第九章_空間軸對稱問題

1、第九章 空間軸對稱問題本章討論一下空間軸對稱問題的基本方程和一些軸對稱問題的基本解。對于一般空間問題的解法我們在第五章已有討論，但一般空間問題一般解（具體求解）通解討論在杜慶華等編著的“彈性理論”中有較多的論述。我們不刻意從數(shù)學(xué)上論述一般空間問題一般解的表達式，而對于空間軸對稱問題作一些討論和舉例。第一節(jié) 空間軸對稱問題的基本方程1.1空間軸對稱問題特點：與平面軸對稱問題類似，空間軸對稱問題的求解域、荷載和約束繞某一軸（z軸）對稱，導(dǎo)致如下簡化，（參見徐芝綸（上冊）第八章第八節(jié)(P.274）。1. 域內(nèi)所有物理量（體力、面力、位移、應(yīng)力、應(yīng)變）均為r、z的函數(shù)。2荷載：體力fq=0，面力 ，位

2、移uq=0，應(yīng)力t rq=t zq=0，應(yīng)變g rq=gzq=0。3存在物理量：fr、fz、ur、w、sr、sq、sz、t rz=t zr、er、eq、ez、g rz=gzr1.2基本方程：1.平衡微分方程（兩個）： 第一 第三 2.幾何方程（四個）：， 3.變形協(xié)調(diào)方程（四個） 4.物理方程（四個）：sr=le+2Ger、sq=le+2Geq、sz=le+2Gez、t rz=Gg rz 其中 體積應(yīng)變或 , , , 5.邊界條件位移邊界： , 在Su上力的邊界：在 r=r0 , 在z=z0 , 6.按應(yīng)力解法 四個應(yīng)力分量sr、sq、sz、t rz為基本未知量。 基本方程（六個）： 兩個平衡

3、微分方程 四個用應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程 再加上力的邊界條件。如果體力為零時，基本方程為齊次方程，則可采用應(yīng)力函數(shù)解法，引入應(yīng)力函數(shù)f(r,z)，使得應(yīng)力用f(r,z)表示: 滿足第一個平衡微分方程，而第二個平衡方程及四個相容方程，共同要求 22f=4f =0 f(r,z)應(yīng)滿足的基本微分方程。 其中 7按位移法解a基本未知函數(shù)： ur和w 基本方程兩個： 并考慮適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。b. 引入Love（拉甫、勒夫）位移函數(shù)（當(dāng)無體力作用時）對于位移法的基本方程的解可由考慮體力的一個特解加上齊次方程的通解。軸對稱問題齊次拉梅方程的通解可以引入一個Love位移函數(shù)y(r,z),使得位移由y(r,z)表示

4、： , , 代入齊次拉梅方程，第一式自然滿足，而第二式為基本方程： 4y=0 y(r,z)為雙調(diào)和方程 同時應(yīng)力分量由y(r,z)表示為 軸對稱問題按位移求解，歸結(jié)為尋找一個恰當(dāng)?shù)闹卣{(diào)和函數(shù)y(r,z)，使按其導(dǎo)出位移和應(yīng)力能滿足給定的邊界條件。 比較應(yīng)力函數(shù)解法和love位移法知：f (r,z)= y (r,z)第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力（Boussinesq問題） 半空間體，體力不計，邊界受法向集中力P作用. 軸對稱問題P作用在坐標(biāo)原點上。zRrqPx yz已知，當(dāng)z=0且r 0時, sz=0 , t zr= 0； 當(dāng)R 時R=(r2+z2)1/2，應(yīng)力、位移 0；當(dāng)R 0時，應(yīng)力

5、奇異。 Boussinesq采取Love函數(shù)求解，y(r,z)為重調(diào)和函數(shù)，由y(r,z)的三次微分導(dǎo)出應(yīng)力。選 y(r,z) 為r和z的正一次冪式: y(r,z) = A1R+ A2R - zln(R+z) 為雙調(diào)和函數(shù) 則 y(r,z) 自然滿足 4y=0 。代入位移、應(yīng)力計算式 位移：， 應(yīng)力： ， ， ， 下面根據(jù)邊界條件來確定A1和A2：在z=0且r 0邊界上, sz=0 自然滿足。在z=0且r 0邊界上, t zr= 0 （1-2n）A1+ A2 = 0(a)zPrrdrz0還需一個條件（包括P的）。在z= z0 0平面上，要求sz 的合力與P平衡。 將sz 表達式代入，得 而 ，

6、 P - 4pA1(1-n）- 2p A2 = 0 (b) 由式(a)、(b)解得 A1 = P/(2p) 、A2 = -（1-2n）P /（2p）代回位移、應(yīng)力表達式，見徐芝綸（上冊）P.297（917）、（918）式，稱為Boussinesq問題解。Prz由P.297（917）、（918）式見：位移和應(yīng)力隨R 的增加而減小。在z=0平面上 ，第三節(jié) 半空間體在邊界上受法向分布力q已知條件：半空間體在邊界上受均布法向荷載q作用，在半徑為a的圓面積，尋求解答：1. z =0邊界上的沉陷 wz=0 = ? 2. r =0（對稱軸）上的應(yīng)力和位移。求解方法：采用疊加法和半空間體邊界受法向集中力P的

7、計算結(jié)果求解。zaqarqrraMs1s2sdsdyy3.1邊界上一點M的豎向位移w： M點可以在荷載圓面積之外也可在之內(nèi)。1.設(shè)M點為圓面積之外：當(dāng)半空間體邊界上受法向集中力P時，邊界上距P點為r的點豎向位移為 qrraMs1s2sdsdyy圓面積均布荷載q對圓外M 點豎向位移影響可取一個微面元，距M點為s，角度為 y處，dA=sdyds ，dA上q 對M點影響： 整體圓面積荷載對M點影響為 而 , y1為M點作為圓相切線 OM線的夾角為了簡化積分將積分變量 y 轉(zhuǎn)變?yōu)?q 由圖形可見 asinq=rsiny , siny= asinq/r兩邊微分 acosqdq = rcosydyy的取值

8、范圍：由0 y1 q 的取值范圍：0 p/2 第二類橢圓積分 第一類橢圓積分對于不同a/r可由橢圓積分表得到。2M點載荷在圓之外：圓內(nèi)距M點s處微面積q對M點沉陷的影響仍為Maqysdsdyrmn 整個圓面積荷載引起M點沉陷為： 利用 asinq=rsiny , 第二類橢圓積分 當(dāng)r= 0為圓心處沉陷：當(dāng)r= a時圓周上沉陷：3.2 在z軸r=0上的應(yīng)力和位移在z軸上的應(yīng)力和位移比同一水平面上其它點的應(yīng)力和位移要大。1. 應(yīng)力：由于z軸對稱軸，所以在z 軸上的應(yīng)力無剪應(yīng)力，均為主應(yīng)力： sr = sq、sz 2位移：z軸上的ur= 0，僅存在w 第四節(jié) 兩球體之間的接觸壓力接觸壓力問題是在（機

9、械）工程、土木工程中經(jīng)常碰到的問題，接觸問題在1881年由德國赫茲（Heinrich Herty）首先用數(shù)學(xué)彈性力學(xué)導(dǎo)出了計算公式。4.1 接觸問題的特點：1兩個彈性體互相接觸，當(dāng)無壓力作用時，為點接觸或線接觸。當(dāng)有壓力作用時，彈性體發(fā)生變形，點接觸（或線接觸）變?yōu)槊娼佑|。2彈性體變形后的接觸面為非常小的局部區(qū)域（相對于彈性體幾何尺寸）所以可看成半空間（半無限平面）體法向受局部分布力作用問題，但這里分布力q不是均勻的，同時q也未知，接觸面的局部區(qū)域也是未知的。3不計接觸面摩擦力。4.2 兩球體之間的接觸壓力：M1rPPoz1z2O2O1M2arR2R1已知兩球體變形前在o點接觸，兩個坐標(biāo)系 r

10、oz1、roz2球1：E1 、n1、R1球2：E2 、n2、R2 距接觸點z軸為r的兩球表面上M1和 M2點的z坐標(biāo)分別為（M1和M2與點o很近） , , 則 在已知P壓力作用下，兩球在接觸點附近發(fā)生變形有一個接觸面，根據(jù)對稱性接觸面為以a為半徑的圓。1a為待求量，同時接觸面上有接觸壓力q（待求），由于接觸問題是局部變形，在球體遠離o點的任意點位移為剛體位移。2兩球內(nèi)距o點很遠處的相對位移（剛體位移）為 a？下面要建立（找出）三個條件（幾何、物理、平衡方程）尋求a 、q 和a。 求解：首先根據(jù)接觸面變形（位移）來建立一個關(guān)系球1 接觸面上o點、M1點沿z1軸位移為w1(o)、w1，而w1(o)

11、=w1+ z1球2接觸面上o點、M2點沿z1 z2軸位移為w2(o)、w2，而w2(o)=w2+ z2而w1(o) +w2(o)=w1+ z1+w2+ z2= w1+w2+b r2而w1(o) +w2(o)=a兩球體距o點較遠處兩點的趨近距離。 a= w1+w2+b r2變性協(xié)調(diào)關(guān)系由于接觸問題可看成半無限體受局部垂直分布力問題，w1和w2可以利用上一節(jié)的結(jié)果 Maqysdsdyrmnrrq0 相當(dāng)物理和幾何關(guān)系 代入 a= w1+w2+b r2 在此式中a 、q 和a未知，q 與P有關(guān)，為尋求解，赫茲假設(shè)接觸面上的分布力q的分布為以a為半徑的半球面乘q0/a，q0為接觸面中心接觸壓力的集度 赫茲通過這樣