正比例的性質(zhì)和反比例的性質(zhì)

1、正比例的性質(zhì)和反比例的性質(zhì)正比例的性質(zhì)和反比例的性質(zhì)，是相反的兩個性質(zhì)，在學(xué)習(xí)和運用時，由于表述形式近似，只是個別關(guān)鍵詞語的不同，極容易相互混淆，必須正確地加以區(qū)分。正比例的性質(zhì)是：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量的任意兩個數(shù)值的比，等于另一種量對應(yīng)的兩個數(shù)值的比。例如：一列火車的速度每小時60千米，如果所行時間與所行路程成正比例關(guān)系，那么所行時間的任意兩個數(shù)值的比，必須與對應(yīng)所行路程的兩個數(shù)值的比相等。如下表：從順向看：時間上2小時與4小時的比為24=0.5；路程上2小時所行的千米數(shù)與4小時所行的千米數(shù)的比120240=0.5。這兩個比的比值相等，具備了正比例的性質(zhì)。具備了正比例的性質(zhì)。反比例的性

2、質(zhì)是：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量的任意兩個數(shù)值的比等于另一種量對應(yīng)的兩個數(shù)值比的反比。例如：完成1200臺電視機的生產(chǎn)任務(wù)，每天生產(chǎn)的臺數(shù)和完成的天數(shù)成反比例關(guān)系，每天產(chǎn)量中任意兩個數(shù)值的比，等于所對應(yīng)完成天數(shù)的兩個數(shù)值比的反比。如下表：從逆向看：臺數(shù)上400臺與200臺的比為400200=2；其對應(yīng)天數(shù)比的反比為63=2。兩個比的比值相等，具備了反比例的性質(zhì)。在比和比例這部分知識中，反比、反比例和反比例關(guān)系也是容易混淆的。不正確區(qū)分三者的確切含義，就會在憑借概念進行判斷和依據(jù)性質(zhì)進行計算上，產(chǎn)生“后遺癥”，最后還得溯本求源，從基本概念上進行澄清。因此，從防微杜漸的角度上，一開始就結(jié)合教材進行

3、正確區(qū)分，是非常必要的?！胺幢取笔桥c正比相對而言的，它們都不屬于比例的范疇。在兩個比中，如果一個比的前項和后項，分別是另一個比的后項和前項，這兩個比就叫做互為反比。例如：34的反比是43；反過來，43的反比是34?！胺幢壤笔菍煞N相關(guān)聯(lián)的量對應(yīng)數(shù)值組成比的順序而言的。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，據(jù)此寫出的比例式稱為反比例。例如：有一堆煤，每天燒煤2噸，可燒12天，如果每天燒煤4噸，可以燒6天，每天燒6噸，可以燒4天。從條件中的規(guī)律可見，煤的總重量一定，每天燒煤量與燒得天數(shù)成反比例?！胺幢壤P(guān)系”是成反比例的

4、兩種量之間的數(shù)量關(guān)系。如果用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示積（一定），其關(guān)系式為：x×y=k（一定），在這個式子中，x與y的關(guān)系，就是反比例關(guān)系。在八年級數(shù)學(xué)中，學(xué)生第一次遇到了函數(shù)正、反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)，在這個知識點的學(xué)習(xí)中，學(xué)生碰到了與以前截然不同的困難。如：函數(shù)圖像和性質(zhì)不能很好匹配，即學(xué)生對于函數(shù)解析式和圖像性質(zhì)不能熟練轉(zhuǎn)化；不知何時要分類討論，導(dǎo)致漏解；不會用反比例函數(shù)的“面積不變性”；不能完全解讀題目中蘊含的信息，找不到或不理解圖像語言；對于綜合題不知如何入手解題。解決這些困難，教師就要在教學(xué)中充分運用數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生能夠逐一突破函數(shù)學(xué)習(xí)中的難關(guān)。一、引導(dǎo)學(xué)生熟

5、練掌握正、反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)，突破“數(shù)形結(jié)合”認識關(guān)。傳統(tǒng)的教學(xué)中通過畫一畫特殊的正比例函數(shù)圖像，如，得到一般情況下正比例函數(shù)圖像，這里的畫一畫是特殊情況，是必要的，但是由于學(xué)生動手能力不同，往往整節(jié)課的重點偏移到畫圖的操作細節(jié)上。如：如何找點，如何用平滑曲線連線等，而忽略了解析式與圖像性質(zhì)對應(yīng)關(guān)系的探知。如何來解決呢？教學(xué)中首先可以通過“猜一猜”，看正比例函數(shù)解析式(0）能不能用圖像表示，它的圖像是怎樣的，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)中每一對、的值與坐標系中的點坐標的聯(lián)系。然后通過“想一想”，思考當?shù)闹荡笥?、等于或小?時值的情況，引導(dǎo)學(xué)生認識解析式對圖像分布與增減性的影響。再通過“畫一畫”，利用

6、畫圖驗證猜想，從圖像上形象地認識性質(zhì)。通過這三步的探究，得出一般情況下正比例函數(shù)圖像是過點（0，0）和（1，）的一條直線。然后進一步引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖像的形態(tài)發(fā)現(xiàn)圖像的性質(zhì)，進而歸納函數(shù)的性質(zhì)，建立起數(shù)學(xué)符號與圖像性質(zhì)之間的聯(lián)系。同樣地反比例函數(shù)圖像也可以通過“猜一猜”，得出一般情況下的圖像。再通過“想一想”和“畫一畫”，逐步認識函數(shù)圖像和性質(zhì)。以此類推，在后面的函數(shù)學(xué)習(xí)中，都可以用這樣的方法和步驟來進行函數(shù)圖像和性質(zhì)的教學(xué)。在教學(xué)中，得到函數(shù)性質(zhì)后，要把函數(shù)解析式、圖像和性質(zhì)用各種不同的方法加以對比、聯(lián)系，如可以列出下面的表格，讓學(xué)生來填寫內(nèi)容。當學(xué)生充分熟悉和掌握了以后，他們就能意識到研究函

7、數(shù)可以從解析式、圖像和性質(zhì)入手，而性質(zhì)通常是研究系數(shù)的符號、函數(shù)的增減性等等。這樣學(xué)生可以掌握一點研究函數(shù)的一般方法。函數(shù)解析式（數(shù)）圖像（形）性質(zhì)00(0）過（0，0）和（1，）的一條直線過一、三象限，y隨x增大而增大。xyO過二、四象限，y隨x增大而減小。(0）（）雙曲線圖像的兩支都無限接近于x軸和y軸，但不會與x軸和y軸相交過一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x增大而減小。xyO A過二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大。上述表格應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握，這是學(xué)生進行綜合運用的基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，用數(shù)形結(jié)合的思想方法，看到圖像過什么象限，馬上想到的符號，強化從圖象性質(zhì)到解析式的逆向思維，使解析式

8、（數(shù)學(xué)符號語言）和圖象性質(zhì)（圖像語言）能熟練地互相轉(zhuǎn)化。2、要使學(xué)生熟知已知哪些條件可以求解析式解析式往往是函數(shù)類題目的“入口”或“出口”，所以要熟練掌握解析式的求法。在正、反比例函數(shù)中，由于只有一個待定系數(shù)，所以一對、的值或圖像上一個點的坐標，就可以完全確定正比例函數(shù)或反比例函數(shù)，反之亦然。解題中看到圖像過某點，則常常要把這點的坐標代入函數(shù)解析式。二、引導(dǎo)學(xué)生解讀題目中蘊含的信息，熟練掌握數(shù)學(xué)符號語言和圖像的互化，根據(jù)題目中的信息畫出圖像突破“形數(shù)”畫圖關(guān)。1、函數(shù)題中往往伴有圖像，題中若沒有圖像，則先要從已知條件出發(fā)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫出圖像或草圖，再求出系數(shù)。通常當學(xué)生面對K確定的函數(shù)題時，

9、圖像基本都會畫，但當面對K不確定的函數(shù)題時，往往會漏畫、少畫，從而造成漏解。這時教師可設(shè)計合理問題，用課堂提問的方法引導(dǎo)學(xué)生正確畫出圖形。若題目中的符號不能確定，或已知條件給出的長度、距離、面積等是非負的，轉(zhuǎn)化為點坐標卻可正、可負，所以要考慮進行分類討論，這時題目往往可能有多解，而畫出的滿足條件的圖像也應(yīng)該有多個。例1：正比例函數(shù)中，圖像上一點A（,3）與y軸的距離為2，求此函數(shù)的解析式。分析提問： 點A可以在直角坐標系中的什么位置？學(xué)生回答出來后再問：與Y軸距離為2的點A有幾個？符號不能確定，由已知“圖像上一點A（,3）與y軸的距離為2”，得到點A可以在第一象限和第二象限，因此函數(shù)的大致圖像

10、有兩個，如圖1。 解：過點A作AB軸，ACy軸因為圖像上一點A（,3）與y軸的距離為2所以AC2,（把已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言）所以BO=AC=2（隱含條件BO=AC）所以=-2或=2。（線段長轉(zhuǎn)化為點的坐標，這里學(xué)生常常會漏解）得A（2，3）或（2，3）。解得k=, 或k=此函數(shù)解析式有兩個：或。2、反比例函數(shù)具有“面積的不變性”。從已知條件出發(fā)，先根據(jù)反比例函數(shù)畫出圖像，再根據(jù)矩形面積公式求出系數(shù)。經(jīng)過計算可知，反比例函數(shù)上任意一點P（, ），都有。從圖像上來看，反比例函數(shù)上任意一點對x軸、y軸做垂線所構(gòu)成的矩形，其面積都與的絕對值相等，即根據(jù)這一性質(zhì)解題往往可以簡潔。三、引導(dǎo)學(xué)生把問題

11、轉(zhuǎn)換化歸突破“數(shù)形”綜合運用關(guān)正反比例函數(shù)綜合運用對于學(xué)生來說比較困難，可以按以下方法解決。若題目本身有圖像的。1、先通過觀察函數(shù)圖像，留心圖形的特點，同時在圖形中標注已知條件。再仔細讀題，從圖形和題目兩方面找出蘊含的信息，發(fā)掘圖形和題目中的隱含條件。2、根據(jù)已知條件及隱含條件，得出函數(shù)性質(zhì)。3、一般已知正反比例函數(shù)解析式，可以先求出交點。4、要熟練地把點的坐標和線段長度、面積互相轉(zhuǎn)化。5、將題中用到的直線或雙曲線用正比例函數(shù)或反比例函數(shù)表達出來。6、根據(jù)圖形找出已知條件和所求目標之間的聯(lián)系，常常要用到幾何方法和一些公式，從而列出方程。若題目本身沒有圖像的，則首先根據(jù)條件畫出圖像，再按照上述步

12、驟來做。總之，要使學(xué)生善于選擇信息，善于運用直覺思維，善于把問題轉(zhuǎn)換化歸。例2、如圖2，P是反比例函數(shù)圖像上一點，矩形APBO的面積是8，PB=2PA.(1) 求反比例函數(shù)的解析式。(2）若正比例函數(shù)圖像經(jīng)過P點，求正比例函數(shù)解析式。例題設(shè)計的目的是要使學(xué)生明確掌握反比例函數(shù)的面積不變性，掌握由已知條件轉(zhuǎn)化為線段長再轉(zhuǎn)化為點坐標再用待定系數(shù)法求解的一般步驟。分析：（1）先觀察函數(shù)圖像在二、四象限，則k<0 （直接由函數(shù)圖像得出函數(shù)性質(zhì)）因為矩形APBO的面積是8，所以得k8，（運用反比例函數(shù)面積不變性）所以反比例函數(shù)的解析式為。（2）設(shè)正比例函數(shù)解析式為因為矩形APBO的面積是8，所以P

13、A×PB8，由條件PB=2PA，得PA=2，PB=4（運用矩形面積公式求得線段長）根據(jù)圖像，點P在第二象限，則P的坐標為（2，4）（線段的長度轉(zhuǎn)化為點的坐標）把x2，y4代入，得m2。（一個點的坐標，就可以確定正比例函數(shù)解析式）所以正比例函數(shù)解析式為FOADPEB例3、如圖，正方形OAPB、ADFE的頂點A、D、B在坐標軸上，點E在AP上，點P、F在函數(shù)的圖像上，已知正方形OAPB的面積為9(1) 求的值和直線OP的解析式；（2）求正方形ADFE的邊長例題的設(shè)計目的在于如何在復(fù)雜背景條件下，從已知條件適當?shù)卦O(shè)點坐標，進而列出方程得解。分析：（1）因為正方形OAPB的面積為9，點P在函數(shù)的圖像上且根據(jù)圖形點P在第一象限，所以=9。（反比例函數(shù)面積不變性）因為OAPB是正方形，所以O(shè)A=PA，得到P（3，3），代入，可得k=1所以直線OP的解析式為.（其實根據(jù)圖形不求點P坐標，也可直接得出直線OP函數(shù)解析式）(2)因為點F在函數(shù)的圖像上，可設(shè)F(, )，（利用點F特征設(shè)元）所以O(shè)D，F(xiàn)D（點的坐標轉(zhuǎn)化為線段長）因為正方形OAPB的面積為9，所以O(shè)A3，所以EF=因為ADFE是正方形，所以EF=FD。所以，（利用正方形邊長相等列出方程）解得所以EF，即正方形ADFE的邊長為。通過上述教師