八年級(jí)同步第9講：根的判別式及其應(yīng)用

1、第9講根的判別式及其應(yīng)用知識(shí)框架根的判別式是一元二次方程中重要的知識(shí)點(diǎn)，可以通過根的判別式在不解方程的情況下判斷出根的個(gè)數(shù)情況， 也可以在已知根的情況之下求出方程中所含字母的取值范圍.本節(jié)重點(diǎn)能運(yùn)用根的判別式， 判別方程根的情況，會(huì)運(yùn)用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的 取值范圍.9.1判別式的值與根的關(guān)系知識(shí)精講221. 一兀二次方程根的判別式：我們把b2 4ac叫做一兀二次方程 ax bx c 0(a 0)的根的判別式，通常用符號(hào)"”表示，記作=b2 4ac22. 一兀一次方程 ax bx c 0(a 0),2當(dāng)=b 4ac 0時(shí)，萬(wàn)程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=b2 4ac 0

2、時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=b2 4ac 0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.V/例題分析【例1】已知方程組 ax y 1的解是x 2,試判斷關(guān)于x的方程x2 ax b 0的根的情 x by 8y 3況.14【例2】 當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的方程x2 (m 2)x 1m2 1 0,4(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？ ( 3)沒有實(shí)數(shù)根?【例3】當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程X24kx (2 k 1)2 0有實(shí)數(shù)根？并求出這時(shí)方程的根(用含k的代數(shù)式表示).【例4】已知關(guān)于x的方程4x2 程的根.(k 2)x k 1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？求k的值及這時(shí)方【例5】 已知關(guān)于x的方程1x2 (m

3、 2)x m2 0.4(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求 m的取值范圍；(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根，求 m的值，并求出此時(shí)方程的根;(3)有實(shí)根，求m的最大整數(shù)值.9.2根的判別式的應(yīng)用一知識(shí)精濟(jì)一1 .不解方程判定方程根的情況；2 .根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍;3 .解與根有關(guān)的證明題.例題分析【例6】 當(dāng)k為何值時(shí)，方程kx2 2 k 2 x x2 k 1 k 0,（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒有實(shí)數(shù)根.【例7】 已知關(guān)于x的一元二次方程 m 1x2 2mx m 3 0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.【例8】 如果m是實(shí)數(shù)，且不等式（m 1）x m 1的解集是x 1 ,

4、那么關(guān)于x的一元二次方1程mx （m 1）x -m 0的根的情況如何？49】x 的方程 m 1 x2 2mx m 3 0 總有實(shí)數(shù)根,求 m 的取值范圍10】 已知關(guān)于 x 的一元二次方程x2 2mx 3m2 8m 4 0 ( 1求證：原方程恒有兩個(gè)實(shí)數(shù)根2若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于2，另一個(gè)大于5，求 m 的取值范圍11】 已知，關(guān)于x 的一元二次方程x2 2 2m 3 x 4m2 14m 8 0 ，( 1若m 0 ，求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；( 2若12 m 40 的整數(shù)，且方程有兩個(gè)整數(shù)根，求m 的值12】 已知 a,b,c 是三角形的三邊長(zhǎng)，求證：方程b2x2 (b2 c2 a2

5、)x c20 沒有實(shí)數(shù)根9.3韋達(dá)定理知識(shí)精講韋達(dá)定理：如果Xi,X2是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的兩個(gè)根，由解方程中的公式 b. b2 4ac那么可推得X1X2bc 、一，一，一,%X - .這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系. aa【例13】設(shè)Xi ,X2是方程2x2 4x3 0的兩個(gè)根，求X1 1 X2 1 的值.【例14】已知方程2X2【例15】已知方程x2 1ax 2a 1 0的兩個(gè)實(shí)根的平方和為 7-,求a的值;42k 1 x k2 2 0的兩個(gè)實(shí)根的平方和為等于 11,求k的值.【例16】設(shè)，是方程x2 2x 9 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求工。和22的值.【例17】已知關(guān)于x

6、的方程x2 2 m 2 x m2 0問：是否存在實(shí)數(shù) m ,使方程的兩個(gè)實(shí) 數(shù)根的平方和等于 56,若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【例18】已知2 J3是方程x2 4x c 0的一個(gè)根，求另一根及 c值.【例19】(1)(3)(5)設(shè)Xi ,X2是方程2x222xi x2xix2 ；xix2x2xi【例20】6x 3 0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值.1xix2(4 )-xi1；x2x21一； xi設(shè) xi,x2 是方程 x2 2 k 1 x k20的兩個(gè)實(shí)根，且xi2后4,求k值.9.3課堂檢測(cè)21. 已知k 0且萬(wàn)程3kx 12x k 1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k

7、.122 .當(dāng)k不小于時(shí)，方程k 2 x6.當(dāng)m 時(shí)，方程（m 1）x 2mx m 3 0有兩個(gè)頭根.7. 求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，關(guān)于 x的方程x2 2mx 6m 10 0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 根.2k 1 x k 0根的情況是43 .如果關(guān)于x的方程 m 2 x2 2 m 1 x m 0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于x的方程2mx m 2 x 4 m 0的根的情況.4.已知關(guān)于x的一元二次方程 則k的值是多少？2kx 4k 3 0的兩個(gè)實(shí)根為a,b ,且滿足a b ab ,25.，試求a的值.關(guān)于x的方程ax （a 2）x 2 0只有一個(gè)根（相同根算一根）8 .已知：關(guān)于x的方程x2 2x 1

8、 k 0沒有實(shí)數(shù)根，求證：關(guān)于x的方程2x (k 2)x k 1 0 一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.、一 ，229 .試證明關(guān)于x的方程(a 8a 20)x 2ax 1 0 ,無(wú)論a取何值，該方程都是一元二次方程.2210 .已知關(guān)于x的一兀二次萬(wàn)程 x (2m 1)x m0有兩個(gè)實(shí)根X,x2.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)x|2 x22 0時(shí)，求m的值.11 .已知：關(guān)于x的一元二次方程 x2 2m 1 x m2 m 2 0 ,求證：(1)不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根 ox2滿足x x2 1 m上，求m的值m 112 .已知關(guān)于x的一元二次方程xm取什么值時(shí)

9、，方程 m 2 x2 2x 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?2 已知關(guān)于x的方程2x (k求方程的根. m 1 x m 2 0,(1)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求 m的值；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根之積等于m2 9m 2 ,求Jm6的值.29)x (k 3k 4) 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求k的值，并9,4課后作業(yè)3.已知關(guān)于x的方程x2 2(a 1)x (a24 a 5) 0有實(shí)數(shù)根，求正整數(shù)a的值，并求方程的根.4.若一元二次方程2x（kx 4）x2 6 0 無(wú)實(shí)數(shù)根，求k 的最小整數(shù)值5. 若 a 為任意實(shí)數(shù)，試判斷關(guān)于 x 的方程 x2 2ax a21 的根的情況6. 已知關(guān)于 x 的方程 x2 2k 1 x k2 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1， x2 ，且x1求實(shí)數(shù) k 的值及原方程的根