利用霍爾效應(yīng)測磁場實驗的數(shù)據(jù)處理

1、第21巻第4期2008年12月出版Vol. 21 No. 4Dec. 2008大學物理實驗PHYSICAL EXPERIMENT OF COLLEGE;1007 2934(2008)04 0065 - 06任麗花（東南大學，南京.211189）推導(dǎo)了亥姆霍茲線圈產(chǎn)生磁場的全空間分布的普遍公式.討論了如何確定磁 感應(yīng)強度的方向。就實驗內(nèi)容進行了實例分析利用軟件進行了相關(guān)計算.提出 了利用霍爾效應(yīng)測磁場實驗的數(shù)據(jù)處理方法。最后.詳細討論了亥姆霍茲線圈所在平 面處磁場強度相關(guān)參數(shù)的分布曲線。亥姆霍茲線圈霍爾電壓.磁感應(yīng)強度;分布,計算:0484. 5: A© 1994-2009 China

2、 Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, l第21巻第4期2008年12月出版Vol. 21 No. 4Dec. 2008© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, l第21巻第4期2008年12月出版Vol. 21 No. 4Dec. 2008如圖1所示，把一塊寬為b、厚為d的半導(dǎo)體試樣放在磁感應(yīng)強度為B的磁場中，并 在試樣中通以縱向電流Is、則在這塊半導(dǎo)體試樣橫向

3、側(cè)面朋 間出現(xiàn)了一定的電勢差這個現(xiàn)象叫做霍爾效應(yīng)，稱為霍爾電壓?；魻栯妷篠/的大小正比于磁感應(yīng)強度的大 小B以及電流/s,在Uh、B、1s三者互相垂直時有：二KhIsBo式中K”稱為該霍爾元 件的靈敏度。1© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, l第21巻第4期2008年12月出版Vol. 21 No. 4Dec. 2008實驗所用儀器為DH4501N三維亥姆霍茲線圈磁場實驗儀，實驗儀由信號源和測試架兩部分組成，測試架由共軸線、裝有霍爾元件的三維可移動探桿

4、構(gòu)成。其中可通過調(diào)節(jié)© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, l第21巻第4期2008年12月出版Vol. 21 No. 4Dec. 2008© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, l第21巻第4期2008年12月出版Vol. 21 No. 4Dec. 2008共軸線圈之間的垂直距離等于它們的半徑獲得亥姆霍茲線圈?；魻栐?/p>

5、件在測試過程中位 壬與線圈軸線垂直的乎面內(nèi)。綜上可見對于實驗必做部分由于亥姆霍茲線圈軸線上各收稿日期. 2008 - 082765 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, l=1點的磁感應(yīng)強度方向為軸線即滿足式仃）所以可以測量軸線上各點的霍爾電壓再根 據(jù)式（1），將各點的霍爾電壓除以系數(shù)KhIs,然后得到各點的磁感應(yīng)強度的大小。從而亥 姆霍茲線圈軸線上的磁場分布曲線與其霍爾電壓分布曲線形狀相似二者只相差一個系 數(shù)“Is。那么，對于選做實驗中涉及的亥姆霍茲線

6、圈軸線以外的點，由于其磁感應(yīng)強度的 方向還沒有明確所以應(yīng)該先討論各點磁感應(yīng)強度的方向是否為軸線再決定其數(shù)據(jù)處理 方法是否與必做實驗相同。我們通過理論推導(dǎo)發(fā)現(xiàn),亥姆霍茲線圈軸線以外的磁感應(yīng)強 度方向并不一定沿軸線,并將磁感應(yīng)強度的方向與軸線的夾角記為（見圖3丿。但是，就實驗的選作內(nèi)容來講各點的是很小的，所以可認為磁感應(yīng)強度方向近似沿軸線。而對應(yīng)于較大的空間各點,數(shù)據(jù)處理時就需考慮影響，即先測量各點的霍爾電壓，由式2© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, l2

7、© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, l計算其禺,再由8S二卡得到B。其決分布曲線應(yīng)與霍爾電壓分布曲線相似，二者相 差系數(shù)KhIs 而B的分布曲線應(yīng)在聯(lián)基礎(chǔ)上進行修正，修正系數(shù)是各點的8S。1.1圓環(huán)電流的磁場全空間分布的普遍公式一半徑為。的圓環(huán)電流如圖2所示，采用柱坐標，空間一點P的位置記為P（p, Z）,則圓環(huán)電流在P產(chǎn)生的磁場B的三個分量為：R2其中以_2 J( +)2±z2B =032 + 2 ?2 T 十 S E( k) - K( k

8、) 廠十ZK( k) = fSr 2 . 2Ml - K sinE( k) = "2 J - k2sirf(7丿"2+尸門/0小1-2亥姆霍茲線圈的磁場全空間分布的普遍公式1和線圈2丿半徑為，采用柱坐標，選取兩線圈中心如圖3所示,亥姆霍茲線圈（線連線的中點為坐標原點，空間一點P的位置記為P（ . ,Z）0對于亥姆霍茲線圈在P的磁場，已知其軸線上的磁感應(yīng)強度方向沿軸線.此處便討論軸線以外的空間，即 丸的 情況。由于亥姆霍茲線圈之間的垂直距離為，則線圈1所處平面處各點的坐標為（，,zJ,線圈2所處平面處各點的坐標為（，初。其中Z1=T2 = -T?？紤]式至 （7），可得線圈1和

9、線圈2在P處產(chǎn)生的磁場B的分量分別為：其中2o / J( a +乙4.1 /)2 + (z - Zi 丿 21.(a -)2 + (z - Z2)2o/(7 - 7j)9ar +J廠2J( d十)2 + (z - Z2)2-(a -丿2十Z2）2B i=B 2 =0（）Z 0 CT -2- (z Zi)22J( a十一（a)2 +(z- Z1)2()/ 2 a- 2- (z z?)2E( k2)-B iB 2E(k J 2 . 22-丿2 + dp嚴-2 J( a + )2 ± ( Z - Z2)2E( kJ K( kJK( k2)K( kJK( k2)(10丿(11丿（一(中一K(

10、 ki) = jd /； , K( ki =/?-J - Rfsiir- klsiir(13丿E( k) = J5 k/1 - ijsin2 , K( k?)直 1 疋sin，Q(14)k = 2(15丿（）2 z |2 e/oj/2 = 2 e/0,1/（a十丿十（z - zJn/（ a十丿十（Z - Z2丿通過疊加原理可以得到亥姆霍茲線圈電流在P的磁場B為B = B ± B 2B B 1 + 2B： = B& + B-2由于此處式（16丿不一定為零，所以亥姆霍茲線圈在P產(chǎn)生的磁場B的方向不一定沿 軸線（Z丿方向，同時可以根據(jù)式（16丿和（18丿計算出禺與之間的夾角 結(jié)果為

11、B： 旦2 . D 2 _ B(16)(17丿(19) o綜上所述，如果P處磁場B的方向不沿軸線時，在測量了 P處的霍爾電壓后，由式 （1丿得到的磁感應(yīng)強度的大小應(yīng)為P處禺的大小。如果需要得到P處B的大小，就用到 式（。另外從式至（19丿可以看岀亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的磁場具有柱對稱性以及關(guān)于 xoy平面對稱。因為實驗所用的亥姆霍茲線圈半徑a為lOOnun ,所以z = 50nnn ,Z2 = - 50mm,此處討672© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, l

12、論丸的情況。2. 1測量亥姆亥姆霍茲線圈對的中心處(Z=0)磁場的分布將數(shù)據(jù)Z =0以及Z = 50mm ,zt = - 50mm代入式和(16)，可得B 2),表明此 時磁感應(yīng)強度方向沿軸線，即B = B-所以測量亥姆霍茲線圈對的中心處心=0丿磁場的 分布時，可由所測得的霍爾電壓通過式仃丿得到相應(yīng)的磁感應(yīng)強度的大小。從而霍爾電壓的分布曲線及磁感應(yīng)強度分布曲線形狀應(yīng)相似，二者只相差一系2.2測量亥姆霍茲線圈所處平面處(Z二±專丿磁場的分布考慮到磁場分布的對稱性，此處僅討論 + 的情況。將數(shù)2ipp 0>乙2丿-fP)2 + (z Z2)2ci丁 厶-V.(a p)，+ (z z

13、2)2Bp i=Bp? =0Mola - p - (z - Z|)721Ja-+p)2 + (z zi)2-(a -p ) + (z - Zj) Mola2 p，(z - z?)2:據(jù) z = 50mmfZi=50nnn ,Z2 = - 50nmi, a = lOOnmi 代入式至(19)，可得:時=02E(kJ K(kJ恥Bn2Bq I丑 J(a 4P)2 + (z Z2)2E(k2) K(k2)(“)5 2 嚴 ®K(k2)(20)(21)(22)(23)(24)b7COS年=恥Bz = Bzi + Bz?(27)對于亥姆霍茲線圈所處平面處的各點P(,4(說明此處(0,寸，如果已

14、知其，第一步將數(shù)據(jù)代入(至(15),利用Matlab 軟件計算岀相應(yīng)的燈，E( k) , E ( kJ , K (kJ , K(k2) o第二步由式(20丿至(27丿計算出相 應(yīng)的8S。相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。從表1可以看出，亥姆霍茲線圈所在平面 處，各點磁感應(yīng)強度方向與軸線夾角的余弦都(25)(26)很接近于1，在此處可以近似認為磁感應(yīng)強度方向沿軸線。2.3亥姆霍茲線圈所處平面處磁場的Matlab模擬本文利用Matlab再現(xiàn)了亥姆霍茲線圈所處平面處磁場各參數(shù)沿徑向的分布情況。從圖4看出，牟分量在線圈平面處為正值，開始隨著 從O遞增并在線圈半徑處達到最大，之后隨 遞減并在約4倍線圈半徑處趨于零。從

15、圖5。"看出，當 小于線圈半徑時，次為正值，隨 先是緩慢遞增后快速遞增" 當 大于線圈半徑時，處為負值，處絕對值隨 的增大而快速減小趨于0。68 1 Mitlab(a)KIA2E(k)K(kE( kl)K( k2)cos0.050. 425920. 308421.496901.650401 532701.610300. 999950. 100.574960. 425441.431601.732201.497101.650200. 999810. 150. 673560. 508271.373601.816701.463801.690300.999580.200. 74536

16、0. 572601.322101.904201.432801.730600.999280.250.800000. 624701.276301.995301.4CM001. 770800.998920. 300. 842650. 667901.235602. 09()501 377301. 8109()0.998530. 350. 87260. 704281. 199502.190401 352601.850700. 998120.400. 903510. 735211. 167302.296001.329901. 890000. 997720. 450. 925270. 761691.1389

17、02.408301.309101.928700. 997360.500. 942810.784461.113702. 528601.290001.966500. 997080. 550. 956930. 804101.091602.658801.272602. 003300.996890.600.968250. 821071.072302.801301.256902. 038900.996810. 650. 977240. 835741.055602.959101.242602. 073100.996880. 700. 984310.84841l.(M1203.137801.229802. 1

18、05600. 997090. 750. 989740. 859341.029103. M4101.218302. 136300. 997450.800. 993810. 868741.019103. 591701.208102. I65OO0.997930. 850. 996710. 876811.011203. 903801. 199102. 191600.998520.900. 998610. 883691.005304. 331601. 191202. 215900.999150. 950. 999670. 889521.001505. 048701. 184402. 237800. 9

19、9972線圈平面內(nèi)COS接近于1 ,隨 先遞減在半徑的0.6處達到最小而后遞增。 說明圖4的橫坐標物理量為，單位為°,縱坐標物理量為申，單位為02 o 縱坐標物理量為單位為o2 o圖5的橫坐標物理量為單位為-縱坐標物理量為次單位為o2 o圖6橫坐標物理量為，單位為a。© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, l© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. A

20、ll rights reserved, l69 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, l的磁感應(yīng)強度大小,其磁場分布曲線與霍爾電壓的分布曲線只相差一系數(shù) 心厶。6 cos3亥姆亥姆霍茲線圈對的中心處=0）磁場的方向為軸線方向，只要測岀各點 的霍爾電壓，就可以根據(jù)式（1丿得到相應(yīng)對于亥姆霍茲線圈所處平面處（z= 士斗） 磁場，通過Matlab計算得出各點磁感應(yīng)強 度方向盡管不嚴格沿軸線，但由于其磁感 應(yīng)強度方向與軸線夾角幾乎為零,所以可 以近似用必做實驗內(nèi)容的方法處理數(shù)據(jù)。 對于那些磁感應(yīng)強度方向與軸線夾角較 大的點需測岀各點的霍爾電壓，由式（1）計算出磁感應(yīng)強度沿軸線的分量大小再根據(jù)磁 感應(yīng)強度方向與軸線的夾角得到磁感應(yīng)強度的大小。由霍爾效應(yīng)曲線得磁場分布曲線 時應(yīng)考慮各點磁感應(yīng)強度方向與軸線的夾角，二曲線之間不僅只是相差一系數(shù)還 與各點的8S有關(guān)。|1錢 鋒、潘人培主編.大學物理實驗M.北京:高等教育出版社,20052趙凱華、陳熙謀