對數函數及其性質教學案例

1、立身以立學為先,立學以讀書為本對數函數及其性質教學案例朝陽四高姜明麗一、教材分析本小節(jié)選自?普通高中課程標準數學教科書-數學必修一?人教版第二章根本初等 函數對數函數及其性質第一課時,主要內容是學習對數函數的定義、圖象、性質及初步應 用.對數函數是繼指數函數之后的又一個重要初等函數,無論從知識或思想方法的角度對數 函數與指數函數都有許多類似之處.與指數函數相比,對數函數所涉及的知識更豐富、方法 更靈活,水平要求也更高.學習對數函數是對指數函數知識和方法的穩(wěn)固、深化和提升,也 為解決函數綜合問題及其在實際上的應用奠定良好的根底.雖然這個內容十分熟悉,但新教 材做了一定的改動,如何設計能夠符合新課

2、標理念,是人們十分關注的,正因如此,本人選 擇這課題立求某些方面有所突破.二、學生學習情況分析剛從初中升入高一的學生,仍保存著初中生許多學習特點,水平開展正處于形象思維向 抽象思維轉折階段,但更注重形象思維.由于函數概念十分抽象,又以對數運算為根底,同 時,初中函數教學要求降低,初中生運算水平有所下降,這雙重問題增加了對數函數教學的 難度.教師必須熟悉到這一點,教學中要限制要求的拔高,關注學習過程.三、設計理念本節(jié)課以建構主義根本理論為指導,以新課標根本理念為依據進行設計的,針對學生的 學習背景,對數函數的教學首先要挖掘其知識背景貼近學生實際,其次,激發(fā)學生的學習熱 情,把學習的主動權交給學生

3、,為他們提供自主探究、合作交流的時機,確實改變學生的學 習方式.四、教學目標1 .通過具體實例,直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系, 初步理解對數函數的概念, 體會對數函數是一類重要的函數模型；2 .能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象, 探索并了解對數函數的單調性與特 殊點；3 .通過比擬、對照的方法,引導學生結合圖象類比指數函數,探索研究對數函數的性質, 培養(yǎng)學生運用函數的觀點解決實際問題.五、教學重點與難點重點是掌握對數函數的圖象和性質,難點是底數對對數函數值變化的影響.立身以立學為先,立學以讀書為本六、教學過程設計教學流程：背景材料一 引出課題一函數圖象一 函數性質一問題解決一

4、歸納小結(一)熟悉背景、引入課題1.讓學生看材料：材料1 (幻燈)：馬王堆女尸千年不腐之謎：一九七二年,馬王堆考古發(fā)現震驚世界,專 家開掘西漢辛追遺尸時,形體完整,全身潤澤,皮膚仍有彈性,關節(jié)還可以活動,骨質比現 在六十歲的正常人還好,是世界上發(fā)現的首例歷史悠久的濕尸.大家知道,世界發(fā)現的不腐 之尸都是在枯燥的環(huán)境風干而成,譬如沙漠環(huán)境,這類干尸雖然肌膚未腐,是由于枯燥不利 細菌繁殖,但關節(jié)和一般人死后一樣,是僵硬的,而馬王堆辛追夫人卻是在濕潤的環(huán)境中保 存二千多年,而且關節(jié)可以活動.人們最關注有兩個問題,第一：怎么鑒定尸體的年份？第 二：是什么環(huán)境使尸體未腐？其中第一個問題與數學有關.那么,

5、考古學家是怎么計算出古長沙國丞相夫人辛追“沉睡近 2200年？上面已經知道考古學家是通過提取尸體的殘留物碳14的殘留量p,利用估算尸體出土的年代,不難發(fā)現：對每一個碳14的含量的取值,通過這個對應關系,生物死亡年數t都有唯一的值與之對應,從而t是P的函數；如圖42材料2 (幻燈)：某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個 , 如果要求這種細胞經過多少次分裂,大約可以得到細胞1萬個,10萬個 ,不難發(fā)現：分裂次數y就是要得到的細胞個數x的函數,即；1.引導學生觀察這些函數的特征：含有對數符號,底數是常數,真數是變量,從而得出 對數函數的定義：函數,且 叫做對數函數,其中 是自變量,函數的

6、定義域是(0, +8).注意：1對數函數的定義與指數函數類似,都是形式定義,注意區(qū)分.如：, 都不是對數函數.2對數函數對底數的限制：,且.3.根據對數函數定義填空；例1 (1)函數y=logax2的定義域是(M中a0,aw 1)(2)函數y=loga(4-x)的定義域是 員中a0,aw 1)說明：本例主要考察對數函數定義中底數和定義域的限制,加深對概念的理解,所以把 教材中的解做題改為填空題,節(jié)省時間,點到為止,以防止挖深、拓展、引入復合函數的概 念.設計意圖：新課標強調“考慮到多數高中生的認知特點,為了有助于他們對函數概念本質的 理解,不妨從學生自己的生活經歷和實際問題入手.因此,新課引入

7、不是按舊教材從反函數 出發(fā),而是選擇從兩個材料引出對數函數的概念,讓學生熟悉它的知識背景,初步感受對數立身以立學為先,立學以讀書為本函數是刻畫現實世界的又一重要數學模型.這樣處理,對數函數顯得不抽象,學生容易接受, 降低了新課教學的起點(二)嘗試畫圖、形成感知1 .確定探究問題教師：當我們知道對數函數的定義之后,緊接著需要探討什么問題？學生1:對數函數的圖象和性質教師：你能類比前面研究指數函數的思路,提出研究對數函數圖象和性質的方法嗎？學生2:先畫圖象,再根據圖象得出性質教師：畫對數函數的圖象是否象指數函數那樣也需要分類？學生3:按和分類討論教師：觀察圖象主要看哪幾個特征？學生4:從圖象的形狀

8、、位置、升降、定點等角度去識圖教師：在明確了探究方向后,下面,按以下步驟共同探究對數函數的圖象：步驟一：(1)用描點法在同一坐標系中畫出以下對數函數的圖象(2)用描點法在同一坐標系中畫出以下對數函數的圖象步驟二：觀察對數函數、與、的圖象特征,看看它們有那些異同點.步驟三：利用計算器或計算機,選取底數 ,且 的假設干個不同的值,在同一平面直角坐標系中作出相應對數函數的圖象.觀察圖象,它們有哪些共同特征？步驟四：規(guī)納出能表達對數函數的代表性圖象步驟五：作指數函數與對數函數圖象的比擬2.學生探究成果(1)如圖43、44較為熟練地用描點法畫出以下對數函數、的圖象(2)如圖45學生選取底數=1/4、1/

9、5、1/6、1/10、4、5、6、10,并推薦幾位代表上臺演 示幾何畫板,得到相應對數函數的圖象.由于學生自己動手,加上幾何畫板的強大作 圖功能,學生非常清楚地看到了底數是如何影響函數,且 圖象的變化.(3)有了這種畫圖感知的過程以及學習指數函數的經驗,學生很明確y = loga x (a1)、y=loga x (0a1)y = loga x (0a1時,圖象沿x軸正向逐步上升；當0a1),當a值增大,圖象的上升“程度怎樣？說明：這是學生探究中容易忽略的地方,通過補充學生對對數函數圖象感性熟悉就比擬全面. 設計意圖：舊教材是通過對稱變換直接從指數函數的圖象得到對數函數圖象,這樣處理學生 雖然會

10、接受了這個事實,但對圖象的感覺是淺薄的；這樣處理也存在著函數教學無視圖象、 性質的認知過程而注重應用的“功利思想.因此,本節(jié)課的設計注重引導學生用特殊到一 般的方法探究對數函數圖象的形成過程,加深感性熟悉.同時,幫助學生確定探究問題、探 究方向和探究步驟,保證探究的有效性.這個環(huán)節(jié),還要借助計算機輔助教學作用,增強學 生的直觀感受(三)理性熟悉、發(fā)現性質1 .確定探究問題教師：當我們對對數函數的圖象有了直觀熟悉后,就可以進一步研究對數函數的性質,提 高我們對對數函數的理性熟悉.同學們,通常研究函數的性質有哪些途徑？教師：現在,請同學們依照研究函數性質的途徑,再次聯手合作,根據圖象特征探究出對數

11、 函數的定義域、值域、單調性、對稱性、過定點等性質2 .學生探究成果在學生自主探究、合作交流的的根底上填寫表格：設計意圖：發(fā)現性質、弄清性質的來龍去脈,是為了更好揭示對數函數的本質屬性,傳統 教學往往讓學生在解題中領悟.為了扭轉這種方式,我先引導學生回憶指數函數的性質,再 利用類比的思想,小組合作的形式通過圖象主動探索出對數函數的性質.教學實踐說明：當 學生對對數函數的圖象已有感性熟悉后,得到這些性質必然水到渠成 (四)探究問題、變式練習問題一：(幻燈)(教材p79例8)比擬以下各組數中兩個值的大?。?1) log 23.4 , log 28.5(2) log 0.31.8 , log 0.3

12、2.7(3) log a5.1 , log a5.9 ( a0 ,且 aw 1 )獨立思考：1.構造怎樣的對數函數模型？ 2.運用怎樣的函數性質？小組交流：(1)是增函數 (2)是減函數(3) y = loga x,分和分類討論變式練習：1.比擬以下各題中兩個值的大小立身以立學為先,立學以讀書為本 10g1061og108 10g0.561og0.54 10g0.10.51og0.10.6(4) 1og1.50.61og1.50.42.以下不等式,比擬正數m, n的大小:(1) 1og 3 m 1og 0.3 n3 1og a m 1oga n 0a 1og a n a1問題二：幻燈教材p79

13、例9溶液酸堿度的測量.溶液酸堿度是通過pH刻畫的.pH的計算公式為pH= 1g,其中表示溶 液中氫離子的濃度,單位是摩爾/升.1根據對數函數性質及上述 pH的計算公式,說明溶 液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系；2純靜水中氫離子的濃度為=- 摩爾/開,計算2靜水的pH獨立思考：解決這個問題是選擇怎樣的對數函數模型？運用什么函數性質？小組交流：pH=-1g =1g=1g1/,隨著的增大,pH減小,即溶液中氫離子濃度越大,溶液的酸堿度就越大設計意圖：1.這個環(huán)節(jié)不做為本節(jié)課的重頭戲,設置探究問題只是從另一層面上提升學生 對性質的理解和應用.問題一是比擬大小,始終要緊扣對數函數模型,滲透函數的觀點數 形結合解決問題的思想方法；2.舊教材在圖象與性質之后,通常操練類似比擬大小等技巧 性過大的問題,而新教材引出問題二,還是強調“數學建模的思想,并且關注學科間的聯系,這種精神應予領會.當然要預計到,實際教學中學生理解這道應用題題意會遇到一些困難,教師要注意引導五歸納小結、穩(wěn)固新知1 .議一議：1怎樣的函數稱為對數函數？2對數函數的圖象形狀與底數有什么樣的關系？3對數函數有怎樣的性質？2 .看一看：對數函數的圖象特征和相關性質表格略六作業(yè)布置、課后自評1 .必做題：教材P82習題2. 2 A組第7、8、9、12題.2 .選做題：教材P83習題2. 2 B組第