軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法

1、第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法在工程問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)遇到一些實(shí)際結(jié)構(gòu)，它們的幾何形狀、約束條件和外載荷均對(duì)稱某一固定軸，我們把該固定軸 稱為對(duì)稱軸。則在載荷作用下產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移也都 對(duì)稱此軸。這種問(wèn)題就稱為 軸對(duì)稱問(wèn)題。在離心機(jī)械、壓力 容器、礦山機(jī)械、飛行器中經(jīng)常遇到軸對(duì)稱問(wèn)題。第一節(jié)軸對(duì)稱問(wèn)題彈性力學(xué)基本方程對(duì)于軸對(duì)稱問(wèn)題，宜采用圓柱坐標(biāo)系( r, ,z)o如果將彈性體的對(duì)稱軸作為 Z軸，則所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量都 只是r和Z軸的函數(shù)，而與 無(wú)關(guān)，即不隨 變化。彈性體 內(nèi)任意一點(diǎn)只有兩個(gè)位移：即沿 r方向的徑向位移 u和沿Z 方向的軸向位移 Wo由于軸對(duì)稱，沿 方向

2、的環(huán)向(周向) 位移v等于零。因此軸對(duì)稱問(wèn)題是二維問(wèn)題。在軸對(duì)稱彈性體內(nèi)用相距的兩個(gè)圓柱面和過(guò)軸線互成1 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法de角的兩個(gè)鉛垂面切割由一個(gè)高為的微元體，如圖2所示。 x(a)z(b)沿r方向作用的正應(yīng)力r稱為徑向應(yīng)力沿e方向作用的正應(yīng)力稱為環(huán)向應(yīng)力沿z方向作用的正應(yīng)力z稱為軸向應(yīng)力面內(nèi)的剪應(yīng)力zr - rz故軸對(duì)稱彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力分量2 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法T rz rz對(duì)應(yīng)的軸對(duì)稱彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變分量T rz rz其中沿r方向徑向線應(yīng)變沿。方向環(huán)向線應(yīng)變z 沿z方向軸向線應(yīng)變r(jià)z 面內(nèi)的剪應(yīng)變與平面問(wèn)題相比，軸對(duì)稱問(wèn)題多了一個(gè)環(huán)向應(yīng)變。彈

3、性體受載時(shí)，點(diǎn)（r, ,z）產(chǎn)生徑向位移u ,使過(guò)點(diǎn)（r, ,z） 的周長(zhǎng)增加了 2 （r u） 2 r,因而產(chǎn)生相對(duì)伸長(zhǎng)，即環(huán) 向應(yīng)變：2 （r u） 2r u2 r r軸對(duì)稱問(wèn)題的幾何方程（應(yīng)變與位移之間的關(guān)系）為uwwu, z , zr r zrz寫(xiě)成矩陣形式3 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法rzrzu rurwz u w z r根據(jù)虎克定律，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為rrz1 E1E1E1G rz由上式得z)2(1)E rz4 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法zzr1 -111E(1)1(1)(1 2 ) 110001101 22(1)(4-2)這里彈性矩陣D為1011D =E(1)(1)(

4、1 2 )101110001 22(1)5 / 21rzrz第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法第二節(jié)三角形截面環(huán)單元一、結(jié)構(gòu)離散化離散化軸對(duì)稱體時(shí)，采用的單元是一些圓環(huán)。這些圓環(huán)單元與平面（子午面）正交的截面可以有不同的形狀：3節(jié)點(diǎn)三角形、6節(jié)點(diǎn)三角形、4節(jié)點(diǎn)四邊形和8節(jié)點(diǎn)四邊形等 等。單元的節(jié)點(diǎn)是圓周狀的較鏈，各單元平面（子午面）內(nèi) 形成網(wǎng)格。在我們這里研究的是3節(jié)點(diǎn)三角形軸對(duì)稱單元，這些圓環(huán)單元與平面（子午面）正交的截面是三角形，如圖 3所示。圖4-3軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)注：（1）對(duì)軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算時(shí)，只需取由一個(gè)截面進(jìn)行 網(wǎng)格劃分和分析，即 在平面（子午面）截面進(jìn)行網(wǎng)格劃分和 分析。但是應(yīng)注意到單元是圓環(huán)

5、狀的，所有節(jié)點(diǎn)載荷都應(yīng)為6 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法作用在單元節(jié)點(diǎn)所在的圓周上；同樣，位移邊界條件也是如此。(2)軸對(duì)稱體受非軸對(duì)稱載荷時(shí)，成為三維問(wèn)題。此時(shí)，采用將載荷沿e方向展成富氏級(jí)數(shù)的半解析方法，把三維問(wèn)題化為一組二維問(wèn)題。軸對(duì)稱問(wèn)題離散化例1例2如圖所示是一承受內(nèi)壓和外壓的無(wú)限長(zhǎng)厚壁圓筒，可取 單位長(zhǎng)度圓筒進(jìn)行分析，有限元模型：軸對(duì)稱問(wèn)題離散化7 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法取四分之一模型研究，有限元模型（網(wǎng)格未劃，只給由位移 邊界條件）： z8 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法Te Ui Wj Uj wj um wm 仿照平面三角形單元，取線性位移模式U12r3Zw 4

6、5r6Z類似平面三角形單元的推導(dǎo)，(4-3)(4-4)將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)rj , Z , rj , Zj , rm, Zm 和節(jié)點(diǎn)位移 Uj , Wj , Uj , Wj, Um, Wm 代入位移 模式(4-3)中，可解得1, 2,., 6。再將這些系數(shù)代回式 (4-4)中，得UNiUiN jU jNmUm(4-5) wNiwiNjWjNmwm其中形函數(shù)9 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法1Ni （ai bir cz）（輪換）（4-6）而11r - 1 rj2 1 rmzzjzmai rjZm 路馬 b Zj玲Ci rm rj三、單元應(yīng)變?yōu)榱饲髥卧獞?yīng)變，將式 程，得urr uerz_wrzZU z I

7、（輪換）（4-7）（4-5）代入軸對(duì)稱問(wèn)題的幾何方Uibi0bj0bm0Wifi0fj0fm0Uj20g0Cj0GmWjcibicjbjcmbmumwm（4-9）式中（輪換）免czfibr r10 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法式（4-9）可簡(jiǎn)寫(xiě)為(4-10)其中，B為變矩陣，且可寫(xiě)為Cih由式（4-9）可以看由，單元應(yīng)變只有環(huán)向應(yīng)變是坐標(biāo)的函數(shù)，其它應(yīng)變都是常量。四、單元應(yīng)力為求單元應(yīng)力，把式（4-5）代入軸對(duì)稱問(wèn)題的物理方程式，得(4-11)rz式中，應(yīng)力矩陣的子矩陣為:11 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法h A fi Ag 2A3 Ah fi Ag 一A(bi fi) GA2G A2

8、 b其中5人行。）從式（4-11）可知，只有剪應(yīng)力rz在單元中是常量，而其它應(yīng)力分量在單元中都不是常量，與坐標(biāo) r和z有關(guān)為了簡(jiǎn)化計(jì)算和消除由 0引起的奇異，通常取單元形心 點(diǎn)的r、z坐標(biāo)值作為其近似值，即r t ai .ci zfi f - bi =（, m）r r其中-11 .、r -（ri 口 加），z -（z 4 zm）33單元網(wǎng)格確定后，各單元的 r, z就是定值。這樣按軸對(duì)稱三節(jié)點(diǎn)三角形單元所求的應(yīng)變和應(yīng)力，是單元形心處的應(yīng)變和 應(yīng)力近似值，它們都是常數(shù) 。當(dāng)單元較小時(shí)，誤差很小，特 別是單元離z軸較遠(yuǎn)時(shí)，誤差就更小。12 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法第三節(jié)單元?jiǎng)偠染仃囘\(yùn)用虛功

9、原理來(lái)推導(dǎo)軸對(duì)稱問(wèn)題的單元?jiǎng)偠染仃?。單元在?jié)點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)，節(jié)點(diǎn)力列陣為R eRrRzRjrRjz假設(shè)單元e的三個(gè)節(jié)點(diǎn)的虛位移為* e *UiWi*Uj Wj*Um* TWm單元上任一點(diǎn)的虛位移為* e(4-12)f N單元的虛應(yīng)變?yōu)? * e(4-13)B根據(jù)虛功原理，單元體所吸收的虛應(yīng)變能等于單元節(jié)點(diǎn)力所13 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法做的虛功，即rdrdzd (4-14)將式(4-11)(4-13 )代入式(4-14 ),則得e rdrdzd由于虛位移列陣式中,eT2TBDerdrdz的任意性，所以有D B rdrdz(4-16)eeeK 就是單元?jiǎng)偠染仃噀K2寫(xiě)成分塊形式

10、為kiieKkji66kkmi其中每個(gè)子矩陣為Kst 2kijkjjkmjBsD B rdrdz(4-17 )kimkjmk'mm(4-18 )D Bt rdrdz()(4-19)把上式中的坐標(biāo)用單元形心點(diǎn)的坐標(biāo)代替，有14 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法Ktst2rA3bs(btAJ)£,(AQ)A2csetAcgf,)CsQA1cs(btfj A2bset0(4-20)求得單元?jiǎng)偠染仃嚭螅涂上蚱矫鎲?wèn)題一樣“子塊搬家,對(duì)號(hào)入座”組集整體剛度矩陣。注：實(shí)踐表明，只要網(wǎng)格剖分不太粗，這樣近似計(jì)算引起的誤差是很小的。15 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法第四節(jié)等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算

11、與平面問(wèn)題類似，當(dāng)結(jié)構(gòu)外載荷不作用在節(jié)點(diǎn)上時(shí)，也需 要將這些作用在環(huán)形單元上的集中力、表面力、和體積力分 別移置到節(jié)點(diǎn)上。移置的原則也是要求這些外力和等效節(jié)點(diǎn)載荷在任意位移上所作的虛功相等，即eTRp rddrdzrd ds2 rc f其中:*ui* wi*uj* wj*um*wm且單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)位移之間有* u* w所以有:eq rdsrdrdz(4-27)汪息的任意性，所以有16 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法eTTtR 2 N p rdrdz 2 N q rds 2 rc N Gl(4-28)1.體積力(1)自重假設(shè)單元體力分量為T(mén) p 0 式中為材料重量密度。由式(4-2

12、8),節(jié)點(diǎn)i的等效節(jié)點(diǎn)載荷為RrRzNirdrdz和平面問(wèn)題一樣，用面積坐標(biāo)建立如下關(guān)系LiNi , r LLjjLmm利用面積坐標(biāo)積分，則得Ni rdrdzLi (Li riLjrjLmrm)drdzr. Il Im6 12 12一(3r 12n)RrRz(3Fr)17 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法單元等效節(jié)點(diǎn)載荷為3r re0R -6 3r 003r rm(2)離心力式中為材料質(zhì)量密度,為結(jié)構(gòu)繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)的角速度。節(jié)點(diǎn)i的等效節(jié)點(diǎn)載荷為2 _ ea rR 2Nia rdrdz0積分Nir2drdzLi (ri Li 山 rmLm)2drdz30 (r2 rj2 rm 6 m rjm)所

13、以節(jié)點(diǎn)i的等效節(jié)點(diǎn)載荷為2 一2Ri e15 (9r2rl rjrm)(i,j,m 輪換)18 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法單元等效節(jié)點(diǎn)載荷為9r2 2ri2 口路0159r2 2rf rmr09產(chǎn)2rm巴02.表面力設(shè)軸對(duì)稱問(wèn)題三角形截面環(huán)形單元的邊上作用有線性分布的r方向面力。面力在節(jié)點(diǎn) i處的集度為q,在節(jié)點(diǎn)j 處的集度為qj? ij邊長(zhǎng)為l oO>r則在ij邊上，表面力為 qqiNi qjNj0節(jié)點(diǎn)i的等效節(jié)點(diǎn)載荷為19 / 21第四章軸對(duì)稱問(wèn)題有限元法eqNi qjNjR 2 Nj j rdsi0因在ij邊上，面積坐標(biāo) Lm 0,于是Nj2rdsiL2（riLi irjLj