【贏在高考】2013屆高考物理一輪配套練習 6.7 數(shù)學歸納法 理 蘇教版

1、第七節(jié) 數(shù)學歸納法強化訓練當堂鞏固 1.已知則f(k+1)等于( ) A. B. C. D. 答案:C 解析: . 2.設n棱柱有f(n)個對角面,則n+1棱柱的對角面的個數(shù)f(n+1)等于( ) A.f(n)+n+1B.f(n)+n C.f(n)+n-1D.f(n)+n-2 答案:C 解析:當n棱柱增加一條側(cè)棱時,該棱與其他n條棱構(gòu)成n-2個對角面,但同時原先的一個側(cè)面也變成了對角面,故共增加了n-1個對角面. 3.用數(shù)學歸納法證明等式:N驗證n=1時,等式左邊= . 答案: 解析:當n=1時,左邊最后一項應該是故此時左邊是. 4.已知數(shù)列滿足N. (1)計算的值; (2)由(1)的結(jié)果猜想

2、的通項公式,并證明你的結(jié)論. 解:(1)由 當n=1時 n=2時 n=3時. (2)由(1)猜想N. 證明如下: 當n=1時成立. 假設N時成立, 那么n=k+1時,有 即n=k+1時也成立. 所以由可知N. 課后作業(yè)鞏固提升見課后作業(yè)B 題組一 證明等式問題 1.用數(shù)學歸納法證明等式從k到k+1左端需增乘的代數(shù)式為( ) A.2k+1B.2(2k+1) C.D. 答案:B 解析:當n=1時,顯然成立.當n=k時,左邊當n=k+1時,左邊=(k+k+1+k+1)=(k+21+k)(k+1+k+1)=(k+1=(k+1. 2.某個與正整數(shù)n有關的命題,如果當N1)時,該命題成立,則一定可推得當n

3、=k+1時,該命題也成立,現(xiàn)已知n=5時,該命題不成立,則有 ( ) A.當n=4時,該命題成立 B.當n=6時,該命題成立 C.當n=4時,該命題不成立 D.當n=6時,該命題不成立 答案:C 解析:因為當N時,該命題成立,則一定可推得當n=k+1時,該命題也成立,所以當n=5時,該命題不成立,則一定有n=4時,該命題不成立. 3.已知則 ( ) A.f(n)中共有n項,當n=2時 B.f(n)中共有n+1項,當n=2時 C.f(n)中共有項,當n=2時 D.f(n)中共有項,當n=2時,f(2)= 答案:D 解析:項數(shù)為. 4.若則f(k+1)與f(k)的遞推關系式是 . 答案:f(k+1

4、)= 解析: f f(k+1)=. 題組二 證明不等式問題 5.用數(shù)學歸納法證明“N”時,由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時,左邊應增加的項數(shù)是( ) A.B. C.D. 答案:C 解析:增加的項數(shù)為. 6.設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(k)滿足:當“成立時,總可推出成立”.那么下列命題總成立的是( ) A.若成立,則當均有成立 B.若成立,則當k<5,均有成立 C.若f(7)<49成立,則當均有成立 D.若f(4)=25成立,則當均有成立 答案:D 解析:由題意設f(x)滿足:“當成立時,總可推出成立.”, 因此,對于A,不一定有k=1,2時成立.

5、對于B、C顯然錯誤. 對于D,f因此對于任意的有成立. 7.對于不等式N某同學的證明過程如下: (1)當n=1時不等式成立. (2)假設當N時,不等式成立, 即 則當n=k+1時 當n=k+1時,不等式成立. 則上述證法( ) A.過程全部正確 B.n=1驗得不正確 C.歸納假設不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確 答案:D 解析:用數(shù)學歸納法證題的關鍵在于合理運用歸納假設. 題組三 證明幾何問題 8.如圖,這是一個正六邊形的序列: 則第n個圖形的邊數(shù)為 . 答案:5n+1 解析:圖(1)共6條邊,圖(2)共11條邊,圖(3)共16條邊,其邊數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,則圖(n)的邊數(shù)為6. 9.

6、設平面內(nèi)有n條直線其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù),則f(4)= ;當n>4時,f(n)= (用n表示). 答案:5 2) 解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9, 每增加一條直線,交點增加的個數(shù)等于原來直線的條數(shù). f(4)-f(3)=3, f(5)-f(4)=4, f(n)-f(n-1)=n-1. 累加得 f(n)-f(3)=3+4+(n-1) . 2). 題組四 數(shù)學歸納法的綜合應用 10.已知b)+c對一切N都成立,則a、b、c的值為( ) A. B. C.a D.不存在這樣的a、b、c 答案:A 解析:等式對一切

7、N均成立, n=1,2,3時等式成立, 即 整理得 解得. 11.已知數(shù)列滿足:.求證: ; 對一切N都成立; (3)數(shù)列為遞增數(shù)列. 證明:已知條件可化為 即. (1)當n=1時有成立; 假設當N時結(jié)論成立,即 那么當n=k+1時. 又在內(nèi)為增函數(shù), 則 當n=k+1時結(jié)論成立. 由知,對一切N均有. (2)當n=1時成立; 假設當且N時結(jié)論成立,即 即. 同上法可得 當n=k+1時結(jié)論成立. 由知對一切N均有成立. 則 兩式相減得 . 若把上式中的n換成2n-1, 則 數(shù)列為遞增數(shù)列. 12.是否存在常數(shù)a,b,c使得等式+n(n+對于一切正整數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論. 證明:假設存在符合題意的常數(shù)a,b,c, 在等式中, 令n=1,得; 令n=2,得; 令n=3,得70=9a+3b+c; 由解得a=3,b=11,c=10, 于是,對于n=1,2,3都有 11n+10)(*)成立. 下面用數(shù)學歸納法證明:對于一切正整數(shù)n,(*)式都成立. (1)當n=1時,由