第三講勾股定理及其應用培優(yōu)輔導含答案

1、第三講勾股定理及其應用培優(yōu)輔導一、知譏點占點擊一：勾股定理 勾股定理：.如圖2,在Rt ABC中,C 900, / A、/ B、/ C的對邊分別為a、b、c, 貝 U c2=, a2=, b2=.勾股數(shù)：、特殊勾股數(shù)：連續(xù)的勾股數(shù)只有3 , 4, 5連續(xù)的偶數(shù)勾股數(shù)只有6, 8, 10 勾股定理的逆定理： .點擊二：學會用拼圖法驗證勾股定理女口，利用四個如圖1所示的直角三角形，拼出如圖2所示的三個圖形并證明.點擊三：在數(shù)軸上表示無理數(shù)例在數(shù)軸上作出表示10的點.點擊四：直角三角形邊與面積的關系及應用例 已知一直角三角形的斜邊長是 2,周長是2+. 6，求這個三角形的面積.點擊五：勾股定理的應用

2、(1) 已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；(2) 已知直角三角形的一邊，求另兩條邊的關系;(3) 用于推導線段平方關系的問題等.二、【精典題型】考點一、已知兩邊求第三邊1 .在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為6, 8，則斜邊長為 ，斜邊的高為2已知直角三角形的兩邊長為3、2,則另一條邊長是 .3. 已知，如圖在 ABC中，AB=BC=CA=2cmAD是邊BC上的高.則 AD的長;厶ABC的面積.考點二、利用列方程求線段的長如圖，某學校（A點）與公路（直線 L）的距離為300米，又與公路車站（D點）的距離為 500米，現(xiàn)要在公路上建一個小商店（ C點），使之與該校A及車站D的距離相等，求商店與

3、 車站之間的距離.考點三、判別一個三角形是否是直角三角形1. 分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：（1）3、4、5（2）5、12、13 （ 3） 8、15、17（4）4、5、6,其中能夠成直角三角形的有 .2. 若三角形的三邊是 a4、如圖，正方形ABCD中, F為DC的中點，E為BC上一點，且CE - BC .你能說明/ AFE 4是直角嗎？+b2,2ab,a 2-b2（a>b>0）,則這個三角形是 .3. 如圖，在我國沿海有一艘不明國際的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A B兩個基地前去攔截， 每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行六分鐘后同時到達

4、 C地將其攔截。已知甲巡邏艇50海里，航向為北偏西 40°.那么甲巡邏艇的航向是怎樣的?三、【思想方法】本節(jié)主要思想方法有數(shù)形結合的思想、方程的思想、化歸的思想及分類的思想；（一）用勾股定理求兩點之間的距離問題例1 （噪音問題）如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且/ QPN= 30° 點A處有一所中學，AP = 160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪 音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影 響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？例2 .（用勾股定理求 最短路徑問題）.【例】

5、如圖，一圓柱體的底面周長為20cm,高A B為4cm B C是上底面的直徑 一只螞蟻從點A出發(fā),沿著圓柱的側面爬行到點.C，試求出爬行的最短路程 為.變式:.1、.有一個長寬高分別為.2cm,. 2呷.8cm的長方體，有一只小螞蟻想從點.A爬到 點B處，則它爬行的最短路程為 cm.2、如圖學校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑” ，在 花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了 路（假設2步為1m），卻踩傷了花草。（二）方程的思想方法如圖將長方形ABCD沿對角線BD折疊，使C點落在F處,BF交AD于點E,AD=8，AB=4，求 BDE的面積是多少?DB（三）分類討論思想方法例：若

6、VABC 中，AB 13cm, AC 15cm，高 AD=12,則 BC的長為（）A: 14 B : 4 C : 14或4 D:以上都不對變式：1、在Rt ABC中，有兩邊的長分別為3和4,則第三邊的長（）A 5 B ,7 C 5 或一 7 D 5 或 112 :如果 AB C的三邊 a、b、c 滿足（a - b）（a .2+b2- c）=0 ,那么 AB C一定是（）.A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D. .等腰三角形或直角三角形培優(yōu)學力訓練【例1】（達州）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有 的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的邊長分別是3, 5

7、, 2, 3,則 最大正方形E的面積是（）A . 13B . 26C . 47D . 94【變式題組】01 .（安徽）如圖，直線I過正方形ABCD的頂點B,點A, C到直線I的距離分別 是1和2,則正方形的邊長是.l02 .（浙江省溫州）在直線l上的依次擺放著七個正方形（如圖所示），己知斜放置 的三個正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個正方形的面積依次是S1,S2, S3, $,貝U Si + S2 + S3 + S4=.第2題圖03 .（浙江省麗江）如圖，已知 ABC中，/ ABC = 90°, AB= BC,三角形的頂 點在相互平行的三條直線11、l2> I3上，且1

8、1、I2之間的距離為2, 12、I3之間 的距離為3,則AC的長是（）A . 2 17 B . 25C . 4 2D . 7【例2】（福建省漳州）幾何模型：條件：如下左圖，A、B是直線I同旁的兩個定 占八、問題：在直線I上確定一點P,使FA+ PB的值最小.方法：作點A關于直線I的對稱點A',連接A'B交I于點P,則FA+ PB = A'B 的值最?。ú槐刈C明）.模型應用：如圖1,正方形ABCD的邊長為2, E為AB的中點，P是AC 上一動點連接BD,由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱.連接ED交 AC于P,則PB+ PE的最小值是;（2）如圖 2,Z AOB

9、= 45°, P 是/ AOB 內(nèi)一點，P0= 10, Q、R分別是OA、0B上的動點，求 PQR周長的最小值.AA圖2P0A【變式題組】1、（四川聯(lián)賽試題）已知矩形ABCD的AB= 12, AD = 3, E、F分別是AB, DC上的點，則折線AFEC長的最小值為.2、（陜西）如圖，在銳角厶ABC中，AB= 4 5，/ BAC= 45°,/ BAC的平分線交BC于點D, M、N分別是AD和AB上的動點，貝U BM+ MN的最小值是B培優(yōu)升級檢測1、如圖，在 RtAABC中，AB= AC, D、E在斜邊BC上且/ DAE = 45°,將厶ADC繞點A順時針旋轉，使

10、AC與AB重合，得到 AFB，連接EF，貝U下列結 論: AEDAEF :厶 ABEA ACD; BE+ DC = DE; ® BE2+ DC2= DE2 其中正確的是（）A B.C D .2、（北京競賽）如圖，ABCD是一張長方形紙片，將 AD，BC折起、使A、B兩 點重合于CD邊上的P點，然后壓平得折痕EF與GH.若PE = 8cm, PG = 6cm, EG= 10cm，則長方形紙片ABCD的面積為（）cm2A. 105.6B. 110.4C. 115.2 D. 124.83、（四川省初二數(shù)學聯(lián)賽試題）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,過點P向三邊作垂線，垂足分別為 S、Q、R

11、,且PQ = 6, PR= S, PS= 0,則厶ABC的面積等于（）_A. 190.3B. 192、3 C. 194、3 D. 196.34、如圖所示，在 ABC 中，/ BAC= 120°, AB = AC=3 cm, 一動點 P 從 B向C以每秒2cm的速度移動，當P點移動秒時，F(xiàn)A與腰垂直.C第7題圖第8題圖B5、如圖，在 ABC 中，D 是 BC 邊上一點，AB= AD = 2, AC= 4,且 BD:DC =2:3 貝U BC= & （四川聯(lián)賽試題）已知矩形ABCD的AB= 12, AD = 3, E、F分別是AB, DC上的點，則折線AFEC長的最小值為.7、（

12、陜西）如圖，在銳角厶ABC中，AB= 4 5，/ BAC= 45°,/ BAC的平分線 交BC于點D, M、N分別是AD和AB上的動點，貝U BM+ MN的最小值是8、如圖， ABC是等腰直角三角形，AB = AC, D是BC的中點，E、F分別是AB, AC 上的點，且 DE 丄 DF,若 BE= 12, CF = 5.求（1）求證：EF2= BE2+ CF2 （2）求厶DEF的面積 .EF第三講勾股定理及其應用培優(yōu)輔導答案、知譏GV點擊一：勾股定理 勾股定理：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖2,在Rt ABC中,C 900, / A、/ B、/ C的對邊分別為a、b、

13、c,2 2 2 2 2 2 2 2 2 貝S c =a +b , a =c -b , b = c -a勾股數(shù)：3, 4, 5_、5, 12, 13、7, 24, 25、9, 40, 41 、_ 11, 60, 61_、8, 15, 17 特殊勾股數(shù)：連續(xù)的勾股數(shù)只有3 , 4, 5連續(xù)的偶數(shù)勾股數(shù)只有6, 8, 10 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a 2 2 2還可表示為：c 所以c =a +b點擊三：在數(shù)軸上表示無理數(shù) 例在數(shù)軸上作出表示.10的點.點擊四：直角三角形邊與面積的關系及應用例 已知一直角三角形的斜邊長是 2,周長是2+ 6，求這個三角形的面積.+b2=c2，

14、那么這個三角形是直角三角形如，利用四個如圖1所示的直角三角形,拼出如圖2所示的三個圖形并證明.點擊二：學會用拼圖法驗證勾股定理2 ab2解：設直角三角形的兩直角邊分別為 所以這個三角形的面積為0.5.2b2a和b，可得a b226解之a(chǎn)b 1一 1圖2：大正方形的面積可表示為：ab4點擊五：勾股定理的應用(1) 已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；(2) 已知直角三角形的一邊，求另兩條邊的關系;(3) 用于推導線段平方關系的問題等.、【精典題型】考點一、已知兩邊求第三邊1. 在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為 6,8,則斜邊長為_10,斜邊的高為_4.8 _.2已知直角三角形的兩邊長為3、2,

15、則另一條邊長是_辺?或呂=.3. 已知，如圖在 ABC中，AB=BC=CA=2c,AD是邊BC上的高.則 AD的長_価_: ABC的面積 _ J3 一.考點二、利用列方程求線段的長如圖，某學校(A點)與公路(直線 L)的距離為300米，又與公路車站(D點)的距離為 500米，現(xiàn)要在公路上建一個小商店( C點)，使之與該校A及車站D的距離相等，求商店與車站之間的距離.解：作AB丄I于B點，貝U AB=300米.連接 AC / AB=300, AD=500, / BD=400./ CD=CA設 CD=x 則 AC=x BC=400-x.在 Rt ABC 中3002+ (400-x ) 2=x2.解

16、得 x=312.5 .即 商店C與車站D之間的距離 CD=312.5米.考點三、判別一個三角形是否是直角三角形1. 分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：(1) 3、4、5 (2)5、12、13( 3)8、15、17 (4)4、5、6,其中能夠成直角三角形的有 _( 1) _ _ (2) _ _ ( 3) _.2. 若三角形的三邊是 a2+b2,2ab,a 2-b2(a>b>0),則這個三角形是 直角三角形.3. 如圖，在我國沿海有一艘不明國際的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截， 六分鐘后同時到達 C地將其攔截。已知甲巡邏艇 每小時航

17、行120海里，乙巡邏艇每小時航行 50海里，航向為北偏西 40°.那么甲巡邏艇的航向是怎樣的?6 6解： AC=120X 60 =12 海里，BC=50X 60 =5 海里/ AC22+BC2=AB2 ABC是直角三角形/ CBA=50/ CAB=40甲的航向為北偏東50°14、如圖，正方形ABCD中, F為DC的中點，E為BC上一點，且CE - BC .你能說明/ AFE4p.E是直角嗎？解：設四邊形 ABCD是正方形,CE=x,貝U CF=DF=2x BE=3x, AB=AD=4x.AE2=AB2+BE2= (4x)2+ ( 3x)2 =25x2AF2=AD2+DF2=

18、 （4x ）2+ （2x ）2 =20x2EF2=CE2+CF2=x2+ （2x ）2 =5x2所以 AE2=AF2+EF2,Z AFE是直角三、【思想方法】 本節(jié)主要思想方法有數(shù)形結合的思想、方程的思想、化歸的思想及分類 的思想;（一）用勾股定理求兩點之間的距離問題例1 （噪音問題）如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且/ QPN= 30° 點A處有一所中學，AP = 160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪 音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影 響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒

19、？解：（1）學校受到噪音影響理由如下： 作AB丄MN于 B，如圖，/ PA=160m / QPN=30，/ AB=80,而 80m< 100m,拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學校受到噪音影響，以點A為圓心，100m為半徑作O A交MN于B、C,如圖，t AH丄BD, CB=BD在 Rt ABC中，AC=100m AD=80mCB=60m - CD=2BC=120m拖拉機的速度 5m/s，拖拉機在線段 BC上行駛所需要的時間=12=120- 5=24 （秒），學 校受影響的時間為 24秒.例2 .（用勾股定理求 最短路徑問題）.【例】如圖，一圓柱體的底面周長為 20cm高ae為4c

20、mEC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點 C,試求 出爬行的最短路程、1162、29 cm變式：1、有一個長寬高分別為2cm, 2cm, 8cm的長方體，有一只小螞蟻想從點 A爬到 點B處，則它爬行的最短路程為 _（80 4薦_ cm.H2、如圖學校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園 內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了 .4-步路（假設2步為1m），卻踩 傷了花草。（二）方程的思想方法如圖將長方形ABCD沿對角線BD折疊，使C點落在F處,BF交AD于點E,AD=8 ,DAB=4，求 BDE的面積是多少?解：因為折疊 FD=DC,Z F=Z C=

21、90°又四邊形ABCD是矩形 AB=DC,Z A=Z C=90° AB=FD,Z A=Z F (等量代換) 又/ AEB=Z FED(對頂角相等) FED( AAS AE=ED（全等三角形對應邊相等）設 AE=X，則 BE=ED=8-X在 RTA ABE中,由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即：42+X2= ( 8-X )2解得：X=3 AE=3,ED=8-3=5二 SA BED=( EDX AB) - 2= (5X 4)- 2=10（三）分類討論思想方法例：若 VABC 中，AB 13cm, AC 15cm，高 AD=12J則 BC的長為（ C ）A: 14 B : 4

22、 C : 14或4 D:以上都不對變式：1、在Rt ABC中，有兩邊的長分別為3和4,則第三邊的長（C ）A 5 B 、7 C 5 或、7 D 5 或 112、如果 AB Cl勺三邊a、b、c滿足（a - b） （a 2+ b2- c=0，那么 AB C一定是（_DA.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形培優(yōu)學力訓練【例1】（達州）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有 的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的邊長分別是3, 5, 2, 3,則 最大正方形E的面積是（C ）A . 13B . 26C . 47D . 94【變式題組】01

23、.（安徽）如圖，直線I過正方形ABCD的頂點B,點A, C到直線I的距離分別 是1和2,則正方形的邊長是_丁5.第1題圖02.（浙江省溫州）在直線I上的依次擺放著七個正方形（如圖所示），己知斜放置 的三個正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個正方形的面積依次是Si,S2, S3, S,貝U Si + S2+ S3 + S4= 4_ _ .03.（浙江省麗江）如圖，已知 ABC中，/ ABC = 90°, AB= BC,三角形的頂 點在相互平行的三條直線I1、|2、13上，且11、I2之間的距離為2, 12、I3之間 的距離為3,則AC的長是（A ）A. 2 17 B. 2 5 C

24、. 4 2D. 7【例2】（福建省漳州）幾何模型：條件：如下左圖，A、B是直線I同旁的兩個定 占八、問題：在直線I上確定一點P,使FA+ PB的值最小.方法：作點A關于直線I的對稱點A',連接A'B交I于點P,則FA+ PB = A'B的值最?。ú槐刈C明）.模型應用：如圖1,正方形ABCD的邊長為2, E為AB的中點，P是AC 上一動點連接BD,由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱.連接ED交 AC于P,則PB+ PE的最小值是 丁5_ ;（3）如圖 2,Z AOB = 45°, P 是/ AOB 內(nèi)一點，PO= 10, Q、R分 別是OA、OB上的動點

25、，求 PQR周長的最小值.A答案：20010、2【變式題組】1、（四川聯(lián)賽試題）已知矩形ABCD的AB= 12, AD = 3, E、F分別是AB, DC上的點，則折線AFEC長的最小值為_咚 2、（陜西）如圖，在銳角厶ABC中，AB= 4 5，/ BAC= 45°,/ BAC的平分線交BC于點D, M、N分別是AD和AB上的動點，貝U BM+ MN的最小值是 拒22培優(yōu)升級檢測1、如圖，在 RtAABC中，AB= AC, D、E在斜邊BC上且/ DAE = 45°,將厶ADC繞點A順時針旋轉，使AC與AB重合，得到 AFB，連接EF，貝U下列結 論: AEDAEF :厶

26、ABEA ACD; BE+ DC = DE; ® BE2+ DC2= DE2其中正確的是（B ）BB.C D .2、（北京競賽）如圖，ABCD是一張長方形紙片，將 AD，BC折起、使A、B兩 點重合于CD邊上的P點，然后壓平得折痕EF與GH.若PE = 8cm, PG = 6cm, EG= 10cm，則長方形紙片ABCD的面積為（C ） cm2A. 105.6B. 110.4C. 115.2 D. 124.83、（四川省初二數(shù)學聯(lián)賽試題）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,過點P向三邊作垂線，垂足分別為 S、Q、R,且PQ = 6, PR= S, PS= 10,則厶ABC的面 積等于（B J>_A. 190、3 B. 192、3C. 194 3 D. 196、34、（初二數(shù)學聯(lián)賽）如圖所示，在 ABC中，/ BAC= 120°, AB = AC= 103cm一動點P從B向C以每秒