初中七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練(奧數(shù))專題18簡單的不定方程、方程組

1、初中七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)）專題 18 簡單的不定方程、方程組閱讀與思考如果方程（組）中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，那么解往往有無窮多個(gè)，不能唯一確定，這樣的方程（組）稱為不定方程（組 ） 對于不定方程（組 ），我們常常限定只求整數(shù)解，甚至只求正整數(shù)解加上這類限制后，解可能唯一確定，或只有有限個(gè)，或無解這類問題有以下兩種基本類型：1判定不定方程（組 ）有無整數(shù)解或解的個(gè)數(shù)；2如果不定方程（組 ）有整數(shù)解，求出其全部整數(shù)解二元一次不定方程是最簡單的不定方程，一些不定方程（組）常常轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程求其整數(shù)解解不定方程（組 ），沒有固定的方法可循，需具體問題具體分析，經(jīng)常用到整數(shù)的整除、奇

2、數(shù)偶數(shù)、因數(shù)分解、不等式分析、窮舉、分離整數(shù)、配方等知識(shí)與方法根據(jù)方程（組 ）的特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)變形，并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)與方法是解不定方程（組 ） 的基本思路例題與求解【例1】滿足19982m219972 n2 （Ovmvnvl 998）的整數(shù)對（m, n）共有 對.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路： 由方程特點(diǎn)，聯(lián)想到平方差公式，利用因數(shù)分解來解答【例 2】 電影票有 10 元， 15 元， 20 元三種票價(jià)，班長用 500 元買了 30 張電影票，其中票價(jià)為 20 元的比票價(jià)為 10 元的多 （）A 20張B 15 張C 10 張 D 5張（“希望杯 ”邀請賽試題 ）解題思路： 設(shè)購買 10

3、元， 15 元， 20 元的電影票分別為 x ， y ， z 張根據(jù)題意列方程組，整體求出的 z x 值【例3】 某人家中的電話號(hào)碼是八位數(shù)， 將前四位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得14 405 ， 將前三位數(shù)組成的數(shù)與后五位數(shù)組成的數(shù)相加得 16 970 ，求此人家中的電話號(hào)碼（湖北省武漢市競賽試題 ）解題思路： 探索可否將條件用一個(gè)式子表示，從問題轉(zhuǎn)換入手【例 4】 一個(gè)盒子里裝有不多于 200 粒棋子，如果每次2 粒， 3 粒， 4 ?；?6 粒地取出，最終盒內(nèi)都剩一粒棋子；如果每次11 粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?（重慶市競賽試題）解題思路： 無論怎樣取， 盒子

4、里的棋子數(shù)不變。 恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)， 把問題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解【例 5】 甲組同學(xué)每人有28 個(gè)核桃，乙組同學(xué)每人有30 個(gè)核桃，丙組同學(xué)每人有 31 個(gè)核桃，三組的核桃總數(shù)是365 個(gè)問：三個(gè)小組共有多少名同學(xué) ?（海峽兩岸友誼賽試題）解題思路： 根據(jù)題意，列出三元一次不定方程，從運(yùn)用放縮法求取值范圍入手【例6】某中學(xué)全體師生租乘同類型客車若干輛外出春游，如果每車車坐22人，就會(huì)余下1人；如果開走一輛空車，那么所有師生剛好平均分乘余下的汽車.問：原先租多少輛客車和學(xué)校師生共多少人？（已知每輛車的容量不多于 32人）解題思路：設(shè)原先租客車X輛，開走一輛空車后，每輛車乘坐k人，根據(jù)題意列出方

5、程求解，注意排除不符合題設(shè)條件的解.能力訓(xùn)練A級.225 一.1 .右 a 4b a 4b 0 ,貝U ab =.42x2 3y2 6z2砧/吉空十2,已知 4x 3y 6z 0, x 2y 7z 0 （xyzw0）則 一222-的值等于.x 5y 7z3. 1998年某人的年齡恰等于他出生的公元年數(shù)的數(shù)字和，那么他的年齡是 歲.（希望杯”邀請賽試題）4. 已知a, b, c為整數(shù)，且a b 2006, c a 2005.若av b ,貝U a b c的最大值為 .（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）5. x, y都是質(zhì)數(shù)，則方程 x y 1999共有（）.（北京市競賽試題）C. 3組解 D. 4組解6

6、.如圖，在高速公路上從 3千米處開始，每隔4千米設(shè)一個(gè)速度限制標(biāo)志，而且從 10千米處開始.每隔9千米設(shè)一個(gè)測速照相標(biāo)志，則剛好在19千米處同時(shí)設(shè)置這兩種標(biāo)志，問下一個(gè)同時(shí)設(shè) 置這兩種標(biāo)志的地點(diǎn)的千米數(shù)是（）.A. 32千米 B. 37千米C. 55千米 D.7 .給出下列判斷：_一、八 八x 3t不定萬程2x 3y 0的整數(shù)解可表不為（t為整數(shù)）.y 2t不定方程2x 4y 5無整數(shù)解.不定方程2x 3y 1無整數(shù)解.其中正確白判斷是（）.A. B. C. D,8.小英在郵局買了10元的郵票，其中面值0.10元的郵票不少于 2枚，面彳1O.20元的郵票不少于 5枚,面彳1 0.50元的郵票不

7、少于3枚，面值2元的郵票不少于1枚，則小英最少買了 （）枚郵票.A. 17 B. 18C. 19 D. 20（五羊杯”邀請賽試題）9 .小孩將玻璃彈子裝進(jìn)兩種盒子，每個(gè)大盒子裝12顆，每個(gè)小盒子裝 5顆，若彈子共有99顆，所用大小盒子多于10個(gè)，問這兩種盒子各有多少個(gè) ？10中國百雞問題：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞問雞翁、雞母、雞雛各幾何 ?（ 出自中國數(shù)學(xué)家張丘建的著作算經(jīng) ）11已知長方形的長、寬都是整數(shù)，且周長與面積的數(shù)值相等，求長方形的面積（“希望杯 ”邀請賽試題 ）5x 4y 712.已知k是滿足1910P kp 2010的整數(shù)，并且使二元一次方程組有

8、整數(shù)解.問：這樣4x 5y k的整數(shù) k 有多少個(gè)？（ “華羅庚金杯”競賽試題 ）B級22221 .如果 a , b, c 滿足 a 2b 2c 2ab 2bc 6c 9 0,那么 a bc =.（“祖沖之杯 ”邀請?jiān)囶} ）2 .已知x, y為正偶數(shù)，且x2y xy2 96 ,則x2y2 =.3 一個(gè)四位數(shù)與它的四個(gè)數(shù)字之和等于1 991 這個(gè)四位數(shù)是 （重慶市競賽試題）4城市數(shù)學(xué)邀請賽共設(shè)金、銀、銅三種獎(jiǎng)牌，組委會(huì)把這些獎(jiǎng)牌分別裝在五個(gè)盒中，每個(gè)盒中只裝一種獎(jiǎng)牌每個(gè)盒中裝獎(jiǎng)牌枚數(shù)依次是3， 6， 9， 14 ， 18 現(xiàn)在知道其中銀牌只有一盒，而且銅牌枚數(shù)是金牌枚數(shù)的 2 倍則有金牌 枚，銀

9、牌 枚，銅牌 枚225 若正整數(shù)x ， y 滿足 x 72 y ，則這樣的正整數(shù)對（ x ， y ）的個(gè)數(shù)是（） A 1 個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè)6 有甲、乙、丙3 種商品，單價(jià)均為整數(shù)，某人若購甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 24 元；若購甲 4 件、乙 10 件、丙 l 件共需 33 元，則此人購甲、乙、丙各1 件共需 （）元A 6元 B 8元 C 9元 D 10元xyz07 在方程組 333 中， x ， y ， z 是不相等的整數(shù)，那么此方程組的解的組數(shù)為 （）x3y3z336A. 6 B. 3 C.多于6 D.少于3（“希望杯 ”邀請賽試題 ）8 一個(gè)兩位數(shù)中間插入一

10、個(gè)一位數(shù)（包括0） ，就變成一個(gè)三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)一位數(shù)后變成的三位數(shù)是原來兩位數(shù)的 9 倍，這樣的兩位數(shù)有（）個(gè)A 1 B 4 C 10D 超過109 李林在銀行兌換了一張面額為 l00 元以內(nèi)的人民幣支票， 兌換員不小心將支票上的元與角、 分?jǐn)?shù)字看倒置了（例如，把12 34 元看成了 34 12 元 ） ，并按著錯(cuò)的數(shù)字支付，李林將其款花去3 50 元之后，發(fā)現(xiàn)其余款恰為支票面額的兩倍， 于是急忙到銀行將多領(lǐng)的款額退回， 問： 李林應(yīng)退回的款額是多少元?（“五羊杯 ”邀請賽試題 ）10某人乘坐的車在公路上勻速行駛，從他看到的某個(gè)里程碑上的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)時(shí)起，一小時(shí)后他看到的里程碑上的數(shù)恰好是第一次看到的數(shù)顛倒了順序的兩位數(shù)，再過一小時(shí)。他看到的里程碑上的數(shù)又恰好是第一次