幾何模型一線三等角模型

1、線三等角模型.一線三等角概念“一線三等角是一個(gè)常見的相似模型,指的是有 三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直 線上構(gòu)成的相似圖形,這個(gè)角可以是直角,也可以是銳角或鈍角.不同地區(qū)對(duì)此有不同的稱呼,“K形圖,“三垂直“弦圖等,以下稱為線三.一線三等角的分類DCDCCBAABPPABP直角DDDAAAPpBPBBCCC異側(cè)相似篇DDCDCCABABPPABP直角鈍角DDDAPABpPBCCC異側(cè)全等篇D三、“一線三等角的性質(zhì)1 .一般情況下,如圖 3-1 ,由/ 1 = /2=/3,易得 AES BDE.2 .當(dāng)?shù)冉撬鶎?duì)的邊相等時(shí),那么兩個(gè)三角形全等.如圖3-1 ,假設(shè)CE=ED那么 AE登 BDE.3 .中點(diǎn)

2、型“一線三等角;二如圖 3-2 ,當(dāng)/1=/2=/3,且 D 是 BC 中點(diǎn)時(shí), BD曰ACFtD DFE、4 .“中點(diǎn)型一線三等角的變式 了解如圖3-3 ,當(dāng)/1=/2且/BOC =90 +1/BAC時(shí),點(diǎn)O是aBc的內(nèi)心.可以考慮I勾2造“一線三等角.如圖3- 4 “中點(diǎn)型一線三等角通常與三角形的內(nèi)心或旁心相關(guān),？1/BOC =90*+ /BAC這是內(nèi)心的性質(zhì),反之未必是內(nèi)心 .2在圖3-4 右圖中,如果延長(zhǎng) BE與CF,交于點(diǎn)P,那么點(diǎn)D是4PEF的旁心.5 .“一線三等角的各種變式圖 3-5 ,以等腰三角形為例進(jìn)行說明圖3-5其實(shí)這個(gè)第4圖,延長(zhǎng)DC反而好理解.相當(dāng)于兩側(cè)型的,不延長(zhǎng)理

3、解,以為是一種新型的,同側(cè)穿越型？不管怎么變,都是由三等角確定相似三角形來進(jìn) 行解題四、“一線三等角的應(yīng)用1 .“一線三等角應(yīng)用的三種情況.a.圖形中已經(jīng)存在“一線三等角,直接應(yīng)用模型解題；b.圖形中存在“一線二等角,不上“一等角構(gòu)造模型解題；c.圖形中只有直線上一個(gè)角,不上“二等角構(gòu)造模型解題.體會(huì)：感覺最后一種情況出現(xiàn)比擬多,尤其是壓軸題中,經(jīng)常會(huì)有一個(gè)特殊角或指導(dǎo)該角的三角函數(shù)值時(shí),我經(jīng)常構(gòu)造“一線三等角來解題 .2 .在定邊對(duì)定角問題中,構(gòu)造一線三等角是根本手段,尤其是直角坐標(biāo)系中的張角問題,在x軸或y軸也可以是平行于x軸或y軸的直線上構(gòu)造一 線三等角解決問題更是重要的手段.3 .構(gòu)造

4、一線三等角的步驟：找角、定線、構(gòu)相似坐標(biāo)系中,要講究“線的特殊性如圖3-6 ,線上有一特殊角,就考慮構(gòu)造同側(cè)型一線三等角當(dāng)然只加這兩條線通常是不夠的,為了利用這個(gè)特殊角導(dǎo)線段的關(guān)系,過 C、D兩點(diǎn)作直線l的垂線是必不可少的.兩條垂線通常情況下是為了 “量化的需 要.上面就是作輔助線的一般程序,看起來線條比擬多,很多老師都認(rèn)為一下子不 容易掌握.解題示范例1如下圖,一次函數(shù) y =-x+4與坐標(biāo)軸分別交于 A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是線段 AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不包括 A、B兩端點(diǎn),C是線段 OB上一點(diǎn),/ OPC=45 ,假設(shè)AOPC是等腰 三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo).例 2 如下圖,四邊形 ABCD 中,/ C=9

5、0 ,Z ABD= Z DBC=22.5 , AEXBC 于 E, /ADE=67.5 , AB=6,那么 CE=.例 3 如圖,四邊形 ABCD 中,/ ABC= / BAD=90 , Z ACD=45 , AB=3 , AD=5.求 BC 的長(zhǎng).例 4 如圖, ABC 中,/BAC=45 , AD BC, BD=2 , CD=3,求 AD 的長(zhǎng).一線三等角,補(bǔ)形最重要,內(nèi)構(gòu)勤思考,外構(gòu)更精妙.找出相似形,比例不能少.巧設(shè)未知數(shù),妙解方程好還是可以縱橫斜三個(gè)方向構(gòu)造,坐標(biāo)系中一般考慮縱橫兩個(gè)方向構(gòu)造例 5 如圖,在 AABC 中,/ BAC=135 , AC= J2 AB, AD AC 交

6、BC 于點(diǎn) D,假設(shè) AD = J2 ,求AABC的面積當(dāng)然有45.或135.等特殊角,據(jù)此也可以構(gòu)造不同的一線三等角一線三等角所有的構(gòu)造都是把分居定角兩側(cè)的數(shù)據(jù)集中在一起,是相似集中條件的一種.大練身手：例7:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A (1, 0) , B (0, 3) , C( 3, 0) , D是線段AB上一 點(diǎn),CD 父 y 軸于 E,且 S bce= 2Saaob ,(1)求直線AB的解析式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo),猜測(cè)線段 CE與線段AB的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由；(3)假設(shè)F為射線 CD上一點(diǎn),且/ DBF= 45,求點(diǎn)F的坐標(biāo).例8:如圖,直線y = x+ 2與y軸交于點(diǎn)C

7、,與拋物線y= ax2交于A、B兩點(diǎn)(A在 耳的左側(cè)),BC= 2AC,點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn).B(1)(2)(3)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；假設(shè)點(diǎn)P在直線AB的下方,求點(diǎn) P到直線AB的距離的最大值；假設(shè)點(diǎn)P在直線AB的上方,且/ BPC= 45,求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).O,田B確實(shí)坐標(biāo) xE練1:.如圖,拋物線的頂點(diǎn)為為-3 .(1)求拋物線的解析式；(2)假設(shè)點(diǎn)D為拋物線上的一點(diǎn),(3)假設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0, 2),C ( 1 , 1),且經(jīng)過點(diǎn) A、點(diǎn) 琳海麻原點(diǎn)BBOD的面積等于 BOC的面積,請(qǐng)直接打出點(diǎn) D的坐標(biāo);點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)束,是否存假設(shè)存在,求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；假設(shè)不存

8、在,請(qǐng)說明理由.課后作業(yè)：如圖,點(diǎn) A(0,-1),B(3,0),P 為直線 y= -x+5 上一點(diǎn)T在四邊形 ABCD 中,/ ABC=/BAD=90如圖,正方形 ABCD中,點(diǎn)E,F,G分別在 AB,BC,CD上,BE+GC= 一 3 BC如圖, ABC L DBA,且 AC=夜 BC,求證:CD=2AB.C3,AD=4,求OD=45CO x在,APB=FP,使得/ OPE= 45 ?如圖,如圖,ACxfe長(zhǎng).為等邊三角形/求證:在四邊形 ABCD 中,/ ABC= 90, AB=3, BC= 4, CD= 10, DA= 575 ,求 BD 的長(zhǎng)點(diǎn)A是反比例(X0)圖形上一點(diǎn),點(diǎn) B是X

9、軸正半軸上一點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn) ABC是等邊三角形時(shí),求點(diǎn) A的坐標(biāo).如圖,拋物線y=ax2+bx + 4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,直17線l： y=x+m經(jīng)過點(diǎn)A,與拋物線交于另一點(diǎn)D (5,鼻),點(diǎn)P是直線l上萬的拋物線上的動(dòng)點(diǎn),連接 PC、PD.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng) PCD為直角三角形時(shí),求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)設(shè) PCD的面積為S,請(qǐng)你探究：使 S的值為整數(shù)的點(diǎn) P共有幾個(gè),說明理由.4 2221.如圖1,直線y=kx與拋物線丫 = 57x +力交于點(diǎn)A t3, 6)2 73(1)求直線y=kx的解析式和線段 OA的長(zhǎng)度;C(2)點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線PM交直線OA于點(diǎn)Q,再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線/交交x軸予點(diǎn)M (點(diǎn)M、O不重合), y軸于點(diǎn)N.、式探究：線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比是否為定值？如果是,求出邏個(gè)定值,如果不是說明理由;(3)如圖l2,假設(shè)點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的Ai段OA上(與點(diǎn)O、A不重合)0)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)A /直滿&究:如圖,直線 AC: y= -2x+y2J 過A、