極限練習(xí)+總結(jié)

1、極限、極限運(yùn)算的法那么假設(shè)lim f (x)與lim g(x)均存在,且分別等于a和b,那么: x,：一lim f (x)二 g(x) = lim f (x)二 lim g(x) = a 二 b四f (x) g(x) = limj(x) lxmg(x) = a b.f (x) lim - x-Cglx)、無(wú)窮小量1、性質(zhì)：lim f (x)_ x ,一lag(x)假設(shè) limot(x) = 0, limP(x) = 0,那么X)ct(x) ±P(x), ct(x) £(x),f (x) <x(x)(f (x)為有界函數(shù))均為無(wú)窮假設(shè)f(x)為無(wú)窮大量,那么為無(wú)窮小量；

2、假設(shè)f(x)為無(wú)窮小 f(x)一 一一 1 一一 、,一量,且f(x) W0,那么為無(wú)窮大量.f (x)2、比擬(階)lim = 0 ,稱 a較B高階,記為a =0( B )； liming,稱a較Bct低階；lim H = A.0 ,稱 aOL與B同階；limH,稱價(jià),記作a -3、常用的等價(jià)無(wú)價(jià)小量B (求極限時(shí)會(huì)用到).當(dāng) x0 時(shí),有 sinx x, tanx x, ln(1+x)x, 1-cosxx-1 x,16+x -1一x2例1:當(dāng)x0時(shí),a(1-cosx)與xsinx是等價(jià)無(wú)窮小,那么a = 21 2 a - x a(1 - cosx)2角牛：lim 二乙二 lim 2一x 0

3、 xsin x x Q x x(06、7)令且=1 ,解得a=2 2例2：當(dāng)x-0時(shí),x2ln(1+x 2)是sin nx的高階無(wú)窮小,而sin nx又是1-cosx的高階無(wú)窮小,那么n = 3(07、 2)n n解： 要使 lim=lim-=0, 所以 n > 3x01 -cosx J0 x22 ,2、22要使 lim X ln(1n X)=lim_=0,所以 n<4j0sin x x w x綜上所述,得n = 3.三、兩個(gè)重要極限1lim (x) =0時(shí),lim sin (x) =1,lim1 (x)第 二ex»Xf ( (x)x0四、求極限的常用方法1、極限存在的充

4、要條件：lim f(x)= limj(x)xx0-xx0 2、無(wú)窮小量與有界函數(shù)之積仍為無(wú)窮小量：lima(x) f(x) = 0 x->3、無(wú)窮小量的倒數(shù)為無(wú)窮大量,無(wú)窮大量的倒數(shù)為無(wú)窮小量；4、用極限的四那么運(yùn)算法那么；5、利用兩個(gè)重要極限.五、幾種特殊類型的極限求法01、消去“零因子法：如22(x b) -bx2bx x二二呵(" x)=2bx -111乂如 lim ； 二 lim 二-x 1 x2 3 、利用等價(jià)無(wú)窮小代換：如lim 1n(1 x)=lim - = 1 x 0 xsin x x 10 x x 2x -3 x 1 x 3 42 、有理化：如 lim %1

5、+x 1 =lim=-x 0 x x 0 x( 1 x 1) 2有理分式函數(shù)的分子、分母同除以分子分母中的最高次幕.如( sin x21 - -x 一xsinxxlim；二 lim-XT 1 - x2x- 1-2 1x(三)0 8型將其化為0或二型.如lim xln1+1 = limX )二又如lim x2 (x_：x 1 x -1= lim£j ：x2 -11 ln(1 -)x=limx 1(X 2)(x-1)(x -1)(x2 X 1)(X 2)(x-1)(x -1)(x2X 1)四8通過(guò)通分化為0或三型02x2 x 1 - 3己=lim(x-1)(x2 x 1) x )1五10

6、c型1利用重要極限xim：_1 X1=ljm (1 x)x = e解:1原式二lim x >二 523X X-1X=-1, 一般地:a0,m = n b0m.a°x lim xb°xn0, m<nIm 1 I 1a I+b:?。簃(3020)=討論二,m nlim=0的正確性.錯(cuò),數(shù)列,先求前n項(xiàng)的和,再求極限解:原式=limn lim 4 n(n 1)n "n2220分子、分母同時(shí)有理化解:原式 lim (1 L X 1)(3 X 3) =limX('3 X33x,0( ,3 x - 3)( 3 x,3)( 1 x -1) x >0 x

7、(v1 x 1)sin 二x例4 求lim x)0 sin axa =0的常數(shù)解：原式lim x_0sin 二xax 1二屯 x二一sin ax axa例5求limx 0cosx 一 cos3x(cos a -cos B =- 2sin解:2sin xsin2xsin2x sinx ,=lim4=4x-0 2x x求 lim 1n(1 3?x. ：ln(12x)QO()oO解:sin 2ln3x(1 3') xln 3 1n(1 3") 原式=limlimx > 二ln2x(1 2*) x >:xln2 ln(1 2,)ln31n(1口二 lim x J ：In

8、2ln(1 2,)ln3lim x 3xl二 1ln2 -x x 2ln 3ln 2先化成局部分式例7求limJx 儼x；2 3x解：原式1 x1=lim (1 ) = lim (1 xr ：3x -2x-；：.：2x - 332 22(x=)x =)3 3 = lim.(1) 3X F一2x -3盟(122x 一3例8 求1mE、cn1 -=1+,那么x =6u+2,當(dāng)xt s時(shí),ut 8例9求四u)u6u 211 o寸那么門那么十12.1 x3 -1x2 sin x用等價(jià)無(wú)窮小代換解：當(dāng) x一0 時(shí),41 +x33, sinx x1 3x原式=lim -2一 x 0 x2 x用等價(jià)無(wú)窮小代

9、換例10求四解：當(dāng) x0 時(shí),J1 +xsinx22e -1 xIxsinx原式=lim x0例11判斷l(xiāng)imx_0sin x -tanx=limx 0=0的正確性.錯(cuò),加減運(yùn)算不能用等價(jià)無(wú)窮小替換解：原式=limx0sin x(cos x - 1)-x3x cosx=limx_0例12求limx_0解：法一原式由2x .e -1x xe=2提取公因子,用等價(jià)無(wú)窮小替換法二-1.x-e 1=limx >0-1-limx )0_x e3lim)x x )0 xx o一 lim =2 x0 x添項(xiàng)后用等價(jià)無(wú)窮小替換1 -cos2xcosx解：原式=lim x 01 -cosx cosx -

10、cos2x cosx1 一 cosxcosx(1 - cos2x)=limx0limx )0jj(2x)2_2-2x -1 2x -1二-二,0 ,二先通分、化成.或一0解：原式=limx322x3(2x-1) -x2(2x2 -1)2(2x2 -1)(2x-1)=lim 2x 底(2x2 -1)(2x-1)例15求lim n例13求lim (n年x-狽)(n 為正整數(shù),x>0且xw0) n解：(利用ab =eblna公式,化為eu-1的形式)lnx ln xln x ln x ln x原式=lim n2(en 1 - e n ) = lim n2 e n (en 1n -1) n )二

11、二n 1二：ln x二 lim n2 e n ( n >：In xIn x):lim n2(n爐：n - n -1 n(n 1)In x = - In x例 16 假設(shè)lim(x)x =4,求 cxi x c解:-2c v1左=lim (1 ) = lim (1 )x F： x -c x x -c=lim (1x 二1 f 2c c)2cx - c2c2cx _c= lim(1 +)玄2c,(1 +)c =e2c,由左=右,得: xx -cx -c2c2ce2c = 4,解得 c = 1 ln 4 = ln 2 2例 17 設(shè) f(x)=密+2, 01忒 lim f(x)及 lim f

12、(x),x_0x ：12, x -1 xlim f (x)= lim (3x2) = 2, limf (x) = lim(x21) =1解.x 0 -x_o-x 0-x )0-lim f (x) # lim f (x),故 lim f (x) 不存在.x_0 -x_0 'x 0lim f (x) =lim (x21)=2,limf (x)=lim = 2x1 -x-0 一x )1 ,x>0xlim f (x) =limj(x)= 2,故limf(x)=2x_1 x_1 ,x 12 _ 3例18假設(shè)lim " x- 4,試求a,b (05、13)分母零因子 x >4

13、 x 1解：因 lim (ax2x+3)=0,即a(1)3 = 0,解得 a =2 x I2 x x 3x 1=lim (2x-3) = -5 x 3 例19計(jì)算lim06、13分子分母同時(shí)因式分解或有理化 x 1 x -1解:二lilim x _1)(.x2 +3/x +1)(Jx +1) _lim (x-1)(« +1) x ( *x -1)( x 1)(3 x23 x 1) x (x -1)(3. x23 x 1)(x-1)( . x 1)解：設(shè)x =-,那么當(dāng)x一0時(shí),u00代入極限得: 4u2211lim 4uf (一) = 4lim uf (一) = 2,斛彳# lim

14、uf (一)= 一 u一；： 4u J： 4uu；： 2u 211即 lim xf ()：3x(08、13)利用兩個(gè)重要極限,6二ef： 2x2例21求極限lim (-) x F： x2解：原式= lim(1) x立 x1、概念在X0處連續(xù)的定義:連續(xù)f(x)在xo鄰域內(nèi)有定義,且lim f(x)=f(x0);x中0或 lim Ay = 0.x力72、間斷點(diǎn)的定義：f(x)在x°鄰域內(nèi)有定義(也可沒有定義),假設(shè)x0處不 連續(xù),稱x.為間斷點(diǎn)(一般是使函數(shù)無(wú)意義的點(diǎn)).3、間斷點(diǎn)的分類：第一類:lim f (x)及l(fā)im *f(x)均存在,但不相等(又X 因_x )x0稱跳躍間斷點(diǎn))

15、；lim f(x)= lim f (x) / f (x0)(又稱可去問斷點(diǎn))； x 兩一x兩第二類:至少有一個(gè)單側(cè)極限不存.二、幾個(gè)定理1、最值定理：假設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),那么y=f(x)在a,b上一定有最大 值與最小值.(證實(shí)不等式)2、介值定理：假設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),m與M是其在a,b區(qū)間上的最小 值與最大值,且m<u<M那么在a,b上至少存在一點(diǎn) 己, 使f(己尸u.3、零點(diǎn)定理：假設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào),那么在(a,b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 己,使f(士尸0.(確定方程的根) 應(yīng)用此定理需要注意以下幾點(diǎn)：f(x)如何定義.a,b】區(qū)間的選

16、擇,在證實(shí)題,有明確的線索(2)驗(yàn)證f(x)在閉區(qū)間B,b】上的連續(xù)性,(3)驗(yàn)證f(x)在兩端的符號(hào)(4)此定理不能確定f(x)是否具有唯一零點(diǎn),但有唯一性的要求時(shí),應(yīng)驗(yàn)證f (x)在a,b內(nèi)的單調(diào)性(參見導(dǎo)數(shù)應(yīng)用局部)三、分段函數(shù)在其分段點(diǎn)處的連續(xù)性例1 討論f(x)=在x=0處的連續(xù)性.x< 0x>0lim f (x) = lim ex = 1x_0 ,x 0 ,1、在分段點(diǎn)處的兩側(cè)的表達(dá)式不同,要分左右極限來(lái)討論;e：1,lim f (x) = lim (x ±1) =1, 解：x 0 一 x 口 一所以 lim f (x) = f(0) =0+1 =1 x_.0

17、故f(x)在x=0處的連續(xù).2、在分段點(diǎn)處的兩側(cè)的表達(dá)式相同,不必分左右極限來(lái)討論(指數(shù)函數(shù) 的某種情況除外)；例2討論f(x)=Y解：叫 f(x)=xxSn1xsin , x30x=0處的連續(xù)性. x11,x=0|=0,而f(0) = 1#lim f(x)xx10故f(x) 在x=0處間斷.3、在分段點(diǎn)的兩側(cè)的表達(dá)式雖相同,但需分左右極限來(lái)討論;例3討論f(x)=y1arctan,ixx=TI處的連續(xù)性.x -10,lim f (x) = lim arctan 解：xL x Lx=151x -1, 叫 f (x) = lim arctan1 二x-1 一 2所以lim f (x)不存在,f

18、(x)在x =1處間斷.x ：1四、求間斷點(diǎn)及判斷類型(依所給函數(shù)而定,不能化簡(jiǎn))1 _ 1例4求f(x) = x X+1的間斷,并判斷其類型. 11x 7 x解：間斷點(diǎn)：x=0,x=1,x=-1在x=0處,鳴f (x) = ljm 1 = -1,故x=0為第一類間斷點(diǎn),且為可去問斷點(diǎn)在x=1處,呵 f (x) = lim去間斷點(diǎn)oox -1x 1=0,故x=1為第一類間斷點(diǎn),且為可在x=-1處,lim f (x) = lim 土x. 1x J.1 x,100 ,故x=-1為第二類間斷點(diǎn).1 一例 5 x=0 是函數(shù) f (x) =xsin的(A(05、1xA、可去間斷點(diǎn)B、跳躍間斷點(diǎn)C、第二

19、類間斷點(diǎn)D、連續(xù)點(diǎn)例6函數(shù)f(x)=,假設(shè)f(x)在x=0處連續(xù),求a. (05B、8)sin 2x -,x ； 0x+nax x>0sin2x一斛：lim f (x) = lim = 2 , lim f (x) = lim (x 2a) = 2ax 0 - x p-tanxx p x p .f(0)=0+2a=2a ,故 2a=2 ,解得 a = 1.例7假設(shè)lim f (x) = A,且f(x)在x=x0處有定義,那么當(dāng) A= f(x ?)時(shí)f(x)在x° x-0-處連續(xù).(06、8)解：要使f(x)在x0處連續(xù),必有l(wèi)im f(x) = f(x°),而f(x)在x=x0處有定 X %