTRp rddrdzrd ds2 rc f其中:*ui* wi*uj* wj*um*wm且單元內(nèi)任意一點的位移與節(jié)點位移之間有* u* w所以有:eq rdsrdrdz(4-27)汪息的任意性，所以有16 / 21第四章軸對稱問題有限元法eTTtR 2 N p rdrdz 2 N q rds 2 rc N Gl(4-28)1.體積力(1)自重假設(shè)單元體力分量為T p 0 式中為材料重量密度。由式(4-2

12、8),節(jié)點i的等效節(jié)點載荷為RrRzNirdrdz和平面問題一樣，用面積坐標(biāo)建立如下關(guān)系LiNi , r LLjjLmm利用面積坐標(biāo)積分，則得Ni rdrdzLi (Li riLjrjLmrm)drdzr. Il Im6 12 12一(3r 12n)RrRz(3Fr)17 / 21第四章軸對稱問題有限元法單元等效節(jié)點載荷為3r re0R -6 3r 003r rm(2)離心力式中為材料質(zhì)量密度,為結(jié)構(gòu)繞對稱軸旋轉(zhuǎn)的角速度。節(jié)點i的等效節(jié)點載荷為2 _ ea rR 2Nia rdrdz0積分Nir2drdzLi (ri Li 山 rmLm)2drdz30 (r2 rj2 rm 6 m rjm)所

13、以節(jié)點i的等效節(jié)點載荷為2 一2Ri e15 (9r2rl rjrm)(i,j,m 輪換)18 / 21第四章軸對稱問題有限元法單元等效節(jié)點載荷為9r2 2ri2 口路0159r2 2rf rmr09產(chǎn)2rm巴02.表面力設(shè)軸對稱問題三角形截面環(huán)形單元的邊上作用有線性分布的r方向面力。面力在節(jié)點 i處的集度為q,在節(jié)點j 處的集度為qj? ij邊長為l oO>r則在ij邊上，表面力為 qqiNi qjNj0節(jié)點i的等效節(jié)點載荷為19 / 21第四章軸對稱問題有限元法eqNi qjNjR 2 Nj j rdsi0因在ij邊上，面積坐標(biāo) Lm 0,于是Nj2rdsiL2（riLi irjLj