三角函數(shù)及解三角形練習題

1、三角函數(shù)及解三角形練習題一.解答題(共16小題)1 .在 ABC中，3sinA+4cosB=6 4sinB+3cosA=1 求 C 的大小.2 .已知 3sin 9 tan Q =8 0 00, - K)的圖象關于直線x=M稱，且 圖象上相鄰兩個最高點的距離為九.(I )求和小的值；(H)若 f() =(a6 I |哼)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)f (x)的解析式；(2)在 ABC中，角 A, B, C的對邊分別是 a, b, c,若(2a-c) cosB=bcosC求f的取值范圍.9.函數(shù)f (x) =2sin (+小)(0, 0V小)的部分圖象如圖所示，M為最高點，該圖象與y軸交于點

2、F (0,),與x軸交于點B, C,且4MBC的面積為冗.(I )求函數(shù)f (x)的解析式;(H )若 f ( a)=，求 C0S2 a的值.TT10.已知函數(shù) F(x)=win2工十J(I )求f (x)的最大值及相應的x值;(H)設函數(shù)式Q二共二:耳)，如圖，點P, M, N分別是函數(shù)y=g (x)圖象的零值點、最高點和最低點，求cos/ MPN的化11.設函數(shù) f (x) =sin ( x) +sin ( x一),其中 0 w g (x)成立的x的取值集合.19 .已知向量 a= (m, cos2x),忖=(sin2x, n),函數(shù) f (x) =ab,且 y=f (x)的 圖象過點(,

3、)和點(,-2).(I )求m, n的值；(H )將y=f (x)的圖象向左平移(|)(0()兀)個單位后得到函數(shù)y=g (x)的 圖象，若y=g(x)圖象上的最高點到點(0, 3)的距離的最小值為1,求y=g(x) 的單調遞增區(qū)間.三角函數(shù)及解三角形練習題參考答案與試題解析一.解答題(共16小題)1. (2017 遂寧模擬)在 ABC中，3sinA+4cosB=6 4sinB+3cosA=1 求 C 的大小.【分析】對已知式平方，化簡，求出sin (A+B)，確定A+B的值，利用三角 |2形的內角和求出C的大小.【解答】解：兩邊平方(3sinA+4cosB 2=36得 9sin (2017浙

4、江模擬)已知 3sin 9 tan 9, =8 0V 93cosA31,貝U 4sinB+3cosA 1 這是不可能的所以A+B=因為 A+B+C=180所以C=【點評】本題考查同角三角函數(shù)基本關系的運用，考查計算能力，是基礎題.2白8為銳角.【解答】解：(I ) .3sin 9 tan 超3_=8,且 0V 9 0, cas 9.3-3?口；白=8,求得 cos 8工，或 cos 8 = 3 (舍去),sin 8 尸cos 63綜上可得，cos 8 =.(H )函數(shù) f (x) =6cosxcos(x- 0) =6cosx (cos專+sinX)cos2x+sin2x)=2cox+4sinx

5、cosx=cos2x+1+2sin2x=3 =3cos (2x- 0), 在0,上，2x-況-8,-機f (x)在此區(qū)間上先增后減，當2x- 9 =0寸，函數(shù)f (x)取得最大值為3,當2x- 8= 8時，函數(shù)f (x)取得 最小值為 3cos ( - 0) =3cos 0 = 1故函數(shù)在0,上的值域為1, 3.【點評】本題主要考查三角包等變換，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎題.3. (2017海淀區(qū)一模)已知是函數(shù) f (x) =2co3x+asin2x+1的一個零點.(I )求實數(shù)a的值；(H)求f (x)的單調遞增區(qū)間.【分析】(I )利用函數(shù)的零點的定義，求得實數(shù) a的值.(II)利

6、用三角包等變化化簡函數(shù)的解析式， 再利用正弦函數(shù)的單調性求得f(x) 的單調遞增區(qū)間.【解答】 解：(I)由題意可知即f 二二2c 0/與葉仄式口卷。二0 , JJJJ即 F=2Ct )1-0，解得 a= Vs .Qtd-i也( H ) 由 ( I ) 可 得 f Ck) =2co s2 x-VSsin2x+l =cc,s2x-V3sin2:x-l-2=25Ln(2K+_L)+2 ,kCZ.函數(shù)y=sinx的遞增區(qū)間為由2。及+等 2k8吟,kCZ,得k兀WYk：, kCZ, 3G所以，f (x)的單調遞增區(qū)間為k冗一，k-TT-, kCZ. 36【點評】本題主要考查函數(shù)的零點的定義，三角恒等

7、變換、正弦函數(shù)的單調性， 屬于中檔題.4. (2017 衡陽三模)已知函數(shù) f (x) =sin (2x+) +sin2x.(1)求函數(shù)f (x)的最小正周期；(2)若函數(shù)g (x)對任意x R,有g (x) =f (x+),求函數(shù)g (x)在-,上的 值域.【分析】(1)利用兩角和的正弦函數(shù)公式及二倍角公式化簡函數(shù)f (x),再由周期公式計算得答案；(2)由已知條件求出g(x) =sin(2x+)得，當xC 一,時，貝U 2x+C 0, 平, 由正弦函數(shù)的值域進一步求出函數(shù) g (x)在-,上的值域.【解答】解：(1) f (x) =sin (2x+) +sin2x =-sin2x+cos2

8、x+sin2x22-sin2x+cosnJ4sin2x+1 - -=7-sin2x+7,，- f (x)的最小正周期T=。？二冗;sin2 (x+)sin (2x+)(2) :函數(shù) g (x)對任意 x R,有 g (x) =f (x+), g (x) 當 xC-,時，則 2x+e M 9,J則&sin (2x+) 1,即xwg (x) yfy,解得三Wg (x) 0)的最小正周期為(1)求的值;(2)求f (x)的單調遞增區(qū)間.【分析】(1)利用倍角公式結合兩角和的正弦化積，再由周期公式列式求得(的值；(2)直接由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內求解 x的取值范圍得f (x)的單調遞增 區(qū)間.【解答

9、】 解：(1) f (x) =2sin xcos+cos2cox=sin2 w+cos2 cd x=2x_cos2 x) =/2sin (2-由T=一 5,得=1;29(2)由(1)得，f (x) =VsinC2x+p) -再由 4+2k冗0,-小)的圖象關于直 線乂=對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為伍(I )求和小的值；(H)若 f() =(a),求 COS ( a+)的值.【分析】(I )由題意可得函數(shù)f (x)的最小正周期為 冗求得=2再根據(jù)圖象 關于直線x=對稱，結合-0小(可得 小的值.(H )由條件求得sin (a- ) =j-.再根據(jù)a-的范圍求得COS (a-)的值，再 根

10、據(jù)COS ( o+) =sin a =sn( a-) +,利用兩角和的正弦公式計算求得結果.【解答】解：(I )由題意可得函數(shù)f (x)的最小正周期為陽=冗，.二2 再根據(jù)圖象關于直線x二對稱，可得2X +(|)=k + , kCz.結合-W小可得 4 h .(n)=f () = ( a),sin (a ) =, sin (a一) .4再根據(jù)0 a- ,8s(廠)=J1-(S 專產(chǎn)cos ( o+) =sin a =sin( a ) +=sin ( a ) cos+cos ( a一 ) sin_1vl_-73Nl5= 4X-+X28-【點評】本題主要考查由函數(shù) y=Asin (葉小)的部分圖象

11、求函數(shù)的解析式，兩 角和差的三角公式、的應用，屬于中檔題.7. (2017 江蘇)已知向量=(cosx, sinx), b= (3, 一), x 0,句.(i)若?求x的值；(2)記f (x) =a,求f (x)的最大值和最小值以及對應的x的值.【分析】(1)根據(jù)向量的平行即可得到tanx=-，問題得以解決，(2)根據(jù)向量的數(shù)量積和兩角和余弦公式和余弦函數(shù)的性質即可求出【解答】解：(1) 丁 白=(cosx, sinx), 口= (3, ), a / b ,一 cosx=3sinx . tanx=一,x 0,句,x=sinx) =2cos (x+)(2) f (x) = a=3cosx- si

12、nx=2 (cosx x+e ,一 1 cos (x+) 0, |巾|4）的部分圖 象如圖所示.（1）求函數(shù)f （x）的解析式；（2）在 ABC中，角 A, B, C的對邊分別是 a, b, c,若（2a-c） cosB=bcosC 求f（A）的取值范圍.V A【分析】（1）根據(jù)圖象求出A,和耙即可求函數(shù)f （x）的解析式；（2）利用正弦定理化簡，求出 B,根據(jù)三角內角定理可得 A的范圍，利用函數(shù)解析式之間的關系即可得到結論【解答】解：（1）由圖象知A=1,4（里-二）二n，；3二2126 . f （x） =sin （2x+（|）二.圖象過（二，1）,將點（三,1）代入解析式得人門七0）二1

13、, 663沖1手，斗6故得函數(shù)f8）二sin（2）由（2a - c） cosB=bcosC根據(jù)正弦定理，得：（2sinA- sin。cosB=sinBcosC2sinAcosB=sin（B+。,2sinAcosB=sinA .AC （0,九），sinAw 0, cosB吉,即 B=.A+Cq 即)rrrr? /A、,. x 2 兀 兀 x* i IT x 5月Ba： f(萬)二，0A,0, 0小)的部分圖象如 圖所示，M為最高點，該圖象與y軸交于點F (0,),與x軸交于點B, C,且4 MBC的面積為九.(I )求函數(shù)f (x)的解析式；(H )若 f ( a)=，求 C0S2 a的值.【分

14、析】(I )依題意，由&mbc=X2X |BC|=|BC| =九可求得其周期T=2冗虧解得=1,再由f (0) =2sin小尸可求得耙從而可求函數(shù)f (x)的解析式；(H )由f ( a- ) =2sin a尸可求得sinq再利用二倍角的余弦即可求得cos2 a的化【解答】解：(I )因為&mbc=Lx2X|BC|=|BC| =九，所以周期T=2冗虧解得 ”1,由f (0) =2sin小尸得sin小h因為0V(K,所以小弓所以 f (x) =2sin (x+)；(H )由 f ( a) =2sin a 尸得 sin a =所以 cos2 a =1 2sin2 a. 5【點評】本題考查由y=As

15、in (肝小)的部分圖象確定其解析式，求得 與小是 關鍵，考查二倍角的余弦公式的應用，屬于中檔題.10. (2017延慶縣一模)已知函數(shù) f(i：) =sin2s+s-(I )求f (x)的最大值及相應的x值；(H)設函數(shù)式口二(卷工),如圖，點P, M, N分別是函數(shù)y=g (x)圖象的零 值點、最高點和最低點，求cos/ MPN的值.【分析】(I )化簡函數(shù)(x)為正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象與性質求出它 的最大值以及此時對應的x值；(II)化簡函數(shù)g (x),過D作MD，x軸于D,根據(jù)三角函數(shù)的對稱性求出/ PMN=90,再求 cos/ MPN 的值.JT【解答】解：(I )函數(shù) f

16、G)=sinZx+s infi-Nx)=sin2x+cos2x-sin2x (1 分)一一 ：；，一 一 ：-：ITfin);(3分)Jf (x)的最大值為f (x) max=1,分) TTTT止匕時2沒令二2kn勺，(5分)解得十kEZ;仁分)TT(H )函數(shù) 式兀)=f (7-，=sin2 (x) +=sin (x+),(7 分) 過D作MD，x軸于D,如圖所示;PD=DM=1,./ PMN=90 ,（9 分） 計算 PM=, MN=2PM=2, PN=jF+32=,(門 分).二 ss/MPN二 ?(13 分)V10 5【點評】本題考查了三角函數(shù)的化簡與運算問題，也考查了三角函數(shù)的計算問

17、題， 是綜合題.11. (2017 山東)設函數(shù) f (x) =sin ( cox-) +sin (x-),其中 0V 3,已知 f () =0.(I )求；(H)將函數(shù)y=f (x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的 2倍(縱坐標不變)， 再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù) y=g (x)的圖象，求g (x)在-, 上的最小值.【分析】(I )利用三角包等變換化函數(shù)f (x)為正弦型函數(shù)，根據(jù)f () =0求 出的值；(H)寫出f (x)解析式，利用平移法則寫出 g (x)的解析式，求出x-, 時g (x)的最小值.【解答】解：(I )函數(shù)f (x) =sin (x ) +sin (x)=

18、sin xcoscos xsin sin (一力一 皇-sin coxCOScox=sin ( x一),又 f () =sin (-)=0,.=k：t, kCZ,解得=6+2,又 0 Cl)2ab得出c2ab,也就得到了異i,這樣由余弦定理便可 abO 2得出加式沁-1,從而得出cosC的范圍，進而便可得出cosC的最小值. zab【解答】解：(I)證明：由以也珍上吟耳鼻得:COSD COSA25inA +_inB )_ sinA 卜 三inB.ZkcosA cosB J-cosAcasB casAcosB .兩邊同乘以 cosAcosB得，2 (sinAcosB+cosAsinB =sinA

19、+sinB； . 2sin (A+B) =sinA+sinB 即 sinA+sinB=2sinC(1);根據(jù)正弦定理，二弱; sirA sinB sinC盤曲吟盤曲裊立公扁，帶入（1）得:a+b=2g(n) a+b=2g(a+b) 2=a2+b2+2ab=4c2;a2+b2=4c2 - 2ab,且 4c214ab,當且僅當 a=b 時取等號;又 a, b0;由余弦定理,2 , . 2縣+b .GOsL=丁丁ZabC2 _3ci-2ab 5c2.2 ab 12ab. cosC的最小值為千【點評】考查切化弦公式，兩角和的正弦公式，三角形的內角和為陽以及三角函數(shù)的誘導公式，正余弦定理，不等式 a2+

20、b22ab的應用，不等式的性質.13. （2015四川）如圖，A、B、C、D為平面四邊形ABCD的四個內角.（I ）證明：tanA l-cosA .2 sinA(H)若 A+C=180, AB=6, BC=3, CD=4 AD=5,求ta哈+tan| +tan- +tan-的值.【分析】（I ）直接利用切化弦以及二倍角公式化簡證明即可.（H ）通過 A+C=180 ,得 C=180 A, D=180 - B ,利用（I ）化簡 ta合ta吟+tanf+ta*=i亮T連結町在的中,利用余弦定理求出sinA,連結AC,求出sinB,然后求解即可.sinA區(qū)盤【解答】證明：(I) ta心二=-上*

21、等式成立.2 A 9 A .A sinACO s7 Zcos- SlIT-(H )由 A+C=180 ,得 C=180 A, D=180 B ,由(I )可知：tan三+tanL+tanL+tan=： -口二一-三一=2222 sinA sinB sin(lS0 -4sin.(180 -B)?12,連結 BD,在AABD 中，有 BDA+AD22ABADcosA AB=6, BC=3, sinA sinBCD=4 AD=5, 在 BCD中，有 BD2=BG+C5 2BCCDcosC 所以 AB2+AD2 - 2ABADcosA=B2+Ctf- 2BCCDcosC 則：cosA=:- Y2(AB

22、-AD+BC-CD) 2 (6 乂 5+3乂4) 7于是 sinA= -, _ =；cosB= ：-= -連結AC,同理可得:查函數(shù)與方程的思想，轉化與化歸思想的應用.2 (AB-BC+AD-CT) 2(6X 3+5 X 4)14. (2015 重慶)已知函數(shù) f (x) =i-sin2x- cos2x.(I )求f (x)的最小周期和最小值；(H)將函數(shù)f (x)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g (x)的圖象.當xC冗時，求g (x)的值域.【分析】(I )由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f (x) =sin (2x-)-,從而可求最小周期和最小值；

23、(H )由函數(shù)y=Asin (葉小)的圖象變換可得g (x) =sin(x-)-,由xC,可時，可得X-的范圍，即可求得g (x)的值域.【解答】解：(I ) . f7 (x) =Lsin2x- cos2x=-sin2x-2(1+cos2X)=sin (2x-)- f (x)的最小周期T=兀，最小值為：-1-二-生旦. 2(H )由條件可知：g (x) =sin (x-)- 當xC,句時，有x- C,從而sin (x -)的值域為-1-, 1,那么sin (x -)-的值域為：士:畫，處應, 22故g (x)在區(qū)間,句上的值域是上臣，Jh應. 22【點評】本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用

24、，函數(shù) y=Asin (肝小)的 圖象變換，屬于基本知識的考查.15. (2015重慶)已知函數(shù) f (x) =sin ( - x) sinx- cox.(I)求f (x)的最小正周期和最大值；(II)討論f (x)在,上的單調性.【分析】(I )由條件利用三角包等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的 周期性和最值求得f (x)的最小正周期和最大值.(r)根據(jù)2x - e 0,句，利用正弦函數(shù)的單調性，分類討論求得f (x)在Bi上的單調性.63【解答】解：(I)函數(shù) f (x) =sin ( x) sinx cos2x=cosxsin:x- (1+cos2%-sin2x- cos2x- =sin (2x