1999全國高考數(shù)學(xué)文科試題

1、1999年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷(文史)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷1至2頁。第II卷3至8頁。共150分。考試時間120分鐘。第I卷（選擇題共60分）注意事項： l.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目、試卷類型（A或B）用鉛筆涂寫在答題卡上。 2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后。再選涂其它答案，不能答在試題卷上。 3.考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回。 參考公式： 正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式 三角函數(shù)的積化和差公式sincos=sin(+)+sin(-)/2cossin=

2、sin(+)-sin(-)/2 coscos=cos(+)+cos(-)/2sinsin=-cos(+)-cos(-)/2 正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式：S臺側(cè)=(c'+c)L/2其中c'和c表示圓臺的上下底面的周長，L表示斜高或母線長。臺體的體積公式：其中s,s'分別表示上下底面積，h表示高。 一. 選擇題：本大題共14小題；第(1)(1O)題每小題4分，第(11)(14)題每小題5分，共60分在每小題給出的四個選頂中，只有一頂是符合題目要求的。（1）如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是 （A）（MPS （B）（MP）S （C（MP） （D（

3、MP）（2）已知映射f：AB，其中，集合A-3，-2，-1，1，2，3，4，集合B中的元素都是A中 元素在映射f下的象，且對任意的aA，在B中和它對應(yīng)的元素是|a|，則集合B中元素 的個數(shù)是 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7（3）若函數(shù)yf（x）的反函數(shù)是y=g（x），f（a）=b，ab0，則g（b）等于 （A）a （B）a-1 （C）b （D）b-1（4）函數(shù)f（x）Msin（x+）（>0）在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，且f（a）=-M，f（b）=M， 則函數(shù)g（x）=Mcos（x+）在a，b上 （A）是增函數(shù) （B）是減函數(shù) （C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M（5）若f

4、（x）sinx 是周期為的奇函數(shù)，則f（x）可以是 （A）sinx （B）cosx （C）sin2x （D）cos2x（6）曲線x2+y2+2x-2y=0關(guān)于 （A）直線x=軸對稱 （B）直線y=-x軸對稱 （C）點（-2，）中心對稱 （D）點（-，0）中心對稱（7）若干毫升水倒人底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高為6cm，若將這些水倒 人軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是 （A）6cm （B）6cm （C）2cm （D）3cm（8）若（2x）3a0+a1x+a2x2+a3x3，則（a0+a2）2-（a1+a3）2的值為 （A）-1 （B）l （C） 0 （D） 2（9

5、）直線xy-2=O截圓x2+y2=4得的劣弧所對的圓心角為 （A） （B） （C） （D）（10）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形， EFAB，EF=3/2，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為 （A）9/2 （B）5 （C）6 （D）15/2（11）若sinatgactga(-a)，則a （A）（-，-） （B）（-，0） （C）（0，） （D）（，）（12）如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，它們的 側(cè)面積的比為1：2，那么R= （A）10 （B）15 （C）20 （D）25（13）給出下列曲線： 4x+2y-1=0

6、 x2+y2=3 x2/2+y2=1 x2/2-y2=1 其中與直線r-2x-3有交點的所有曲線是 （A） （B） （C） （D）（14）某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝 磁盤根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒則不同的選購方式共有 （A）5種 （B）6種 （C）7種 （D）8種第II卷（非選擇題共90分）注意事項： 1第II卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。 2答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。二，填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線（15）設(shè)橢圓(x2/a2)+(y2/b2)1（a>b>0）

7、的右焦點為F1，右準(zhǔn)線為l1若過F1且垂直于x軸的弦的長 等于點F1到l1的距離,則橢圓的離心率是_（16) 在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作 物生長。要求A、B兩種作物的問隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有_種(用數(shù)字作答)（17）若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是_（18）、是兩個不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同直線，給出四個論斷： mn n m 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：_三.解答題：本大題共6小題；共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（19）（本小題滿

8、分10分）解方程-3lgx+4=0（20）（本小題滿分12分）數(shù)列an的前n項和記為Sn，已知an=5Sn-3（nN）求（al+a3+a2n-1）的值。（21）（本小題滿分12分）設(shè)復(fù)數(shù)z3cos+isin求函數(shù)y=tg（argz）（0<<）的最大值以及對應(yīng)的值（22）（本小題滿分12分 如圖，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，點E在棱D1D上，截面EACD1B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB=a（）求截畫EAC的面積；（）求異面直線A1B1與AC之間的距離；（求三棱B1EAC的體積。（23）（本小題滿分14分）下圖為一臺冷軋機的示意圖。冷軋機由若干對

9、軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出。（1）輸入帶鋼的厚度為a，輸出帶鋼的厚度為，若每對軋輥的減薄率不超過r0，問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？（）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長均為1600mm，若第k對軋輥有缺陷,每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點的間距為Lk，為了便于檢修，請計算L1、L2、L3并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）。軋輥序號1234疵點間距Lk(單位：mm)1600（24）（本小題滿分14分）如圖，給出定點A（a，0）（a0，a1）和直線l：x-LB是直線l上的動點，BOA的角平分線交AB于點

10、C，求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系。1999年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)(文史類)說明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則。二、對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分。三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分

11、。一. 選擇題：本題考查基本知識和基本運算。第（1）第（10）題每小題4分，第（11）（14）題每小題5分，滿分60分。（1）C （2）A （3）A （4）C （5）B （6）B （7）B （8）A （9）C （10）D （11）B （12）D （13）D （14）C二填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分（15）1/2（16）12（17）9,+（18）ma, n, a=>mn 或mn, ma, m=>a三解答題（19）本小題主要考查對數(shù)方程、無理方程的解法和運算能力。滿分10分。解：設(shè)(31gx-2)1/2=y,原方程化為y-y2+2=0. 4分解得y=-1,

12、 y=2. 6分因為 (31gx-2)1/20,所以將y=-1舍去，由 (31gx-2)1/2=2得 lgx=2,所以 x=100. 9分經(jīng)檢驗x=100為原方程的解10分（20）本小題主要考查等比數(shù)列和數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識，滿分12分。解：由 Sn=a1+a2+an知an=Sn-Sn-1(n2),a1=S1, 2分由已知 an=5Sn-3 得an-1=5Sn-1-3. 4分于是an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an, 所以an=-(an-1/4). 6分由 a1=5S1-3,得 a1=3/4.所以，數(shù)列an是首項a1=3/4，公比q=-1/4的等比數(shù)列 8分由此知數(shù)列 a1,a3,a5,

13、a2n-1,是首項為 a1=3/4, 公比為(-1/4)2的等比數(shù)列。所以limn(a1+a3+a5+a2n-1)=(3/4)/1-(-1/4)2=4/5. 12分（21）本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、三角公式和不等式等基本知識，考查綜合運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，滿分12分。解：由0<</2得tg>0.由z3cos+isin得 tg(arg z)=sin/3cos=1/3tg. 3分故 y=tg(-arg z)=(tg1/3tg)/(11/3tg2) 6分=2/(3/tg)+tg.(3/tg)+tg2(3)1/2, 2/(3/tg)+tg(3)1/2/3. 9分當(dāng)且僅當(dāng)

14、3/tg=tg(0<</2)時，即tg(3)1/2時，上式取等號。所以當(dāng)/3時，函數(shù)y取得最大值(3)1/23。 12分。（22）本小題主要考查空間線面關(guān)系，二面角和距離的概念，邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力，滿分12分。（1）解：如圖，連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO。底面ABCD是正方形DOAC。又ED底面AC，EOAC。 EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角， 2分 EOD45°。DO(2)1/2/2a, AC=(2)1/2a, Eo=(2)1/2a·sec45°/2=a.故 SEAC=(2)1/2×a2/24分（II）解：由

15、題設(shè)ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，得A1A底面AC， A1AAC。又 A1AA1B1，A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線。 6分D1B面EAC，且面D1BD與面EAC交線為EO， D1BEO。又 O是DB的中點，E是D1D的中點， D1B2ED2a。 異面直線A1B1與AC間的距離為(2)1/2a。 8分(III)解法一：如圖，連結(jié)D1B1。D1DDB(2)1/2a，BDD1B1是正方形。連結(jié)B1D交D1B于P，交EO于Q。B1DD1B。 EOD1B，B1DEO又 ACEO， ACED，AC面BDD1B1B1DACB1D面EAC。B1Q是三棱錐B1EAC的高。 10分由DQPQ，得

16、B1Q3B1D/43a/2。VB1EAC(1/3)·(2)1/2a2/2·(3/20=(2)1/2·a3/4.所以三棱錐了EAC的體積是(2)1/2·a3/4. 12分解法二：連結(jié)B1O，則VB1EAC2VAEOB1。AO面BDD1B1，AO是三棱錐AEOB1的高，AO(2)1/2·a/2在正方形BDD1B1中，E、O分別是D1D、DB的中點（如右圖），則SEOB1=3a2/4.VB1-EAC=2×(1/30×(3a2/4)×(2)1/2a/2=(2)1/2·a3/4.所以三棱錐B1EAC的體積是(2)1

17、/2·a3/4.12分。（23）本小題主要考查等比數(shù)列，對數(shù)計算等基本知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題的能力，滿分14分。（I）解：厚度為a的帶鋼經(jīng)過減薄率均為ro的n對軋輥后厚度為a(1-ro)n.為使出帶鋼的厚度不超過，冷軋機的軋輥數(shù)（以對為單位）應(yīng)滿足a(1-ro)n，即 (1-ro)n/a 4分由于(1-ro)n>O, /a>0,對上式兩端取對數(shù)，得nlg(l-ro)lg(/a).由于lg(1-ro)<0,所以n(lg-lga)/lg(1-ro).因此，至少需要安裝不小于(lg-lga)/lg(1-ro)的整數(shù)對軋輥 7分（II）解法一：第k對軋

18、輥出口處疵點間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼的體積為1600a×(1-r)k×寬度 （其中r20），而在冷軋機出口處兩疵點間帶鋼的體積為Lk×a(1-r)4×寬度。因?qū)挾认嗟?，且無損耗，由體積相等得1600·a(1-r)k=Lk·a(1-k)4(r=20%),即 Lk=1600·0.8K-4. 10分由此得 l3=2000(mm), l2=2500(mm), l1=3125mm)填表如下：軋輥序號K1234疵點間距LK（mm）312525002000160014分解法二：第3對軋輥出口疵點間距為軋輥周長，在此處出口

19、的兩疵點間帶鋼體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔?，有?600=L3·(1-0.2),所以 L3=1600/0.8=2000(mm). 10分同理 L2=L3/0.8=2500(mm).  L1=L2/0.8=3125(mm).填表如下：軋輥序號K1234疵點間距LK（mm）312525002000160014分（24）本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，以及求動點軌跡的基本技能和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。滿分14分。解法一：依題意，記B（1，b）（bR），則直線OA和OB的方程分別為y0和ybx，設(shè)點C（x,y），則有0x<a,由OC平分AOB，知點C到OA、OB距離相等，根據(jù)點到直線的距離公式得|y|=|y+bx|/ 4分依題設(shè)，點C在直線AB上，故有y=-b/(1+a)(x-a). 6分由 x-a0，得b=-(1+a)y/(x-a). 將式代入式得y21+(1+a)2y2/(x-a)2=y-(1+a)xy/x-a2,整理得y2(1-